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A.N.E.P.
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN INICIAL Y PRIMARIA
INSPECCIÓN DEPARTAMENTAL DE MONTEVIDEO
JURISDICCIÓN ESTE
BOLETÍN N° 4
APORTES QUE ORIENTAN LA ENSEÑANZA
DE LA GEOMETRÍA.
Material recopilado y elaborado por:
Mtra Inspectora de Zona: Alejandra Olivera
Mtras. Directoras:
Gabriela Nunes - Esc . Nº 44 / Sandra Godoy - Esc. Nº 182 / Ana
Claudia Olivera - Esc. Nº 187 / Mónica González - Esc. Nº 338 /
Mariela Méndez - Esc. Nº 339 / Viviana Gamba - Esc. Nº 342
SETIEMBRE 2023
Justificación:
El presente trabajo se realiza con la participación de las Maestras Directoras del Distrito 1
de Inspección Departamental Montevideo-Este, a partir de los resultados arrojados por la
evaluación semestral distrital y considerando los aportes de la Comisión de Matemática
integrada por M/D y MIZ de diferentes áreas de dicha Jurisdicción.
En la mencionada evaluación, se registraron desempeños comprometidos de un porcentaje
elevado de alumnos en esta disciplina, por lo cual, se considera necesario intervenir para
mejorar y profundizar en los aprendizajes de todos los alumn@s, con miras a las
intervenciones a realizar en el segundo semestre.
Para ello, se realizó una selección a partir de algunos fragmentos de materiales
bibliográficos que se consideran valiosos y oportunos, con el cometido de poder
compartirlos, analizarlos y trabajarlos con los colectivos docentes de cada una de las
instituciones escolares, de forma de poder acompañar, asesorar y orientar los procesos de
enseñanza y aprendizaje.
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Desde el punto de vista de Itzcovich la enseñanza de la geometría en la escuela apunta a
cuatro grandes objetivos:
1- Estudiar las propiedades de las figuras y de los cuerpos geométricos.
Implica más que reconocerlos perceptivamente y saber sus nombres. Implica tenerlos
disponibles a fin de poder recurrir a ellos para resolver diferentes situaciones, así como para
utilizarlos para identificar nuevas propiedades de las figuras. En ambos casos las mismas
propiedades son las que permitirán dar cuenta de la validez de lo que se va produciendo.
Construir a partir de características ya conocidas desde las que encontrar nuevas
relaciones, o definir nuevas propiedades.
2- El estudio del espacio y los movimientos, y de las relaciones que en él se dan.
Este eje refiere al dominio de relaciones espaciales como: orientación en el espacio,
ubicación de un objeto o de una persona, la organización de los desplazamientos, y la
producción e interpretación de representaciones planas del espacio. Muchos de estos
conocimientos se aprenden de forma informal fuera del sistema, pero solo abordándolos de
forma sistemática se pueden resolver con éxito situaciones como establecer puntos de
referencia para poder ubicarse o ubicar un objeto en el espacio, para poder interpretar la
información en un plano, etc.
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3- El inicio de un modo de pensar propio del saber geométrico
Este modo supone poder apoyarse en propiedades ya estudiadas de las figuras y de los
cuerpos para poder anticipar relaciones desconocidas al resolver problemas. Se trata de
poder resolver situaciones problemas a partir de conocimientos ya disponibles, a esto se
llama proceso anticipatorio; por otra parte saber también que dicho resultado es correcto
porque las propiedades puestas en juego lo garantizan, lo que llamamos validación. Este
tipo de trabajo es una puerta de entrada al razonamiento deductivo; pero exige diseñar una
propuesta que permita evidenciar los límites de los dibujos y las medidas; es la relación
con el saber lo que está en juego.
4- El reconocimiento de que la escuela es un lugar de creación, transformación y de
conservación de una parte seleccionada de la cultura, entre otras, la geometría.
Generalmente en la escuela hay poca presencia por la falta de vinculación directa con el
uso de la vida cotidiana. La idea de que solo pueden aprender lo que les resulta útil y
cotidiano nos llevó a una geometría instrumentalista. Muchas veces se pretende
relacionar un concepto geométrico con la realidad y se termina matematizando un objeto
que a veces no refiere realmente al concepto. La propuesta es enseñar los objetos
geométricos donde estos viven: en las figuras geométricas. “Una concentración exclusiva en
la utilidad hace perder de vista a la matemática como producto cultural, como práctica,
como forma de pensamiento”. Este objetivo busca dar sentido a la enseñanza de la
geometría a través de problemas del universo intramatemático.
¿Qué se entiende por trabajo geométrico en la escuela?
Casi siempre estuvo ligada al criterio de validación a partir de enunciados generales de
conceptos geométricos, de la observación, de la percepción, de presentar algunas
definiciones y algunas medidas que establecen los alumnos sobre algunas
representaciones de los objetos geométricos. Este tipo de enseñanza reduce la actividad
del alumno a una cuestión de fe, porque al hacerlo de forma experimental aparecen errores
y termina siendo la palabra del docente la que valida una definición aunque desde la
experimentación no se pueda validar.
Desde la mirada de enseñanza de la geometría que plantea Itzcovich, el tipo de práctica
que se plantea abordar es no basarse en el trabajo empírico de modo tal de insertar lo
geométrico en el terreno de la deducción.
Por el contrario, la actividad matemática no es mirar y descubrir sino crear, producir y
argumentar.
Para resolver una situación problema en matemática debemos alejar a los estudiantes de la
necesidad empírica, llevarlo al campo de la argumentación intramatemática para que
puedan validar su respuesta.
Esto no es crear un teorema o reproducirlo, a nivel escolar significa que el alumno pueda
ser capaz de fundamentar sus conclusiones, de considerar los fundamentos de los
compañeros para aceptarlos o rechazarlos, de hacer el esfuerzo de entender la
demostración hecha por otro, intentar proponer él mismo una demostración. Pero a su vez,
efectuada la medición y aplicada la fórmula, los valores encontrados son esos.
Para que los estudiantes puedan argumentar habrá que ofrecerles situaciones didácticas,
adecuadas al nivel de escolaridad, que les muestren la insuficiencia de lo experimental
como criterio de validación. Lo importante en las propuestas es permitir que aparezca lo
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deductivo por sobre lo experimental, aunque lo experimental forme parte del trabajo pero al
principio con un tinte más experimental, exploratorio.
Cuando se trabaja con las relaciones y los conceptos, estos se generalizan más allá de las
medidas. Por ejemplo, sabiendo la definición de área de triángulo podemos comparar áreas,
sabiendo la medida de las bases y su altura sin trazarlos se puede saber cuál tiene mayor
área.
Consideraciones para que una situación geométrica sea un verdadero problema para
los estudiantes:
1. Debe implicar un cierto nivel de dificultad, presente un desafío, tenga algo de
novedad (sino es ejercitación)
2. Exija usar los conocimientos previos pero que no sean éstos suficientes
3. Para resolverlo que deba poner en juego las propiedades de los objetos
geométricos
4. El problema debe poner al estudiante en interacción con objetos que ya no
pertenezcan al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado por las
figuras-cuerpos
5. En la resolución de un problema, los dibujos no pueden permitir arribar a la
resolución del problema
6. Que la validación a un problema, es decir la respuesta, no puede apoyarse en lo
sensorial empírico, sino que se establezca en las propiedades de los objetos,
aunque tenga instancias exploratorias, se pueden aceptar otros modos de
corroborar.
7. Que la argumentación a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras
produzca un nuevo conocimiento acerca de los que se está trabajando.
Los conocimientos espaciales están vinculados a las relaciones con el espacio, sus
representaciones, sus desplazamientos, etc. Son ideas espaciales construidas para
modelizar un espacio físico, vinculadas al espacio físico, que sirven para resolver problemas
del espacio real. Las conceptualizaciones espaciales no se construyen por abstracción
directa del espacio real, sino a partir de utilizar las propias conceptualizaciones en la
resolución de problemas que plantea dicho espacio.
Los problemas vinculados a las resoluciones espaciales.
Estos conocimientos se ponen en juego para resolver problemas cuya finalidad concierne
al espacio sensible y pueden referirse a diferentes acciones como: construir, desplazarse,
desplazar objetos, ubicar objetos en el espacio, ubicarse a sí mismos, ubicarse en relación
a un objeto, etc.
El lenguaje y las representaciones espaciales permiten comunicar información que sustituye
la percepción. El éxito o el fracaso son determinados por el sujeto por comparación entre el
resultado esperado y el resultado obtenido.
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Brousseau señala que el tamaño del espacio incide en la resolución de los problemas
espaciales.
● Macroespacio
● Mesoespacio
● Microespacio
El Macroespacio es un espacio de un tamaño tal que no se puede obtener una imagen de
conjunto de él sin realizar desplazamientos, o puede armarse con representaciones
sucesivas que se unan. Para las dimensiones que tiene la percepción directa de la realidad
es inaccesible.
Para orientar los desplazamientos hay que construir una representación global del mismo.
Los objetos pueden ser información que se utiliza como puntos de referencia.
La escuela debe tomar a su cargo la enseñanza de la orientación en el espacio para
garantizar que todos los alumnos alcancen un dominio en sus relaciones con estas
dimensiones, que tradicionalmente quedaban libradas al aprendizaje espontáneo.
Para la estructuración de este macroespacio los docentes debemos plantear la pregunta de
qué se irá encontrando a lo largo del camino. Si los niños en un recorrido pueden registrar
los lugares por los que pasan, buscar puntos de referencia y calles por donde ubicarse y a
los que ubicar en la representación global del espacio, podrán elaborar la noción de ese
espacio recorrido. Las comparaciones entre lo que realizó un estudiante y otro, la discusión
sobre los puntos de referencia, si están coincidentes o los han ubicado en diferente punto,
describir las trayectorias de derecha, izquierda, que distancia en relación a qué punto de
anclaje, etc. Lo importante es ponerlos en la necesidad de establecer puntos de referencia
para poder orientarse y desplazarse por el macroespacio. También puede discutirse y
observar si un mismo registro servirá para el camino de ida tanto como para el de vuelta,
reflexionar acerca del orden en que aparecen las referencias, si es el mismo o es inverso.
Establecer la representación gráfica de ese espacio, sin perder de vista la necesidad de
pensar y ubicar el lugar para los puntos de anclaje.
El mesoespacio, se denomina a aquel que puede construirse de forma global desde una
misma posición, aunque no de un solo vistazo, sino con desfasajes temporales mínimos,
osea que para una visión completa se requiere de movimientos. Por ejemplo el aula, los
objetos serán los puntos de referencia dentro del aula y los salones, escaleras, pasillos
serán los referentes fuera. En este espacio se puede identificar el espacio vacío y el lleno,
por donde desplazarse y hacia qué dirección tomar.
Los desplazamientos están restringidos a los vacíos entre objetos y la posición erecta del
sujeto permite movimientos horizontales y verticales en la representación.
Ejemplos a trabajar, es pedir que construyan el plano del salón, o que realicen la trayectoria
hecha por el gimnasio con una pelota. Caminar de forma recta o curva y plasmarlo en la
representación del mesoespacio.
El microespacio, es el sector del espacio más próximo al sujeto, y permite tanto la visión,
como la manipulación. El sujeto puede mover al objeto y prácticamente a sí mismo en
cualquier dirección; la cantidad de información que puede obtener del microespacio le
permite encontrar rápidamente las acciones. En el microespacio una acción que permite
construir el concepto geométrico de figura-cuerpo es pedirle al alumno que coloque un
juguete en la mesa y lo represente como lo ve, seleccionando cuatro puntos de vista
diferentes, para discutir lo construido, de esta manera se abordan conceptos como
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perspectiva, posición de un objeto con respecto a otro; elementos que deben construirse
para conceptualizar el espacio geométrico.
Abordar la construcción del espacio necesita contemplar la variable del tamaño, estas tres
variables se pueden trabajar en simultáneo, en distinto orden, pero sí deben atenderse para
lograr conceptualizar el espacio geométrico.
Ejemplos de cómo trabajarlo.
En todas las ocasiones pensar en repetirlo varias veces como parte de una secuencia,
porque en las sucesivas aproximaciones se construyen los nuevos conceptos.
Surge de la situación de dictado a un otro que se construye la idea de puntos de referencia.
Con los puntos de referencia se trabajan los conceptos de lateralidad, puntos cardinales,
orientación en el espacio, etc. A su vez, surge del análisis cuando una indicación es
insuficiente y se analiza qué faltó, en ese momento hay avances progresivos del concepto
de espacio geométrico. Para el alumno el objetivo es comunicar con precisión lo que precisa
para ubicar objetos en el espacio. Para el docente el objetivo es la enseñanza de las
relaciones espaciales, tales como ubicación, puntos de referencia, vocabulario, etc.
Conocer la intención que tenemos al planificar la enseñanza va a permitir una
intervención oportuna del docente, cuando los alumnos realicen preguntas, las
respuestas del docente pueden reinstalar el problema para que los alumnos puedan
avanzar en la construcción de los conceptos. Lo importante es guiar la discusión entre
pares, solicitando que fundamenten las respuestas, y validando a partir de las discusiones
y de la interacción. A su vez, así se incorporan y elaboran códigos comunes de lenguaje.
El docente realizará al final de la discusión la institucionalización del saber construído, o
sea, identificar los conocimientos que se utilizaron para construir el espacio geométrico.
Ej: aprendimos que para decir a la izquierda o a la derecha, hay que explicar en relación a
qué punto de referencia.
Algunas propuestas que ilustran:
● Entregar elementos iguales a más de un grupo y pedirles que construyan lo mismo.
Entregar una hoja tamaño oficio y solicitarle que dibujen el plano. Luego se puede
solicitar que un grupo le muestre al otro el plano construido sin mostrar la maqueta
armada, y que el equipo que recibe el plano construya la misma maqueta.
● Armado de legos, siguiendo el plano que presenta dibujado, donde hay que observar
la ubicación y orientación de las piezas para ver cómo encastrar la siguiente. Otra
opción puede ser que un equipo le lea al otro las instrucciones del lego. Ahí se va a
observar la manipulación y colocación de las piezas y su posición.
● Forrar cajas prismáticas. Detallar qué se precisa y solicitarlo a otro.
En cuanto al proceso de los niños y su aprendizaje:
- Inicialmente consideran que alcanza con describir los objetos. Ej: pongan una casa,
pongan un árbol… no consideran la relación entre los objetos. Al principio no va a poder
darse lo esperado, pero ello no implica que no es la actividad adecuada, es parte del
proceso. Es un verdadero problema.
- Después de reiterados juegos aprenden que es necesario dar indicaciones con respecto a
otro objeto. Empiezan a establecer relaciones parciales. Ej: el árbol está al lado de la casa,
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pero aún no es completa. Es el paso para considerar los objetos en relación a otros y a su
vez la necesidad de comenzar a ver la relación de ellos pero controlando ahora la ubicación
de todos los elementos entre sí.
- Finalmente logran establecer las relaciones entre todos los objetos, por lo cual utilizan
puntos de referencia. Anclan un objeto y a partir del mismo ubican el resto.
Como docentes debemos atender la cantidad de objetos totales, más de 10 es mucha
información y se convierte en un obstáculo. Utilizando pocos elementos tampoco permitimos
poner en juego las relaciones en su totalidad, no necesitando el niño establecer puntos de
referencia. Atender los elementos a considerar y su relación es otra variable a pensar. Un
salón donde solo hay mesas y sillas es difícil, en cambio si se pone un escritorio, un
mueble, una papelera, ya entran en juego diferentes objetos y puntos de anclaje.
Un error de los más comunes es trabajar con un plano después de visitar el lugar, cuando
ya no se va a volver, lo que no tiene sentido, para construir tiene que ser previo a ir, para
anticipar y saber dónde están ubicados los espacios, o durante el recorrido, para ubicarse y
elegir los recorridos, observar las diferentes formas de acceder a un mismo sitio y elegir
cuál tomar. El plano se puede trabajar después, solo que así no se construye con su
función, como herramienta de orientación y ubicación en el espacio.
No necesariamente los niños necesitan haber recorrido el lugar para abordar la lectura de
un plano.
En las primeras aproximaciones de los niños, las figuras son marcas en el papel, la
interpretación es basada en la percepción, y no es posible aún plantear propiedades
generalizadas.
Al momento de diseñar secuencias y proyectos de enseñanza debemos pensar en
presentar situaciones problemas y además superar la idea de que los dibujos “muestran” las
relaciones que los niños deben construir.
Lo primero que debemos entender es que el dibujo en una hoja de papel se parece a una
determinada figura geométrica, a la que intenta representar. Ahora en cambio, la figura es
un objeto geométrico, un objeto ideal de la matemática, puramente conceptual, que
no tiene existencia física.
El problema didáctico entonces es: ¿Cómo hacer que los alumnos se apropien de lo
que no se ve?
Es necesario que los docentes comprendan la naturaleza “ideal” de los objetos geométricos
-líneas, puntos, vértices, cuerpos, figuras, etc- que permitan modelizar algunas formas y
relaciones del espacio físico real, pero no se corresponden exactamente con ninguna de
ellas, como suele ocurrir con los modelos.
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juego conceptualizaciones, representaciones espaciales e inferencias ligadas a la
necesidad de comunicar.
Ej: entregar a un equipo un cuerpo geométrico y dejar sobre una mesa al cuidado de la
maestra la representación de figuras. Solicitar que acuerden con el equipo que figuras
precisan para cubrir todas las caras y que lo anoten en una hoja para pedirlas al maestro.
No puede haber dibujos. De esta manera anticipan, observan características y las
reconocen como una necesidad para escribir. De la socialización de lo realizado se valida o
no, y se pone en discusión la construcción de aquellas propiedades que se necesitan
observar y construir para solicitar la figura necesaria.
Otros tipos de problemas:
● Entregar planos para que con cuerpos geométricos elaboren la representación
bidimensional. Las dificultades propias del dominio de las representaciones
bidimensionales de objetos tridimensionales serán objeto de análisis y reflexión.
¿Qué condiciones requiere un dibujo para que otro grupo no confunda el cuerpo que
debe utilizar? atender las características y propiedades.
● Solicitar que amplíen o reduzcan el tamaño de un modelo a través de un dibujo, y
reproducirlo en una hoja. ¿Qué tipo de relaciones deben considerarse para poder
resolver ésta situación? ¿Qué diferencias implicaría la resolución de la misma
situación, pero con hoja cuadriculada o lisa? (el estudiante necesita reconocer las
características y propiedades de las figuras, que más allá del tamaño no pueden
modificarse para no modificar la figura geométrica en cuestión).
Cuando un estudiante tiene que copiar un dibujo debe interrogarlo. Es decir, identificar
aquellas características que lo determinan y seleccionar las que permiten hacer la copia,
descartando las que no son relevantes para la tarea.
Cuando los estudiantes realizan este tipo de tareas no utilizan las propiedades para hacerlo,
es luego que el docente a través de las preguntas guía en ese reconocimiento, haciendo
explícito cómo interrogaron a la figura, qué aspectos tomaron en cuenta y por qué.
Reconociendo en ese momento las propiedades y características.
Realizar propuestas que propongan reconocer perceptivamente, pero además poner en
¿Por dónde empezaron? ¿Alguien empezó por otro lado el copiado?¿Todos usaron
compás?¿Todos usaron escuadra? etc.
Desde la mirada didáctica observar qué clase de figuras copiar según el contenido que se
esté trabajando. El tipo de hoja, si es cuadriculada para copiar un rectángulo seguro no
conlleva a utilizar la escuadra y cuestionar los ángulos, ahora, en una hoja lisa, seguro esas
discusiones presentan una forma de avance conceptual. Los materiales que habilitamos o
no, por ejemplo no dejar usar la escuadra obligando a pensar otros modos de hacer un
ángulo recto; o no permitir el uso de una regla graduada, para tener que utilizar el compás
para transportar la medida de los lados…
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A continuación se remitirá a diferentes tipos de actividades y ejemplos extraídos del
libro “Pensar geométricamente” de Fripp y Varela.
1- de representación
2- de copia
3- de comunicación
4- de clasificación
5- con legajos
Algunas variables didácticas: tamaño del papel, posiciones y tipos de figuras, consignas
abiertas y cerradas, etc
Siguiendo a Fripp y Varela, se presentan algunos ejemplos de actividades para
iluminar las prácticas educativas:
1- Las actividades de representación estarían ejemplificadas por propuestas que,
fundamentalmente, conjugan los verbos recortar, plegar, copiar, armar, construir, trazar,
dibujar, etc.
Algunos Ejemplos:
● Ante la solicitud "dibujen a mano un rectángulo", ese mismo colectivo de alumnos
podrá dibujar o representar físicamente dicho rectángulo de diferentes maneras pero
todas las representaciones, al ser explícitas, estarán sujetas al arbitrio de los otros
quienes validarán o no el dibujo trazado como representación posible de un
rectángulo.
● Se entrega a los alumnos una hoja sin renglones en la que se ha representado antes
un segmento de recta y se solicita que, por plegados, logren obtener un rectángulo
que tenga dicho segmento como uno de sus lados.
● La maestra le pidió a Luciana que dibujara un cuadrado en el cuaderno. Ella solo
trazó una parte. Completa el trabajo de Luciana.
● Se propone a los alumnos que utilizando regla y compás representen un cuadrado
que tenga por diagonal a este segmento:
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● Al desarmar una pirámide de base cuadrada se obtienen sus cinco caras. ¿Cuál de
los siguientes conjuntos de figuras permitiría volver a armar la pirámide de base
cuadrada?
● A partir de un cuadrado que se encuentra representado en el patio de la escuela,
el/la docente les propone a sus alumnos "ampliarlo".
● Se les entrega a alumnos de primer año una tira de papel como esta
y se solicita que efectúen, con tijera, dos cortes rectos para así obtener un
rectángulo.
● A los alumnos de quinto grado se les entrega una hoja y se les presenta la siguiente
consigna: "Pliega la hoja de papel para obtener dos dobleces perpendiculares. No la
desdobles. Con una tijera efectúa un corte recto que afecte al mismo tiempo a los
dobleces. ¿ Qué figura crees que obtendrás cuando desdobles el papel?
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2- Las actividades de copia son un caso particular de las llamadas actividades de
representación. Entendemos por actividades de copia a las que exigen reproducir una figura
dada.
Por lo tanto pertenecen a esta categorización aquellas en las cuales, por ejemplo, el
docente les entrega a sus alumnos una figura del plano representada en una hoja del
cuaderno y les solicita que hagan otra igual en una hoja diferente; es una actividad de copia
aquella propuesta en la cual el docente presenta el esqueleto de un prisma recto de base
cuadrada (representación formada únicamente con las aristas y los vértices de la figura del
espacio) y les entrega a los alumnos palitos de brochette y bolitas de plastilina para que
armen uno igual. "El copiado de figuras geométricas forma parte de un conjunto de
diferentes modalidades de construcciones (representaciones) geométricas.
Éstas, bajo ciertas condiciones, pueden constituir verdaderos problemas
geométricos que permiten la consideración de ciertas características de las figuras"
(Quaranta y Ressia de Moreno, 2007; 19)
Copiar este dibujo implica algo más que percibir una circunferencia y un cuadrado; exige
reconocer cuál es el centro de la circunferencia, por ejemplo considerado como intersección
de las diagonales o de las medianas del cuadrado, y distinguir que el radio de la
circunferencia coincide con la medida de medio lado del cuadrado.
Ejemplos:
● Efectuar la copia de una figura que se encuentra momentáneamente presente. El
docente gestiona la actividad brindando a los alumnos la posibilidad de visualizar la
figura a copiar pero la retira y la deja, por ejemplo, sobre su escritorio o sobre
algunas mesas del salón. Los alumnos, si lo necesitan, podrán ir hasta ella para
volver a observarla.
● Copiado de una figura ausente. Se les presenta a los alumnos una figura que puede
ser analizada colectivamente o en pequeños grupos y luego se les solicita que la
reproduzcan. Previo a la reproducción, el docente oculta la figura.
Se puede trabajar también el análisis de copias de figuras del espacio.
● Copia ampliada o reducida. Esta variante promueve la copia de una figura en un tamaño
diferente al tamaño de la figura original. Podríamos acordar que más que un copiado de
figuras sería una ampliación o reducción de la misma.
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3- Para que una actividad geométrica sea considerada como actividad de comunicación
deberán darse ciertas condiciones:
- la existencia, real o ficticia, de dos sujetos,
- la necesidad recíproca entre ambos sujetos para que se pueda resolver la actividad,
- la existencia de asimetría en el porte de información por parte de los dos sujetos. Uno de
ellos posee toda la información necesaria.
- la solución a la situación planteada es hallada cuando se minimiza la asimetría en la
información. Quien no poseía la información obtiene del otro sujeto la cantidad necesaria de
datos para resolver la actividad planteada.
Algunos ejemplos:
● El maestro coloca sobre el escritorio un conjunto de figuras del espacio y les dice a
sus alumnos que ha elegido una de ellas. Los alumnos tendrán que formular
preguntas a su maestra, para descubrir cuál es la figura elegida por ella. Estas
preguntas deberán formularse de tal manera que el maestro solo pueda responder
Si o No.
● La docente les entrega a sus alumnos esta lista de pasos o instrucciones -programa
de construcción- para representar una figura del plano:
a) Representa un segmento de recta de 4 cm de longitud.
b) A un extremo de ese segmento llámale A y al otro extremo B.
c) Traza una circunferencia cuyo centro sea el punto A y cuyo radio mida 7 cm.
d) Traza una circunferencia cuyo centro sea el punto B y cuyo radio mida 7 cm.
e) A los puntos en los que se cortan las circunferencias llámalos H y T.
f) Traza los segmentos AH, AT, BH y BT. ¿Qué figura obtuviste?
Analicemos el primer ejemplo planteado teniendo en cuenta las características de una
actividad de comunicación.
Existen dos sujetos, uno es el docente y el otro cada uno de los alumnos, de las duplas o de
los equipos con los que se esté trabajando. Los alumnos necesitan del docente para que
éste, portador de la información sobre cuál es la figura elegida, les brinde información para
poder llegar a determinar cuál es.
¿Cuándo se resuelve la situación? Cuando los alumnos consiguen del docente, la
información necesaria que les permite asegurar cuál es la figura elegida por él. La actividad
se inicia con asimetría de información, el docente sabe cuál es la figura y los alumnos la
desconocen, y termina con porte casi simétrico de la información.
¿Cómo se podría variar esa misma actividad para convertirla en una propuesta geométrica
de comunicación?
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Pensemos que estamos en presencia de un grupo de alumnos de primer grado escolar a los
que se les presenta un cubo de madera y se les plantea que tendrán que solicitar la
cantidad de palitos y bolitas de plasticina necesarios para armar el esqueleto de ese cubo.
Existen en esta actividad dos sujetos (docente y alumnos), los estudiantes necesitan del
maestro para que les entregue los materiales necesarios para lograr armar el cubo y lo que
es fundamental, es el maestro quien porta toda la información necesaria sobre los
elementos del cubo. En este caso sí que podríamos afirmar que estamos en presencia de
una actividad de comunicación.
Se podría profundizar el análisis de esta última actividad planteada, teniendo en cuenta el
concepto de variable didáctica. En este caso proponemos pensar en la consigna de trabajo
como variable didáctica.
Primera posible consigna oral: Ustedes podrán venir al escritorio y pedirme los materiales
que consideren necesarios para que puedan armar el cubo. Si no les alcanzó algo pueden
volver y pedirme lo que faltó. Si les sobra alguna cosa pueden venir y devolverla.
Segunda posible consigna oral: Sólo les voy a dejar venir dos veces a buscar materiales.
Si les falta algo o les sobra algo pueden devolverlo o pedirlo la segunda vez que vengan a
mi escritorio.
Tercera posible consigna oral: Les pido que sólo vengan al escritorio una única vez y me
pidan los materiales -palitos y bolitas de plasticina- necesarios para poder armar el cubo. No
les puede faltar ni sobrar nada.
Cuarta posible consigna oral: Tendrán que elegir un representante del equipo para que él
venga a mi escritorio una única vez a buscar los materiales necesarios para armar el cubo.
No les puede faltar ni sobrar nada.
Quinta posible consigna oral: Tendrán que elegir un representante del equipo para que
venga a mi escritorio una única vez con un papelito donde estén escritos los materiales
necesarios para armar el cubo. No les puede faltar ni sobrar nada.
4- Actividades de clasificación. Podríamos decir que se clasifican los elementos de un
conjunto cuando se lo puede subdividir en clases, es decir cuando se es capaz de
agruparlos en subgrupos formados, cada uno de ellos, por elementos que poseen
cualidades comunes. En Geometría cuando se clasifican figuras según un criterio
determinado, se procede a agruparlas en subconjuntos donde sus integrantes poseen la
cualidad que se está considerando como criterio de clasificación y se está seguro que todos
los integrantes de otro subgrupo no la poseen.
Proceder a clasificar figuras geométricas activa en los estudiantes la explicitación de
atributos comunes, los hace pensar en lo que les es común a ciertas figuras y a su vez lo
que las diferencia de otras.
Algunos ejemplos:
Clasificación y enunciado del criterio empleado: Se les entrega a los alumnos una
colección de figuras (del plano ó del espacio) y se les solicita que las agrupen según un
criterio que tendrán que explicitar.
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Clasificaciones anidadas: Una vez que los alumnos clasifican un con un conjunto de
figuras y obtienen dos o más clases, se les solicita que vuelvan a clasificar una de estas
clases para obtener otros subconjuntos.
Clasificaciones diferentes de un mismo conjunto: Se les entrega a los alumnos un
conjunto de figuras y se les solicita que las agrupen según un criterio que tendrán que
explicitar. A continuación se les pide que vuelvan a clasificar el conjunto original pero
aplicando ahora otro criterio.
Explicitación del criterio de clasificación: Se les entrega a los alumnos dos o más grupos
de figuras y se les solicita que expliciten el criterio de clasificación empleado.
Aplicación de un criterio de clasificación implícito: Los alumnos disponen de dos o más
grupos de figuras obtenidos al atender a un criterio de clasificación que no se explicita. Se
les entrega a continuación una figura para que sea ubicada en alguno de esos grupos.
Aplicación de un criterio de clasificación explícito: Se les proporciona a los alumnos un
posible criterio de clasificación y a continuación se les entrega una o más figuras para que
analicen cuál o cuáles de ellas cumple con ese criterio.
Reconocimiento de una figura intrusa: Se les presenta a los alumnos dos o más grupos o
clases de figuras obtenidos al aplicar un criterio que se explicitará por parte del docente. A
continuación se los invita a encontrar una figura que fue colocada por error en uno de los
grupos.
Cruce de clasificaciones: Se trata de estudiar si una figura perteneciente a una clase
obtenida luego de cierta clasificación puede pertenecer a otra clase de figuras obtenida al
aplicar otro criterio de clasificación (clasificación de triángulos atendiendo a los lados o a los
ángulos).
5- Actividades de legajo. Llamaremos legajo de una figura geométrica a aquel texto donde
se explicitan las características que se conocen de una figura. Cuando un alumno enuncia
el legajo de una figura está dando cuenta de "todo aquello que recuerda" sobre esa figura.
Algunos ejemplos:
Legajo - Figura/s: Se les proporciona a los alumnos el legajo de una figura y se les solicita
que determinen a qué figura, de una colección dada, corresponde.
Legajos- Figura: Este tipo de variante implica que los alumnos decidan cuál, de un
conjunto de legajos, se corresponde con una figura determinada.
Legajo - Figura - Legajo: En esta variante los alumnos reciben el legajo de una figura y se
les solicita a continuación que le efectúen las modificaciones necesarias para convertirlo en
el correspondiente a otra figura.
Un ejemplo particular. El docente les solicita a sus alumnos que escriban el legajo de una
pirámide recta de base cuadrada, a continuación (en la misma clase o en otra instancia) les
plantea que lo modifiquen para que ese conjunto de atributos se corresponda al legajo de
un pirámide recta de base triangular. ¿Qué se mantiene? ¿Qué cambia? Con actividades de
este tipo se busca resaltar las invariantes particular de una figura determinada; en este caso
en particular ¿cuáles son los elementos que siempre estarán en el legajo de una pirámide?
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Figura - Legajo - Figura: Es una actividad donde se reinvierte lo hecho en la variante
anterior. Ahora se les solicita a los alumnos que piensen en qué modificaciones hacerle a
una figura para que se corresponda al legajo de otra figura dada o conocida.
Legajo - Legajo: Imaginemos que a un grupo de quinto grado les solicitamos que escriban
todo lo que saben (legajo) de un paralelogramo genérico. Podríamos obtener uno como el
siguiente:
Es un cuadrilátero. Tiene dos lados cortos iguales y dos lados largos iguales. Los ángulos
no son rectos, hay dos agudos y dos que son obtusos. Los agudos están opuestos y los
obtusos también. Los lados son paralelos dos a dos, los que son opuestos son iguales. Si
las trazas, tenés dos diagonales que no son iguales. Se cortan en el medio y te quedan
cuatro triángulos. El perímetro lo hacés sumando los lados o haciendo largo por dos, ancho
por dos y lo sumás. También tienen área, hacés largo o base por altura. Es una figura del
plano con cuatro lados y con cuatro vértices.
En la variante que llamamos legajo-legajo el docente propone trabajar sobre el legajo
producido o generado por otro. Se podría, por ejemplo, comentar que se cree que en ese
legajo hay información que está demás, que es redundante y se les pide eliminarla. Ir en
busca de las características esenciales de una figura -en este caso el paralelogramo
contribuye a la construcción de una definición matemática de la figura en cuestión.
Se consideró la clasificación de Ariel Fripp y Carlos Varela:
1- Actividad de Representación.
CHM; 5° año; página N° 10.
16. 16
2- Actividad de Copia.
CHM; 3°; páginas N° 28 y N° 29
3- Actividad de Comunicación.
CHM; 6° año; página N° 13.
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Elementos que no pueden dejar de considerarse en la planificación:
CLASE:
CONTENIDO
GEOMÉTRICO
A ENSEÑAR:
ORGANIZACIÓN
DE LA CLASE:
TIPO
DE ACTIVIDAD:
TAMAÑO
DEL ESPACIO:
CONSIGNA: MATERIALES/
RECURSOS:
Sostenemos, como lo plantea Ponce (2003) que en estas actividades, como en
toda actividad de enseñanza, el docente tendría que realizar adecuadas intervenciones
que garanticen la continuidad en el proyecto de aprendizaje geométrico. El autor da
algunos ejemplos de posibles intervenciones docentes que relacionan lo que los alumnos ya
saben con los nuevos problemas que se proponen:
● Hoy vamos a volver a copiar una figura, pero antes de hacerlo vamos a leer las
conclusiones de la clase pasada para ver si nos ayudan a copiar mejor.
● En la clase pasada Marcela dijo que es mejor hacer una marquita en la hoja antes
de dibujar para saber hasta dónde llega la línea. Veamos si ese consejo nos sirve
para la copia de hoy.
● Hoy vamos a copiar una figura como el otro día, pero Martín no estaba ¿qué consejo
le podríamos dar antes de que empiece para que no se equivoque?"
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Respecto a la evaluación será importante considerar las técnicas de análisis de
desempeño de los estudiantes, ya que éstas permiten recoger información con el fin de
examinar los aciertos y los errores, los avances y las áreas de oportunidad con la finalidad
de mejorar el aprendizaje y la intervención. Entre ellas se destacan las rúbricas y las listas
de cotejo.
Las rúbricas: son guías precisas que valoran los aprendizajes y productos realizados. Son
tablas que desglosan los niveles de desempeño de los estudiantes en un aspecto
determinado, con criterios específicos sobre rendimiento. Indican el logro de los objetivos
curriculares y las expectativas de los docentes.
Las listas de cotejo: permiten valorar la ausencia o presencia de acciones, actitudes,
destrezas u otros aspectos para verificar el cumplimiento de tareas durante el proceso de
aprendizaje. Pueden ser adaptadas a múltiples temas y contextos educativos con diferentes
grados de complejidad.
Por otra parte, las herramientas digitales de evaluación, ofrecen oportunidades de
autoevaluación y coevaluación, brindando elementos para la reflexión, lo que también
favorece el desarrollo de la metacognición. Se destacan en este grupo Kahoot
(cuestionarios que el estudiante responde en su propio dispositivo) y Quizizz (cuestionarios
gamificados). Las propias propuestas de las evaluaciones en línea SEA (adaptables), se
convierten en una eficiente herramienta de evaluación cuando el docente tiene clara la
intencionalidad con que la utiliza.
● ITZCOVICH, Horacio (2008): La Matemática escolar: las prácticas de enseñanza en el aula.
Bs. As. AIQUE.
● ITZCOVICH, Horacio (2005): Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. Bs. As. Libros
del Zorzal.
● FRIPP, Ariel; VARELA, Carlos (2012): PENSAR geométricaMENTE. Ideas para desarrollar el
trabajo en el aula. Mdeo. Grupo Magro editores.
● RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz; XAVIER DE MELLO, María (2005): EL QUEHACER
MATEMÁTICO EN LA ESCUELA. Construcción colectiva de docentes uruguayos. FUM-TEP.
Fondo editorial QUEDUCA..
● PARRA,Cecilia; SAIZ, Irma (1997): Didáctica de matemáticas Aportes y reflexiones. Bs.As.
PAIDÖS EDUCADORES.
● CORUJO, Mariana; DAMISA, Carla; EASTON, Verónica;MÉNDEZ, Virginia (2022):
Racionalidad escondida. La generalización en la matemática escolar. Mdeo. Grupo Magro
editores.
● Cuadernos de hacer matemática de 1° a 6° año; ANEP, DGEIP.
● Especificaciones para el docente, Cuadernos para hacer matemática; ANEP, DGEIP.
● Circular N° 5/16 de Inspección Técnica: Planificación. ANEP.
● ANIJOVICH,Rebeca; GONZÁLEZ, Carlos (2011): Evaluar para aprender. Bs. As. AIQUE
Educación.
