Digital Signal Processing Concepts Explained

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 2
SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
Solo poco podemos ver del futuro, pero lo suficiente
para darnos cuenta que hay mucho que hacer.
– Alan Turing

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
Sistemas en tiempo discreto
Sistemas discretos LTI

Causalidad de un sistema discreto
Cualquier aplicación en tiempo real exige causalidad, dado que en un
instante de tiempo 𝑛 no disponemos de los valores futuros de la entrada.
Sólo los valores presentes y pasados se encuentran disponibles para
calcular la salida.
Entonces un sistema LTI es causal si y solo si su respuesta al impulso es
cero para los valores negativos de 𝑛
ℎ(𝑛) = 0 para valores 𝑛 < 0
Esta condición restringe la fórmula de la convolución
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
∞
ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)
Rev. Abril/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3

Causalidad de los sistemas discretos LTI
Si a un sistema causal se le aplica una señal causal, se restringe aún mas
los límites del sumatorio de la convolución de un sistema LTI
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
ℎ 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 =
𝑘=0
𝑛
𝑥 𝑘 ℎ(𝑛 − 𝑘)

Ejemplo 2.8: (Proakis, Ejemplo 2.3.5, pág. 76) Determine la respuesta al
escalón unitario del sistema lineal invariante en el tiempo con una
respuesta al impulso
ℎ 𝑛 = 𝑎𝑛𝑢 𝑛 , 𝑎 < 1
Solución: Tanto la señal de entrada como la respuesta del sistema son
causales, se puede usar la forma para la convolución acotada. Dado que
𝑥 𝑛 = 1 para valore de 𝑛 ≥ 0, es mas sencillo utilizar
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
ℎ 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘
Sustituyendo
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑎𝑘
= 1 + 𝑎1
+ 𝑎2
+ ⋯ + 𝑎𝑛

Ejemplo 2.8: (Proakis, Ejemplo 2.3.5, pág. 76)
Lo que tiene la forma de una serie finita
𝑦 𝑛 =
1 − 𝑎𝑛+1
1 − 𝑎
𝑦 𝑛
𝑛
𝑎 = 0.9

Estabilidad de los sistemas discretos LTI
Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si su respuesta al
impulso es absolutamente sumable, es decir
𝑆ℎ ≡
𝑘=−∞
∞
ℎ 𝑘 < ∞
Lo anterior implica que la respuesta de ℎ 𝑛 a un impulso unitario tiende a
cero conforme 𝑛 tiende a infinito
lim
𝑁→∞
𝑦 𝑛𝑜 + 𝑁 = 0
Este resultado implica que cualquier excitación en la entrada del sistema
que tenga una duración finita, produce una salida de naturaleza transitoria;
es decir, su amplitud disminuye con el tiempo y desaparece casi totalmente
cuando el sistema es estable.

Ejemplo 2.9: (Proakis, Ejemplo 2.3.7, pág. 78) Determine el rango de
valores de 𝑎 y 𝑏 para que el sistema lineal invariante en el tiempo con la
respuesta al impulso
ℎ 𝑛 =
𝑎𝑛, 𝑛 ≥ 0
𝑏𝑛, 𝑛 < 0
es estable
Solución: Este sistema es no causal. La condición de estabilidad indica que
ℎ(𝑛) es absolutamente sumable. Si hacemos ℎ(𝑛) sea
𝑛=−∞
∞
ℎ 𝑛 =
𝑛=0
∞
𝑎 𝑛 +
𝑛=−∞
−1
𝑏 𝑛
Podemos encontrar el rango de valores de 𝑎 y 𝑏 para el que ℎ 𝑛 es
estable.

Para el primer término de lado derecho
𝑛=0
∞
𝑎 𝑛
= 1 + 𝑎 + 𝑎 2
+ ⋯
La serie geométrica infinita de la derecha converje a
𝑘=0
∞
𝑎 𝑛 =
1
1 − 𝑎
Siempre que el valor de 𝑎 < 1, la sumatoria converge a un valor finito. Por
lo tanto implica que ℎ 𝑛 disminuye exponencialmente hacia cero cuando 𝑛
tiende a infinito para que el sistema sea estable.

Para el segundo término de lado derecho
𝑘=−∞
−1
𝑏 𝑛
=
𝑛=1
∞
1
𝑏 𝑛
=
1
𝑏
1 +
1
𝑏
+
1
𝑏 2
+ ⋯
= 𝛽 1 + 𝛽 + 𝛽2 + ⋯ =
𝛽
1 − 𝛽
donde 𝛽 = 1 𝑏 tiene que ser menor que la unidad para que la serie
geométrica converja. En consecuencia, para que el sistema sea estable
𝑎 < 1 y 𝑏 > 1.

Sistema LTI de respuesta finita, FIR
La convolución para un sistema LTI de respuesta impulsional finita (FIR,
finite-duration impulse response)
ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 ≤ 0 y 𝑛 ≥ 𝑀
Es
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
𝑀−1
Esta expresión indica que la salida en cualquier instante 𝑛 se obtiene como
la suma ponderada de la siguientes muestras de la señal de entrada:
𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛 − 1), … , 𝑥(𝑛 − 𝑀 + 1). Es decir, el sistema solo pondera y suma
los productos de las M muestras mas recientes. Se dice que un sistema
FIR tiene memoria finita.

Sistema LTI de respuesta infinita, IIR
Un sistema LTI con respuesta infinita (IIR, Infinite-duration impulse
response) tiene como expresión de convolución
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
∞
Donde se ha supuesto causalidad, aunque no es necesario. En este caso,
el sistema pondera y suma los productos de la muestra presente y todas
las pasadas de la señal de entrada, de tal forma que decimos que el
sistema tiene memoria infinita.
La implementación práctica de un sistema IIR es imposible en su forma de
convolución, no obstante una familia IIR puede expresarse mejor mediante
ecuaciones en diferencias.

Sistemas discretos recursivos y no recursivos
Un sistema recursivo es aquel que para calcular la salida presente necesita
como parte de las señales de entrada, la salida o salidas de instantes
pasados. En otras palabras, es un sistema con realimentación.
 
)
(
),...,
1
(
),
( m
n
x
n
x
n
x
F 

x(n) y(n)
Sistema No recursivo
 
)
(
),...,
(
),
(
),...,
1
( M
n
x
n
x
M
n
y
n
y
F 


z-1
Sistema Recursivo (no lineal)
x(n) y(n)

Ejemplo 2.10: Determinar si la función para obtener la media acumulada de
una señal 𝑥(𝑛) es recursiva y obtener su diagrama a bloques
𝑦 𝑛 =
1
𝑛 + 1
𝑘=0
𝑛
𝑥 𝑘 , 𝑛 = 0,1, …
Solución: evaluando para cada 𝑛
𝑛 = 0 𝑦 0 = 𝑥 0
𝑛 = 1
𝑦 1 =
1
2
𝑥 0 + 𝑥 1
=
1
2
𝑦 0 + 𝑥 1
1
n+1
x(0) y(0)
1
n+1
Z-1
y(1)
x(1)
x(0)

Ejemplo 2.10:
Simplificando para todo 𝑛
𝑦 𝑛 =
1
𝑛 + 1
𝑘=0
𝑛
𝑥 𝑘
𝑦 𝑛 =
1
𝑛 + 1
𝑛𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
𝑛 = 2
𝑦 2 =
1
3
𝑥 0 + 𝑥 1 + 𝑥 2
=
1
3
𝑦 0 + 𝑥 1 + 𝑥 2
=
1
3
2𝑦 1 + 𝑥 2
Z-1
y(2)
x(2)
1
n+1
Z-1
x(1) x(0)
x(n) y(n)
z-1
1
n+1
n Si es recursivo

Ejemplo 2.10:
𝑦 𝑛 para x 𝑛 = 𝛿 𝑛
𝑦 𝑛 para 𝑥 𝑛 = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
La media acumulada calcula el promedio de todos los valores pasados de 𝑥
desde el valor actual.

Ejemplo 2.10:
Código en Matlab
N=100;
k=-1:1:N-1;
x=[zeros(1,1),ones(1,1),zeros(1,N-1)]; % Impulso unitario
% ciclos=8;
% x = 0.5*(1+square(ciclos*(2*pi)*k/N)); % Función cuadrada
y=zeros(1,N);
for n=1:N
y(n+1)=(1/((n-1)+1))*((n-1)*y(n)+x(n+1));
end
graf=[x',y'];
figure(1)
stem(k',graf)

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