Queste slide mostrano come si calcola la frazione generatrice di un numero periodico nei diversi casi, motivando l'algoritmo usato

1. Calcolo della
frazione generatrice
di un numero periodico

2. Numeri e periodicità (1)
• Si usa dire che "un numero x è periodico", ma
è inesatto: la periodicità non è una proprietà
inerente al numero in sé, ma soltanto alla sua
rappresentazione in una data base.
• L'unica cosa che si può dire è se la rappre-
sentazione di un numero x∈R in una certa
∈
base è o non è periodica, ma non altro
– i numeri irrazionali, ovvamente, sono un caso a sé
• Di conseguenza, cambiando di base le cose
possono cambiare.

3. Numeri e periodicità (2)
• Perché la periodicità dipende dalla base?
• Perché ogni numero razionale x∈Q può esse-
∈
re scritto in forma di frazione, e la periodicità
o meno della forma decimale dipende da
come è fatta la forma fratta.
• In particolare, la rappresentazione non sarà
mai periodica se si assume come base il
denominatore della frazione:
1/310 = 0,33333…10 ma 1/33 = 3–1 = 0,13

4. Numeri e periodicità (3)
• In pratica, quindi, cos'è che determina se la
rappresentazione di un numero in una data
base è periodica o meno ?
• È l'insieme dei fattori primi che costituisco-
no la base: sono quelli, infatti, i "mattoni ele-
mentari" con cui si esprime il valore.
Se bastano per esprimere il denominatore
della frazione, la rappresentazione sarà finita;
se non bastano, sarà periodica.
1/210 = 0,510 perché la base 10 contiene il 2 (e 5)
1/310 = 0,333..10 perché la base 10 non contiene 3

5. Numeri periodici e Frazioni
• Ma come si calcola la frazione corri-
spondente a un dato numero periodico?
Ad esempio, come si calcola la frazione corrispon-
dente a:
0,33333… 0,166666…
0,13333… 0,214444…
• Per dedurre un algoritmo occorre partire
dal significato stesso di "notazione
posizionale".

6. Definizioni
• Dato un qualunque x∈Q, si può porre
x = a+b con a∈N, b∈R, b<1
∈ ∈
Il problema si riduce quindi al calcolo di b
• Per calcolare la parte decimale b, è utile
scriverla come sequenza di cifre:
b è rappresentata da "0. b1 b2 b3 …"
e guardare innanzitutto da che punto sia
periodica, osservando se ci sia o meno una
parte iniziale che non si ripete (antiperiodo)

7. Impostazione analitica (1)
• Come primo caso, supponiamo che non ci
sia alcun antiperiodo e che la parte che si
ripete sia una singola cifra:
b è rappresentato da "0.dddddd…"
• Il valore di tale sequenza si esprime come
b = d * 10-1 + d * 10-2 + d * 10-3 + …
dove d è una cifra fra 0 e 9 inclusi
(in realtà il 9 come vedremo sarà escluso)

8. Impostazione analitica (2)
• Sviluppando il calcolo:
b = Σ d * 10-k con k ≥ 1
ovvero
b = (d/10)*Σ 10-k con k ≥ 0
• Poiché la sommatoria è una serie geome-
trica con ragione z<1, la sua somma è nota
e vale 1/(1-z), ovvero qui 1/(1-1/10) = 10/9
• Pertanto,
b = (d/10)*(10/9) = d/9

9. Impostazione analitica (3)
• Dunque, mettendo tutto insieme, il numero
razionale b<1, rappresentato dalla sequen-
za di cifre "0.dddddd…", è espresso in
modo esatto dalla frazione "d/9".
Esempi:
0,33333… 3 / 9 = 1/3
0,77777… 7 / 9 = 7/9
0,99999… 9 / 9 = 1 !!! assurdo
Quest'ultimo caso viene escluso per evitare che l' 1
abbia una doppia rappresentazione.

10. Impostazione analitica (4)
• E se la parte periodica non è costituita da
una singola cifra?
Esempio: 0,212121… ???
• Si ripete analogo ragionamento, ma con:
b = Σ d1 d2 …dh * 10-hk con k ≥ 1
da cui:
b = (d1 d2 …dh/10h)*(10h/99…9) = d/9..999
con tanti 9 quante erano le cifre del periodo.
Esempio: 0,212121… 21/99 = 7/33

11. Oltre il caso base: parte intera
• Se x ha anche una parte intera non nulla,
x = a+b con a∈N, b∈R, b<1
∈ ∈
il problema cambia di poco: una volta
determinata la frazione corrispondente a b,
basta addizionare a.
Esempi:
1,33333… 1 + 3 / 9 = 1 + 1/3 = 4/3
2,77777… 2 + 7 / 9 = 25/9
1,212121.. 1 + 7 /33 = 40/33

12. Caso con antiperiodo (1)
• Se b presenta un parte che non si ripete
(antiperiodo), si può assimilare tale sezio-
ne a una parte intera, spostando la virgola e
dividendo poi per opportuna potenza di 10.
• Partendo dal caso base, se
b è rappresentato da "0.c1c2…cnddd…"
si può scriverlo come
"c1c2…cn . ddd…" / 10n

13. Caso con antiperiodo (2)
• Ergo, poiché la parte periodica è espressa
dalla frazione "d/9", b si esprime come:
"c1c2…cn . ddd…" / 10n
ovvero
("c1c2…cn " + d/9)/ 10n
ovvero ancora come:
(9 * "c1c2…cn " + d)/(9* 10n )
• Questa formula è usabile, ma è scomoda.

14. Caso con antiperiodo (3)
• Infatti, usare direttamente la formula:
(9 * "c1c2…cn " + d)/(9 * 10n )
significa che la frazione cercata deve:
– avere come denominatore un 9 seguito da tanti 0 quante
sono le cifre dell'antiperiodo;
– avere come numeratore il prodotto 9 * antiperiodo + d
ma questa operazione è scomoda da fare velocemente.
Esempi:
0,166666… (9*1+6) / 90 = 15/90 = 1/6
0,214444… (9*21 + 4) / 900 = 193/900

15. Caso con antiperiodo (4)
• La formula può essere migliorata osservan-
do che, in generale, 9 x = 10 x –x. Ergo,
(9 * "c1c2…cn" + d)/(9 * 10n )
può essere riscritta come:
(10 * "c1c2…cn" + d - "c1c2…cn")/(9 * 10n )
ovvero, per il significato stesso di notazio-
ne posizionale:
("c1c2…cd" - "c1c2…cn")/(9 * 10n )

16. Caso con antiperiodo (5)
• Questa formula è molto più semplice:
("c1c2…cd" - "c1c2…cn")/(9 * 10n )
in quanto afferma che la frazione cercata:
– ha come denominatore un 9 seguito da tanti 0 quante sono
le cifre dell'antiperiodo (come nel caso precedente);
– ha come numeratore la differenza fra tutte le cifre(*) e le
sole cifre dell'antiperiodo (semplice da fare velocemente).
Esempi:
0,166666… (16-1) / 90 = 15/90 = 1/6
0,214444… (214 - 21) / 900 = 193/900
(*) Le cifre periodiche sono prese una volta sola.

17. Caso con antiperiodo (6)
• Riassumendo, e generalizzando al caso con
parte periodica anche di più cifre, si può
dire che la frazione cercata deve avere:
– come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del
periodo seguiti da tanti 0 quante le cifre dell'antiperiodo;
– come numeratore la differenza fra tutte le cifre(*) e le sole
cifre dell'antiperiodo
Esempi:
0,166666… (16-1) / 90 = 15/90 = 1/6
0,2212121… (221 - 2) / 990 = 219/990
(*) Le cifre periodiche sono prese una volta sola.