Este documento trata sobre geometrías y la forma posible del universo. Explica cómo los seres bidimensionales llamados planilandios podrían imaginar diferentes formas para su universo 2D pegando los lados de un polígono. De manera análoga, nosotros en un universo 3D podríamos obtener diferentes formas pegando los lados de un poliedro. Además, discute cómo asignar geometrías esférica, plana o hiperbólica a variedades de 2 o más dimensiones dependiendo de si se pueden "sumer

1. Coloquio de orientación Matemática
Efraín Vega Landa
Geometrías

2. Imaginen que los convierten en
Planilandios

3. ¿Cómo se vería su planeta?

4. ¿Cómo sería el universo de los
planilandios?
¿Un pedazo de plano?

5. ¿Un plano infinito?

6. ¿Podría tener área finita su
universo?

11. ¿Cómo podrían descubrir la forma
de su universo 2D?

14. Ahora pensemos en…
¡Nuestro universo!

15. ¿Qué forma tiene?

17. ¿Por qué no podemos ahora ver las
posibles formas del universo como
lo hacíamos en el caso 2D?

18. ¡Porque nuestro espacio geométrico
es tridimensional!

19. ¿Cómo es que un planilandio puede
imaginar un toro?

21. =

22. Si pegamos solo un par de lados
opuestos del cuadrado obtenemos
un cilindro

23. Si identificamos el par de lados
opuestos al revés obtenemos la
banda de Mobius

24. Si identificamos ahora ambos pares
de lados opuestos, uno al derecho y
el otro al revés obtenemos una
botella de Klein

26. Un planilandio puede obtener un
posible universo (2-variedad)
pegando los lados de un polígono

27. De la misma forma nosotros como
seres 3D podríamos obtener un
posible universo (3-variedad)
pegando los lados de un poliedro
¿Cómo sería
nuestro universo si
tuvieran que pegar
los lados de este cubo?

28. Toro tridimensional

29. Otras 3-variedades que se obtienen
identificando caras de poliedros

30. ¿Nuestro universo tiene la forma de
cual de éstas 3-variedades?
Nadie lo sabe

32. Hemos motivado con la pregunta
¿qué forma tiene nuestro universo?
el concepto de variedad
¿Cómo asignamos
una geometría
a una variedad?

33. En 2 dimensiones toda variedad
(superficie) puede admitir una tres
geometrías especiales
Esférica
Plana
Hiperbólica

34. ¿Cómo asignar una geometría a la variedad?
Viendo a la variedad “sumergida” en
el plano euclidiano, la esfera, o el
plano hiperbólico

35. ¿El doble toro puede estar
“inmerso” en el plano euclidiano?

36. Al hacer el pegado en el plano
euclidiano los ángulos del octágono
no ajustan, su suma excede a 2

37. En el plano hiperbólico podemos
encontrar un octágono cuyos
ángulos interiores sean 2 /8 para
que al pegar su suma sea 2

38. Con el octágono podemos teselar el
plano hiperbólico
El doble toro adquiere la geometría del
plano hiperbólico

39. Casi todas las superficies son
hiperbólicas, es decir, se pueden
obtener de alguna teselación del
espacio hiperbólico

40. ¿Qué pasa en el caso de las 3-
variedades?

41. A las 3-variedades también se les
pueden dar geometrías…
Pero ahora serán 8 las posibles...
Conjetura de geometrización de
Thurston
cuya prueba fue concluida con los
trabajos de Perelman y Hamilton

43. Gracias