integral tak tentu dan integral tentu

1. INTEGRAL TAK TENTU DAN INTEGRAL
TENTU

2. 2
INTEGRAL TAK TENTU
Definisi
Kita sebut F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu
bilangan konstan.
Proses mencari anti turunan disebut juga proses pengintegralan. Hasilnya
disebut integral tak tentu(anti turunan) dari f
Notasi :
I
x
x
f
x
F 

= )
(
)
(
'
f x dx F x C
( ) ( )
= +


3. TEOREMA A : ATURAN PANGKAT
Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali (-1), maka :
C
x
dx
x r
r
r
+
=

+
+
1
1
1
Untuk 𝑟 = 0, ‫׬‬ 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Ex:

4. TEOREMA B
‫׬‬ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
‫׬‬ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

5. TEOREMA C : KELINEARAN INTEGRAL TAK TENTU
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah
konstanta, maka
1.  k f(x) dx = k  f(x) dx
2.  [ f(x) + g(x) ] dx =  f(x) dx +  g(x) dx
3.  [ f(x) - g(x) ] dx =  f(x) dx -  g(x) dx

6. TEOREMA D ATURAN PANGKAT YANG DIPERUMUM
C
x
g
dx
x
g
x
g r
r
r
+
=

+
+
1
1
1
)]
(
[
)
(
'
)]
(
[
Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional
bukan (-1), maka :
1
,
1
1
1

+
=

+
+ r
C
u
du
u r
r
r

7. CONTOH
1. ‫׬‬ 𝑥4
+ 3𝑥 30
4𝑥3
+ 3 𝑑𝑥
Penyelesaian : Andaikan 𝑔 𝑥 = 𝑥4
+ 3𝑥; maka 𝑔′
𝑥 = 4𝑥3
+ 3. Jadi, menurut
teorema D,
‫׬‬ 𝑥4 + 3𝑥 30 4𝑥3 + 3 𝑑𝑥 = ‫׬‬ 𝑔(𝑥) 30𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑔(𝑥) 31
31
+ 𝐶
=
1
31
𝑥4 + 3𝑥 31 + 𝐶
2. ‫׬‬ 𝑠𝑖𝑛10
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian : Andaikan 𝑔 𝑥 = sin 𝑥; maka 𝑔′
𝑥 = cos 𝑥. Jadi
‫׬‬ 𝑠𝑖𝑛10
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ‫׬‬ 𝑔(𝑥) 10
𝑔′
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑔(𝑥) 11
11
+ 𝐶 =
1
11
𝑠𝑖𝑛11
𝑥 + 𝐶

8. INTEGRAL SUBSTITUSI
Teorema A
(Substitusi dalam Integral TakTentu) . Andaikan 𝑔 fungsi yang dapat diintegralkan dan
andaikan bahwa 𝐹 adalah antiturunan 𝑓. Maka, jika 𝑢 = 𝑔 𝑥 ,
‫׬‬ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = ‫׬‬ 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶

9. INTEGRAL PARSIAL
PENGINTEGRALAN PARSIAL – INTEGRAL TAK TENTU
න 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢

10. INTEGRAL TENTU
Teorema Kalkulus yg penting
Jika fungsi f(x) kontinu pada interval
a ≤ x ≤ b, maka
dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x) pada a ≤ x ≤ b.
 −
=
b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

11. CONTOH
1. ‫׬‬
−1
2
4𝑥 − 6𝑥2
𝑑𝑥
Penyelesaian :
‫׬‬
−1
2
4𝑥 − 6𝑥2
𝑑𝑥 = 2𝑥2
− 2𝑥3
−1
2
= 8 − 16 − 2 + 2 = −12
2. ‫׬‬
0
4
𝑥2 + 𝑥 2𝑥 + 1 𝑑𝑥
Penyelesaian : Andaikan u = 𝑥2 + 𝑥; maka du = (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥.
Untuk 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 0, 𝑥 = 4 ⇒ 𝑢 = 20
න
0
4
𝑥2 + 𝑥 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = න
0
20
𝑢 ൗ
1
2 𝑑𝑢 =
2
3
𝑢 ൗ
3
2
0
20
=
2
3
(20) ൗ
3
2

12. CONTOH
3. carilah area di bawah kurva dari fungsi berikut ‫׬‬
1
3
𝑥2
+ 1 𝑑𝑥
Penyelesaian :
‫׬‬
1
3
𝑥2
+ 1 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3
+ 𝑥
1
3
= 9 + 3 −
1
3
+ 1 = 10
2
3
1
)
( 2
+
= x
x
f

13. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU
INTEGRAL

14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU
INTEGRAL

15. LATIHAN SOAL
1. Carilah antiderivatif / integral fungsi berikut
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 3 d) ‫׬‬ 15𝑥2 + 3 5𝑥3 + 3𝑥 − 8 6 𝑑𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 −
2
𝑥3 e)‫׬‬
3𝑦
2𝑦2+5
𝑑𝑦
c) 𝑓 𝑥 =
4𝑥6+3𝑥4
𝑥3
2. Carilah integral tentu berikut
a) ‫׬‬
1
4 1
𝑤2 𝑑𝑤 c) ‫׬‬
0
1
𝑥2 + 1 10 2𝑥 𝑑𝑥
b) ‫׬‬
0
Τ
𝜋
2
cos 𝑥 𝑑𝑥 d) ‫׬‬
5
8
3𝑥 + 1 𝑑𝑥