guia de razones y proporciones 3m eso

1. RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente
entre ellas. Se escribe a : b o
a
b
, se lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b
consecuente.
El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:
a
b
= k →
→
→
→ Valor de la razón
EJEMPLOS
1. Un sitio rectangular cuyas dimensiones son 0,06 km de largo y 20 m de ancho, la razón
entre el largo y el ancho, respectivamente es:
A) 3 : 1.000
B) 3 : 100
C) 3 : 10
D) 3 : 1
E) 3 : 0,1
2. El antecedente de un razón equivalente a 36 : 48, de consecuente 20 es
A) 3
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
3. La escala de un plano es 2 : 75.000. Si al medir la distancia entre dos puntos de un
plano se obtiene 5 centímetros, ¿cuál es la distancia real que separa a ambos puntos?
A) 18,75 kilómetros.
B) 1.875 metros
C) 300 metros
D) 3.000 centímetros
E) 1.875 centímetros
UNIDAD Nº 5

2. 2
4. En un jardín infantil el valor de la razón entre niños y niñas es 3,5. Si el número de
niños es 140, entonces el número de niñas es
A) 80
B) 40
C) 30
D) 20
E) 10
5. La densidad poblacional es la cantidad de individuos existentes en una población en
relación con la superficie en que habitan. Sabiendo que en una localidad de 80.000 km2
habitan 800.000 personas, ¿cuál es el grado de concentración (densidad) de individuos
en el territorio?
A)
1
10 2
hab
km
B) 5
2
hab
km
C) 10
2
hab
km
D) 15
2
hab
km
E) 20
2
hab
km
6. En un fundo donde hay 80 animales, 16 son caballos, 24 son vacas y el resto son
terneros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Por cada 2 caballos que hay 3 son vacas.
II) La razón entre terneros y el total de animales del fundo es 1 : 2.
III) La razón entre vacas y terneros es 3 : 5.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

3. 3
PROPORCIÓN
Es una igualdad formada por dos razones:
a c
=
b d
o a : b = c : d y se lee
“a es a b como c es a d”, donde a y d son los extremos; b y c son los medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL: “En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios”.
OBSERVACIÓN: Dada la proporción
a c
=
b d
, existe una constante k, tal que
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones conforman una proporción?
I)
5 10
y
4 8
II) 6 : 3 y 18 : 9
III)
3,5 21
y
2 8
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
a c
= a d= b c
b d
⇔ ⋅ ⋅
⇔ ⋅ ⋅
⇔ ⋅ ⋅
⇔ ⋅ ⋅
a = c · k, b = d · k, k ≠ 0

4. 4
2. El trazo AB de la figura 1, mide 90 cm y está dividido interiormente por un punto P en
la razón 2 : 3. ¿Cuánto mide la mitad del segmento mayor?
A) 18 cm
B) 27 cm
C) 36 cm
D) 45 cm
E) 54 cm
3. El valor de x en la proporción
0,25 1,5
=
3 x
es
A)
1
8
B)
1
2
C) 6
D) 8
E) 18
4. En un curso se sabe que la cantidad de niños y niñas están, respectivamente, en la
razón 5 : 3. ¿Cuántas niñas hay si el número de niños es 60?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 36
E) 54
5. Las edades de dos personas están en la razón 4 : 6. Si el mayor tiene 36 años, ¿qué
edad tiene el menor?
A) 18
B) 24
C) 36
D) 54
E) 72
6. Si x : y = 3 : 5 y x : z = 6 : 4, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es
falsa, sabiendo que y = 15?
A) 2x = 18
B) x + y = 24
C) z : 2 = 12
D) 2y = 30
E) x - z = 3
A B
P
fig. 1

5. 5
SERIE DE RAZONES
Es la igualdad de dos o más de dos razones. La serie de razones
x y z
= =
a b c
, también se
escribe como x : y : z = a : b : c.
PROPIEDAD BÁSICA
Para la serie de razones:
a c e a + c + e
= = =
b d f b + d + f
EJEMPLOS
1. Si a : b = 2 : 3 y b : c = 6 : 7, entonces a : b : c =
A) 2 : 6 : 7
B) 4 : 6 : 7
C) 6 : 9 : 21
D) 2 : 3 : 7
E) 6 : 18 : 21
2. Las edades de tres hermanas: Valentina, Constanza y Josefa, son entre sí como
3 : 4 : 7, respectivamente. Si sus edades suman 42 años, entonces la edad de Josefa
es
A) 21 años
B) 12 años
C) 9 años
D) 6 años
E) 3 años
3. Si
a b c
= =
1 2 3
y a + b + c = 18, entonces 2a + 3b – c es igual a
A) 6
B) 8
C) 12
D) 15
E) 26

6. 6
4. En el ∆ABC de la figura 2, α : β : γ = 3 : 7 : 2. Si α + β + γ = 180º, entonces
2α – β + 5γ =
A) 105º
B) 135º
C) 180º
D) 220º
E) 315º
5. Los ángulos interiores de un trapezoide, cuya suma es 360º, son entre sí como
3 : 4 : 5 : 6. Entonces, el ángulo menor mide
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 120º
6. En un taller para pulir la pintura de 25 autos han trabajando 3 maestros que pulieron
7, 5 y 13 autos, respectivamente y por este trabajo les pagaron en total $ 37.500. El
maestro que más pulió propuso repartir el dinero equitativamente y no en proporción al
número de autos que cada uno pulió. ¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) En el reparto equitativo cada uno hubiese recibido $ 12.500.
II) El que más autos pulió perdería $ 7.000 con respecto al reparto
proporcional.
III) El que menos autos pulió ganaría $ 3.000 con respecto al reparto
proporcional.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
A
B
C
β
α
γ
fig. 2

7. 7
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables x e y son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.
1 2 3 n
1 2 3 n
x x x x
= = = ... = = k
y y y y
(k constante)
Así por ejemplo, la tabla muestra la elaboración de jugo de manzana, de cada 15 kg de
manzana se obtiene 9 litros de jugo.
Podemos observar que
x
y
=
5
3
EJEMPLOS
1. P y Q son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla
, a + b =
A) 5
B) 16
C) 64
D) 69
E) 128
En una proporción directa, si una
magnitud aumenta (disminuye) n veces,
la otra aumenta (disminuye) el mismo
número de veces
Dos magnitudes son directamente
proporcionales si al representar los pares
de valores, los puntos se sitúan en una
recta que pasa por el origen (fig. 3)
Peso (kg) 5 10 15 x
Volumen (Lt) 3 6 9 y
P a 8 3
Q 40 b 24
5 10 15 kg. de
manzanas
Litros de jugo
0
3
6
9
Aumenta
Aumenta
fig. 3

8. 8
2. Se sabe que 2a y 3b representan números directamente proporcionales. Cuando
a = 6, b vale 8, entonces ¿cuál es el valor de 2b cuando a = 12?
A) 48
B) 32
C) 24
D) 16
E) 12
3. Según el gráfico de la figura 4, x e y son magnitudes directamente proporcionales.
Entonces, ¿cuál es el valor de c + d?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 42
4. 250 gramos de cierto alimento aporta 0,5 calorías. ¿Cuántas calorías aporta 4,5 kg de
alimento, similar al anterior?
A) 2,25
B) 7,5
C) 8
D) 9
E) 10
5. Si 3
p varía directamente con q y cuando p = 8, q vale 4, entonces ¿cuál es el valor de
p cuando q = 6?
A)
64
27
B) 9
C) 27
D) 64
E) 216
fig. 4
4
x
y
3 c
8
9
d

9. 9
PROPORCIONALIDAD INVERSA Y COMPUESTA
Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre las
cantidades correspondientes se mantiene constante.
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = … = xn · yn = k (k constante)
Así por ejemplo, la tabla de la figura 5 muestra las medidas posibles de los lados de un
rectángulo de área 24 cm2
.
Podemos observar que x · y = 24
El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera. (fig. 5)
La proporcionalidad compuesta es la combinación de proporcionalidades directas,
inversas o ambas
EJEMPLOS
1. Las cantidades ubicadas en las columnas A y B en la tabla de la figura 6, son
inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de P – Q?
A) 1,5
B) 3,0
C) 4,5
D) 7,5
E) 30,0
2. Las variables x e y son inversamente proporcionales y cuando x vale 9, y vale 20.
¿Cuál es el valor de y, cuando x vale 15?
A) 12
B) 24
C) 30
D) 40
E) 60
fig. 6
A B
5 6
P 4
10 Q
Largo 2 3 4 6 x
Ancho 12 8 6 4 y fig. 5
Largo
1
1 3 4 6 8
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ancho
Aumenta
Disminuye

10. 10
3. El gráfico de la figura 7 representa una hipérbola. De acuerdo a la información
entregada, ¿cuál es el valor de D – 2C?
A) -6
B) 0
C) 6
D) 12
E) 24
4. Se envasa cierta cantidad de líquido en 12 bidones de 20 litros. Si el líquido se
envasara en bidones de 15 litros, ¿cuántos bidones más se necesitarían?
A) 32
B) 16
C) 12
D) 4
E) 3
5. En un taller se han fabricado 1.000 piezas, trabajando 8 horas diarias durante 6 días.
¿Cuántos días son necesarios para fabricar 2.000 piezas trabajando 12 horas diarias?
A) 2
B) 8
C) 12
D) 18
E) 24
6. Diez obreros, trabajando 8 horas diarias, demoran 12 días en efectuar una cosecha.
¿Cuántos obreros se necesitarán para ejecutar la misma cosecha en 4 días, trabajando
6 horas diarias?
A) 12
B) 15
C) 20
D) 24
E) 40
fig. 7
2 C 8 x
4
3
D
y

11. 11
EJERCICIOS
1. En una automotora hay 20 automóviles, 30 camionetas y 10 motos. ¿Cuál es la razón
entre camionetas y el total de vehículos de la automotora?
A)
3
5
B)
1
2
C)
2
3
D)
2
5
E)
1
6
2. Una razón equivalente a
32
40
es
A)
16
5
B)
16
10
C)
10
8
D)
8
10
E)
8
16
3. Si
6 8
=
x 12
, entonces 2x =
A) 81
B) 18
C) 12
D) 9
E) 6

12. 12
4. Si a : b = 3 : 4 y b : c = 12 : 20, entonces a : b : c =
A) 9 : 12 : 20
B) 3 : 12 : 20
C) 9 : 12 : 60
D) 3 : 4 : 20
E) 9 : 4 : 60
5. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de razones no conforman una proporción?
I) 15 : 36 y 20 : 12
II) 21 : 9 y 35 : 15
III) 16 : 12 y 24 : 15
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
6. Si A : B = 5 : 3 y A + B = 16, entonces A · B es igual a
A) 15
B) 16
C) 24
D) 40
E) 60
7. ¿Cuál es el valor de x si
3x + 6 1
=
5x + 8 2
?
A) -4
B) -
1
4
C) 1
D) 4
E) 20
8. La razón entre el número de preguntas de una prueba y la cantidad de minutos
asignados para responderla es 14 : 27. Si la prueba consta de 70 preguntas, ¿cuántos
minutos son los asignados para responderla?
A) 27
B) 36
C) 41
D) 82
E) 135

13. 13
9. Si
x 3
=
10 5
y
21 y
=
12 4
, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son)
verdadera(s)?
I) y = 2x – 5
II) x – y = 1
III)
x 12
=
y 14
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
10. Se sabe que a : b = 2 : 3 y que a : c = 4 : 5. ¿Cuál es el valor de b cuando c = 10?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 42
11. Si
2
a 1
=
4
b
y b = -4, entonces a =
A) 4
B) -4
C) 1
D) -1
E) 16
12. Sean A y B enteros positivos. Si el valor de la razón
A
B
es 0,6, entonces es (son)
siempre verdadera(s):
I) A + B es múltiplo de 8.
II) 6A = 10B
III) A = 6k y B = 10k, siendo k una constante.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

14. 14
13. Si x : y : z = 0,4 : 0,3 : 0,2 y (x + 2y) · z = 20, entonces el valor positivo de 2y es
A) 10
B) 6
C) 3
D) 0,6
E) 0,3
14. Si p, q y r son enteros positivos tales que p : q = 2 : 1 y q : r = 2 : 1, entonces
¿cuál(es) de las aseveraciones siguientes es (son) verdadera(s)?
I) p : r = 8 : 2
II) q : r = 1 : 2
III) p : q : r = 4 : 2 : 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
15. Si
a b c
= =
3 5 2
y a + b + c = 40, entonces 3a + b – 2c =
A) 0
B) 16
C) 22
D) 32
E) 40
16. En la tabla de la figura 1, A y B son magnitudes directamente proporcionales. Entonces,
x2
– y =
A) -34
B) -1
C) 1
D) 7
E) 48
fig. 1
A x 8 2
B 42 y 12

15. 15
17. En el gráfico de la figura 2, x e y son variables directamente proporcionales. Entonces,
el valor de (2a – 1) es
A) 0,5
B) 1,0
C) 1,5
D) 2,0
E) 2,5
18. ¿Cuál(es) de las siguientes tablas corresponde(n) a dos variables inversamente
proporcionales?
I) II) III)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
19. Si 3m kilos de arroz valen $ p, entonces
3
4
kilo valdrá
A) $
9p
4m
B) $
p
4m
C) $
4m
p
D) $
p
m
E) $ 4mp
fig. 2
a a + 1 x
y
3
7
x y
2 36
3 24
4 18
6 12
x y
40 1
20 2
10 4
5 8
x y
3 6
4 8
7 10
9 12

16. 16
12
20. Las variables x e y de la figura 3, son inversamente proporcionales, entonces 3m – 2n
es igual a
A) 10,5
B) 14,0
C) 17,5
D) 21,0
E) 42,0
21. Las cantidades a2
y b son inversamente proporcionales. Si para a = 2, se obtiene
b = 3, entonces ¿cuál sería el valor de a asociado a b = 27?
A)
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
3
2
E) 3
22. En un instituto de 1.400 alumnos, por cada cinco alumnos que estudian Turismo hay
dos que estudian Administración de Empresas. Si en Turismo la relación entre hombres
y mujeres es 3 : 2, respectivamente, ¿cuántos alumnos hombres hay en Turismo?
A) 200
B) 300
C) 400
D) 600
E) 1.000
23. Doce vasos de igual tamaño llenan una jarra, y 3 jarras como la anterior llenan una
botella. ¿Cuántos de estos vasos se necesitan para llenar 3 botellas?
A) 180
B) 108
C) 60
D) 48
E) 36
fig. 3
2 m x
n
4
18
-
y

17. 17
24. En una prueba de matemática de 60 preguntas, el profesor decide hacer por cada 7
preguntas de álgebra, 5 de geometría. ¿Cuántas preguntas de álgebra debe hacer?
A) 12
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
25. La razón entre lo que gasta y lo que ahorra mensualmente una persona es 7 : 2. Si sus
ahorros este mes fueron de $ 148.000, ¿cuál fue su sueldo?
A) $ 1.341.000
B) $ 666.000
C) $ 518.000
D) $ 500.000
E) $ 422.857
26. En una nueva empresa cada uno de tres socios aportan al capital inicial en la razón de
3 : 4 : 5. Después del primer mes deciden que las ganancias, que ascienden a la suma
de $ 840.000, serán repartidas en la misma razón de sus aportes. ¿Cuánto dinero
recibe el que aportó más?
A) $ 350.000
B) $ 280.000
C) $ 240.000
D) $ 210.000
E) $ 120.000
27. La hipérbola del gráfico de la figura 5, muestra la relación entre los lados de un
rectángulo y su área. En base a la información proporcionada por este gráfico, es falso
que
A) el área del rectángulo es 72 cm2
.
B) si el largo del rectángulo es 2 cm, su ancho debe ser 36 cm.
C) las variables largo y ancho son directamente proporcionales.
D) q = t
E) 2t = 4p
2 12 q Largo
2
6
t
Ancho
4
p
fig. 5

18. 18
28. Una persona viajando a 100 km por hora, demora 4 horas en ir de una ciudad a otra.
Si tuviera que demorar 30 minutos menos, ¿a cuántos kilómetros por hora,
aproximadamente, debería viajar?
A) 133
B) 120
C) 114
D) 110
E) 88
29. Si 15 obreros construyen un edificio en 8 meses, ¿cuánto tiempo se demorarían
10 obreros en construir un edificio similar, trabajando el mismo número de horas al día
y en igualdad de condiciones de trabajo?
A) 4,8 meses
B) 6 meses
C) 9 meses
D) 10 meses
E) 12 meses
30. En una fábrica, 6 operarias confeccionan 24 prendas de vestir en un día, utilizando
3 máquinas. ¿Cuántas prendas de vestir iguales a las anteriores producen 3 operarias,
trabajando en las mismas condiciones, pero con 4 máquinas?
A) 9
B) 16
C) 36
D) 48
E) 64
31. Veinte obreros realizan la construcción de un puente en 6 meses, trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuánto tiempo se ocupará en realizar la construcción del puente, en las
mismas condiciones de trabajo, si se duplicara el número de obreros y se redujera a la
mitad el número de horas diarias?
A) 24 meses
B) 12 meses
C) 6 meses
D) 3 meses
E) 1,5 meses

19. 19
32. Sean a y b números positivos. Se puede determinar en que razón están las cantidades
a y b si :
(1) El doble de a es equivalente al triple de b.
(2) La diferencia entre a y b es 10.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
33. Se puede determinar el valor numérico de
x y
y
−
si :
(1) x – y = 4
(2) x : y = 5 : 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
34. A un grupo de estudiantes compuesto por hombres y mujeres que están en la razón
5 : 7, respectivamente, se les hace una encuesta preguntándoles si les gusta o no la
asignatura de matemática. Se puede determinar el número de mujeres que les gusta
matemática si :
(1) La razón entre los que le gusta matemática y los que no les gusta es 1 : 1.
(2) Los estudiantes encuestados son 300.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional