Extremos mínimos y máximos. Crecimiento y decrecimiento de una función. Concavidad de una función. Límites al infinito. Asíntotas horizontales y oblicuas. Análisis de funciones.
PPT GESTIÓN ESCOLAR 2024 Comités y Compromisos.pptx
Valores extremos funciones
1. Matemáticas 1
Valores extremos y comportamiento de las
funciones y de sus gráficas
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
19 de enero de 2023
2. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 2/122
Objetivos
1. Valores máximo y mínimos de una función
2. Aplicaciones
3. Analizar funciones
4. Graficar funciones sabiendo sus propiedades
5. Límites al infinito
6. Asíntotas
3. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 3/122
Contenido
Extremos de funciones
Funciones crecientes y decrecientes, y criterio
de la primera derivada
Concavidad, puntos de inflexión y criterio de la
segunda derivada
Límites al infinito
Trazo de las gráficas de las funciones y de sus
derivadas
Aplicaciones
4. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 4/122
Valores máximos y mínimos de
funciones
9. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 9/122
Valor de la derivada en un extremo
relativo
● Si f es una función diferenciable, entonces los únicos
números posibles c para los cuales f puede tener un
extremo relativo son aquellos en los que f’(c)=0.
● Que f’(c)=0 no significa que haya un extremo relativo
en c.
14. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 14/122
En otras palabras
● Si una función f está definida en un número c,
una condición necesaria para que f tenga una
extremo relativo en c es que f’(c)=0 o que f’(c)
no exista.
¡Condición necesaria pero no suficiente!
17. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 17/122
Número crítico
●
Una condición necesaria, pero no suficiente,
para que una función tenga un extremo relativo
en c es que c sea un número crítico.
27. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 27/122
Extremo absoluto en el dominio de f
●
Se puede hablar del extremo absoluto de una
función cuando no se ha especificado
ningún intervalo. En tal caso se hace
referencia al extremo absoluto de la función en
su dominio.
29. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 29/122
Teorema del valor extremo (1)
● Si la función f es continua en el intervalo
cerrado [a, b], entonces f tiene un valor máximo
absoluto y un valor mínimo absoluto en [a, b].
¡Lo contrario no necesariamente es cierto!
30. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 30/122
Teorema del valor extremo (2)
●
La continuidad es una condición suficiente pero
no necesaria.
31. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 31/122
Extremos absolutos en un intervalo
cerrado
1) Determinar los valores de la función en los
números críticos de f en (a, b).
2) Determinar los valores de f(a) y f(b).
3) El mayor de los valores determinados en los
pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el
menor de los valores es el valor mínimo
absoluto.
32. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 32/122
Ejemplo
● Determine los extremos absolutos de f en [-2,
3] si
43. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 43/122
Funciones crecientes y
decrecientes, y criterio de la primera
derivada
44. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 44/122
Funciones crecientes y decrecientes
45. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 45/122
Funciones crecientes y decrecientes
46. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 46/122
Monotonía
●
Si una función es creciente o decreciente en un
intervalo, entonces se dice que es monótona
en ese intervalo.
47. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 47/122
Criterio para determinar monotonía
56. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 56/122
Extremos relativos de una función
1) Calcular f’(x).
2) Determinar los números críticos de f.
3) Aplicar el criterio de la primera derivada.
75. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 75/122
Segunda derivada en un punto de
inflexión
El recíproco no es válido.
Condición suficiente pero no necesaria.
82. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 82/122
¡Si f’(c)=f’’(c)=0, nada se puede concluir
acerca de un extremo relativo de f en c!
83. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 83/122
Trazo de las gráficas de funciones y
de sus derivadas
84. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 84/122
Objetivo
● Usar la gráfica de la f’ para dibujar una posible gráfica de f.
En general
1)Ver números críticos (de f y “ de f’ ”)
2)Ver intervalos donde f es creciente o decreciente
3)Ver intervalos de f donde hay concavidad hacia arriba o
hacia abajo
4)Ver dónde hay cambios de signo en f’ y f’’
5)Ver extremos relativos (cambio de signo en f’ )
6)Ver puntos de inflexión (cambio de signo en f’’ ). ¡Debe
haber una recta tangente en un punto de inflexión!
85. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 85/122
Ejemplo
Determinar las abscisas de los puntos de inflexión de la
gráfica de f y dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde
lo es hacia abajo. Dibuje una posible gráfica de f que tenga
estas propiedades así como las propiedades inferidas en base
al criterio de la primera derivada. Suponga que los únicos
ceros de f son 3.5 y 6.
5
91. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 91/122
Ejemplo
1) Intervalos en los que f
es creciente o
decreciente
2) Extremos relativos
3) Intervalos donde f es
cóncava hacia arriba o
abajo
4) Abscisas de los
puntos de inflexión
5) Dibuje f’ y f’’
116. Matemáticas 1 Angel Vázquez-Patiño 116/122
Asíntota oblicua
●
La gráfica de tiene una asíntota oblicua si
1) el grado de P(x) es mayor en 1 al grado de
Q(x)
2) Q(x) no es factor de P(x).
El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).