Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Facultad de Ingeniería Universidad de Cuenca

1. SOLUCION EN SERIE DE ECUACIONES
DIFERENCIALES NO LINEALES
DE ORDEN MAYOR A UNO
Y DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE
PRIMER ORDEN
Lección 39A. Soluciones en serie de un sistema de
Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden
Se presenta un sistema de ecuaciones de primer orden.
Satisfaciendo las condiciones iniciales:

2. Se debe cumplir el siguiente teorema para resolver por cualquiera de los dos métodos de series
estudiados con anterioridad en esta lección
Teorema 39.12. Si cada función del sistema de ecuaciones descrito anteriormente pueden ser
expresadas mediante una Expansión de Taylor de Potencias ( 𝑡 − 𝑡𝑜), existirá un intervalo de
convergencia en el cual hay un conjunto de funciones que satisface el sistema junto con sus
condiciones iniciales. Y cada función de este conjunto también pueden ser expresadas
una Expansión de Taylor de Potencias ( 𝑡 − 𝑡𝑜).
Conjunto de Soluciones (39.14) Formula para los
Coeficientes(39.16)
Intervalo(39.15)
𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
METODOS DE SOLUCION ( LESS.37)
• DERIVADAS SUCESIVAS
• COEFICIENTES INDETERMINADOS

3. POR DERIVADAS SUCESIVAS
Condiciones iniciales evaluadas en 0
Serie de Maclaurin
(1)
(2)
Derivamos de 7. k veces
Evaluamos con las condiciones iniciales Sustituimos los valores en (1)

4. (2)
Derivamos de 7. k veces Evaluamos con las condiciones
iniciales
Sustituimos los valores en (2)
RESPUESTA

5. COEFICIENTES INDETERMINADOS
Condiciones iniciales evaluadas en 0
(1) (2)
Derivamos (1) y (2) e igualamos en 7.
Se obtienen las ecuaciones

6. Calculamos los coeficientes
Sustituimos en (1) y (2)
(1) (2)
RESPUESTA

7. Lección 39B.
Soluciones en serie de un sistema de Ecuaciones
diferenciales lineales
A continuación se presenta un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Donde rápidamente vemos una similitud importante con el sistema utilizado en la lección 39A, el
cual se presenta a continuación:

8. Ahora, tomando en cuenta que la ecuación 39.2 debe satisfacer las siguientes condiciones
iniciales:
𝒚𝟏 𝒕𝒐 = 𝒂𝟏, 𝒚𝟐 𝒕𝒐 = 𝒂𝟐, … … . , 𝒚𝒏 𝒕𝒐 = 𝒂𝒏
Se debe cumplir el siguiente teorema para resolver por cualquiera de los dos métodos de
estudiados con anterioridad en esta lección
Teorema 39.22. Si las funciones 𝑓𝑖𝑗 pueden ser expresadas mediante una expansión de Taylor en
potencias ( 𝑡 − 𝑡𝑜), existirá una solución para cada EDO en el sistema, las cuales también se
podrán escribir en términos de series de potencias.
Por lo tanto primero debemos verificar que cada 𝑦𝑛 del sistema se puede expandir como una serie
de potencias en la potencia ( 𝑡 − 𝑡𝑜), de la siguiente manera:

9. Lección 39C.
Soluciones en Serie de una ecuación diferencial no lineal de
orden mayor a 1
Teorema 39.32. Si 𝑓(𝑥, 𝑦´, 𝑦´´, … , 𝑦 𝑛−1
) tiene una expansión de Taylor en potencias de
𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑦´ − 𝑦1 , … , 𝑦 𝑛−1
− 𝑦𝑛−1 .
Entonces la solución de la EDO también tiene una expansión de Taylor en la potencia 𝑥 − 𝑥0 , de la
siguiente manera:
Tomar en cuenta que esto se puede resolver ya sea por derivadas sucesivas o por el método de
coeficientes indeterminados(series).

10. 4. Substituir en las soluciones
propuestas