Este documento describe el método de Frobenius para encontrar soluciones en serie de potencias para ecuaciones diferenciales ordinarias con singularidades regulares. Explica que las singularidades son puntos donde las funciones de la ecuación no son analíticas y divide las singularidades en regulares e irregulares. Para singularidades regulares, el método de Frobenius busca soluciones en la forma de una serie de Frobenius centrada en el punto singular, lo que permite determinar valores para los coeficientes que hacen que la serie sea una solución válida localmente.

1. LECCIÓN 40
Puntos Ordinarios Y Singulares
De Una Ecuación Diferencial
Ordinaria.
(Método de Frobenius).
Integrantes:
Pedro Abrahan Torres Torres
María Fernanda López López
Claudia Andrea Galarza Calle

2. LECCIÓN 40 A. PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES DE
UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL.
Los métodos de series de potencias son adecuados para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales
con coeficientes no constantes. Sin embargo, no pueden aplicarse indiscriminadamente.
Por ejemplo, si tratamos de encontrar una solución en serie de potencias de
40.1 𝑥2𝑦" + 𝑥𝑦′ + ( 𝑥2 −
1
4
) 𝑦 = 0
En la forma
40.11 𝑦 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
+ 𝑎3𝑥3
+ ⋯ ,
por el método de diferenciaciones sucesivas, tendríamos problemas.
Por la ecuación (37.26), 𝑎0 =
𝑦"(0)
2!
y cuando 𝑥 = 0, donde vemos de (40.1) que 𝑦", por lo tanto, 𝑎2 no existen. Si
tratáramos de usar el método de coeficientes indeterminados, encontraríamos 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 0, ….
𝑦" +
1
𝑥
𝑦′ + (1 −
1
4𝑥2
) 𝑦 = 0
El problema surge porque el coeficiente de y' no es analítico en 𝑥 = 0, no tiene una expansión en serie de
Maclaurin en potencias de 𝑥. De ahí la hipótesis de las Definiciones 40.2 y 40.22 que siguen.

3. DEFINICIÓN 40.2.
Un punto 𝑥 = 𝑥0 se llama punto ordinario de la ecuación diferencial lineal .
40.21 𝑦𝑛
+ 𝐹𝑛−1 𝑥 𝑦(𝑛−1)
+ ⋯ + 𝐹1 𝑥 𝑦′
+ 𝐹0 𝑥 = 𝑄(𝑥)
si cada función 𝐹0, 𝐹𝑛, … , 𝐹𝑛−1, y 𝑄 es analítica en x = 𝑥0
Por el teorema 37.52.
Si 𝑥 = 𝑥0 es un punto ordinario, entonces (40.21) tiene una solución que también es analítica en
𝑥 = 𝑥0, es decir, la solución tiene representación en serie de Taylor en potencias de (𝑥 − 𝑥0)
válida en una vecindad de 𝑥0 .

4. DEFINICIÓN 40.22
Un punto 𝑥 = 𝑥0 es llamado una singularidad de (40.21), si una o más de las funciones no es analítica
en 𝐹0 𝑥 , … , 𝐹𝑛−1 𝑥 , 𝑄 𝑥 , no es analítica en 𝑥 = 𝑥0
Entonces, el punto 𝑥 = 0 es por tanto una singularidad de (40.1)
40.1 𝑥2𝑦" + 𝑥𝑦′ + ( 𝑥2 −
1
4
) 𝑦 = 0
Para el resto de esta lección, limitaremos nuestra atención a una ecuación lineal de segundo orden
𝑦" + 𝐹1(𝑥)𝑦′ + 𝐹2(𝑥)𝑦 = 0,
Donde 𝐹1 y 𝐹2 son funciones continuas de 𝑥 en un intervalo común 𝐼.
Sus singularidades, si las hay, se han dividido en dos clases, singularidades regulares y singularidades
irregulares.

5. DEFINICIÓN 40.24
SINGULARIDADES REGULARES
Si 𝑥 = 𝑥0 es una singularidad de (40.23) y si la multiplicación de 𝐹1(𝑥) por (𝑥 − 𝑥0) y de 𝐹2(𝑥)
por 𝑥 − 𝑥0
2
da como resultado funciones, cada una de las cuales es analítica en 𝑥 = 𝑥0,
entonces el punto 𝑥 = 𝑥0 se llama singularidad regular de (40.23)
EJEMPLO
Demostrar que 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son singularidades regulares de
𝑥 − 1 𝑦´´ +
1
𝑥
𝑦´ − 2𝑦 = 0
Si dividimos para 𝑥 − 1 tenemos
𝑦´´ +
1
𝑥(𝑥 − 1)
𝑦´ −
2
𝑥 − 1
𝑦 = 0
Conociendo que 𝑦´´ + 𝐹1 𝑥 𝑦´ + 𝐹2 𝑥 𝑦 = 0
Tenemos que
𝐹1(𝑥) =
1
𝑥(𝑥−1)
𝐹2 𝑥 = −
2
𝑥−1
Según la definición 40.22, se sabe que 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son singularidades para la ecuación si

6. 𝑥 = 0
• 𝑥 − 0 . 𝐹1
• 𝑥.
1
𝑥 𝑥−1
=
1
𝑥−1
• Tenemos como resultado una nueva función que da
una serie
•
1
𝑥−1
= − 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯
• 𝑥 − 0 2
. 𝐹2
• 𝑥. −
2
𝑥−1
• Tenemos como resultado una nueva función que da
una serie
• −
2𝑥2
𝑥−1
= 2 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ , 𝑥 < 1
• Entonces 𝑥 = 0 es regular singular para la EDO
• 𝑥 − 1 . 𝐹1
• 𝑥 − 1 .
1
𝑥 𝑥−1
=
1
𝑥
• Tenemos como resultado una nueva función y la
serie
•
1
𝑥
= 1 − 𝑥 − 1 + 𝑥 − 1 2 − 𝑥 − 1 2 + ⋯
• 𝑥 − 1 2. 𝐹2
• 𝑥 − 1 2
−
2
𝑥−1
= −2(𝑥 − 1)
• Tenemos como resultado una nueva función y la
serie
• −2 𝑥 − 1 = 0 − 𝑥 − 𝑥 + 1 − 𝑥 + 2 − 𝑥 + 3 + ⋯
• Entonces 𝑥 = 1 es regular singular para la EDO
𝑥 = 1
SEGÚN LA DEFINICIÓN 40.22, SE SABE QUE 𝑥 = 0 Y 𝑥 = 1 SON SINGULARIDADES
PARA LA ECUACIÓN SI

7. DEFINICIÓN 40.26
SINGULARIDADES IRREGULARES.
• Si 𝑥 = 𝑥0 es una singularidad de (40.23) y si la multiplicación de 𝐹1(𝑥) por (𝑥 − 𝑥0) y de 𝐹2(𝑥) por 𝑥 − 𝑥0
2
da
como resultado funciones de las cuales una o ambas no son analíticas 𝑥 = 𝑥0, entonces se denomina
singularidad irregular de (40.23)
• Demostrar que 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son singularidades irregulares de
• 𝑥 − 1 2𝑦´´ +
1
𝑥2 𝑦´ + 2𝑦 = 0
• Si dividimos para 𝑥 − 1 2
tenemos
• 𝑦´´ +
1
𝑥2 𝑥−1 2 𝑦´ +
2
𝑥−1 2 𝑦 = 0
• Conociendo que 𝑦´´ + 𝐹1 𝑥 𝑦´ + 𝐹2 𝑥 𝑦 = 0
• Tenemos que
• 𝐹1(𝑥) =
1
𝑥2 𝑥−1 2 𝐹2 𝑥 = +
2
𝑥−1 2
• Según la definición 40.22, se sabe que 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son singularidades para la ecuación si

8. 𝑥 = 0
• 𝑥 − 0 . 𝐹1
• 𝑥.
1
𝑥2 𝑥−1 2 =
1
𝑥 𝑥−1 2
• Tenemos como resultado una función no analítica,
por lo tanto toda la ecuación no es analítica.
• 𝑥 = 0 es una singular irregular para la EDO
• 𝑥 − 1 . 𝐹1
• 𝑥 − 1 .
1
𝑥2 𝑥−1 2 =
1
𝑥2(𝑥−1)
• Tenemos como resultado una función no analítica,
por lo tanto toda la ecuación no es analítica.
• 𝑥 = 1 es una singular irregular para la EDO
𝑥 = 1
SEGÚN LA DEFINICIÓN 40.22, SE SABE QUE 𝑥 = 0 Y 𝑥 = 1 SON SINGULARIDADES
PARA LA ECUACIÓN SI

9. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA SOBRE
UNA SINGULARIDAD REGULAR
-MÉTODO DE FROBENIUS-
• Si la ecuación lineal 𝑦" + 𝐹1(𝑥)𝑦′ + 𝐹2(𝑥)𝑦 = 0 (40.3) tiene una singularidad
irregular en x = 𝑥𝑜, entonces el problema de encontrar una solución en serie es
demasiado difícil de discutir aquí. Sin embargo, si (40.3) tiene una solución
singular regular en x = 𝑥𝑜 entonces describiremos un método para encontrar una
solución en serie, valida en una vecindad de 𝑥𝑜. Es conocido como el método de
Frobenius. La solución en serie que obtuvo Frobenius
• 𝑦 = (𝑥 − 𝑥𝑜)𝑚
𝑎𝑜 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥𝑜
2
+ 𝑎3 𝑥 − 𝑥𝑜
3
+ ⋯ , 𝑎𝑜 ≠ 0 (40.31)
es conocida como la serie de Frobenius.
LECCIÓN 40B

10. Tenga en cuenta que cuando 𝑚 = 0 o un entero positivo, la
serie se convierte en una serie de Taylor inusual.
Sin embargo, para valores negativos de 𝑚 o para valores
positivos no enteros de m, (40.31) no es una serie de Taylor.
Una serie de Frobenius, por lo tanto, incluye una serie de
Taylor como un caso especial.

11. Supongamos que 𝑥0es una singularidad regular de (40.3). Por lo tanto, sigue por las
definiciones 40.22 y 40.24, que 𝐹1 𝑜 𝐹2 o ambos no son analíticas en 𝑥 = 𝑥0, sino que
(𝑥 − 𝑥0)𝐹1 y (𝑥 − 𝑥0 )2
𝐹2 , son. Esto significa que la 𝐹1 tiene ( 𝑥 − 𝑥0 ) en su
denominador y / o 𝐹2 tiene (𝑥 − 𝑥0 )2 en su denominador.
Por lo tanto, 𝐹1 x =
𝑓1 𝑥
𝑥−𝑥0
o 𝐹2 x = 𝑓2 𝑥 /(𝑥 − 𝑥0 )2
, tienen estas formas
respectivas. En cualquier caso, la multiplicación de (40.3) por (𝑥 − 𝑥0 )2
lo
transformará en una ecuación de la forma:
(𝑥 − 𝑥0 )2y" + (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑓1 𝑥 𝑦′ + 𝑓2 𝑥 𝑦 = 0 (40.331)
en la que tanto 𝑓1(𝑥) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓2 𝑥 son ahora analíticas en 𝑥 = 𝑥0.

12. El teorema relevante que asegurará la existencia de una solución en serie de Frobenius (40.31) de
(40.3) es el siguiente.
Teorema 40.32. Sea 𝑥0 una singularidad regular de (40.311). Entonces (40.311) tiene al menos
una solución en serie de Frobenius de la forma (40.31). Esto es válido en el intervalo común de
convergencia de 𝑓1(𝑥) 𝑦 𝑓2 𝑥 en (40.311), excepto quizás para un 𝑥 = 𝑥0 , es decir, si cada
desarrollo de la serie de Taylor de 𝑓1(𝑥) 𝑦 𝑓2 𝑥 es válido en el intervalo 𝐼: 𝑥 − 𝑥0 < 𝑟, entonces al
menos una solución de la serie de Frobenius también es válida en 𝐼: 𝑥 − 𝑥0 < 𝑟 : excepto quizás
por 𝑥 = 𝑥0.
No se produce pérdida de generalidad si, en (40.311), tomamos 𝑥0 = 0 ya que por una traslación
de ejes siempre podemos reemplazar una expansión en potencias de (𝑥 − 𝑥0) por una en
potencias de 𝑥. Con este entendimiento, reescribimos (40.311) como:
donde las funciones 𝑓1(𝑥) 𝑦 𝑓2 𝑥 se analizan en 𝑥 = 0. Por lo tanto, cada una tiene un desarrollo
de serie de Taylor en potencias de x válido en una vecindad de 𝑥 = 0. Sea
sus respectivas expansiones en serie.

13. La serie de Frobenius (40.31) y las siguiente dos derivadas son, con 𝑥0 = 0,
La función 𝑦(𝑥) será una solución de (40.33) si satisface la ecuación.
Por lo tanto, sustituyendo (40.35) en (40.33) y reemplazando al mismo tiempo
las funciones 𝑓1(𝑥) 𝑦 𝑓2 𝑥 por sus desarrollos en serie en (40.34), obtenemos

14. Desarrollando (40.36) y reuniendo coeficientes de potencias iguales de x,
se obtiene

15. La ecuación (40.37) será una identidad en x, si cada uno de los
coeficientes de k = m, .., m +n es cero. Como hemos supuesto 𝑎0 ≠ 0, el
primer coeficiente en (40.37) será cero sólo si:
𝑚 𝑚 − 1 + 𝑏0𝑚 + 𝑐0 = 0. (40.38)
A esta ecuación se le ha dado un nombre especial, se llama ecuación
indicial. es una ecuación cuadrática en m, tiene dos raíces.

16. Cada una de las raíces 𝑚 = 𝑚1 𝑦 𝑚 = 𝑚2 de la ecuación indicial (40.38) hará
que el primer coeficiente en (40.37) sea cero. Nos concentramos en la raíz m.
Sustituyéndolo por m en el coeficiente a restante en (40.37) y igualando dichas
ecuaciones a cero, nos permitirá resolver cada una de estas ecuaciones
respectivamente para 𝑎1, 𝑎2 , . . . 𝑎𝑛,. en términos de 𝑎0. Recuerde que las b y las
c son constantes dadas por (40.34). Como para esta 𝑚1 y este conjunto de
valores de 𝑎1, 𝑎2 , . . . 𝑎𝑛, cada coeficiente en (40.37) es cero, (40.37) es una
identidad en x. Por lo tanto, la sustitución de esta 𝑚1 y este conjunto de 𝑎’𝑠 en
la primera ecuación de (40.35) hará que 𝑦(𝑥) sea una solución de (40.33).
Siguiendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, usando la segunda
raíz 𝑚2 obtenemos un segundo conjunto de valores de 𝑎1, 𝑎2 , . . . 𝑎𝑛, en términos
de 𝑎0, que con 𝑚2 hará que cada coeficiente en (40.37) sea cero. Por tanto, la
sustitución de este segundo conjunto de valores de 𝑎’𝑠 y 𝑚2 en la primera
ecuación de (40.35) hará de 𝑦 una segunda solución de (40.33).
CASO 1
Las raíces 𝒎𝟏 y 𝒎𝟐de la ecuación indicial (40.38) son distintas y su
diferencia no es un número entero.

17. • Comentario 40.381. No todas las ecuaciones de la forma (40.33)
tienen dos soluciones independientes en serie de Frobenius. Algunos,
como mostraremos más adelante, sólo tienen uno. Sin embargo, si
(40.33) tiene dos soluciones en serie de Frobenius, entonces el
siguiente teorema relevante, establecido sin demostración,
complementa el Teorema 40.32.
• Teorema 40.39. Las dos soluciones en serie de Frobenius de (40.33)
son linealmente independientes. Cada solución es válida para cada
𝑥 en el intervalo común de convergencia de 𝑓1 𝑥 𝑦 𝑓2(𝑥) excepto
quizás para 𝑥 = 0.
• Comentario 40.391. El teorema 40.39 también se enunciará como
sigue. Cada solución de la serie de Frobenius convergerá para cada 𝑥,
excepto quizás para 𝑥 = 0, en un círculo en el plano 𝑥 complejo, cuyo
centro está en 0, y cuyo radio se extiende al menos hasta la siguiente
singularidad más cercana de (40.33), es decir, cada la solución es
válida al menos para 0 < 𝑥 < 𝑎, donde 𝑎 es la singularidad más
cercana a 0.

18. • Encontrar una solución en series de Frobenius para la ecuación dada:
Ejemplo 40.393

21. De (c) observamos que 𝑓1 𝑥 𝑦 𝑓2(𝑥) son polinomios. Por tanto, por el Comentario (37.53),
sus representaciones en serie son válidas para todo 𝑥. Por lo tanto, por el Teorema
(40.39), cada solución de la serie de Frobenius es válida para todo 𝑥 excepto quizás para
𝑥 = 0. En este ejemplo, la solución (j) es válida para todo 𝑥. La segunda solución (o),
debido a la presencia de 𝑥−1/2
, es válida para todo 𝑥 excepto 𝑥 = 0. Por tanto, la solución
general (p) es válida para 0 < 𝑥 < ∞. Note que para 𝑥 < 0, la segunda serie en (p) es
imaginaria. Podemos hacerlo real eligiendo 𝑐1 = 𝑐𝑖 , donde 𝑐 es real.

22. CASO 2: LAS RAÍCES 𝑚1, 𝑚2 DE LA ECUACIÓN
INDICIAL (40.38) DIFIEREN POR UN ENTERO.
Si las raíces de la ecuación indicial (40.38) difieren en un entero distinto de cero, podemos escribirlas como
𝑚 y 𝑚 + 𝑁, donde 𝑁 es un entero positivo. Dado que 𝑚 + 𝑁 es una raíz de (40.38), satisface esta ecuación.
Por eso
𝑚 + 𝑁 𝑚 + 𝑁 − 1 + 𝑏0 𝑚 + 𝑁 + 𝑐0 = 0
ahora compare el lado izquierdo de (40.4) con el coeficiente de 𝑎𝑛 en el último término de (40.37). Ambos
serán exactamente iguales si 𝑛 se reemplaza por 𝑁. Esto significa que si usamos la raíz 𝑚 más pequeña en
(40.37) para encontrar un conjunto de valores para las a’s que hagan que el coeficiente de cada 𝑥𝑘
sea
cero, se detiene cuando llegamos al término en el que aparece aN, ya que su coeficiente será cero. Por lo
tanto, no podemos resolver esta ecuación para 𝑎𝑁 en términos de 𝑎 anteriores a menos que, por accidente,
el termino restante en la ecuación también sume cero. En este caso, la ecuación se cumplirá para cualquier
valor arbitrario de 𝑎𝑁. Entonces podemos continuar determinando los valores de las a sucesivas, es decir,
de 𝑎𝑁+1, 𝑎𝑁+2en términos de 𝑎0 y 𝑎𝑁.

23. CASO 2A: LOS COEFICIENTES DE 𝒂𝑵 EN (40.37) ES
CERO Y LOS TÉRMINOS RESTANTES EN EL
COEFICIENTE DE 𝒙𝒏+𝑴
TAMBIEN SUMAN 0.
En este caso, la raíz 𝑚 + 𝑁 mayor determinará, por (40.37), un conjunto de valores de las a en
términos de 𝑎0 y el otro en términos de 𝑎𝑁. Sin embargo, la solución en serie de Frobenius
obtenida por la raíz más grande en términos de 𝑎0 no será linealmente independiente de la que
en términos de 𝑎0 obtenga la raíz más pequeña. Por lo tanto, la raíz más pequeña por sí sola
dará, en este caso, dos soluciones independientes, cuya combinación lineal será una solución
general de (40.33). Tendrá dos constantes arbitrarias 𝑎0 y 𝑎𝑁. Estas soluciones serán válidas en
los mismos intervalos dados en el Teorema 40.39.

24. EJEMPLO:
Encuentre la solución de:
𝑥2
𝑦" + 𝑥𝑦′ + (𝑥2
−
1
22) 𝑦 = 0
Mediante la serie de Frobenius.
𝑦 =
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
𝑦′ =
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚−1 , 𝑦" =
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑛 + 𝑚 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚−2
𝑥2
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑛 + 𝑚 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚−2
+ 𝑥
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚−1
+ 𝑥2
−
1
4
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
= 0
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑛 + 𝑚 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚 +
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚 + 𝑥2
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚 −
1
4
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚 = 0
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑛 + 𝑚 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
+
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
+
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚+2
−
1
4
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
= 0

25. • 𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑛 + 𝑚 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
+ 𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
+ 𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚+2
−
1
4 𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚
= 0
• 𝑚 𝑚 − 1 𝑎0𝑥𝑚 + 𝑚𝑎0𝑥𝑚 −
1
4
𝑎0𝑥𝑚 + 𝑚 + 1 𝑚 𝑎1𝑥𝑚+1 + 𝑚 + 1 𝑎1𝑥𝑚+1 −
1
4
𝑎1𝑥𝑚+1 + 𝑛=2
∞ (𝑛 +

26. • 𝑚 𝑚 − 1 + 1 −
1
4
= 0 ecuación indicial.
• 𝑎1 𝑚 + 1 𝑚 + 𝑚 + 1 −
1
4
= 0
• 𝑚2 − 𝑚 + 𝑚 −
1
4
= 0, 𝑚2 =
1
4
, 𝑚 = ±
1
4
,
𝑚 = ±
1
2
𝑚1 =
1
2
, 𝑚2 = −
1
2
• 𝑎1 −
1
2
+ 1 −
1
2
−
1
2
+ 1 −
1
4
= 0
𝑎1 −
1
4
+
1
4
= 0
𝑎10 = 0, 0 = 0

27. 𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 + 2 𝑛 + 𝑚 + 1 𝑎𝑛+2𝑥𝑛+𝑚+2
+
𝑛=0
∞
𝑛 + 𝑚 + 2 𝑎𝑛+2𝑥𝑛+𝑚+2
+
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑚+2
−
1
4
𝑛=0
∞
𝑎𝑛+2𝑥𝑛+𝑚+2
= 0
• 𝑛 + 𝑚 + 2 𝑛 + 𝑚 + 1 𝑎𝑛+2 + 𝑛 + 𝑚 + 2 𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛 −
1
4
𝑎𝑛+2 = 0
𝑚2 = −
1
2
𝑛 −
1
2
+ 2 𝑛 −
1
2
+ 1 𝑎𝑛+2 + 𝑛 −
1
2
+ 2 𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛 −
1
4
𝑎𝑛+2 = 0
𝑛 +
3
2
𝑛 +
1
2
𝑎𝑛+2 + 𝑛 +
3
2
𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛 −
1
4
𝑎𝑛+2 = 0
𝑛 +
3
2
𝑛 +
1
2
+ 𝑛 +
3
2
−
1
4
𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛 = 0
𝑛2
+ 2𝑛 +
3
4
+ 𝑛 +
3
2
−
1
4
𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛 = 0
𝑛2
+ 3𝑛 + 2 𝑎𝑛+2 + 𝑎𝑛 = 0
𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛+2 = − 𝑎𝑛

28. 𝑎𝑛+2 =
− 𝑎𝑛
𝑛+2 𝑛+1
relación de recurrencia.
- 𝑛 = 0, 𝑎2 = −
𝑎0
2∙1
= −
𝑎0
2!
- 𝑛 = 1, 𝑎3 = −
𝑎1
3∙2
=
𝑎1
3!
− 𝑛 = 2 =, 𝑎4 = −
𝑎2
4∙3
= −
−
𝑎0
2∙1
4∙3
=
𝑎0
4∙3∙2∙1
=
𝑎0
4!
− 𝑛 = 3 =, 𝑎5 = −
𝑎3
5∙4
= −
−
𝑎1
3∙2
5∙4
=
𝑎1
5∙4∙3∙2
=
𝑎1
5!
𝑎6= −
𝑎0
6!
𝑎7= −
𝑎1
7!
𝑎8=
𝑎0
8!
𝑎9=
𝑎1
9!
𝑎2 = −
𝑎0
2!
𝑎3 = −
𝑎1
3!
𝑎4 =
𝑎0
4!
𝑎5 =
𝑎1
5!
𝑎6 = −
𝑎0
6!
𝑎7 = −
𝑎1
7!
𝑎8 =
𝑎0
8!
𝑎9 =
𝑎1
9!

29. 𝒚 =
𝒏=𝟎
∞
𝒂𝒏𝒙𝒏+𝒎
𝑦 =
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛−
1
2
𝑦 = 𝑥−
1
2
𝑛=0
∞
𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑦 = 𝑥−
1
2 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
+ 𝑎3𝑥3
+ 𝑎4𝑥4
+ 𝑎5𝑥5
+ 𝑎6𝑥6
+ 𝑎7𝑥7
+ 𝑎8𝑥8
+ 𝑎9𝑥9
+ ⋯
𝑦 = 𝑥−
1
2 𝑎0 + 𝑎1𝑥 −
𝑎0
2!
𝑥2
−
𝑎1
3!
𝑥3
+
𝑎0
4!
𝑥4
+
𝑎1
5!
𝑥5
−
𝑎0
6!
𝑥6
−
𝑎1
7!
𝑥7
+
𝑎0
8!
𝑥8
+
𝑎1
9!
𝑥9
+ ⋯
𝑦 = 𝑥−
1
2 𝑎0 −
𝑎0
2!
𝑥2
+
𝑎0
4!
𝑥4
−
𝑎0
6!
𝑥6
+
𝑎0
8!
𝑥8
+ ⋯ + 𝑥−
1
2 𝑎1𝑥 −
𝑎1
3!
𝑥3
+
𝑎1
5!
𝑥5
−
𝑎1
7!
𝑥7
+
𝑎1
9!
𝑥9
+ ⋯

30. CASO 2B: LOS COEFICIENTES EN 𝒂𝑵 EN (40.37) ES CERO,
PERO LOS TÉRMINOS RESTANTES EN EL COEFICIENTE DE
𝒙𝒎+𝑵 NO SUMAN CERO.
En este caso, sólo la raíz mayor 𝑚 + 𝑁 de la ecuación indicial (40.38) determinará un conjunto de valores
de las a en términos de a0. por lo tanto, solo habrá una solución en serie de Frobenius de (40.33).
Una segunda solución independiente de 40.33, se ha probado, será de la forma:
𝑦2 = 𝑥 = 𝑢 𝑥 −𝑏𝑁 𝑦1 𝑥 log 𝑥 , 𝑥 > 0
donde N es la diferencia integral positiva entre las raíces de la ecuación indicial (40.38), y1 es una
solución en serie de Frobenius de 40.33 obtenida con la raíz mayor m+, y u(x) es una serie de Frobenius
de la forma
𝑢 𝑥 = 𝑥𝑚 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯
𝑥2
𝑢′′
+ 𝑥𝑓1𝑢′
+ 𝑓2𝑢 = 𝑏𝑁 2𝑥𝑦1
′
+ 𝑓1 − 1 𝑦1

31. EJEMPLO:
Encuentre la solución de
𝑥2𝑦′′ − 𝑥 2 − 𝑥 𝑦′ + 2 + 𝑥2 𝑦 = 0
𝑓1 𝑥 = 𝑥𝑚 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ , 𝑓2 𝑥 = 2 + 𝑥2
𝑓1 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2
+ ⋯
𝑓2 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + ⋯
𝑏0 = −2, 𝑏1 = 1
𝑐0 = 2, 𝑐1 = 0, 𝑐2 = 1
𝑚 𝑚 − 1 − 2𝑚 + 2 = 0, 𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0
𝑚 = 1, 𝑚 = 2
𝑎1 2 − 4 + 2 + 𝑎0 1 + 0 = 0, 0𝑎1 + 𝑎0 = 0

32. 𝑎0 𝑚 𝑚 − 1 + 𝑏0𝑚 + 𝑐0 𝑥𝑚
+ 𝑎1 𝑚 + 1 𝑚 + 𝑏0 𝑚 + 1 + 𝑐0 + 𝑎0 𝑏1𝑚 + 𝑐1 𝑥𝑚 + 1 + ⋯
+ 𝑎𝑛 𝑚 + 𝑛 (𝑚 + 𝑛 − 1) + 𝑏0 𝑚 + 𝑛 + 𝑐0 + 𝑎𝑛−1 𝑏1 𝑚 + +𝑛 − 1 + 𝑐1

33. 𝑎1 3 ∙ 2 − 2 ∙ 3 + 2 + 2𝑎0 = 0, 𝑎1 = −𝑎0
𝑛2 + 𝑛 𝑎𝑛 = −𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2, 𝑛 ≧ 2
𝑛 = 2: 6𝑎2 = −3𝑎1 − 𝑎0 = 3𝑎0 − 𝑎0, 𝑎2 =
𝑎0
3
𝑛 = 3: 12𝑎2 = −4𝑎2 − 𝑎1 = −
3
4
𝑎0 + 𝑎0, 𝑎2 =
𝑎0
36
𝑚 = 3
𝑦1 = 𝑎0𝑥2
(1 − 𝑥 +
𝑥2
3
−
𝑥3
36
− ⋯ )
𝑦2 = 𝑢 𝑥 − 𝑏1𝑦1 𝑥 log 𝑥, 𝑥 > 0
𝑢 𝑥 = 𝑥(𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ )

34. CASO 3: RAÍCES DE LA ECUACIÓN
INICIAL IGUALES.
• Si las raíces de la ecuación inicial 𝑚 𝑚 − 1 + 𝑏0𝑚 + 𝑐0 = 0 son iguales, es evidente
que de (40.37) solo se puede obtener un conjunto de ceros y, por lo tanto, sólo una
solución en serie de Frobenius de 𝑥2𝑦´´ + 𝑥𝑓1 𝑥 𝑦´ + 𝑓2 𝑥 𝑦 = 0
• EJEMPLO
A. Encuentre una solución general para 𝑥2
𝑦´´ + 𝑥𝑦´ + 𝑥2
𝑦 = 0 (Ecuación de índice cero de Bessel.) dividimos para
𝑥2
y obtenemos 𝑦´´ +
1
𝑥
𝑦´ + 𝑦 = 0
B. Aplicamos de las definiciones 40.22 y 40.24, tenemos que 𝑥 = 0 es una singular regular de la ecuación.
Conociendo todo eso, podemos buscar un solución en serie de la forma 𝑦 = 𝑥𝑚(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ )
C. Tenemos entonces según (40.33): 𝑓1 𝑥 = 1 𝑓2 𝑥 = 𝑥2
D. Comparando con la parte (40.44) tenemos los valores 𝑏0 = 1, 𝑐0 = 0, 𝑐1 = 0, 𝑐2 = 1
E. Reemplazando los valores en la ecuación inicial 𝑚 𝑚 − 1 + 1𝑚 = 0
F. Tenemos como raíces 𝑚1,2 = 0. Entonces, 𝑎1 1 + 𝑜 + 𝑎0 0 = 0 𝑎1 = 0

35. G. Igualamos el coeficiente 𝑥𝑚+𝑛
a cero 𝑎𝑛[ 𝑛 𝑛 − 1 + 1 𝑛 + 𝑎𝑛−1 0 + 𝑎𝑛−2 1 = 0
H. Simplificando tenemos 𝑛2𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−2, 𝑎𝑛 = −
𝑎𝑛−2
𝑛2 , 𝑛 ≥ 2
I. Resolviendo el literal (f) y (g)
𝑛 = 2: 𝑎2 = −
1
22 𝑎0,
𝑛 = 3: 𝑎3 = −
1
32 𝑎1 = 0,
𝑛 = 4: 𝑎4 = −
1
42 𝑎2 =
1
22.42 𝑎0,
𝑛 = 5: 𝑎5 = −
1
52 𝑎3 = 0,
𝑛 = 6: 𝑎6 = −
1
62 𝑎4 =
1
22.42.62 𝑎0,
J. Sustituimos los valores de n en la parte (b) 𝑦1 = 𝑎0(1 −
𝑥2
22 +
𝑥4
22.42 −
𝑥6
22.42.62 +
𝑥8
22.42.62.82 − ⋯ )

36. • Por el Teorema 40.32 esta serie es válida para todo x.
• Una segunda solución de (a) puede encontrarse mediante la sustitución (40.51), con 𝑁 = 0. (Recuerde que 𝑁 es
la diferencia entre las raíces). Esta solución es el coeficiente de 𝑐2 en (k) a continuación.
• Por lo tanto, la solución general de (a) es:
• K. 𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2
𝑥2
22 −
1+
1
2
22.42 𝑥4 +
1+
1
2
+
1
3
22.42.62 𝑥6 + ⋯ + −1 𝑛+1
1+
1
2
+⋯+
1
𝑛
22.42… 2𝑛 2 𝑥2𝑛 + ⋯ +