Integral definida e integración

Matemáticas 2
Integral definida e integración
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
11 de abril de 2023

Matemáticas 2 Angel Vázquez-Patiño 2/136
Objetivos
1. Antiderivación
2. Interpretación geométrica
3. Integral indefinida vs Integral definida
4. Teoremas fundamentales del cálculo
5. Volumen de varios tipos de sólidos

Contenido
Antiderivación
Algunas técnicas de antiderivación
Área
Integral definida
Teoremas fundamentales del Cálculo
Área de una región plana
Volúmenes de sólidos mediante los métodos de
rebanado, de discos y de arandelas
Volúmenes de sólidos mediante el método de capas
cilíndricas

Antiderivación

Operaciones inversas
●
Suma
●
Multiplicación
●
Potenciación
●
Diferenciación
●
Resta
●
División
●
Extracción de raíces
●
Antiderivación

Antiderivación
Definición de antiderivada
● Una función F se denomina antiderivada de la
función f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para
todo valor de x en I.

Ejemplo

Todas las antiderivadas de f
Teorema
● Si F es una antiderivada particular de f en un
intervalo I
I, entonces cada antiderivada de f en I
está dada por
F(x) + C
donde C es una constante arbitraria, y todas las
antiderivadas de f en I pueden obtenerse a
partir de F(x) + C asignando valores
particulares a C.

Antiderivación
●
Proceso para determinar todas las
antiderivadas de una función dada.
Antiderivada general

Teoremas de antiderivación

Teoremas de antiderivación
● Si f1(x), ..., fn(x) están definidas en el mismo
intervalo, entonces

Identidades trigonométricas
cruciales

Condiciones iniciales o de frontera

Antiderivada particular

Ejemplo Solución: https://youtu.be/s-TbazfsdzY
La eficiencia de un trabajador está expresada
como un porcentaje. Por ejemplo, si la eficiencia
de un obrero en un momento particular está dada
como 70%, entonces el trabajador se desempeña
a un 70% de su potencial máximo. Suponga que
E % es la eficiencia de un trabajador a las t horas
después de iniciar su trabajo, y que la tasa a la
que E cambia es (35 – 8t)% por hora. Si la
eficiencia del trabajador es de 81% después de
trabajar 3 horas, determine su eficiencia después
de haber trabajado (a) 4 h y (b) 8 h.

Condición inicial
●
La eficiencia del trabajador es de 81% después
de trabajar 3 horas.

●
Regla de la cadena para antiderivación
●
Cambio de variable

Regla de la cadena para
antiderivación

antiderivación

antiderivación
Teorema
● Sea g una función diferenciable y sea el
contradominio de g algún intervalo I. Suponga
que f es una función definida en I y que F es
una antiderivada de f en I. Entonces

Generalización de la fórmula de la
potencia para antiderivadas
Teorema
● Si g es una función diferenciable y n es un
número racional, entonces

Cambio de variable

Ejemplo

Área

Notación sigma
Definición
● m: límite inferior de la suma
● n: límite superior de la suma
● i: recibe el nombre de índice de la suma

Notación sigma
Ejemplos

Notación sigma
Teoremas

Área

https://youtu.be/nsL55F6wu9o

Ejemplo

Integral definida

Suma de Riemann

Integral definida
● f(x): integrando
● a: límite inferior
● b: límite superior
●
: signo de integración

Integral definida
●
Si la partición Δ es regular, Δix=Δx

Condiciones para que f(x) sea
integrable

Ejemplo

¿Área negativa?

Ejemplo

Teorema del valor medio para
integrales

Teoremas fundamentales del
cálculo

10

12

14

19

Volúmenes de sólidos mediante los
métodos de rebanado, de discos y
de arandelas

Cilindro recto

Volumen de un sólido
Elemento de volumen

Método de rebanado

Ejemplo

s
s₀
h₀

x s/2 - x
s/2
h₀
h
1
6
.
3
c
m
6
.
5
1
c
m
z

s/2
16.3 cm
6.51 cm
z
s₀/2

s
8.17 cm
9.75
cm

Volumen de un sólido de revolución
Eje de revolución

https://www.geogebra.org/m/Hw7bnB2q

Eje como límite de la región
Elemento
de
volumen

Volumen de un sólido de revolución
Método de discos

Ejemplo

Ejemplo
R = 24π

Eje NO es límite de la región
Elemento
de
volumen

Método de arandelas

Ejemplo
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje x la región
acotada por las gráficas de

Ejemplo
Se corta una cuña de un cilindro circular recto,
cuyo radio es r cm, mediante dos planos, uno
perpendicular al eje del cilindro y el otro intersecta
al primero a lo largo de un diámetro de la sección
plana circular formando un ángulo de 60°. Calcule
el volumen de la cuña.

Ejemplos

Volúmenes de sólidos mediante el
método de capas cilíndricas

Método de capas cilíndricas

Ejemplo

Ejemplo
Eje de rotación

Preguntas

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