Funciones, límites y continuidad

Matemáticas 1
Funciones, límites y continuidad
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
2 de diciembre de 2023

Funciones Angel Vázquez-Patiño 2/340
Objetivos
1. Diferentes funciones
2. Gráficas
3. Límites y teoremas
4. Continuidad y discontinuidad
5. Modelos matemáticos

Contenido
Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones y tipos de funciones
Funciones como modelos matemáticos
Límite de una función y teoremas de límites
Límites laterales e infinitos
Continuidad de una función en un número
Continuidad de una función compuesta y
continuidad en un intervalo
Continuidad de las funciones trigonométricas y
teorema de estricción

Funciones y sus gráficas

Funciones
●
Salario depende de las horas trabajadas.
●
Producción depende del número de máquinas.
●
Resistencia de un cable depende del espesor.
●
La relación entre este tipo de cantidades suele
expresarse mediante una función.

Función, dominio y codominio
(contradominio o rango)
●
Puede considerarse como una correspondencia de
un conjunto X de números reales x a un conjunto Y
de números reales y, donde el número y es único
para cada valor específico de x.
●
La regla se expresa frecuentemente por medio de
una ecuación.
● El conjunto X de los números reales es el dominio
de la función y el conjunto Y de números reales
asignados a los valores de x en X es el
contradominio de la función.

Analizar dominio y contradominio

Función como un conjunto de pares
ordenados
●
Por ejemplo, la función definida por la ecuación
consta de todos los pares
ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación.
●
En símbolos esto se expresa como

Definición de función
●
Una función es un conjunto de pares
ordenados de números (x, y) en los que no
existen dos pares ordenados diferentes con
el mismo primer número. El conjunto de
todos los valores admisibles de x se denomina
dominio de la función, y el conjunto de todos
los valores resultantes de y recibe el nombre de
contradominio de la función.

Notación valor de función de
Leonhard Euler
y es el contradominio de f
Variable dependiente
Variable independiente

Ejemplo
●
Dada , determine a) y
b)
●
En caso de que al efectuar el cálculo aparezca
en el numerador la diferencia de dos radicales,
se racionaliza el numerador.
●
Conjugado del numerador

Definición de gráfica de una función
● Si f es una función, entonces la gráfica de f es
el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano
ℝ2
para los cuales (x, y) es un par ordenado de
f.
●
Recuerde que en una función existe un solo
valor de la variable dependiente para cada
valor de la variable independiente del
dominio.
●
Una recta vertical intersecta la gráfica de una
función en no más de un punto.

Ejemplo
●
Determine el dominio de la función h definida
por

Función definida a trozos
●
Sea G la función definida por
●
Determine el dominio y el contradominio de G,
y dibuje su gráfica.

Ejemplo
●
Determine el dominio y contradominio de la
función

Función valor absoluto
●
abs()
●
Dominio y contradominio
●
Gráfica

Función máximo entero
●
Dominio
●
Contradominio
●
Gráfica
●
floor()

Función máximo entero
Dibuje la función G definida por
y determine su dominio y su contradominio.
Apoye su respuesta trazando su gráfica en la
graficadora.

Grafique

Función mínimo entero
●
Dominio
●
Contradominio
●
Gráfica
●
ceil()

Grafique

Función escalón

Función signo

Ejemplo
●
Encuentre fórmulas para la función
y dibuje su gráfica.

Operaciones con funciones y tipos
de funciones

Ejemplo

Función compuesta
●
Dadas las dos funciones f y g, la función
compuesta, denotada por f ○ g, está definida
por
y el dominio de f ○ g es el conjunto de todos
los números x del dominio de g tales que
g(x) está en el dominio de f.

Función compuesta, e.g., (f ○ g)(x)

Ejemplo
●
Defina las siguientes funciones y determine el
dominio de la función compuesta: a) f ○ g, b) g
○ f, c) f ○ f y d) g ○ g.

Función constante

Función lineal

Función lineal
●
Cuando la función lineal tiene pendiente 1 e
intercepto 0
●
Función identidad
●
Cuando la pendiente es cero
●
Función constante

Función polinomial
●
La función polinomial de grado 1 es una función
lineal
●
De grado 2 es cuadrática
●
De grado 3 es cúbica

Función cuadrática

Función cúbica

Función racional
●
Si una función puede expresarse como el
cociente de dos funciones polinomiales,
entonces se denomina función racional.

Función algebraica
●
Es aquella formada por un número finito de
operaciones algebraicas sobre la función
identidad y una función constante. Estas
operaciones algebraicas incluyen adición,
sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
●
Las funciones polinomiales y racionales son
tipos particulares de funciones algebraicas.

Función trascendente
●
Función que no satisface una ecuación
polinómica cuyos coeficientes sean a su vez
polinomios; esto contrasta con las funciones
algebraicas, las cuales satisfacen dicha
ecuación.

Función par e impar

Ejemplo

Funciones como modelos
matemáticos

Introducción
●
Modelo matemático
– Expresar (abstraer) una situación del mundo real
en términos de una relación funcional.
●
No hay necesariamente un método
específico para obtener un modelo
matemático.

Sugerencias para resolver
problemas usando modelos
1)Entender el problema. Ejemplo específico o dibujar un
diagrama.
2)Determinar cantidades conocidas y desconocidas junto con
sus unidades. Definir símbolos para las variables
(in)dependientes.
3)Anotar hechos numéricos de la(s) variable(s) y del valor de
la función.
4)Determinar dos expresiones algebraicas en términos de la
variable y del valor de la función. De éstas, forme una
ecuación que defina la función (generalmente con respecto a
una sola variable).
5)Escribir una conclusión respondiendo la(s) pregunta(s) del
problema. Usar unidades de medición correctas.

Ejemplo 1
●
El peso aproximado del cerebro de una
persona es directamente proporcional al peso
de su cuerpo, y una persona que pesa 150 lbs
tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4
lbs.
(a) Encuentre un modelo matemático que
exprese el peso aproximado del cerebro como
una función del peso de la persona.
(b) Determine el peso aproximado del cerebro de
una persona que pesa 176 lbs.

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4
●
El precio de admisión regular para un adulto a
una determinada función en el Coast Cinema
es de $7, mientras que para un niño menor de
12 años de edad es de $4 y el precio para
adultos de por lo menos 60 años de edad es de
$5.
(a) Encuentre un modelo matemático que
exprese el precio de admisión como una
función de la edad de la persona.
(b) Dibuje la gráfica de la función del inciso (a).

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7
● Dada la circunferencia cuya ecuación es x2
+ y2
= 9, encuentre un modelo matemático que
exprese la distancia del punto (4, 5) a un punto
(x, y) de la circunferencia como una función de
x.

Ejemplo 8
●
Encuentre un modelo matemático que exprese
el volumen de un cilindro circular recto que
pueda inscribirse en una esfera de 6 cm de
radio en función de la altura del cilindro.
r
h/2
6
cm

Ejemplo 9
●
La resistencia de una viga rectangular es
conjuntamente proporcional a su anchura y al
cuadrado de su espesor. Escriba la función que
relacione la resistencia de la viga con su ancho
si esta viga se corta de un tronco con forma de
cilindro circular recto cuyo radio es de 72 cm.

Ejemplo 10
●
La rigidez de una viga rectangular es
conjuntamente proporcional a su anchura y al
cubo de su espesor. Escriba la función que
relacione la rigidez de la viga con su espesor si
esta viga se corta de un tronco con forma de
cilindro circular recto cuyo radio es de a cm.

Introducción gráfica a los límites de
funciones

Ejemplo ilustrativo

Función de la pendiente y su
dominio

f(x) cuando x se aproxima a 1
1- 5-

Diferencia de f(x) en relación a la
diferencia de x
α puede ser tan pequeño como se quiera pero x jamás será 1

En otras palabras
puede hacerse tan pequeño como se
desee haciendo lo suficientemente
pequeño. Sin embargo, x nunca toma el valor
de 1.

De forma más precisa
●
Para cualquier número positivo épsilon (ϵ)
existe un número positivo delta (δ),
seleccionado adecuadamente, tal que
●
Primero se elige ϵ y el valor de δ depende del
valor de ϵ.

Un δ adecuado para un ϵ dado

Con símbolos
●
Como para cualquier ϵ > 0 dado puede
determinarse un δ > 0 tal que la proposición
se cumple, entonces

Pero no necesariamente existe.

Discontinuidad y continuidad

Ejemplo 1
●
Sea f la función definida por
●
Dado un ϵ = 0.3, determine un δ > 0 tal que

Ejemplo 2
●
●

Ejemplo 2 (conclusión)
●
●

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejercicios 1/3

Ejercicios 2/3

Ejercicios 3/3

Definición de límite de una función y
teoremas de límites

Definición de límite de una función
● Si f es una función definida en cada número de
algún intervalo abierto que contiene a a,
excepto, posiblemente, en el mismo número a,
entonces
si la siguiente proposición es verdad:
Dado cualquier >0
ϵ , no importa cuán pequeño
sea, existe un δ>0 tal que

Interpretación geométrica

Elección de un ϵ más pequeño

T.1 L.: Límite de una función lineal
Si m y b son dos constantes cualesquiera,
entonces
Demostración
●
A partir de la definición de límites de una
función, se debe demostrar que para cualquier
ϵ > 0 existe una δ > 0, tal que

T.2 L.: Límite de una función
constante
Si c es una constante, entonces para cualquier
número a

T.3 L.: Límite de la función identidad

T.4 L.: Límite de la suma y de la
diferencia de dos funciones
¡Si los límites existen!
¡La demostración es como para examen!

T.5 L.: Límite de la suma y de la
diferencia de n funciones

T.7 L.: Límite del producto de
funciones

Ejemplo

T.8 L.: Límite de la n-ésima potencia
de una función
● Si y n es un entero positivo

Ejemplo

T.9 L.: Límite del cociente de dos
funciones

Ejemplo

T.10 L.: Límite de la raíz n-ésima de
una función

Teoremas
● Si a es cualquier número real diferente de cero,
entonces
● Si a > 0 y n es un número entero positivo, o si a
≤ 0 y n es un número entero impar, entonces

Teoremas

Teorema de Unicidad

Ejemplos

excepto, posiblemente, en el mismo número a,
entonces
Dado cualquier >0
Recordar

Ejemplo 1
●
Calcule analíticamente el límite indicado
●
Solución: https://youtu.be/ZVPPZ-iKIC8

Ejemplo 1

Ejemplo 2
●
●
Solución: https://youtu.be/Hf361ggXtKk

Ejemplo 2

Ejemplo 3
●
●
Solución: https://youtu.be/oscHsEW7pFE

Ejemplo 3

Ejemplo 4
●
●
Solución: https://youtu.be/2qmSbXybNuQ

Ejemplo 4

Ejemplo 5
●
●
Solución: https://youtu.be/S_ekwRymyng

Ejemplo 5

Ejemplo 6
●
Si , demuestre
analíticamente que
●
Solución: https://youtu.be/gIMhaSWncN0

Ejemplo 6

Límites laterales

Ejemplo
f(x) no está definida en
cualquier intervalo
abierto que contenga a 4

Límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en cada número del
intervalo (a, c), entonces, el límite de f(x),
conforme x tiende a a por la derecha, es L, lo que
se denota por
si para cualquier >0
ϵ , sin importar qué tan
pequeña sea, existe una δ>0 tal que

Límite por la derecha

Límite por la izquierda
Sea f(x) una función definida en cada número del
intervalo (d, a), entonces, el límite de f(x),
conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo
que se denota por
si para cualquier >0
ϵ , sin importar qué tan
pequeña sea, existe una δ>0 tal que

Ejemplo

Límite bilateral
Teorema

Todos los teoremas estudiados
anteriormente siguen siendo válidos
si se sustituye por

Ejemplo

Ejemplo Solución: https://youtu.be/DkBXZ0CBR80
Sean f y g las funciones definidas como
(a) Muestre que y existen pero
no son iguales, y en consecuencia, no
existe.
(b) Obtenga una fórmula para
(c) Demuestre que existe probando
que

Límites infinitos

Crecimiento o decrecimiento sin
límite
¿Dominio y contradominio?

Asíntota vertical

Valores de función que crecen sin
límite
Sea f una función definida en cada número de
algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto
posiblemente en a mismo. Conforme x se
aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se
escribe como
si para cualquier número N>0 existe δ>0 tal que

Asíntota vertical

Valores de función que decrecen sin
límite
Sea f una función definida en cada número de
algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto
posiblemente en a mismo. Conforme x se
aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se
escribe como
si para cualquier número N<0 existe δ>0 tal que

Límites “infinitos” laterales

T.11 L.
¡La demostración es como para examen!

Ejemplos

T.12 L. (1/3)
Si a es cualquier número real y si y
, donde c es una constante diferente
de 0, entonces
(i) Si c>0 y f(x)→0 a través de valores positivos
de f(x), entonces
(ii) Si c>0 y f(x)→0 a través de valores negativos
de f(x), entonces

T.12 L. (2/3)
de 0, entonces
(iii) Si c<0 y f(x)→0 a través de valores positivos
de f(x), entonces
(iv) Si c<0 y f(x)→0 a través de valores negativos
de f(x), entonces

T.12 L. (3/3)
de 0, entonces …
El teorema también es válido si se
sustituye “x → a” por “x → a+
” o “x → a−
”.

Ejemplo
●
Sea

Ejemplo

Asíntota vertical
La recta x=a es una asíntota vertical de la
gráfica de la función f si al menos uno de los
siguientes enunciados es verdadero:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Ejemplo 1
●
●
Solución: https://youtu.be/ECY6WedHsaU

Ejemplo 1

Ejemplo 2
●
●
Solución: https://youtu.be/vO4BulT_za8

Ejemplo 2

Ejemplo 3
●
●
Solución: https://youtu.be/wJUSea_7tOc

Ejemplo 3

Ejemplo 4
●
●
Solución: https://youtu.be/Nk5KjKm1Fgc

Ejemplo 4

Ejemplo 5
●
●
Solución: https://youtu.be/vgEDbuutduw

Ejemplo 5

Ejemplo 6
●
●
Solución: https://youtu.be/qRh5Sa_PQ78

Ejemplo 6

Ejemplo 7
●
●
Solución: https://youtu.be/z20y91QSe-Q

Ejemplo 7

Ejemplo 8
●
●
Solución: https://youtu.be/2oT1gQVi99U

Ejemplo 8

Ejemplo 9 (1/6)
●
●
Solución: https://youtu.be/SCFj1hX7GLM

Ejemplo 9 (2/6)

Ejemplo 9 (3/6)
Como lo que se está radicando
es positivo cuando x → 1+
.

Ejemplo 9 (4/6)

Ejemplo 9 (5/6)

Ejemplo 9 (6/6)

Ejemplo 10 (1/4)
●
●
Solución: https://youtu.be/_-iufl1Kxg8

Ejemplo 10 (2/4)
Como lo que se está radicando
es positivo cuando x → 2−
.

Ejemplo 10 (3/4)

Ejemplo 10 (4/4)

Ejemplo 11 Solución: https://youtu.be/BQIjH6NVORc
● Si C(t) dólares es el costo total por hora de luz en
una fábrica con n lámparas fluorescentes, cada una
con un promedio de vida de t horas, entonces
● donde r dólares es el costo de renovación, e es la
constante de eficiencia comercial, p watts es la
potencia de cada lámpara, y k dólares es el costo
de la energía por cada 1000 watts.
●
Determine

Ejemplo 11

¡Hasta aquí la prueba 1
sobre 15 puntos!
G7: Lunes 30/Oct/23
G9: Martes 31/Oct/23

Continuidad de una
función en un número

Función (dis)continua en un número
Se dice que la función f es continua en el número
a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
(i) existe;
(ii) existe;
(iii)
Si una o más de estas tres condiciones no se
cumplen en a, entonces se dice que la función f
es discontinua en a.

Discontinuidad removible/esencial

Discontinuidad infinita

¿Discontinuidad removible?

Discontinuidad de salto

¿Removible/esencial/infinita/salto?

Ejemplo

Si f y g son dos funciones continuas en a,
entonces
(i) f + g es continua en a;
(ii) f − g es continua en a;
(iii) f · g es continua en a;
(iv) f / g es continua en a, considerando que
g(a) ≠ 0.
Teorema

Teorema
Una función polinomial es continua en todo
número.

Ejemplo

Teorema 1.8.4
●
Una función racional es continua en todo
número de su dominio.

Ejemplo
●
Determine los números en los que la función
siguiente es continua

Teorema 1.8.5
Si n es un número entero positivo y
entonces
(i) si n es impar, entonces f es continua en todo
número.
(ii) si n es par, entonces f es continua en todo
número positivo.

Continuidad en notación ϵ-δ

excepto, posiblemente, en el mismo número
a, entonces
● Dado cualquier >0
Recordar

Ejemplo 1
●
Determine el número en el que la función es
discontinua y muestre porqué la definición de
continuidad no se satisface en este número.
●
Solución: https://youtu.be/j83GoA5inV0

Ejemplo 2
●
●
Solución: https://youtu.be/1ayXeH0b8to

Ejemplo 3
●
●
Solución: https://youtu.be/vco-O_v1eYY

Ejemplo 4
●
●
Solución: https://youtu.be/ej8OUE-7fMk

Ejemplo 5
●
La función mostrada es discontinua en el
número a. ¿La discontinuidad es removible o
esencial? Si es removible, indique cómo debe
redefinirse f(a) de modo que la discontinuidad
sea eliminada.
●
Solución: https://youtu.be/xXO3xa8xWTE

Ejemplo 5

Ejemplo 6
●
sea eliminada.
●
Solución: https://youtu.be/nCv-J4WWHfw

Ejemplo 6

Ejemplo 7
●
sea eliminada.
●
Solución: https://youtu.be/DRodCYaVL-g

Ejemplo 7

Ejemplo

Ejemplo 8 Solución: https://youtu.be/IYDUR52q6Hg
● Suponga que a los t minutos, r(t) metros es el
radio del flujo circular de petróleo que se
derrama por una fisura de un tanque y
● Si A(t) metros cuadrados es el área de la fisura
del tanque a los t minutos, defina A(t) y
demuestre que A es continua en 2.

Ejemplo 8

Ejemplo 9
●
Encuentre fórmulas para la función
● y dibuje su gráfica. ¿En qué números es F
discontinua y porqué?

Continuidad de una función
compuesta y continuidad en un
intervalo

Límite de una función compuesta
Teorema
● Si y si la función f es continua en
b, entonces
●
o, equivalentemente,

excepto, posiblemente, en el mismo número
a, entonces
● Dado cualquier >0
Recordar

Continuidad en notación ϵ-δ
Recordar

compuesta
Teorema
● Si la función g es continua en a y la función f es
continua en g(a), entonces la función
compuesta f ○g es continua en a.
●
En otras palabras, una función continua de una
función continua es continua.

compuesta

Ejemplo
● Defina f ○g y determine los números en los que
f ○g es continua

Teorema 1.8.5
Si n es un número entero positivo y
entonces
(i) si n es impar, entonces f es continua en todo
número.
(ii) si n es par, entonces f es continua en todo
número positivo.
Recordar

compuesta
Teorema
● Si la función g es continua en a y la función f es
continua en g(a), entonces la función
compuesta f ○g es continua en a.
●
En otras palabras, una función continua de una
función continua es continua.
Recordar

Dominio de h(x) e Intervalo en el
que h(x) es continua
●
Dominio
[-3, +3]
●
Continua en
(-3, +3)
Continua en el intervalo abierto (-3, +3).

Continuidad en un intervalo abierto
Definición
●
Se dice que una función es continua en un
intervalo abierto si y sólo si es continua en cada
número del intervalo abierto.

Continuidad por la derecha
Definición
Se dice que la función f es continua por la
derecha en el número a si y sólo si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
(i) existe
(ii) existe
(iii)

Continuidad por la izquierda
Definición
Se dice que la función f es continua por la
izquierda en el número a si y sólo si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
(i) existe
(ii) existe
(iii)

Continuidad en un intervalo cerrado
Definición
●
Se dice que una función, cuyo dominio contiene
al intervalo cerrado [a, b], es continua en el
intervalo cerrado [a, b] si y sólo si es continua
en el intervalo abierto (a, b), así como continua
por la derecha en a y continua por la izquierda
en b.

Ejemplo
f ○g es continua.

Continuidad en un intervalo
semiabierto
(i) Una función cuyo dominio incluye al intervalo
semiabierto [a, b) es continua en [a, b) si y
sólo si es continua en el intervalo abierto (a, b)
y es continua por la derecha en a.
(ii) Una función cuyo dominio incluye al intervalo
semiabierto (a, b] es continua en (a, b] si y
sólo si es continua en el intervalo abierto (a, b)
y es continua por la izquierda en b.
Se tienen definiciones similares para la
continuidad en los intervalos [a,+∞) y (-∞, b].

Ejemplo
●
Determine el intervalo más grande (o unión de
intervalos) en el que la función f ○g es continua.

La importancia de la continuidad de una
función en un intervalo será más evidente a
medida que avance en el estudio del Cálculo.
Esta propiedad es parte de las hipótesis de
muchos teoremas esenciales, tales como el
Teorema del valor intermedio, el Teorema del
valor extremo y los Teoremas fundamentales
del Cálculo.

Teorema del valor intermedio
Si la función f es continua en el intervalo cerrado
[a, b] y si f(a)≠f(b), entonces para cada valor k
entre f(a) y f(b) existe al menos un número c
entre a y b tal que f(c)=k.

El teorema del valor intermedio afirma que si la
función f es continua en el intervalo cerrado [a, b],
entonces f(x) toma todos los valores entre f(a) y
f(b) conforme x toma todos los valores entre a y b.
Los ejemplos siguientes muestran la importancia
de la continuidad de f en [a, b] para poder
garantizar esta afirmación.

Ejemplo

Teorema del cero intermedio
Si la función f es continua en el intervalo cerrado
[a, b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos,
entonces existe un número c entre a y b, tal que
f(c)=0; es decir, c es un cero de f.

Ejemplo
●
Aplique el teorema del cero intermedio para
mostrar que la función f tiene el número
indicado de ceros entre a y b. Estime estos
ceros (raíces) con dos cifras decimales.
● Cuatro raíces (ceros); a = −5; b = 5

T.9 L. Límite del cociente de dos
funciones

T.10 L. Límite de la raíz n-ésima de
una función

Tarea 9
●
Ejercicios de la sección 1.9 de Leithold
– 4, 6, 9, 12, 13, 14, 16, 20, 22, 24, 27, 37, 41, 46 y
55.
●

Continuidad de las funciones
trigonométricas y teorema de
estricción

Teorema de estricción
Suponga que las funciones f, g y h están definidas
en algún intervalo abierto I que contiene a a, y
que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x en I para la cual
x ≠ a. También suponga que y
existen y son iguales a L.
Entonces existe y es igual a L.
Ensayo de tracción a probeta de acero: https://youtu.be/wy7ENOO6RiI

Interpretación gráfica

Teorema

Demostración

1

−

Teorema
●
Las funciones seno y coseno son continuas en
cada número real.

Teorema
●
Las funciones tangente, cotangente, secante y
cosecante son continuas en sus dominios.

Tarea 10
●
Ejercicios de la sección 1.10 de Leithold
– 7, 9, 21, 26, 30, 32, 33, 36, 44 y 46.
●

Preguntas

Puede encontrar esta presentación en
https://www.slideshare.net/angenio2

Funciones, límites y continuidad

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