Razones y proporciones. Números y Álgebra.

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BLOQUE II Números y Álgebra.
UNIDAD 7 Razones y proporciones.
Objetivos del bloque:
1. Divisibilidad de los números naturales. Criterios de divisibilidad. Números
primos y compuestos. Descomposición de un número en factores primos.
2. Múltiplos y divisores comunes a varios números. Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo de dos o más números naturales de os cifras. Números
negativos. Significado y utilización.
3. Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica.
4. Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación Números
decimales. Representación y ordenación.
5. Operaciones con números enteros.
6. Operaciones con fracciones.
7. Operaciones con decimales.
8. Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo
aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.
9. Potencias de números enteros con exponente natural. Cuadrados perfectos.
10. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.
11. Jerarquía de las operaciones.
12. Resolución de problemas con números naturales, enteros, fraccionarios y
decimales.
13. Iniciación al lenguaje algebraico. Traducción de expresiones muy sencillas del
lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
14. Operaciones con expresiones algebraicas o simbólicas muy sencillas.
15. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones sencillas.
Procedimiento:
1. Los apuntes como los ejercicios se deben realizar en el cuaderno de clase.
Ten en cuenta, que, dentro de la evaluación de esta unidad, hay una prueba
que se hace con los apuntes.
2. Utilizamos bolígrafo de color negro para los apuntes, de color verde, para los
títulos, azul, para los enunciados de los problemas y el lápiz para la resolución
de estos.

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Evaluación:
Actitud en
clase
Cuaderno
Examen con
apuntes
Examen sin
apuntes
Nota Final
10% 20% 30% 40% 100%
Temario:
1. Concepto
a. Razón
b. Proporción
2. Proporcionalidad directa
3. La regla de tres
4. Porcentajes
5. Escalas
6. Factores de Conversión
1. Concepto
a) Razón
La razón en el ámbito de las matemáticas es el cociente de dos cifras, por lo tanto,
es un vínculo entre dos magnitudes que son comparables entre sí. Se trata de aquello
que resulta cuando una de las magnitudes o cantidades se divide o se resta por otra.
Las razones, por lo tanto, pueden expresarse como fracciones o como números
decimales.
Razón
Es una comparación entre dos variables, se expresa como el cociente de dos
variables, igual que una fracción, y se lee “A es a B”
Veamos un ejemplo:
Compramos 5 kg de manzanas a 7 euros; donde podemos establecer la relación del
precio y la cantidad, de la siguiente manera:
7 : 5 = 1,4€ el kilo
7
5
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ó𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
El resultado, 1,4€ -razón- será la constante para cualquier compra de manzanas en
este establecimiento, independientemente de los kilos que queramos comprar, por
ejemplo, si quiero compra 10 kilos de manzanas, el precio será 14 euros.
b) Proporción

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La proporción es una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que se
pueden medir. Si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye
proporcionalmente.
Proporción
Es la igualdad entre dos razones. Los términos primero y cuarto son los extremos,
y el segundo y tercero, los medios:
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
=
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚
Por tanto, llamamos razón de proporcionalidad: al cociente de dos variables, y su
valor constante, nos permite obtener razones semejantes.
Ejemplo:
En una cooperativa de leche, este el resultado de la producción es la siguiente:
Granjas Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4 Granja 5 Granja 6
Leche 35 l 49 l 21 l 77 l
Vacas 5 4 7 3 8
Primero, vamos a calcular la razón de proporcionalidad:
35
5
=
49
7
𝑜𝑜
49
7
=
21
3
7 = 7 ; 7 = 7
La razón de proporcionalidad es 7 litros por vaca, ahora podemos rellenar los datos
que nos faltan:
Granjas Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4 Granja 5 Granja 6
Leche 35 l 28 49 l 21 l 77 l 56
Vacas 5 4 7 3 11 8
Qué podemos deducir:
Primero, que la relación de los extremos y los medios, en una proporción
siempre dan el mismo resultado:
5
35
𝑦𝑦
4
28
→ 5 · 28 = 35 · 4 → 140 = 140
Segundo, la razón de proporcionalidad nos sirve para establecer una relación
entre variables para cualquiera de los valores que pueden adoptar:
Si la razón es 7, en las granjas donde tenemos como datos el número de vacas,
basta con multiplicar el número de vacas por 7; en el caso, que solo sepamos
los litros, habrá que dividir por 7.
Para calcular la razón de proporcionalidad, donde falta un dato, este es el
procedimiento:

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35
5
=
28
𝑥𝑥
→ 35 · 𝑥𝑥 = 140 → 𝑥𝑥 =
140
35
= 4
35
5
=
𝑥𝑥
4
→ 35 · 4 = 5 · 𝑥𝑥 → 140 = 5𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 =
140
5
= 28
35
𝑥𝑥
=
28
4
→ 140 = 28𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 =
140
28
= 5
𝑥𝑥
5
=
28
4
→ 𝑥𝑥 · 4 = 140 → 𝑥𝑥 =
140
4
= 35
Existen dos tipos de proporciones, la directa y la indirecta:
2. Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de
ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Al
dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la
primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). A esta constante
se le llama razón de proporcionalidad directa.
Veamos un ejemplo:
Es una proporcionalidad directa, cuya razón es 33.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:
• La razón de proporcionalidad.
• Una regla de tres.
• El método de reducción a la unidad.
3. La regla de tres
Una regla de tres simple y directa consiste en que, dadas dos cantidades
correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de
una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
𝐴𝐴1 → 𝐶𝐶
𝐴𝐴2 → 𝑥𝑥
𝐴𝐴1
𝐴𝐴2
=
𝐶𝐶
𝑥𝑥
𝑥𝑥 =
𝐴𝐴2 · 𝐶𝐶
𝐴𝐴1
Primera magnitud 1 2 3 4 5 6 7
Segunda magnitud 33 66 99 132 165 198 231

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La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen
las relaciones:
𝐴𝐴 𝑚𝑚á𝑠𝑠 → 𝑚𝑚á𝑠𝑠
𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
Ejemplos:
• Un tren alta velocidad recorrer 365 km en 1,5 horas. ¿Cuántos kilómetros
recorrerá en 2 horas?
A más horas más km.
365 km ⟶ 1, 5 horas
x km ⟶ 2 horas
365
𝑋𝑋
=
1,5
2
→ 365 · 2 = 1,5𝑋𝑋 → 730 = 1,5𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 =
730
1,5
= 486, 67
• Andrea compra 10 kg de zanahorias, si 2 kg de zanahorias cuesta 1,28 euros
¿Cuánto pagara Andrea por 10 kg?
A más kg más euros.
2 kg ⟶ 1,28€
10 kg ⟶ x euros
2
10
=
1,28
𝑋𝑋
→ 2𝑋𝑋 = 10 · 1,28 → 2𝑋𝑋 = 12,8 → 𝑋𝑋 =
12,8
2
= 6,4
4. Porcentajes
En muchas ocasiones hemos visto el siguiente símbolo % (tanto por ciento), tanto en
documentos escritos, imágenes, presentaciones, lenguaje verbal… nos informan de
los porcentajes de “algo”, son datos muy cotidianos, por ejemplo, en la época de las
rebajas: “descuento de un 30%”.
Porcentaje
• Es la proporcionalidad más utilizada en la vida cotidiana
• El porcentaje es una razón de proporcionalidad, cuyo denominador siempre
es 100.
• Su símbolo es %
• Para calcular un porcentaje de una cantidad se multiplica por el tanto y se
divide por 100
Ejemplo:
Calcular el 25% de 3500,
3500 · 25
100
=
87500
100
= 875
Curiosidades:
• El 50% de una cantidad, es siempre su mitad.
• El 25% de una cantidad, es su cuarta parte, es decir, dividirlo por 4

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• El 75% de una cantidad, son las tres cuartas partes, es decir, multiplicar por
3 y dividir por 4
• El 10% de una cantidad, es su decima parte, es decir, dividirla por 10.
• El 200% de una cantidad, es su doble.
¿Cómo resolver problemas sobre porcentajes?
Nos podemos encontrar como varias tipologías de problemas donde debemos calcular
el porcentaje:
• Los que nos piden calcular % de una cantidad. Ya hemos visto ejemplos en
apartados anteriores.
• Los que nos solicitan que cantidad debemos pagar por un objeto, una vez
aplicado un descuento, o que cantidad debemos pagar por un objeto añadiendo
un porcentaje.
• Calcular el porcentaje de un objeto, en un total
Ejemplo sobre el segundo tipo de problemas.
En una tienda de electrodomésticos, nos hemos fijado que un ordenador cuyo precio
es de 1.750€, están de ofertas, y si lo compramos hoy, nos aplican un descuento del
30%. Nosotros sabemos que, para este tipo de objetos, nos van aplicar un 21% de
impuestos (IVA). ¿Cuánto nos constará el ordenador, si nos decidimos a comprarlo
hoy?
Una forma de resolverlo es la siguiente:
Primero, vamos a calcular cuánto quedaría el precio del ordenador, una vez aplicado
el descuento:
1750 · 30
100
=
52500
100
= 525
1750 − 525 = 1225
El ordenador una vez aplicado el descuento, cuesta 1.225 €
Segundo, vamos a calcular cuánto quedaría el precio final, aplicando el impuesto:
1225 · 21
100
=
25725
100
= 257,25
1225 + 257,25 = 1482,25
El ordenador una vez aplicado el IVA, cuesta 1.482,25
¿Cuándo nos hemos ahorrado si lo compramos hoy?
No cometáis el error, de restar a 1.750 la cantidad de 1.482,25, a no ser que en el
anuncio nos indique que en el precio del ordenador ya esta incluido el IVA; en caso

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contrario, para saber el ahorro, deberíamos aplicar el IVA y luego comprobar el
ahorro:
1750 · 21
100
=
36750
100
= 367,5
1750 + 367,5 = 2117,5
Por tanto, el ahorro de comprar el ordenador hoy es 2.117.5 – 1.482,25 = 635,25.
Como podéis comprar, merece la pena, comprar el ordenador hoy.
Ejemplo del tercer tipo:
En una librería hay, 35 libros de historia, 25 de matemáticas y 80 de ciencias
naturales. ¿Calcular el porcentaje de libros que hay por cada temática?
Primero vamos al calcular el total de libros, ya que será el 100% de los libros que hay
en la librería:
35 + 25 + 80 = 140 libros
Segundo, vamos a calcular los porcentajes por temática:
a) historia
35 · 𝑋𝑋
100
= 140 → 𝑥𝑥 =
35 · 100
140
= 25%
b) matemáticas
25 · 𝑋𝑋
100
= 140 → 𝑥𝑥 =
25 · 100
140
= 17,85%
c) ciencias naturales
80 · 𝑋𝑋
100
= 140 → 𝑥𝑥 =
80 · 100
140
= 57,15%
25% + 17,85% + 57,15% = 100%
5. Escalas
En muchas ocasiones, a la hora de representar objetos (dibujos, fotografía, mapas,
maquetas, edificios, superficies, personas, animales, …) necesitamos aplicar una
razón de proporcionalidad lo más exacta posible, a esto lo denominados,
representación a escala.
Escala

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La escala es una razón de proporcionalidad entre la medida representada y la
medida real. Siempre se expresan en la misma unidad de medida.
Tipos de escala:
• 1 : 1 escala natural, la representación coincide con la medida real.
• 1 : 50 escala de reducción, es cuando la representación debe reducirse con
respecto a la medida real.
• 2 : 1 escala de ampliación, es cuando la representación debe aumentarse
con respecto a la medida real.
Ejemplos:
• En un mapa que se ha representado un territorio en cm, vemos que la escala
utilizada ha sido 1 : 20.000; es decir, que 1 cm de la representación del mapa
equivale a 20.000 cm de la realidad, también podríamos decir, que cada 1 cm
de representación del mapa, equivale a 200 metros de la realidad.
• Hemos realizado una fotografía de un edificio, a la hora de representarla en
un documento, para que el lector se haga una idea, le indicamos que hemos
utilizado una escala mm, y que la relación es de 1 : 600.
Ejemplo: Hemos encontrado una imagen de un castillo. Nos indican que la unidad
utilizada para la escala de cm, y la escala utilizada es 1 : 800, es decir por cada cm
de la imagen, equivale a 800 cm de la realidad. Nos piden que calculemos la altura
real en metros, de la fachada del castillo, teniendo en cuenta, que dicha fachada en
la representación mide 3,5 cm.
1 cm ⟶ 800 cm
3,5 cm ⟶ x cm
1
3,5
=
800
𝑥𝑥
→ 𝑥𝑥 =
3,5 · 800
1
= 2.800 𝑐𝑐𝑐𝑐
2.800 cm = 28 metros
6. Factores de Conversión
El factor de conversión o factor unidad es un método de conversión que se basa en
multiplicar por una o varias fracciones en las que el numerador y el denominador son
cantidades iguales expresadas en unidades de medida distintas, de tal manera, que
cada fracción equivale a la unidad.
Ejemplos:
• Queremos pasar 30 cm/s a Km/h:

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• Queremos pasar 2 días y medio a horas:
7. Enlaces que pueden ayudar a comprender mejor los conceptos explicados:
• https://youtu.be/PjteXr7INW0
• https://www.unicoos.com/video/matematicas/1-eso/proporcionalidad-y-
porcentajes/proporcionalidad-directa/cuarto-medio-y-tercero-proporcional
• https://www.unicoos.com/video/matematicas/1-eso/proporcionalidad-y-
porcentajes/porcentajes/que-es-un-porcentaje-y-como-se-calculan
• https://youtu.be/0qcjdsMqmT8
• https://youtu.be/uoSZNePQpSM
• https://youtu.be/o0DL20Os34k
• https://youtu.be/ernSMwm3RC4
Ejercicios:
1. 5 personas gastan diariamente 250 litros de agua, calcula la razón del consumo de
agua por persona. Según el resultado, cual seria el consumo de agua en una familia
de siete miembros.
2. 7 kilos de berenjenas nos constaron 5,25 euros. Expresa la razón entre kilos y
coste.
3. Si la razón de dos magnitudes es 20, que valor podría tener una de las magnitudes
si la otra vale 5.
4. Calcular el valor de x para que se cumpla la razón de proporcionalidad:
a) 180
120
=
300
𝑋𝑋
b) 12
5
=
𝑋𝑋
15
c) 0,2
𝑋𝑋
=
0,6
16
d) 𝑋𝑋
0,8
=
6
2,4

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5. Completa la siguiente tabla sabiendo que la razón de proporcionalidad es 5,5:
10 5 6 100
55 22
7. Dos videojuegos cuestan 100€, responden:
a) ¿Cuántos nos constaran 5 videojuegos?
b) ¿Cuánto cuesta un videojuego?
c) ¿Cuántos videojuegos podremos comprar con 500€?
8. Indica que magnitudes son directamente proporcionales:
a) El tamaño de un recipiente y el número de litros que pueden contener.
b) La edad de una persona y su altura.
c) El número de pisos que sube o baja un ascensor y las personas que caben en
el.
d) Los kilos de pienso y el número de ovejas para alimentar
9. Para una receta de un bizcocho sabemos que, por cada 100 gramos de harina hay
que echar 10 gramos de cacao. ¿Cuánto cacao necesitaremos para 300 gramos de
harina?
10. Una sandía cuesta en el supermercado 4 euros. Juán ha comprado 50 sandías
¿cuánto se habrá gastado?
11. María tiene que comprar pintura blanca para darle una mano previa a una
habitación que quiere cambiar de color. Si en el bote de pintura se indica que con 1
litro de pintura se pueden pintar 8 m2
¿cuántos litros necesita teóricamente para
pintar las paredes de la habitación si ésta tiene 40 m2
de pared?”
12. Si 3 kilos de naranjas cuestan 4,00€, ¿cuántos kilos de naranjas se pueden
comprar con 32,00 €?
13. Calcular el 33%, 55% y 77% de las siguientes cantidades:
1.000.000 3.555 12.365.441 125

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368 11.110 125.358 300
14. De los 950 alumnos de un colegio, han ido de viaje 700. ¿Qué porcentaje de
alumnos ha ido de viaje?
15. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 10.800 €, nos hacen un descuento del
5,5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
16. El precio de un ordenador es de 2.200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si
el IVA es del 16%?
17. Es época de rebajas, y queremos cómpranos un móvil, teniendo en cuenta que no
queremos gastarnos más de 500€, en dos tiendas hemos visto la misma oferta de un
15% de descuento, debemos tener que estos productos tienen un 21% de IVA, ¿por
qué oferta nos decidimos?
OFERTA TIENDA 1
Precio con el IVA incluido, es de 499,99€
OFERTA TIENDA 2
Precio sin IVA, es de 399,99€ incluyendo reparación de móvil gratuita durante el
primer año.
18. Según Google Maps, la distancia entre Valencia y Madrid es de 302.56 km. En el
mapa la distancia esta representada por 9 cm. ¿Qué escala se ha utilizado?
19. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que hemos utilizado la escala 1 :
500
Representación Medida Real
20 cm
10 km
0,009 m
20. Calcula la escala utilizada para cada caso:

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Representación Medida Real Escala
4,5 cm 1.000 m
2 cm 6,8 hm
10 cm 8 km
21. Utilizando la técnica de factor unidad -factores de conversación-:
a) Si una pulga equivale 2,54 cm, pasar 15 pulgadas a cm.
b) 25 metros por segundo a km por hora.
c) 3000 minutos a días
d) Si el valor del dólar está 1€ ⟶ 1,08$, y necesitamos cambiar 1000 euros a
dólares, cuantos billetes de 5 dólares, nos tendrán que dar.