TEOREMA DE MAXELL Y BETTI. PAUCARA COAGUILA YEAN MARTIN-ESTRUCTURAL Previamente al teorema de Maxwell-Betti, en 1864, James Clerk Maxwell publicó un teorema denominado "Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos", al que contribuyeron notablemente los trabajos de otros científicos como Mohr y Clapeyron. Se considera que este teorema da lugar al primer método de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas.

1. UNIVERSIDAD RICARDO PALMA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL I
PROFESOR: ING. SEDANO TAPIA
TITULO: TEOREMA DE BETTI Y TEOREMA DE MAXWELL
ALUMNO: PAUCARA COAGUILA YEAN MARTIN
2015-I

2. Teorema de Maxwell-Betti
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir
entre los trabajos realizados por dos estados de carga actuantes
sobre una misma estructura para que la energía de deformación sea
independiente del orden de aplicación de estos estados

3. Teorema de Maxwell-Betti
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir entre los trabajos
realizados por dos estados de carga actuantes sobre una misma estructura para que la energía
de deformación sea independiente del orden de aplicación de estos estados
El Teorema se puede emplear para conocer flechas o desplazamientos en estructuras cargadas
con un número importante de acciones manipulando convenientemente las acciones reales
actuantes en el modelo. Su aplicación en la mayoría de los casos no conduce directamente a la
solución, pero sí reduce considerablemente el número de operaciones que, mediante otros
procedimientos, habría que realizar. Por esta razón este Teorema debe aplicarse en
colaboración con otro procedimiento de cálculo

4. Teorema de Maxwell-Betti
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir entre los trabajos
realizados por dos estados de carga actuantes sobre una misma estructura para que la energía
de deformación sea independiente del orden de aplicación de estos estados
El Teorema se puede emplear para conocer flechas o desplazamientos en estructuras cargadas
con un número importante de acciones manipulando convenientemente las acciones reales
actuantes en el modelo. Su aplicación en la mayoría de los casos no conduce directamente a la
solución, pero sí reduce considerablemente el número de operaciones que, mediante otros
procedimientos, habría que realizar. Por esta razón este Teorema debe aplicarse en
colaboración con otro procedimiento de cálculo
La exposición comienza con la definición del Teorema y su demostración. Posteriormente se
muestran sus aplicaciones y unos ejemplos

5. Definición

6. Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:

7. Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:

8. Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
PA

9. A
P
= sistema A de acciones exteriores
PA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:

10. A
P
PB
= sistema A de acciones exteriores
PA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:

11. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
PA
PB
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:

12. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
PA
PB
AB
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:

13. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PA
PB
AB
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B

14. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B

15. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

16. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

17. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

18. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
Siempre se cumple:
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

19. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
PA AB PB BA
=
Siempre se cumple:
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

20. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
PA AB PB BA
=
Siempre se cumple:
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
Teorema de Maxwell
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

21. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
PA AB PB BA
=
Siempre se cumple:
Cuando
PA
= PB
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
Teorema de Maxwell
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

22. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
Siempre se cumple:
Cuando
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Si
BA
PB BA
PA AB AB
PA PB
=
= =
Teorema de Maxwell
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A

23. A
P
B
P
= sistema A de acciones exteriores
PAAB
PB BA
PA AB PB BA
=
Siempre se cumple:
Teorema de Maxwell
Cuando
PA
= PB
BA
AB =
Teorema de Betti
AB
BA
PA
PB
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
= sistema B de acciones exteriores
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación
de las acciones de A
Si
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
y
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A

24. Demostración

25. La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Demostración

26. Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

27. Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

28. Demostración
P1
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

29. UP 1
P1
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

30. UP 1
P1
P1
UP 1
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

31. UP 1
P1
P1 P2
UP 1
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

32. UP 1
P1
P1 P2
UP1P2
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

33. UP 1
P1
P1 P2
UP1P2
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

34. UP 1
P1
P1 P2
UP1P2
P2
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

35. UP 1
P 2
U
P1
P1 P2
UP1P2
P2
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

36. UP 1
UP1P2
P 2
U
P1
P1 P2
P2
P2
P 2
U
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

37. UP 1
UP1P2
P 2
U
P1
P1 P2
P2
P2 P1
P 2
U
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

38. UP 1
UP1P2
P 2
U
UP2P1
P1
P1 P2
P2
P2 P1
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

39. UP 1
UP1P2
P 2
U
UP2P1
=
P1
P1 P2
P2
P2 P1
UP1P2 UP2P1
Demostración
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de
la energía de deformación
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura

40. Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

41. El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación
Demostración
Supongamos que se
aplica un conjunto
A de acciones
exteriores sobre
una estructura

42. Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

43. Cargas estáticas
PA
Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

44. Cargas estáticas

PA
AA
Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

45. Cargas estáticas

PA
AA
Demostración
El trabajo producido por
estas acciones vale:
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

46. UA

PA AA
2
Cargas estáticas

PA
AA
Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

47. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
Demostración
Supongamos que en
la posición de
equilibrio se aplica
otro conjunto B de
acciones
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

48. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
Cargas ctes
PA
Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

49. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
B
P
Cargas ctes
PA
Cargas estáticas
Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

50. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
PA
B
P
AB

Cargas ctes
Cargas estáticas
Demostración
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

51. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

52. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
Ahora el trabajo realizado vale:
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

53. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

54. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
AB
A
U  P 

PA AA

PB BB
2 2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
Este término es el trabajo de las
acciones del sistema A al deformarse la
estructura por las acciones del sistema B
(durante el desplazamiento, las acciones
de A no cambian de valor)
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

55. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

56. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
Supongamos que se
invierte el orden
de aplicación de
las acciones: se
aplica primero el
conjunto B de
acciones
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

57. PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

58. PB
Cargas
estáticas
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

59. PB
BB
Cargas
estáticas 
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

60. PB
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Cargas
estáticas 
El trabajo producido por
estas acciones vale:
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

61. PB
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
UB
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

62. B
P
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
UB
Cargas
estáticas 
En la posición de
equilibrio se aplica
el conjunto A de
acciones
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

63. PB
B
P
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
UB
Cargas
estáticas 
Cargas ctes
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

64. PB
P
B
P
Ca
A
rgas estáticas
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
UB
Cargas
estáticas 
Cargas ctes
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

65. PB
B
P
AA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
UB
Cargas
estáticas 
Cargas ctes
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

66. PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
UB
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

67. PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2
Ahora el trabajo realizado vale:
UB
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

68. PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

69. B
P PB
Cargas ctes

BA
Cargas
estáticas
PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
AA
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Este término es el trabajo de las
acciones del sistema B al deformarse la
estructura por las acciones del sistema A
(durante el desplazamiento las acciones
de B no cambian de valor)
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2

70. PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

71. Deben ser
iguales
PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
A AB
B BB
2
U  P 


PAAA P 
2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

72. Deben ser
iguales
PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
AB
A
U  P 

PA AA

PB BB
2 2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

73. Deben ser
iguales
PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
AB
A
U  P 

PA AA

PB BB
2 2
(AB)
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

74. Deben ser
iguales
PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
AB
A
U  P 

PA AA

PB BB
2 2
(AB)
PA AB
=
PB BA
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

75. Deben ser
iguales
PB
B
P
Cargas ctes
AA

BA

PA
AA

UA

PA AA
2
Cargas estáticas
AB
A
U  P 

PA AA

PB BB
2 2
(AB)
PA AB
=
PB BA
Ca
A
rgas estáticas
P
Demostración
PA
B
P
AB

BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB

PB BB
2

PB  BB

PA AA
 P 
U U(BA)
B B BA
2 2
Cargas
estáticas 
El orden de
aplicación de las
acciones no
afecta al valor
final de la
energía de
deformación

76. Desplazamiento en cualquier sección
APLICACIONES

77. Desplazamiento en cualquier sección
Sea una
estructura
sometida a
unas acciones.
Se desea
conocer el
desplazamiento
de alguna
sección S

78. Desplazamiento en cualquier sección
Cargas reales
PA
S

79. Desplazamiento en cualquier sección
Cargas reales
 ?
PA
S
S

80. Desplazamiento en cualquier sección
Cargas reales
 ?
PA
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical

81. PA
Cargas reales
S ?
PA
Sx ?
Desplazamiento en cualquier sección
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical

82. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

83. A
P
Sx ?
A
P
Sy ?
Desplazamiento en cualquier sección
A
P
Cargas reales
S
 ?
Para calcular el
desplazamiento horizontal,
se supone que, además de
las cargas reales, existe una
acción puntual unitaria y
horizontal en S
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

84. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
PA
Cargas reales
S ?
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

85. A
P
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
En esta situación aplicamos
el teorema de Maxwell-Betti
suponiendo que el sistema B
es la carga unitaria. Así se
obtiene el desplazamiento
horizontal de S
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

86. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
P1  Sx
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

87. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
P1  Sx
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga unitaria
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

88. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

89. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
vertical
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
S
S
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y

90. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
vertical
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
Para calcular el
desplazamiento vertical, se
supone que, además de las
cargas reales, existe una
acción puntual unitaria y
vertical en S
S
S
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y

91. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
A
P
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
horizontal y
vertical
PB 1
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
S
S
S
S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes

92. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
A
P
B
P 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
En esta situación aplicamos
el teorema de Maxwell-Betti
suponiendo que el sistema B
es la carga unitaria. Así se
obtiene el desplazamiento
vertical de S
S
S S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

93. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
Carga
unitaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
imaginaria
PB 1
S S
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
P1 Sy
S
S S

94. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
Carga
unitaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
imaginaria
PB 1
S S
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga unitaria
P1 Sy
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina

95. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
componentes
horizontal y
vertical
S S Sy Sy B
PB 1
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
P1 Sy
  0  , P
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga unitaria
Si
S
S S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus

96. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
P1 Sy
Sy  0  Sy, PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga unitaria
Si
Si Sy  0  Sy, PB
S
S S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

97. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
P1 Sy
Sy  0  Sy, PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga unitaria
Si
Si Sy  0  Sy, PB
Sy
Sx
S  2
2
 
S
S S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

98. PA
Sx ?
A
P
Sy ?
PA
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
PA
Cargas reales
S ?
A
P
PB 1
Carga
unitaria
imaginaria
P1  Sx
Sx  0  Sx ,PB
 
Sx  0  Sx ,PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga
unitar
ia
Si
Si
P1 Sy
Sy  0  Sy, PB
El signo del desplazamiento
indica si coincide o no con el
sentido de la carga unitaria
Si
Si Sy  0  Sy, PB
Sy
Sx
S  2
2
 
S
S S
S
Si la dirección
del
desplazamiento
es desconocida
, el
desplazamiento
se determina
calculando sus
componentes
horizontal y
vertical
S

99. Giro en cualquier sección

100. Giro en cualquier sección
Sea una
estructura
sometida a unas
acciones. Se
desea conocer el
giro de alguna
sección S

101. PA
Giro en cualquier sección

102. S ?
PA
Giro en cualquier sección
S

103. A
P
S ?
Giro en cualquier sección
S
Para calcular el giro en S, se
supone que, además de las
cargas reales, existe un
momento puntual unitario en S

104. A
P
S ?
Giro en cualquier sección
S
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia

105. A
P
S ?
Giro en cualquier sección
S
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia
En esta situación aplicamos
el teorema de Maxwell-Betti
suponiendo que el sistema B
es el momento unitario. Así
se obtiene el giro de S

106. A
P
S ? m  S
Giro en cualquier sección
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia

107. A
P
S ? m  S
Giro en cualquier sección
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si
coincide o no con el sentido
del momento unitario

108. A
P
S ? m  S
m  0  mB,m
Giro en cualquier sección
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si
coincide o no con el sentido
del momento unitario
Si

109. A
P
S ? m  S
m  0  mB,m
Giro en cualquier sección
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si
coincide o no con el sentido
del momento unitario
Si
Si m  0 mB, m

110. A
P
S ? m  S
m  0  mB,m
Giro en cualquier sección
Cargas reales
PA
mB 1
Momento
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si
coincide o no con el sentido
del momento unitario
Si
Si m  0 mB, m

111. Ejemplo 1

112. Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

113. M1
P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

114. S ?
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

115. S ?
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

116. Sistema 1: las cargas reales
S ?
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
M1
P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

117. Sistema 1: las cargas reales
1
S ?
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
M1
P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

118. Sistema 1: las cargas reales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

119. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

120. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Trabajo del
sistema 2 por las
acciones del
sistema 1
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

121. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Trabajo del
sistema 2 por las
acciones del
sistema 1
Trabajo del
sistema 1 por las
acciones del
sistema 2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

122. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

123. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Desplazamiento de
la sección S
producido por las
acciones reales
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

124. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1S = Pi i  Mi i
Acciones
reales sobre la
estructura
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

125. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1S = Pi i  Mi i
Movimientos de la
estructura en los
lugares y direcciones
de las acciones reales
producidos por la carga
imaginaria
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

126. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1S = Pi i  Mi i
Movimientos de la
estructura en los
lugares y direcciones
de las acciones reales
producidos por la carga
imaginaria
Para determinar los términos de esta
igualdad puede actuarse de la siguiente
manera:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

127. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
S
1 = i i i i
P   M 
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Movimientos de la
estructura en los
lugares y direcciones
de las acciones reales
producidos por la carga
imaginaria
Para determinar los términos de esta
igualdad puede actuarse de la siguiente
manera:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Representar la estructura en dos situaciones: una con
el sistema 1 de cargas y otra con el sistema 2
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

128. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

129. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

130. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

131. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
1
M P1 P2
M2
M1 P1
P2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Representar en ambas situaciones las secciones de
la estructura donde existan acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

132. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
1
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

133. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2
1
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
1
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

134. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
S ?
1
1
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

135. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
S ?
1
1
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

136. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
S ?
1
1
1
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

137. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
S ?
1
1
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1 2
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)

138. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1
1
2

1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1 2
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)

139. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
1
1
1 2
Calcular los trabajos recíprocos de los dos
sistemas e igualarlos entre sí
2

Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

140. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
SM11P11P22M22
1
1
1 2
2

Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento

141. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
S ?
1
1
1 2
2

1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
que el producido en S por las cargas reales
conocer el desplazamiento
SM11P11P22M22
El valor de la flecha queda determinado con cuatro
desplazamientos producidos por la carga imaginaria.
Estos desplazamientos son más sencillos de calcular
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

142. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
S ?
SM11P11P22M22
 ,  , ,
1
1
1 2
2

1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
1 1 2 2
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

143. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
SM11P11P22M22
1
1
1 2
2

1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
 ,  , ,
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Pueden calcularse utilizando
los métodos matemáticos
1 1 2 2
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

144. Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se
altera la realidad suponiendo que sobre la
estructura actúan dos sistemas de carga:
1
S ?
SM11P11P22M22
1
1
1 2
2

1S = Pi i  Mi i
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
S
P2 M2
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
 ,  , ,
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el
lugar y en el sentido donde se desea
conocer el desplazamiento
Pueden calcularse utilizando
los métodos matemáticos
1 1 2 2
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los sistemas no afecte el valor final
de la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

145. Ejemplo 2

146. Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

147. M1
P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales

148. 1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S
 ?

149. Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S
 ?

150. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S
 ?
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:

151. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 P2
M2
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S
 ?
1 sección S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro

152. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:

153. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

154. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Trabajo del
sistema 2 por las
acciones del
sistema 1

155. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Trabajo del
sistema 2 por las
acciones del
sistema 1
Trabajo del
sistema 1 por las
acciones del
sistema 2
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

156. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

157. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
Giro de la sección
S producido por
las acciones
reales

158. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1S = Pi i  Mi i
Acciones
reales sobre la
estructura

159. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1S = Pi i  Mi i
Movimientos de la
estructura en los
lugares y direcciones
de las acciones reales
producidos por el
momento imaginario

160. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1S = Pi i  Mi i
Movimientos de la
estructura en los
lugares y direcciones
de las acciones reales
producidos por el
momento imaginario
Para determinar los términos de esta
igualdad, se puede actuar de la siguiente
manera:

161. Sistema 1: las cargas reales
= Pi i  Mi i
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S
Movimientos de la
estructura en los
lugares y direcciones
de las acciones reales
producidos por el
momento imaginario
Para determinar los términos de esta
igualdad, se puede actuar de la siguiente
manera:
Representar la estructura en dos situaciones: una con
el sistema 1 de cargas y otra con el sistema 2
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

162. Sistema 1: las cargas reales
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

163. Sistema 1: las cargas reales
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

164. Sistema 1: las cargas reales
1
1
M P1 2
P M2
1
M P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Representar en ambas situaciones las secciones
donde existan acciones puntuales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

165. Sistema 1: las cargas reales
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

166. Sistema 1: las cargas reales
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
1 sección S
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

167. Sistema 1: las cargas reales
1
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1S = Pi i  Mi i
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
1 sección S
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

168. Sistema 1: las cargas reales
1
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1S = Pi i  Mi i
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
1 sección S
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

169. Sistema 1: las cargas reales
1
1
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1S = Pi i  Mi i
S
1 sección S
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

170. Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
Sistema 1: las cargas reales
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1
1 2
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)

171. Sistema 1: las cargas reales
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
2
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:
1
1 2
Plantear los movimientos de las secciones donde
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia
abajo y los giros a favor de las agujas del
reloj)

172. Sistema 1: las cargas reales
1
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
1
1 2
Calcular los trabajos recíprocos de los dos
sistemas e igualarlos entre sí
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

173. Sistema 1: las cargas reales
1
1
1 2
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
SM11P11P22M22
2
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

174. Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
1
1
1 2
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
Sistema 1: las cargas reales
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
SM11P11P22M22
El valor del giro queda determinado con cuatro
movimientos producidos por el momento imaginario. Es
más sencillo calcular estos desplazamientos que el
producido en S por las cargas reales
conocer el giro
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

175. Sistema 2: un momento puntual aplicado en
 ,  , ,
1
1
1 2
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
Sistema 1: las cargas reales
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
SM11P11P22M22
2
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
1 1 2 2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

176. Sistema 1: las cargas reales
1
1
1 2
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
SM11P11P22M22
2
 ,  , ,
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Pueden calcularse utilizando
los métodos matemáticos
1 1 2 2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

177. Sistema 1: las cargas reales
1
1
1 2
1
M P1 2
P M2
M1
P1 P2
M2
M1 P1
P2 M2
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
S ?
1 sección S
1S = Pi i  Mi i
SM11P11P22M22
2
 ,  , ,
Sistema 2: un momento puntual aplicado en
el lugar y en el sentido donde se desea
conocer el giro
Pueden calcularse utilizando
los métodos matemáticos
1 1 2 2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se
altera la realidad suponiendo que actúan dos
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de
la energía de deformación, se debe cumplir la
siguiente reciprocidad de trabajos:

178. Ejemplo 3

179. Ejemplo 3
A B C D E
L L L L
P M
P P
Utilizando el Teorema de Maxwell-Betti y los
Teoremas de área de momentos, obtener en el
voladizo la flecha en E
E ?

180. Ejemplo 3
A B C D E
L L L L
P M
P P
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha
E ?
Utilizando el Teorema de Maxwell-Betti y los
Teoremas de área de momentos, obtener en el
voladizo la flecha en E

181. Ejemplo 3
A B C D E
L L L L
P M
P P
1
Situación supuesta
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

182. Ejemplo 3
A B C D E
L L L L
P M
P P
1
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Situación supuesta
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

183. Ejemplo 3
B C D E
L L L L
P M
P P
Sistema A
A
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

184. Ejemplo 3
1
B C D E
B C D E
L L L L
P M
P P
Sistema A
A
Sistema A
B
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

185. Ejemplo 3
1
B C D E
B C D E
L L L L
P M
P P
Sistema A
A
Sistema A
B
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

186. Ejemplo 3
B
yB
1
Sistema A B C D E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

187. Ejemplo 3
B
yC
yB
1
Sistema A B C D E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

188. Ejemplo 3
B
yD
yC
yB
1
Sistema A B C D E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

189. Ejemplo 3
B
yD
yC
yB
1
Sistema A B C D E E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

190. Ejemplo 3
B
E ?
yD
yC
yB
1
Sistema A B C D E E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

191. Ejemplo 3
B
E ?
yD
yC
yB
1
Sistema A B C D E E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
1E  PyB  PyC  PyD  ME
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

192. Ejemplo 3
B
E ?
D
y
yC
yB
1
Sistema A B C D E E
Sistema A
A
B C D E
L L L L
P M
P P
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

193. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

194. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
Diagrama de en la estructura por la carga unitaria:
M
EI
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

195. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
M
EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

196. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

197. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
Obtención de la flecha en B:
Aplicación del 2º Teorema de área de momentos entre
las secciones A y B
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

198. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 3L
EI
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
A B
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

199. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 3L
EI
A B
1E  PyB  PyC  PyD  ME
yB  yA  A LA B  AA B xG B Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

200. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 3L
EI
A B
yB  yA  A LA B  AA B xG B
11L3
yB 
6EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

201. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 3L
EI
A B
yB  yA  A LA B  AA B xG B
11L3
yB 
6EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
yB 
6EI
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

202. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
yB 
6EI
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

203. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtención de la flecha en C:
Aplicación del 2º Teorema de área de momentos entre
las secciones A y C
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
yB 
6EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

204. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
A C
 2L
EI
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
yB 
6EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

205. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 2L
EI
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
yB 
6EI
yC  yA  A LA C AACxGC
A C
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

206. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 2L
EI
yC  yA  A LA C AACxGC
20L3
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
yB 
6EI
yC 
3EI
A C
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

207. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI
 2L
EI
yC  yA  A LA C AACxGC
20L3
yC 
3EI
A C
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
yC 
yB 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

208. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
yC 
yB 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

209. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtención de la flecha en D:
Aplicación del 2º Teorema de área de momentos entre
las secciones A y D
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
yC 
yB 
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

210. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI  L
EI
A D
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
yC 
yB 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

211. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI  L
EI
yD  yA  ALAD AADxGD
A D
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
yC 
yB 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

212. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI  L
EI
yD  yA  ALAD AADxGD
27L3
yD 
2EI
A D
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
yC 
yB 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

213. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
 4L
EI  L
EI
yD  yA  ALAD AADxGD
27L3
yD 
2EI
A D
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
27L3
2EI
yC 
yB  yD 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

214. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
27L3
2EI
yC 
yB  yD 
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

215. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
Obtención del giro en E:
Aplicación del 1º Teorema de área de momentos entre
las secciones A y E
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
27L3
2EI
yC 
yB  yD 
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

216. Ejemplo 3
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
A
momentos
1E  PyB  PyC  PyD  ME
20L3
3EI
11L3
6EI
27L3
2EI
yC 
yB  yD 
E
 4L
EI Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

217. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
11L3
20L3
27L3
yB 
6EI
yC 
3EI
yD 
2EI
A E
 4L
EI
E  AAD
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

218. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
11L3
20L3
27L3
yB 
6EI
yC 
3EI
yD 
2EI
A E
 4L
EI
E  AAD
EI
E
2

16L
 Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

219. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
11L3
20L3
27L3
yB 
6EI
yC 
3EI
yD 
2EI
A E
 4L
EI
E  AAD
EI
E
2

16L

EI
E
2

16L

Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

220. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
1
A B C D E
L L L L
 4L
EI
 L
EI
 2L
EI
 3L
EI
M
EI
11L3
20L3
27L3
yB 
6EI
yC 
3EI
yD 
2EI
A E
 4L
EI
E  AAD
EI
E
2

16L

EI
E
2

16L

Obtener la flecha aplicando la
ecuación deducida del
Teorema de Maxwell-Betti
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

221. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
20L3
27L3
yB 
6EI
yC 
3EI
yD 
2EI EI
E
2

16L

A B C D E
L L L L
P M
P P
Obtener la flecha aplicando la
ecuación deducida del
Teorema de Maxwell-Betti
E ?
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha

222. Ejemplo 3
1E  PyB  PyC  PyD  ME
11L3
20L3
27L3
yB 
6EI
yC 
3EI
yD 
2EI EI
E
2

16L

E
3 2

22PL

16M L
EI EI

E ?
A B C D E
L L L L
P M
P P
Obtener la flecha aplicando la
ecuación deducida del
Teorema de Maxwell-Betti
Obtener los valores de los
desplazamientos y giros de la
ecuación utilizando los
Teoremas de área de
momentos
Aplicar el Teorema suponiendo
que las acciones reales forman
el sistema A y la carga
unitaria forma el B
Suponer que existe también
una acción unitaria aplicada en
E, orientada según el
movimiento de la flecha