1. FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN
CUADRÁTICA
Definiciones y representacionesgráficas
2. Función Lineal
Definición:
En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es
una función polinómica de primer grado; es decir, una
función cuya representación en el plano cartesiano es una
línea recta. Esta función se puede escribir como:
f(x) = mx + b
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real.
La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto
de corte de la recta con el eje y.Si se modifica m entonces
se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
3. Representación Gráfica
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
Ordenada al origen:
La ordenada al origen "b" es el valor donde la recta corta al
eje “y”.
4. Características de la pendiente:
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al
eje de abscisas.
•Si m > 0 la función es creciente y el ánguloque
forma la recta con la parte positiva del eje OX esagudo.
•Si m < 0 la función es decreciente y el ánguloque
forma la recta con la parte positiva del eje OX esobtuso.
• Si m = 0 la función escontante.
5. Función Cuadrática:
Definición:
Una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:
y=��2+ ��+
�
cona≠0
RepresentaciónAnalítica:
Hay tres formas de escribir una función cuadrática,
aplicables según el uso que se le quiera dar a la función.
6. Forma Polinómica:
La forma polinómica de una función cuadrática
corresponde a la del polinomio de segundo grado,escrito
convencionalmente como:
𝑓 � = ��2 + ��
+ �
con �≠
0
Forma factorizda:
La forma polinómica de una función cuadrática
corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito
convencionalmente como:
𝑓 � = �(�− �1)(� − �2)
siendo �el coeficiente principal de la función, y �1;�2las
raíces de f(x).
7. Forma canónica:
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el
cuadrado de un binomio de la siguientemanera:
𝑓 � = �(�− ℎ)2 + 𝑘
siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h,k)las
coordenadas del vértice de la parábola.
8. Representación Gráfica
Diremos que una parábola es la representación gráfica de
una funcióncuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos
bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que
la generan.
Estas características o elementos son:
Ordenada al origen:
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero,
por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo
marca el valor de c (0, c).
9. Orientación y Concavidad:
Si 𝒂 > 𝟎 la parábola es cóncava
hacia arriba como en 𝒇 𝒙 = �𝒙�
− �𝒙− 𝟓
Si 𝒂 < 𝟎 la parábola es cóncava
hacia abajo como en 𝒇 𝒙 = −�
𝒙��𝒙 + �
Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se
orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus
ramas o brazos se orientan hacia abajo.
10. Raíces:
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en
toda función, son los valores de �, para los cuales �=
��2+ ��+ �= 0. Son denotadas habitualmente
como:
�1; �2 dependiendo del valor del
discriminante Δ definido como ∆ = �2 − 4��
11. Eje de simetría:
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que
divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la
separa en dos partes congruentes. Su ecuación está dada
por:
�= 𝑥1+𝑥
2 2
Vértice:
El vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de
intersección) del eje de simetría con la parábola.
