Propiedades de las funciones logarítmicas.

1. Funciones logarítmicas y
sus gráficas
Prof. Rosa E. Padilla

2. Logaritmo
• Se define 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 como el número y tal
que 𝑥 = 𝑎 𝑦
, donde x > 0, y a es una
constante positiva diferente de 1

3. Ejemplo: Grafica 𝑥 = 2 𝑦

4. Ejemplo: Grafica 𝑥 = 2 𝑦

5. Comparar gráficas

6. Hallar la fórmula inversa de
𝑓 𝑥 = 2 𝑥
• Reemplazar f(x) por y.
• Intercambiar x por y.
• Resolver para y.
• Reemplazar y por 𝑓−1
(𝑥).

7. Función logaritmo base 2
• 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 → se lee “logaritmo base 2 de x”
• Significa la potencia a la cual es elevada a
la 2 para obtener x.
• Ejemplo:
𝑙𝑜𝑔28 = 3

8. Función logarítmica
• Para cualquier función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
su
inversa es llamada función logarítmica
base a.
• La gráfica de su inversa se obtiene
reflejando la gráfica de la función original
en la recta y = x.
• 𝑥 = 𝑎 𝑦
⟹ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥
• La inversa de 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
está dada por
𝑓−1
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥.

9. Definición
• Se define 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 como el número y tal
que 𝑥 = 𝑎 𝑦
, 𝑥 > 0 y a es una constante
positiva diferente de 1.

10. Características función
logarítmica
• 𝑥 = 𝑎 𝑦
• 𝑓−1
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥
• 𝑎 > 1
• Continua
• Uno a uno
• Dominio: 0, ∞
• Rango: −∞, ∞
• Creciente
• Asíntota vertical en el eje y: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → 0+
• Intercepto x en: (1, 0)
• No tiene intercepto y
• 𝑙𝑜𝑔 𝑎1 = 0 y 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 1 ∀ logaritmo base a.

11. Práctica
Halla los siguientes logaritmos:
1. 𝑙𝑜𝑔1010,000 2. 𝑙𝑜𝑔100.01 3. 𝑙𝑜𝑔28
4. 𝑙𝑜𝑔93 5. 𝑙𝑜𝑔61 6. 𝑙𝑜𝑔88
4 −2 3
1
2
0 1

12. Convirtiendo entre ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
• 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑎 𝑦
• Ejemplo: Convierte las siguientes
exponenciales a logaritmos.
1) 16 = 2 𝑥
2) 10−3 = 0.001 3) 𝑒 𝑡 = 70
𝑙𝑜𝑔216 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔100.001 = −3 𝑙𝑜𝑔 𝑒70 = 𝑡

13. Convirtiendo entre ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
• 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑎 𝑦
• Ejemplo: Convierte los siguientes
logaritmos a exponenciales.
1) 𝑙𝑜𝑔232 = 5 2) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑄 = 8 3) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑡 𝑀
25
= 32 𝑎8
= 𝑄 𝑡 𝑥
= 𝑀

14. Calculando logaritmos con
calculadora
log 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑥
1) log 645,778
2) log 0.000239
3) log(−3)
5.8101
−3.6216
∄

15. Logaritmo Natural
• El logaritmo base e es llamado el
logaritmo natural.
ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥

16. Halla los el valor de los
logaritmos naturales
1) ln 645,778
2) ln 0.0000239
3) ln(−5)
4) ln 𝑒
13.3782
−12.6416
∄
1

17. Cambio de base en logaritmos
• Para cualquier logaritmos con bases a y b,
y cualquier número M:
log 𝑏 𝑀 =
log 𝑎M
log 𝑎 𝑏

18. Ejemplo
• Utiliza logaritmos comunes para hallar el
valor de log58:

19. Ejemplo
• Utiliza logaritmos naturales para hallar el
valor de log58:

20. Aplicaciones
• La magnitud R de la escala Richter para
medir la intensidad I de un terremoto, está
definida como 𝑅 = log
𝐼
𝐼0
, donde 𝐼0 es la
intensidad mínima utilizada para
comparación, o la intensidad del menor
sismo registrado en un sismógrafo. Si un
sismo es 10 veces más intenso uno anterior,
se registra un incremento de 1 en la
intensidad del anterior. Si es 100 veces más
intenso, entonces el aumento en intensidad es
2.

21. Aplicaciones
• Un sismo en Ahmedabad, India el 26 de
enero de 2001 tuvo una intensidad de
107.9
∙ 𝐼0. ¿Cuál era la magnitud en la
escala Richter?
• La magnitud en la escala Richter fue de
7.9.

22. Graficando funciones
logarítmicas
• Ejemplo: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥

23. Graficando funciones
logarítmicas
• Ejemplo: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥
Utilizando calculadora gráfica:
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 =
ln 𝑥
ln 5

24. Grafica las siguientes
funciones:
1) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 3)
2) 𝑓 𝑥 = 3 − 1
2 ln 𝑥
3) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 − 1)

25. 1) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 3)

26. 2) 𝑓 𝑥 = 3 − 1
2
ln 𝑥

27. 3) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 − 1)

28. Transformaciones
Sea 𝑓 𝑥 = log 𝑥. Para cada función, grafica las
mismas e identifica las trasformaciones de f →
g.
• 1. 𝑔 𝑥 = 3 log 𝑥
• 2. 𝑔 𝑥 = 1
2
log 𝑥 + 1
• 3. 𝑔 𝑥 = − log 𝑥 − 2
• 4. 𝑔 𝑥 = −5 log 𝑥
• 5. 𝑔 𝑥 = 0.25 log 𝑥 − 2
• 6. 𝑔 𝑥 = log 𝑥 + 5 − 3

29. 1. 𝑔 𝑥 = 3 log 𝑥

30. 2. 𝑔 𝑥 = 1
2
log 𝑥 + 1

31. 3. 𝑔 𝑥 = − log 𝑥 − 2

32. 4. 𝑔 𝑥 = −5 log 𝑥

33. 5. 𝑔 𝑥 = 0.25 log 𝑥 − 2

34. 6. 𝑔 𝑥 = log 𝑥 + 5 − 3

35. Propiedades de los logaritmos
• ∀𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1; 𝑏 𝑥
= 𝑦 ⇔ 𝑥 = log 𝑏 𝑦
• Si 𝑏 𝑥 = 𝑏 𝑦 → 𝑥 = 𝑦
• Para 𝑚 > 0, 𝑛 > 0 𝑦 𝑏 ≠ 1:
– Producto: log 𝑏 𝑚𝑛 = log 𝑏 𝑚 + log 𝑏 𝑛
– División: log 𝑏
𝑚
𝑛
= log 𝑏 𝑚 − log 𝑏 𝑛
– Potencias: log 𝑏 𝑚 𝑛 = 𝑛 ∙ log 𝑏 𝑚
• log 𝑏 𝑏 𝑥
= 𝑥 ∧ 𝑏log 𝑏 𝑥
= 𝑥; ∀𝑥 > 0
• log 𝑏 𝑥 = log 𝑏 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦
• log 𝑏 𝑏 = 1
• log 𝑏1 = 0

36. Propiedades

37. Práctica
• Expande cada logaritmo.

38. Práctica
• Reescribe cada expresión como un
logaritmo.