Hipótesis del continuo: Explicación

1. Hipótesis del continuo
José Miguel Ejarque, Daniel Florén, Roberto García, Nicolás García y Samuel García

2. Índice
1. La cardinalidad.
2. Naturales, números cuadrados, enteros, racionales... tienen el mismo cardinal.
3. El tamaño de los reales.
4. Hipótesis del continuo.
5. Avances sobre la hipótesis.

3. La cardinalidad
Los conjuntos se dividen en clases de equivalencia.
La cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual este
pertenece. De aquí, podemos definir:
● Equipotentes: si existe una función biyectiva f: A → B entre ellos: |A| = |B|.
● Minuspotente: si existe una función inyectiva f: A → B entre ellos: |A| ≤ |B|.
Los cardinales son representantes de todos los tamaños posibles para un conjunto.

4. Antes de nada…

5. ℕ, ℚ, ℤ , ℝ … ¿qué conjunto es ‘más grande’ ?
Empecemos con un ejemplo básico:
¿Qué conjunto tiene mayor cardinal, ℕ o el conjunto de los cuadrados
perfectos (1, 2, 4, 9, 16...)?
A primera vista parece que los números naturales son bastante más, pero
probemos a emparejarlos...

6. Números
Naturales
Cuadrados
Perfectos
ℕ □² f(n) = n²
f

7. Números
Naturales
Números
Racionales

8. Numerador(1,…,n)
Denominador (1, …, n)

9. Emparejamos cada número natural
con cada racional en el orden
mencionado anteriormente y de
nuevo llegamos a la conclusión de
que podemos establecer una
biyección entre ambos conjuntos.
|ℕ| = |ℚ|

10. El “tamaño” de ℝ
¿Podemos emparejar números reales y naturales?
Estrategia a seguir:
- Ver que el conjunto de reales entre 0 y 1 tiene el mismo cardinal que el
conjunto ℝ
- Tratamos de emparejar los números naturales con los números reales de (0,1)

12. Conclusión: ℝ es “más grande” que ℕ, ℚ, ℤ… , es decir, no es numerable. Sabemos
también que ℵ₀ es el menor cardinal infinito.
A partir de aquí, nos podemos plantear muchas preguntas:
- ¿Cuánto “más grande” es ℝ que ℕ?
- ¿Qué cardinal tiene ℂ?
- ¿Hay cardinales mayores?
- …
Pero Cantor se planteó algo que todavía nadie ha sabido responder...

13. La Hipótesis del Continuo
Como hemos visto, el infinito es un término
difícil de entender.
Georg Cantor, además de ser uno de los
autores de la teoría de conjuntos y de ser el
primero en formalizar el concepto de
infinito, se le conoce por el planteamiento
de una conjetura llamada “Hipótesis del
continuo”.

15. La Hipótesis del Continuo
Aplicando la desigualdad |A| < P(A) al conjunto de los números naturales tenemos
que:

16. La Hipótesis del Continuo
Ahora bien, llamando al cardinal infinito mayor que , vemos que:
Por último, el cardinal de los números Reales lo definió como ‘c’, que como hemos
visto antes, es mayor que .
Es posible demostrar que esta ‘c’ es igual a 2 .

17. La Hipótesis del Continuo: enunciado
Con todo esto, Cantor se planteó si:
|N| = < = 2 = |R|
Es decir, si no hay ningún cardinal infinito entre los cardinales de N y R

18. La Hipótesis del Continuo: Avances y desarrollo
- Cantor: Publica hipótesis en 1878.
- 1884: Demostración parcial.
- 1895: Introducción de alefs.
- David Hilbert(1900): 23 problemas matemáticos del siglo XX.
- Problema nº1: Hipótesis del continuo

20. La Hipótesis del Continuo: Avances y desarrollo
-Principal objetivo Búsqueda de nuevos axiomas
(Programa de Gödel)
- 1990 Woodin y Shelah: Si existe cardinal supercompacto,
todo conjunto infinito de reales perteneciente a L(R),
satisface la hipótesis.
- 1970, Axiomas del Forcing, basados en Cohen:
- Mismos resultados que Programa Gödel, pero en estos
axiomas,

21. Bibliografía
- https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuo
- https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
- https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor#Importancias_de_Cantor
- gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/
- https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density
- https://www.youtube.com/watch?v=TUFQKN5mIWM
- https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal
- https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)
- https://institucional.us.es/blogimus/2018/03/la-hipotesis-del-continuo-140-anos-despues/