Incluye funciones, logaritmos,progresiones, cónicas, calculo proposicional, limites y derivadas. CANAL YOUTUBE: https://n9.cl/tbdf BLOG: https://fimatutorias.blogspot.com/ AULA VIRTUAL: https://patricioperez.milaulas.com/

1. UNIDAD EDUCATIVA ADVENTISTA
“CIUDAD DE QUITO”
Cuaderno de Matemáticas
Tercero de Bachillerato
Quito, 14 de Julio del 2015

2. RELACIONES Y FUNCIONES
Par Ordenado: un par ordenado es un conjunto de dos elementos en los cuales se respeta en
forma irrestricta en el orden de la posición de dichos elementos su forma es P (x,y)
Ejemplo:
A (3,-2)
B (5, 7)
C (3, 9)
Representación Gráfica Cada par ordenado se lo representa en un plano cartesiano IR² = IR x IR
A (2, 3)
B (5 , 2)
C (7 , 4)
Producto cartesiano Sea A y B 2 conjuntos en el producto cartesiano A x B está definido
como un conjunto de pares ordenados tal que;
A x B = [(a,b) / a € A ∧b € B]
Ejemplo
A= (a,b,c) A x B = [(a,e); (a,f); (b,e); (b,f); (c,e); (c,f)]
B= (e,f) B x A = [ (e,a); (e,b); (e,c); (f,a); (f,b); (f,c)]

3. Ejemplo
C= (1,2,3,4,5)
D= (3,4,5,6)
C x D= [ (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,4); (3,5); (3,6); (4,3); (4,4); (4,5);
(4,6); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6)]
D X C= [ (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,6);
(6,1); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)]
A= [ x € IR/ ≤ x ≤ 1]
B= [ y € IR / 0≤y≤1]
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8
Y
X
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6
Y
X

4. A= x≥0; x≤1
B= y≤0; y ≤1
B= [0,1]
Diagrama de Venn
A B
Halla el producto cartesiano
i) AxB
ii) Grafique
iii) Diagrama de Venn
i) A[ x/1 ≤ x <4]
0
1
0
1

5. B[ x/-2 ≤ x ≤ 3]
ii) A x B [ (1,-2) (1,-1) (1,0) (1,1)………. (1,2)(1,3) ]
iii) A B
Relaciones
Uno de los aspectos más importantes de la ciencia consiste en establecer relaciones entre
diferentes tipos de elementos del conjunto A (dominio), por lo cual en nuestro lenguaje se
lo utiliza a diario.
Ejemplo
A cada persona le corresponde una edad.
Quito es la capital del Ecuador
4 Es menor que 7
A cada persona le corresponde un número de cédula.
1
2
3
4
1
1
2
3
4
1

6. Definición
Sea A y B dos conjuntos se diría que los elementos del conjunto A (dominio) están
relacionados con los elementos del conjunto B, Cuando existe una correspondencia entre
dichos elementos, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o
más elementos del conjunto de llegada.
A B o R = [(x,y)/ X € A ; Y €B ∧ X R Y ]
A = [1,3,5] y B= [1,9,25]
Supongamos que una relación R establezca que los elementos del conjunto A son la raíz
cuadrad del conjunto B.
A x B= [ (1,1)(1,9)(1,25)(3,1)(3,9)(3,25)(5,1)(5,9)(5,25)]
1R1 3R9 5R25
R[(1,1)(3,9)(5,25)]
R
Hallar la relación y el diagrama de Venn.
C= [1,5,7]
D=[6,8,10]
1
3
5
1
9
25

7. C x D= [(1,6)(1,8)(1,10)(5,6)(5,8)(5,10)(7,6)(7,8)(7,10)]
1R6 1R8 1R10 5R6 5R8 5R10 7R6 7R8
7R10
R
C D
Observación 1. Cuando no existe una condición para una relación se predetermina que la
relación es el producto cartesiano.
Observación 2. Se puede decir que toda relación es una función pero no toda función es
relación.
Dominio y Recorrido de una función
Dominio de una relación:
Se lo representa de la siguiente forma Dom (R) y está definido que el dominio de una
relación es el con junto formado por los primeros elementos de cada ordenador.
Recorrido de una relación:
Se lo representa de la siguiente forma Rec (R) y se lo define como el conjunto formado por
los segundos elementos de cada ordenador.
1
5
7
6
8
10

8. Ejemplo:
R= [(1,1);(3,9);(5,25)]
Dom(R)= [1,3,5]
Rec(R)= [1,9,25]

9. Funciones
Se llama función o aplicación de un conjunto A en un conjunto B a toda relación F de A en
B que cumple la condición de que a cada elemento de A esta relacionado con un único
elemento de B. Es decir cada valor de un punto de partida le corresponde uno y solamente
un valor del conjunto de llegada denominada imagen.
f
A f B
A f B
3
2
3
6
2
5
5
4
x f(x)

10. Dominio de una función
El dominio de una función F(a) en (b) es el conjunto de partida A donde Dom(f)= A.
Recorrido de la función
El recorrido de función F es el conjunto formado por las imágenes de los elementos del
dominio y puede o no puede coincidir con todos los elementos del conjunto de llegada.
Tipología de funciones.
Paridad
1. Par= f(x) = f (-x)
2. Impar= f(x) = -f(x)
Intersección
1. Ejes: y: x=0
2. Ejes: x: y=0
Función lineal (recta)
Forma f(x)= mx ±b
M= pendiente
B= ordenada (a±b)

11. Domf(x)= IR
Rec f(x)= IR
Monotonía
m= Creciente (derecha)
m= Decreciente (izquierda)
Función Polinómica
Forma f(x)= 𝑎𝑥 𝑛
± 𝑏𝑥 𝑛−1
+ . . . +𝑐
Dom F(x) = IR
Rec F(x)= de acuerdo al gráfico
Monotonía:
Creciente
Intervalos gráficos
Decreciente
Intervalo gráfico

12. Función Racional (asíntota)
Forma f(x)= ax±b
cx±cto
donde cx± cto
Dom f(x)= IR(valor del denominador)
Monotonía: creciente
Intervalos
Decreciente.
Función cuadrática (parábola)
Forma: f(x)= 𝑎𝑥2
± 𝑏𝑥 ± 𝑐; 𝑎 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0
Vertice (−𝑏
2𝑎⁄ ; 𝑓 (−𝑏
2𝑎⁄ )
Dom f(x)= IR
Rec F (x)= [f(−𝑏
2𝑎⁄ ; + ∝ [
Monotonía
Creciente [−𝑏
2𝑎⁄ ; + ∝ [
Decreciente [ −𝑏
2𝑎⁄ ; − ∝ [

13. Dom f(x)= IR
Rec f(x)= ]-∝; 𝑓 (−𝑏
2𝑎)⁄ ]
Creciente
Monotonía ]-∝, −𝑏
2𝑎⁄ ]
Decreciente
[−𝑏
2𝑎⁄ ; + ∝ [
Función Iracional
Forma: f(x)= √ 𝑎𝑥 ± 𝑏
𝑛
Dom f(x)= intervalo
Donde ax±b≥0
Monotonía
De acuerdo al gráfico
Es par

14. Es impar
F(x)= √ 𝑎𝑥 ± 𝑏
3
Dom f(x)= IR
Rec f(x)= de acuerdo al gráfico.
Operaciones con funciones
Son la suma, la resta y producto del cociente de funciones y el producto de un número por
una función.
Suma de funciones:
Sean j y f dos funciones reales de variable real definida en un mismo intervalo. Se llama
suma de ambas funciones a la función.
Resta de Funciones
Se define a la resta de dos funciones de la variable real f y g como función.
(f-g)(x) = f(x)-g(x)
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de la variable real y definidas en un mismo intervalo se
llama función producto de f y g a la función definida por (f.g)(x) = f(x)/g(x)
(a.f)(x) = a.f(x)
Ejemplos
Suma:
Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
Resolución:
- la función f + g se define como

15. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.
- (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Resta
Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
Resolución:
- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6
- (f - g)(1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = - 56/9
- (f - g)(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = - 0
- (f - g)(0) = (0)² - 0 - 6 = - 6
Producto
Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.
Resolución:
(f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x² - 11.x/2 - 3
Composición de funciones
Si tenemos dos funciones f(x) y g (x) de modo que el dominio de la segunda está incluido
en el recorrido de la primera, se puede definir esta nueva función que asocia a cada
elemento del dominio.
F(x) el valor g[f(x)]
Notación (fog)(x): se lee f o g de equis
Diagrama de Venn
f g
(fog) (x)
x f(x) g(x)

16. Dada las funciones
1.
2.
Funciones inversa o reciproca
Se denota de la siguiente manera 𝑓−1
(𝑥). Se llama función inversa o reciproca de la otra
función 𝑓−1
que cumple la condición.
F(a)= b; entonces 𝑓−1(𝑏) = 𝑎
Diagrama de Venn
F
f-1
x f(x)

17. Cálculo de la función inversa
1. Se escribe la ecuación de la función en x en y es decir f(x)=y
2. Se despeja la variable x en función de la variable y
3. Se intercambian las variables.
Hallar la función inversa de:
Gráficamente es una función cuando al trazar una paralela al eje de las
coordenadas corta en un solo punto.
Parábola Recta

18. Circunferencia Elipse
Hipérbola
Valor absoluto Asíntota
Función inyectiva
Una función es inyectiva si los elementos diferentes de A le corresponden imágenes
diferentes de B.
𝑋1, 𝑋2 ∈ 𝐴; 𝑋1 ≠ 𝑋2 → 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)
Matemáticamente (analíticamente)
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
Gráficamente una función es inyectiva si al trazar una paralela al eje de las x (abscisas)
cortan en un solo punto.

19. Parábola Recta
No es iny si es iny
si es iny
Valor absoluto Asíntota
No es iny Si es iny
Ejemplo.
f(x)=x-3 f(x)= 𝑥2
− 1
x1=x2 x1=x2
x1-3=x2-3 𝑥12
− 1 = 𝑥22
− 1
x1=x2 √𝑥12 = √𝑥22
x1=±x2
f es inyectiva f no es inyectiva
Función sobreyectiva
Una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada.

20. Recf(x)=β
Dicho de otra manera una función es sobreyectiva para todos los elementos y es elemento
de β existente un elemento de A tal que f(x)= y.
La condición matemática para que una función sea sobreyectiva es la siguiente:
F(xo)= Yo ⇉Xo€a; Yo€β
Ejemplo
A F(X) B
Si es sobreyectiva
f(x) = x+1
X Y
-1 0
0 1
1 2
2 3
A F(X) B
1
3
4
2
3
4
-1
0
1
2
0
1
2
3

21. Función Biyectiva
Una función es Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez
F(x) = 𝑥3
− 1
Sea inyectiva
X1=x2
A F(X) B
Si es función sobreyectiva.
Determinar
X1=X2
4𝑥
2−𝑦
=
4𝑥
2−𝑦
4x(2-x2)= 4x²(2-x1)
2x1-x1x2= 2x²-x1x2
X1=x2
X Y
1 0
2 7
-1 -2
-1
0
1
2
0
1
2
3

22. Hallar la función inversa y determine:
1.
2.

23. Función Exponencial
Una función exponencial tiene la forma f(x)=𝑎 𝑥
; 𝑎 ≠ 0
Dom f(x)= IR
Rec(x)= IR
Monotonía
a›0 creciente
a<a<1
Función inyectiva
Función sobreyectiva
Función logarítmica
Una función logarítmica tiene la forma f(x)= log 𝑎 𝑥 ; a›1
Dom f(x)= depende la de gráfica

24. Rec f(x)= depende de la gráfica
La función logarítmica es una aplicación biyectiva de los IRX
con los IR.
Características
 La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.
 Los números negativos y el cero no tienen logaritmos
 La función logarítmica de base a es la reciproca de la función exponencial
 La función logarítmica más usuales son las de base 10 y la de base c y su valor
numérico es de 2,782….
Ejemplo.
x
1/8 -3
¼ -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
8 3

25. x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
8 −3
Logaritmos
Se llaman logaritmos a la base del número X al exponente B que hay que elegir la base
para obtener dicho número.
Así como las funciones de suma y resta multiplicación y división potenciación y radicación
existe la logaricción.
Forma logarítmica log x=b ⇉𝑥 = 𝑎 𝑥
Propiedades de los logaritmos
Logaritmos
Log a²= o
Log 𝑎 𝑎
= 1
Log a 𝑎𝑥 = 𝑥
Log 𝑎 𝑥−𝑦
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥
+ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦

26. Naturales
 ln 1 = 0
 ln e = 1
 ln en
= n
 ln (x · y) = ln (x) + ln (y)
 ln (x/y) = ln (x) − ln (y)
 ln xn
= n ln (x)
Ecuación exponencial
La característica de una ecuación exponencial a logarítmica es el símbolo igual.
Ecuación exponencial
Ecuación Logarítmica.

27. Ejercicios.
1.
2.
3.

28. 4.
5.
Utilizando las propiedades de los logaritmos formular los siguientes exponenciales en
términos de un solo logaritmo.

29. Progresiones
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión en cada término (menor al primero) se obtiene
al anterior, una cantidad lisa, llamada o conocida como la diferencia de la progresión.
Diferencia
d≤0
d≥0
Decreciente
Creciente
La fórmula de una pregresión aritmética es la siguiente
A,a+d,a+2d,a+3d
A1,a2,a3a,a4,……

30. Donde
A= primer término
D= diferencia
An= último término
N= número de elementos
Suma de términos
En= n/2 [2a 1 +(n-1)d]
Sn= n/2 (a1+an)
An=a1+(n-1)
Determinar la diferencia de progresiones

31. Ejercicios.
1. Conociendo el último término 199, de una progresión aritmética (p.a.), el número
de ellos 100, y la suma de sus términos 10.000, calcular el primero y la razón.
an = 199; n = 100; S = 10.000; a1 = ?; d = ?
10.000 = (a1 + 199) * 100 / 2
20.000 = (a1 + 199) * 100
200 = a1 + 199; a1 = 1
199=1+(100-1)*d.....198=99*d.....d=2
a1 = 1 y d = 2
2. Calcular la suma y el último término de una p.a. de razón 4, sabiendo que consta de
12 términos y el primero vale 7.
S = ?; an = ?; d = 4; n = 12; a1 = 7
an = 7 + (12 - 1) * 4
an = 7 + 11 * 4; an = 51
S = (7 + 51) * 12 / 2
S = 58 * 6; S = 348
S = 348 y an = 51
3. Calcular la suma y el número de términos de una p.a., cuyo primer término es 4, el
último 40 y la razón 3.

32. S = ?; n = ?; a1 = 4; an = 40; d = 3
40 = 4 + (n - 1) * 3; 40 - 4 = (n - 1) * 3; 36 = (n - 1) * 3; 12 = n - 1 ; n = 13
S = (4 + 40) * 13 / 2
S = 44 * 13 / 2; S = 22 * 13; S = 286
S = 286 y n = 13
4. Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos
12, determinar la razón y la suma.
a1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?; S = ?
25 = 3 + (12 - 1) * d; 25 - 3 = 11 * d; 22 = 11 * d; d = 2
S = (3 + 25) * 12 / 2
S = 28 * 12 / 2; S = 14 * 12; S = 168
S = 168 y d = 2
5. Conociendo el primer término 3, el último 39 y la suma 210 de las términos de una
p.a., calcular la razón y el número de términos.
a1 = 3; an = 39; S = 210; d = ?; n = ?
210 = (3 + 39) * n / 2; 210 = 42 * n / 2;
210 = 21 * n; n = 10
39 = 3 + (10 - 1) * d; 39 - 3 = 9 * d; 36 = 9 * d; d = 4
n = 10 y d = 4

33. 6. Formar una p.a. de términos positivos de razón 2, el último 18 y 88 la suma de sus
términos.
d = 2; an = 18; S = 88
18 = a1 + (n - 1) * 2 ; 18 = a1 + 2n - 2; 20 = a1 + 2n; a1 = 20 - 2n
88 = (a1 + 18) * n / 2; 176 = ( a1 + 18) * n
176 = (20 - 2n + 18)*n; 176 = (38 - 2n) * n; 2n2 - 38n + 176 = 0; n2 - 19n + 88 = 0
Resolviendo le ecuación de segundo grado hallamos los valores de n; n = 11; n = 8
Para n = 11; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 22; a1 = - 2; No cumple el enunciado
Para n = 8; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 16; a1 = 4
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

34. Progresiones Geométricas
Una Progresión Geométrica tiene la siguiente forma.
A1, a2, a3m, a4, a5, a6, a6.
La progresión geométrica se caracterizó por tener una razón que se lo interpreta con la
letra r minúscula.
Suma de n términos en una progresión geométrica.
La ecuación de ña suma de términos está dado por la siguiente expresión.
Sn= suma de términos
R= Razón
N= Número de términos
Un= último termino
Ejercicios de Progresiones geométricas.
1. El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48.
Escribir la progesión.
a2 = 6; a5= 48;

35. an = ak · r n- k
48 = 6 r5- 2
; r3
= 8; r = 2.
a1 = a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48, ...
2. El 1er
término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es
384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros
términos.
a 1 = 3; a 8 = 384;
384 = 3 · r8- 1
; r7
= 128; r7
= 27
; r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
a = 3; b = 48;

36. 3, 6, 12, 24, 48
La Recta
La recta es una sucesión de puntos que no tiene principio ni tiene fin se lo
representa de la siguiente manera.
Se va a determinar a la recta en diferentes formas de expresión como su forma
1. Se forma punto pendiente
2. Ecuación de la recta cuando tiene 2 puntos
3. Cimetríca
4. General
5. Ordenada ni origen
Ecuación de la recta teniendo un punto en la pendiente.

37. Pendiente
M= inclinación que tiene la recta
M= Y1-Y2
X1- X2
Ecuación de la pendiente
Y-Y1 = m (x-x1)
Ecuación de la recta punto pendiente
Observación.
La pendiente también se la puede definir como la tangente de un ángulo.
Tang𐐃= Y2-Y1
X2-X1

38. Ejercicios de ecuación de la recta.
1. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4,
4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.
2. Pasa por A (1, 5) y tiene como vector director igual (−2, 1).
Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

39. 3. Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A
(1, 5) y tiene como pendiente m = −2.
4. Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es
paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

40. Ecuación de la recta en su forma general.
La ecuación de la recta en su forma general es la siguiente.
Ax±By±c=0
Para hallar la ecuación de la recta esn su forma general se puede utilizar cualquiera de las
formas anteriores de la ecuación de la recta para lo cual para obtener esta forma se debe
igualar a cero.
Siempre la variable debe ser positiva
Forma simétrica de la recta
La forma simétrica de la recta está dada por la siguiente expresión:
Ejercicios

41. Condiciones de Paralelismo y Perpendicularísimo
Paralelismo:
Dos rectas son paralelas cuando el valor de sus pendientes son las mismas.
M1=m2
Perpendicularísimo
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a la unidad
negativa.

42. Ejercicios:
Halle la ecuación de la recta que pasa por y es paralela
a
Halle la ecuación de la recta que pasa por y es perpendicular a

43. Cónicas
Una cónica es aquella que se origina por una intersección entre un cono y un plano.
Circunferencia
Parábola.

44. Elipse
Hipérbole
Circunferencia.
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano a una distancia dada llamada radio
referente a un punto llamado centro.

45. Ecuación de la circunferencia con centro H y K
La Parábola
La Parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que su distancia de una recta fija, situada en el plano es simple igual a su distancia de un
punto fijo en el plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz de la parábola.
Ll1= lado recto
CC1= Cuerda focal (pasa por el foco)
R= Directriz
V= Vértice

46. Ecuación de la parábola
Ejercicios
Grafique la parábola de la ecuación y(y-6)+8x=-25

47. La Elipse.
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma
de sus distintas a dos puntos fijos de ese tramo siempre igual a una constante mayor que
la distancia entre puntos.
Los dos puntos fijos, se llaman todos es decir f y t prima los focos tienen rectas que pasan
por dichos puntos los cuales toman su nombre al lado recto.
La recta pasa por dos focos se la conoce como eje focal. El eje focal corta la elipse es dos
puntos y estos puntos se llaman vértices se lo llama eje mayor, el segmento A prima se lo

48. conoce como eje menor, el segmento b que une dos puntos diferentes cualquiera de la
elipse se lo denomina cuerda.
Elementos
Ll1= Lado recto
L1= Centro
VV1= Eje. Mayor
W1= Eje menor
F y F1 = focos
A= Cuerda
Ecuación de la recta con centro en el origen.
C(0,0) Focos Lado recto
Par ordenado F(0,0) Ll1= 2ª²/b
Eje mayor F(-6,0)
V(a,-a) Eje mayor Ecuación Elipse
V8-a,a) EM=29 x²/a² + y²/b²=1
Pares ordenados
Eje menor Eje menor
B(0,b) En 2b
B(0,-b)

49. Eje mayor Focos
Fm= 2a F(-6,0)
V(a,-a) Ll1= 2b²/a Ecuación Elipse
x²/a² + y²/b²=1
Pares ordenados
Eje menor
Em=2b
B(b,0)

50. Ejercicios Sistema de Ecuaciones

51. Gráficamente:

52. Hipérbola.
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos tales que cada punto del conjunto esta a
la misma distancia que el valor absoluto que la diferencia de las distancias que separa a
cualquier conjunto de los puntos llamados focos es una constante dada menor que la
distancia entre los mismos.
El segmento que une a los vértices se lo denomina eje trasversal y el segmento que es
perpendicular a dicho eje y se lo denomina eje conjugado.
Eje Transversal
Hipérbola con centro.
Eje Trasversal
Et=2
Eje Conjugado
Vertice Focos
V(a,0) f(c,o)
V(-a,a) f(-c,o)
Relación entre ejes
B²= a²+c²
Exentricidad

53. E= c/a; e≤1
Función Parábola
X²/a² - y²/b² =1
x²/b² - x²/a²=1
Cálculo Proporcional
El cálculo proporcional es una rama de las matemáticas cuyo objetivo fundamental es
analizar la validez o no del razonamiento que se efectúan constantemente en base al
estudio de las proporciones y conectivos lógicos.
Proporciones
Una proporción es una expresión o frase en la que se declara alguna cosa y a la cual se la
puede asignar un valor de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambos a la
vez.
Ejemplos:
1. Hoy es lunes es una proposición
2. 3+4=7 es una proposición
3. ¿Qué pasará mañana? No es proposición
4. X+3=2 es una proposición
5. X²-2x+3=0 no es proposición

54. 6. Orellana descubrió américa y Colon el río Amazonas Si es una
proposición
Proposiciones simples.
Son aquellas que tienen una sola proposición con su valor de verdad o falso.
Proposiciones compuestas.
Con aquellos que se forman por la combinación de dos proposiciones simples,
utilizando los correctivos lógicos. Observación se puede concluir que toda proposición
es una frase pero no toda frase es una proposición.
Notación de proposiciones.
A las proposiciones se las denotara con las letras minúsculas p,q,r,s,t.
Valor de verdad de una proposición
La verdad o falsedad de una proposición se la conoce como valor de verdad.
Si la proposición es verdadera se lo va a representar con la letra V o el número 1.
Si la proposición es falsa se la va a representar con la letra f o el número 0.
1,2,3 ,4,5
P, q, r, s,t

55. Conectivos lógicos
Son aquellos símbolos que se utiliza para relacionar proposiciones simples y
trasformarlas en proposiciones compuestas
Conjunción (⋀)
Si ⋀e “i”
P Q P⋀Q
V V V
V F F
F V F
F F F
P Q P⋀Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
La conjunción es aquella que se relaciona 2 proporciones verdaderas y da como
resultado una verdad
Disyunción (v)

56. Se lee “o”
P Q POQ
V V V
V F V
F V V
F F F
P Q PoQ
1 1 1
1 0 1
0 1 1
1 0 0
La disyunción es aquel conectivo lógico que se tiene de dos proposiciones falsas y da
como resultado una falsa.
Condicional ( ⇉)
Se lee implica solo si también
P Q P⇉Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional ⇔
Se lee.
Si solo si, si y solamente si
P Q P⇔Q
V V V
V F F
F V F
F F V

57. P Q P⇔Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
La bicondicional es un conectivo lógico que se las dos proposiciones son iguales da
sumando es jerárquico.
Disyunción excluyente ⊻
Se lee en cambio
P Q P⊻Q
V V F
V F V
F V V
F F F
P Q P⊻Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Negación Conjunta ⤋
Se lee ni
P Q P⤋Q
V V F
V F F
F V F
F F V

58. P Q P⤋Q
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
La negación conjunta es el conectivo lógico en la cual se las dos proposiciones son falsas
su resta no es.

59. Ejercicios:

62. Límites
Definción:
Es es el límite de una función f(x) cuando x tiene a A es f(a)
Notación:
Lim f(x) = f(a); f(a)=b
X – a
Lim f(x)=b
x-a
si para cualquier número real es si o mayor que ceo existe un delta mayor que cero talvez
que:
If(x)-b / ≤e cuando 0≤/ x-a / ≤
Propiedades de los límites
Límite de una constante
Límite de una suma

63. Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
Ejemplos

64. Recta, Tangente y derivada
Ejercicios
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje
OX.
y' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
x1 = 3 y1 = −22
x2 = −1y2 = 10

65. A(3, −22) B(−1, 10)
Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto
(0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .
Teoremas
La derivada de una constante es cero.
Derivada de una variable
Dx x=1

66. Derivada de una función por una constante
Dx Cx = Dx x
Derivada de suma de funciones
Dx f(x) + g(x) = Dx f(x) I . Dx g(x)
Derivada de una potencia
Dx X²= n xn-1
Derivada de producto
Dx 8u.v)= u.v²+v.u²
Derivada de un cociente
Dx u/v= uv²-vu² / v²
Ejercicios
Calcula las derivadas de las funciones: