13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020

TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES - PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
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13Q(a) AULA 2 – Eleições Majoritárias
13Q(a) – Versão 17.5.2020
Nesse capítulo apresentaremos a Teoria Matemática das Eleições no que diz
respeito às eleições majoritárias. O assunto é muito mais profundo e pode
ser encontrado na Internet, e depende de conceitos avançados de
Matemática. Em Portugal havia um curso optativo do ensino secundário
(equivalente ao ensino médio) que tratava o assunto, de nome MACS –
Matemática Aplicada às Ciências Sociais.
ROTEIRO DE ESTUDOS
Pré Requisitos:
ESSA AULA NÃO POSSUI PRÉ-REQUISITOS
COMO PROCEDER?
➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver
um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo.
➢ Faça as atividades no Moodle.
➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos assuntos..
➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS
Eleições Majoritárias
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Eleições majoritárias são aquelas onde o
objetivo é eleger apenas um candidato: o
preferido do eleitorado. Equipa-se a eleições
majoritárias todo o tipo de decisão onde é
preciso escolher algo que seja a escola mais
justa, tanto que se fala em “Teoria Matemática
da Decisão” para a eleições majoritárias.
Esse tipo de eleição parece mais simples do
que as eleições proporcionais, onde se elegem
vários, porém, enquanto as eleições para
deputados e vereadores podem, em tese,
serem justas, Kenneth Arrow descobriu que é
impossível uma eleição majoritária ser justa se
tiver mais de 3 candidatos no páreo, ou seja,
jamais em uma eleição com 3 candidatos
haverá uma escolha que corresponde à maioria
do eleitorado.
Note que no Brasil chama-se de eleição
majoritária a escolha de senadores, e, a rigor,
de 8 em 8 anos, acontece uma eleição sui
generis, onde os dois mais votados vencem. Os
Senadores são em número de 3 por unidade da
federação e exercem um mandato de 8 anos,
sendo eleitos com dois suplentes: a renovação
ocorre a cada 4 anos, sendo de 2 senadores em
um mandato e de 1 senador no mandato
seguinte, exceto na criação de nova unidade da
federação, onde se elegem 3 senadores, os
mais votados. Na eleição de 2 senadores, os
dois mais votados, como ocorrerá em 2018, há
muitas análises a serem feitas, que mostram ser
uma espécie absurda de eleição que pode
eleger até o “menos favorito”, mas, não vamos
ater a isso agora.
Esse estudo é muito superficial, destinado para
alunos de Ensino Médio. A realidade é muito
mais complexa e existe uma grande
profundidade de sistemas eleitorais, inclusive
com vários textos complexos disponíveis na
Wikipédia (talvez o local mais acessível para
aprender sobre Sistemas Eleitorais).
Há inclusive estudos que não dividem eleições
majoritárias e proporcionais e classificam todos
os métodos sob um único escopo. Há também
eleições que mesclam métodos majoritários e
proporcionais.
Obviamente os exemplos mais fáceis são os
que tratam de eleições políticas, e por isso eles
serão a maioria de nossos exemplos.

PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
2
Por favor, não se preocupem com detalhes
históricos, geográficos e políticos e foquem nos
cálculos. Há exercícios profundos e com textos
longos, e pedimos discernimento no estudo
deles.
LEITURA OBRIGATÓRIA:
CARDOSO, Carla Guida da Silva. A
Matemática das Eleições. Dissertação de
Mestrado. Lisboa - Portugal: Universidade de
Lisboa, 2009. 187 p. Disponível em:
<http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/3447/1/
ulfc055664_tm_Carla_Cardoso.pdf>. Acesso
em 3 set.2016.
LEITURA ATENTA: Páginas 15 até 18
CONCEIÇÃO, Gunçalo Gutierres. Notas de
Teoria da Votação. Coimbra – Portugal:
Universidade de Coimbra, 2006. Disponível em:
<http://www.mat.uc.pt/~ggutc/admp/TVotacao.p
df>. Acesso em 28 set.2016.
LEITURA ATENTA: Páginas 17 até 21
Marquês de Condorcet (1743-1794)
Um dos principais teóricos na área de
Eleições Majoritárias juntamente com
Jean-Charles Borda
Fonte da Imagem: CARDOSO
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
Procedimentos Eleitorais
QUADRO
Leia o texto a seguir de Conceição:
A partir desse ponto, vamos estudar os
sistemas que têm por objetivo ordenar um
conjunto de candidatos através de eleições
democráticas. Em muitas situações o objetivo é
escolher apenas um, mas um procedimento
eleitoral permite-nos sempre ordenar todos os
candidatos.
Existem dois tipos de procedimentos eleitorais,
ou de tipo eleitoral: os procedimentos de
apreciação absoluta, em que é atribuída uma
classificação: nota de uma disciplina, provas de
ginástica, certos tipos de concursos públicos, ...,
que permitem ordenar os candidatos através do
seu "valor absoluto" e os procedimentos de
apreciação relativa que têm com objetivo
ordenar os candidatos através da comparação
entre eles. Claro que cada um dos elementos
pode ter uma opinião diferente sobre os
candidatos, e isso trás dificuldades na escolha
do vencedor. São os procedimentos de
apreciação relativa que vamos estudar. Como
todos temos intuitivamente a ideia, diferentes
procedimentos podem levar a diferentes
conclusões. Portanto, o objetivo é tentar
encontrar um que seja mais adequado do que
os outros. Não existe resposta absoluta para
este problema, como veremos mais tarde.
Exemplo de procedimentos eleitorais de
apreciação relativa.
- Eleição do Presidente da República
- Contratação de um funcionário para a
Administração Pública (depende das regras do
concurso, em alguns casos são usadas
classificações, e portanto a apreciação é
absoluta)
- Campeonato do Mundo de Fórmula 1
- Festival Eurovisão de Canção.
O Campeão do Mundo de Fórmula 1 não é
decidido por votação, mas se pensarmos em
cada corrida como um eleitor e em cada piloto
como um candidato a Campeão do Mundo,
então podemos usar o mesmo tipo de regras.
Tal como eleitores diferentes têm opiniões
diferentes, as classificações das corridas
também são diferentes.

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Antes de apresentar os procedimentos mais
usuais, são introduzidas duas definições que
nos vão acompanhar no resto do texto.
Definições:
Um procedimento eleitoral é um conjunto de
regras que permite determinar a ordenação final
dos candidatos a uma eleição.
Um perfil eleitoral é o conjunto das
preferências individuais de todos os eleitores.
Num perfil eleitoral, considera-se que cada
eleitor faz uma ordenação completa de todos os
candidatos.
Os procedimentos de apreciação relativa
dividem-se em dois tipos: métodos maioritários
e métodos posicionais. A principal diferença
entre os dois tipos é que os métodos posicionais
valorizam a opinião que cada eleitor tem sobre
todos os candidatos.
Texto de:
http://www.mat.uc.pt/~ggutc/admp/TVotacao.pd
f, página 17.
Observação nossa: Não confunda maioritário
e posicional com majoritário e proporcional,
tratam-se ambos de métodos majoritários
MÉTODOS MAIORITÁRIOS
Eleições com muitos eleitores - como eleições
políticas - fica muito difícil ordenar todos os
candidatos - e portanto se preferem os métodos
maioritários.
São os principais métodos maioritários o voto
plural, o voto antiplurar, o voto maioritário de
duas voltas, o método Run-off e o método de
Condorcet.
Você pode também encontrar outras
classificações desses métodos.
Questão 1 - Apreciação absoluta e relativa
Classifique os procedimentos eleitorais a seguir
em procedimentos de apreciação absoluta (A) ou
relativa (R):
a) Notas dos alunos na OBMEP _______
b) Resultados de um torneio de um jogo de
videogame que atribui pontos para cada resultado
_______
c) Avaliação dos jurados nos desfiles de Escola de
Samba _______
d) Escolha de um diretor de condomínio numa
eleição com 4 candidatos _______
Votação Plural, AntiPlural e
Maioritário de duas Voltas
QUADRO
1º MÉTODO: VOTO PLURAL
No método do voto plural cada eleitor escolhe
um candidato favorito e vence o mais votado.
É uma eleição imperfeita (como veremos), do
senso comum, mas é a mais simples e fácil de
ser realizada.
No Dilema de Plínio, que vimos na aula anterior,
os escravos seriam absolvidos se fosse
utilizado o voto plural.
São exemplos do uso do método do voto plural:
- eleição de prefeitos nas cidades com menos
de 200.000 eleitores
- eleição de senadores, de 8 em 8 anos, quando
se escolhe apenas único senador
- eleição de diretores de escola na rede estadual
de Minas Gerais (processo de 2019)
- escolha do vencedor do Big Brother Brasil
(última votação)
- votação do paredão do Big Brother Brasil entre
os participantes
- enquete online para selecionar o favorito numa
listagem, onde o preferido é escolhido
- escolha de líder de classe numa turma, onde
cada aluno escolhe alguém
Esse sistema é utilizado na maioria das eleições
nos Estados Unidos (há exceções como na
Louisiania e Geórgia), na câmara baixa (Lok
Sabha) da Índia, na eleição da Câmara dos
Comuns das ex-colônias britânicas (Canadá,
Índia) e nas eleições do Reino Unido.

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Estima-se que ¼ dos países do mundo adote o
sistema do voto plural, sempre com muitas
polêmicas e contradições. Quase todos os
países de língua inglesa adotam esse sistema.
Uma pequena variação é o chamado FPTP -
First past the post voting, onde a eleição é
separada em distritos e cada distrito dá vitória
para um único, com um único voto. Outro
método que é uma variação desse é o MNTV -
Multiple non transferabele vote que usa uma
série de urnas, e também é bastante complexo.
Existem também outras variações. Pesquise
sobre, não estudaremos esses métodos, ele é
mais complexo para esse curso de nível tão
elementar.
Países do mundo que adotam o Voto Plural na
eleição para chefe de governo.
Fonte: Wikipédia
Observação: pode-se haver uma confusão no
caso das eleições dos Estados Unidos, porém,
considera-se aqui a eleição do colégio eleitoral,
onde o voto é plural. As primárias dos partidos
republicado e democrata também adotam o voto
plural. O mesmo sistema é usado na escolha de
deputados em cada distrito eleitoral,
governadores nos estados. Métodos parecidos
são usados nas eleições para senador estadual
e federal.
MÉTODO DO VOTO PLURAL
Cada eleitoral escolhe um candidato e o
mais votado vence
2º MÉTODO: VOTO ANTIPLURAL
Cada eleitor rejeita um candidato. Vence o
menos rejeitado.
Exemplo:
- paredões do Big Brother Brasil com 3
participantes quando se pede “quem você quer
eliminar” e se eliminam 2.
Tradicionalmente se elimina apenas o mais
rejeitado e não todos exceto o menos rejeitado,
o que não é, a rigor, o voto antiplural que
determina um único recordista.
No paredão recordista histórico do BBB, de 31
de março de 2020, com mais de 1,5 bilhão de
votos, votou-se “quem você quer eliminar?”,
uma clássica votação antiplural. Se a vencedora
fosse a menos votada, seria Mari Gonzales,
certamente a menos popular dos três
candidatos. Se o método de votação fosse
outro, o método plural, não há dúvidas que
Felipe Prior seria poupado da eliminação, e Mari
Gonzales seria eliminada. (Aliás, há vários
pedidos que a votação seja plural e não
antiplural no BBB, sendo que há indícios que se
adotasse esse método Babu Santana seria o
vencedor do Reality nesse ano de 2002).
O sistema é pouco utilizado na prática, por ser
evidentemente injusto e sem qualquer
vantagem, porém, tem importância teórica.
Observe que nesses dois sistemas – plural e
antiplural – são ignoradas as opiniões que as
pessoas tem dos outros candidatos
MÉTODO DO VOTO ANTIPLURAL
Cada eleitoral escolhe um candidato que
rejeita e o menos rejeitado vence

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3º MÉTODO: VOTO MAIORITÁRIO DE DUAS
VOLTAS (OU COM DOIS TURNOS)
Cada eleitor escolhe o candidato favorito, se ele
tiver mais da metade dos votos, é eleito, caso
contrário, há nova votação entre os dois mais
votados.
Essa nova votação geralmente é chamada de 2º
turno.
São exemplos do voto maioritário de duas
voltas:
- eleição de prefeito nas cidades com 200.000
habitantes ou mais, governador e presidente da
república no Brasil
- eleição do presidente da Câmara entre os
deputados federais
- eleição do presidente do Senado entre os
senadores.
No Brasil o sistema foi adotada a partir da
Constituição Federal de 1988, sendo a maior
crítica o fato de que Juscelino Kubitschek em
1955 foi eleito com apenas 36% dos votos.
Note numa eleição em dois turnos é muito
provável um resultado diferente nessa eleição
de 1955 no Brasil.
Veja uma possibilidade de votos de um eleitor
convicto:
Fonte da Imagem: Wikipédia
No exemplo anterior o candidato é fã fervoroso
de Maria e repudia totalmente Joana. A falta da
opção de Maria no 2º turno conduz ao voto em
Manuel.
Uma outra justificativa do 2º turno é evitar que
se pregue o voto útil, migrando os votos de
candidatos com pouca chance para evitar a
vitória de alguém indesejado. (Algo semelhante
foi a campanha dos eleitores anti-Bolsonaro que
migraram os votos para Ciro Gomes, pois
acreditavam que ele seria o único que teria
chance de vencer o 2º turno com Bolsonaro –
claro, esse exemplo já é numa eleição do 2º
turno, o que mostra que o sistema não é
perfeito)
Há adaptações do método do voto maioritário
de duas voltas adaptado:
a) Mais voltas: como no caso do conclave
que escolhe o Papa, que são mais
voltas. Não confunda com o método
Run-Off que veremos a seguir
b) Fração diferente de votos no 2º turno:
Também há adaptações que a exigência
de metade se altera para 2/3 ou 3/5 ou
outra fração.
c) Frações diferentes de votos no 1º
turno: algumas eleições estabelecem
vitória no 1º turno com outras
porcentagens, como 40%, 30%, ou 60%.
d) Mais de 2 candidatos vão para o 2º
turno.
Esse sistema é utilizado para eleições de
presidentes do Afeganistão, Argentina, Áustria,
Benin, Brasil, Bulgária, Burkina Faso, Cabo
Verde, Chile, Colômbia, Costa Rica, Croácia,
República Tcheca, Chipre, Djibuti, República
Dominicana, Timor Leste, Equador, Egito, El
Salvador, Finlândia, Gana, Guatemala, Haiti,
Índia, Irã, Indonésia, Quirguistão, Liberia,
Malawi, Macedônia do Norte, Peru, Polônia,
Portugal, Romênia, Rússia, Senegal, Sérvia,
Eslováquia, Eslovênia, Turquia, Ucrânia,
Uruguai e Zimbábue. Também é utilizado na
França para eleições presidenciais, legislativas
e de departamentos franceses. Na Itália é usado
para eleger prefeitos e decidir qual partido ou
coalização recebe o bônus majoritário nos
conselhos municipais. Historicamente foi usado
para eleger o Reichstag no Imperio Alemão de
1871 a 1918 e o Storting da Noruega de 1905 a
1919, e na Nova Zelândia nas eleições de 1908
a 1911.
Obviamente há muitas outras variações do
método além das listadas.

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MÉTODO DO VOTO MAIORITÁRIO DE
DUAS VOLTAS
Cada eleitoral escolhe um candidato, se ele
obter mais de 50% dos votos vence, caso
contrário há um segundo turno com os dois
mais votados.
Questão 1
Considere um sistema eleitoral com método de
votação o voto plural, com o resultado a seguir:
a)Quem será o vencedor? _____
b)Caso o sistema fosse o voto majoritário com
duas voltas haveria segundo turno? Por quê?
Quem iria para o 2º turno caso positivo?
Questão 2
Considere um escrutínio majoritário com dois
turnos:
a)Quem foi o vencedor? ____
b)Caso o método utilizado fosse o voto plural,
quem teria sido eleito? ____
c) É possível que métodos de voto plural e
maioritário de duas voltas resultem em resultados
diferentes? Se sim, dê exemplos.
Questão 3
Veja um exemplo de votação (imagem de
Wikipédia):
Podemos afirmar que o eleitor mudou de idéia
entre um turno e outro? Explique.
Questão 4 – Capital do Tenesse
O exemplo a seguir é bem comum na Wikipédia:
Imagine que o Tennessee esteja tendo uma
eleição na localização de sua capital. A população
do Tennessee está concentrada em suas quatro
principais cidades, espalhadas por todo o estado.
Para este exemplo, suponha que todo o eleitorado
viva nessas quatro cidades e que todos desejem
viver o mais próximo possível da capital.
Os candidatos para a capital são:
Memphis, a maior cidade do estado, com 42%
dos eleitores, mas localizada longe das outras
cidades

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Nashville, com 26% dos eleitores, perto do centro
do estado
Knoxville, com 17% dos eleitores
Chattanooga, com 15% dos eleitores
As preferências dos eleitores seriam divididas
assim:
Qual seria a capital escolhida se o método
utilizado fosse:
a)Método Plural?
b)Método Antiplural?
c)Método Maioritário de Duas Voltas?
Questão 5 – Segundo Turno no Brasil
Veja a votação dos candidatos mais votados em cada eleição brasileira para presidente da república, desde
a Constituição Federal de 1988. Fonte Wikipédia.
Eleição de 1989

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Eleição de 1994
Eleição de 1998

9
Eleição de 2002
Eleição de 2006

10
Eleições de 2010
Eleições de 2014

11
Eleições de 2018
Sem consultar qualquer outro material, quais eleições foram definidas no 1º turno. Explique.
Questão 6 – Voto Útil no Método Plural
O voto útil ou voto tático, existente principalmente
em votações com o método plural, é resumido
como:
"Todos os votos para alguém que não seja o
segundo lugar são votos para o vencedor"
a)Na eleição presidencial de 2000 nos Estados
Unidos, George W. Bush venceu o democrata Al
Gore, mas alguns eleitores da esquerda votaram
em Ralph Nader, do Partido Verde. Pesquisas
indicam que 45% dos eleitores de Nader preferem
Gore à Bush, enquanto apenas 27% preferem
Bush a Nader. Explique por qual motivo a
ausência do voto tático, no método de votação
plural, fez com que os votos de Nader ajudassem
na eleição de Bush.
Fonte da Imagem: Brett Winkins

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b)Em Porto Rico, o método de votação é o plural,
e há três grupos de eleitores, os independentistas,
os populares e os estadistas. Os estadistas são os
preferidos na ilha, mas perdem eleições:
historicamente os independentistas votam em
candidatos populares. É tão amplamente
reconhecido que os porto-riquenhos às vezes
chamam os Independentistas que votam nos
Populares de "melões" (em referência às cores do
partido), porque a fruta é verde por fora, mas
vermelha por dentro. Explique o porquê dos
populares vencerem as eleições, que seria uma
contradição ao voto plural, e, explique que, se todo
candidato fosse honesto com sua votação, que
refletisse de fato sua preferência, os estadistas
sempre venceriam no voto plural.
Fonte da Imagem: 123rf
c) No Reino Unido foram feitas campanhas inteiras
contra o Partido Conservador, votando no Partido
Trabalhista ou no Democrata Liberal. Por
exemplo, num círculo eleitoral mantido pelos
conservadores, com os liberais democratas como
o segundo partido e o Partido Trabalhista em
terceiro, os apoiadores do Partido Trabalhistas
podem ser instados a votar no candidato liberal-
democrata que tem uma maioria menor para
fechar e mais apoio no círculo eleitoral do que seu
próprio candidato com base no fato de que os
partidos trabalhistas prefeririam um deputado de
um partido de esquerda / liberal concorrente do
que um partido conservador. Da mesma forma,
nos marginais trabalhistas / liberais democratas,
onde os conservadores são terceiros, os eleitores
conservadores podem ser incentivados a tentar
votar em liberal democratas para ajudar a derrotar
o trabalhista.
Como uma alteração no sistema eleitoral no Reino
Unido resolveria esse problema?
d)Alguns consideram que o voto tático transforma
a votação plural em uma votação em dois turnos,
sendo que o primeiro turno é a opinião popular
divulgada pela mídia. (Exemplo é a eleição de
Winchester de 1997). Explique essa assertiva.
Questão 7 – Efeito Spoiler APROFUNDAMENTO
Pesquise sobre o Efeito Spoiler de votações
plurais.
Dica: use a Wikipédia em Inglês Spoiller Effect.

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Questão 8 – Eleições de Cingapura em 2011
Veja as eleições presidenciais em Cingapura em
27 de agosto de 2011. O método de votação é o
Método Plural. A tabela é da Wikipédia:
a)Quem venceu a eleição?
b)Qual foi a diferença entre o 1º e o 2º colocado
em termos percentuais?
c)Por qual motivo essa eleição pode ter sido
injusta? Ou seja, aponte os motivos de que o
método de votação plural é injusto.
Questão 9 – Lei de Duverger APROFUNDAMENTO
Pesquise na Internet sobre a Lei de Duverger e a
enuncie de forma concisa e simples.
Questão 10 – Eleições Presidenciais da
Argentina
A eleição presidencial da Argentina coloca 2
critérios de vitória de eleição presidencial:
- ter 45% dos votos válidos
- ter 40% dos votos válidos e mais de 10% de
vantagem sobre o segundo colocado.
Caso não aconteça isso, ocorre um segundo
turno, chamado botaje. (No Equador o processo é
similar).
É evidentemente uma alteração do sistema
eleitoral maioritário de duas voltas.
Analise as últimas eleições presidenciais, e sem
recorrer à outras fontes, determine se houve
vitória no 1° turno ou se foi necessário o botaje.
Apresentamos apenas os dois mais votados e a
porcentagem dos votos válidos.
Uma observação é que você não deve recorrer às
mudanças legais eventuais, e considere apenas
as regras atuais se aplicáveis para as eleições
anteriores.
Indique quais eleições teriam resultados
diferentes se fosse usado o Sistema Maioritário de
duas Voltas da forma tradicional e comum.

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Você deverá assinalar:
A – caso a eleição tenha sido resolvida no 1º turno
pela regra geral dos Sistemas Majoritários de
Duas Voltas
B – caso a eleição tenha sido resolvida no 1º turno
pela regra da Argentina de que 45% dos votos
válidos dá vitória ao 1º colocado no 1º turno.
C – caso a eleição tenha sido resolvida no 1º turno
pela regra da Argentina de que 40% dos votos
válidos para o 1º colocado e diferença de 10% ou
mais sobre o 2º colocado
D – caso tenha ocorrido 2º turno
a)Eleição de 2019: Alberto Fernández: 48,24%;
Maurício Macri: 40,28% _____
b)Eleição de 2015: Maurício Macri: 51,34%; Daniel
Scioli: 48,66% _____
c)Eleição de 2011: Cristina Kirchner: 54,11%;
Hermes Binner: 16,31% _____
d)Eleições de 2007: Cristina Kirchner: 45,29%;
Elisa Carrió: 23,04% _____
e)Eleições de 2003: Carlos Menen: 24,45%;
Néstor Kirchner: 22,25% _____
f)Eleições de 1999: Fernando de la Rúa: 48,37%;
Eduardo Duhalde: 38,27% _____
g)Eleições de 1995: Carlos Menem: 49,94%; José
Octávio Bordón: 29,30% _____
h)Eleições de 1991: Carlos Menem: 47,51%;
Eduardo Angeloz: 37,10% _____
i)Eleições de 1983: Raúl Alfonsín: 51,75%; Ítalo
Luder: 40,16% _____
Questão 11 – Variações do Método de Votação
em Duas Voltas APROFUNDAMENTO
Você pode pesquisar as variações. Um sistema
interessante é a primária não partidária da
Louisiania, nos Estados Unidos
(https://en.wikipedia.org/wiki/Louisiana_primary).
Outra variação é o voto preferencial de dois
partidos utilizado na política australiana
(https://en.wikipedia.org/wiki/Two-party-
preferred_vote).
Note que essas variações sutis ocorrem em
países de língua inglesa.
Questão 12 – Vantagens e desvantagens do
Método de Votação em Duas Voltas
APROFUNDAMENTO
Analise as vantagens e desvantagens do método
tendo como em vista apenas a escolha do
candidato preferido dos eleitores.
Você pode observar o Efeito Spoiler e os
problemas do voto tático. Argumentos como
custos e fadiga do eleitor não devem ser
considerados, apenas a questão da justiça ou
injustiça da opinião popular.
Não use os argumentos de Arrow se vocês
conhecerem.
Método Run-Off – Votação Exaustiva
QUADRO
MÉTODO RUN-OFF
O termo Run-Off, em estudos mais profundos se
refere à:
1- Sistema de votação majoritária em duas
voltas (Run-Off simples)
2- Voto por escoamento instantâneo (IRV)
3- Voto contingente
4- Votação exaustiva (Run-Off sequencial)
O "1" já estudamos anteriormente. O "2" e o "3"
dependem de conceitos que ainda
estudaremos.
Chamaremos de Run-Off apenas a votação
exaustiva, como fazem os compêndios didáticos
de ensino médio ou introdutórios de Matemática
Aplicada (mas não os livros de Ciência Política
e Teoria dos Jogos). Algumas vezes chamamos
de Run-Off sequencial o método da votação
exaustiva.
Em Portugal, os cursos de MACS usam Run-Off
como sinônimo de votação exaustiva. Quando
nos exercícios referirmos apenas ao método
Run-Off trata-se do método de votação
exaustiva.
MÉTODO DA VOTAÇÃO EXAUSTIVA
Faz várias voltas (turnos) de votação, em cada
volta eliminando os não votados e o menos
votado em cada volta. Poderá ser necessário o
desempate. O exemplo mais clássico é a
escolha das sedes dos Jogos Olímpicos.
Nesse processo são feitas quantas rodadas
forem necessárias.

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Algumas variações:
- mais de um candidato entre os mais baixos
podem ser eliminados simultaneamente se
juntos tiverem menos votos que o candidato
mais baixo acima deles.
- assim que um candidato atingir 50% em
qualquer rodada encerra-se a votação.
Nos exercícios não consideraremos as
variações, a menos que expresso. Nesse caso
sempre terá várias votações, independente do
percentual do vencedor, e, serão eliminados
apenas o menos votado ou aquele que tiver
zero votos (quando for solicitado que determine-
se o vencedor pelo método run-off você
procederá assim, sendo isso geral nos
problemas matemáticos).
Como nesse método os eleitores precisariam
votar várias vezes, esse método não é usado
em eleições públicas em larga escala, sendo
utilizada em eleições que envolvem no máximo
algumas centenas de eleitores, como escolha
de primeiro ministro, presidente de assembleia,
etc.
O método da votação exaustiva é usada, por
exemplo:
- eleição dos métodos do Conselho Federal
Suiço
- eleição do Primeiro Ministro da Escócia
- eleição do Presidente do Parlamento Europeu
- eleição dos oradores da Câmara dos Comuns
do Canadá, Câmara dos Comuns britânica e
Parlamento escocês
- líder do Novo Partido Democrático do Canadá
- líder do Partido Conservador Britânico
- escolha da cidade sede dos Jogos Olímpicos
e da sede da Copa do Mundo Fifa
Antigamente foi usado para
- eleição do presidente e controlador do estado
de Israel
Algumas variações:
- eleição do presidente da Itália (pelo
parlamento, eleição indireta), é necessário ter
2/3 dos votos nas primeiras rodadas (chamada
supermaioria), sendo apenas 50% a partir da 4ª
rodada de votação.
- votação do Partido Democrático-Agricultor-
Trabalhista de Minessota para aprovação no
senado dos EUA em 2008, usou uma votação
exaustista com regra de desistência, iniciando
em 5% e aumentando para 25% após a 5ª
rodada, a qual um candidato com votos mais
baixos foi eliminado por rodada até não
restarem mais do que 2.
- a Câmara dos Comuns canadense e britânica,
qualquer candidato com menos de 5% dos
votos no primeiro turno é imediatamente
eliminado.
Exemplo – Calculando o vitorioso pelo
método Run-Off
(http://pedronoia.net/ResumoAss1111.htm)
Os alunos de uma turma vão eleger o
tesoureiro, pois pretendem organizar uma
viagem de final de ano. Existem quatro
candidatos: A, B, C e D e os alunos votam por
ordem de preferência. Os resultados são:
a) Quantos alunos votaram?
10+8+7+3=28
b) Qual a percentagem de votos de cada
candidato no primeiro lugar?
c) Determine o vencedor usando o método:
c1) Pluralidade. D com 13 votos
c2) Run-off simples (votação majoritária em
duas voltas).
c3) Run-off sequencial (votação exaustiva).

16
MÉTODO DA VOTAÇÃO EXAUSTIVA OU
RUN-OFF SEQUENCIAL
São feitos vários turnos de votação, em cada
turno eliminando o menos votado.
Questão 1 – Escolha da Capital do Tenesse
Esse é um exemplo clássico na Wikipédia, sendo
repetido várias vezes.
assim:
Vamos utilizar o método Run-Off para determinar
qual seria a capital escolhida:
1ª Rodada:
_______ - ___%
_______ - ___%
_______ - ___%
_______ - ___%
Eliminado: __________________
A votação se encerra? (alguém com mais de 50%)
( ) Não ( ) Sim – eleito: ____________
2ª Rodada
_______ - ___%
_______ - ___%
_______ - ___%
Eliminado: __________________
( ) Não ( ) Sim – eleito: ____________
3ª Rodada
_______ - ___%
_______ - ___%
Eliminado: __________________
( ) Não ( ) Sim – eleito: ____________
Qual seria o resultado da votação no:
Método Plural _______________
Método Antiplural _______________
Método Maioritário de Duas Voltas
_______________
Compare as diferenças.
Considere – como via de regra em todos
exercícios de Teoria Matemática das Eleições –
que eleitores não fazem votos táticos, não mudam
de opinião, não erram o voto e votam
honestamente. Obviamente isso não se aplica
quando se fala do uso do voto útil ou tático.
Questão 2 – Vitória Necessária em Maioria
Absoluta
Mostre que, caso em uma volta de votação
exaustiva determinado candidato obtiver 50% dos
votos, ele necessariamente vencerá, mesmo que
sejam feitas várias outras voltas.

17
Questão 3 – Voto Tático na Votação Exaustiva
Leia o texto da Wikipédia:
Imagine uma eleição na qual existem 100 eleitores que
votam da seguinte maneira:
Sorvete: 25 votos
Torta de maçã: 30 votos
Fruta: 45 votos
Como nenhum candidato possui maioria absoluta de
votos, o sorvete é eliminado no primeiro turno. Os
torcedores de sorvete preferem torta de maçã a frutas,
por isso, no segundo turno, votam na torta de maçã e a
torta de maçã é a vencedora. No entanto, se apenas
seis apoiadores da fruta tivessem usado a tática de
"empurrar", eles poderiam ter mudado esse resultado e
garantido a eleição da fruta. Esses seis eleitores podem
fazer isso votando no sorvete no primeiro turno como
um empurrão. Se eles fizerem isso, os votos expressos
na primeira rodada serão assim:
Sorvete: 31
Torta de maçã: 30
Fruta: 39
Desta vez, a torta de maçã é eliminada no primeiro
turno e os sorvetes e frutas sobrevivem ao segundo
turno. Este resultado é deliberado. Os eleitores táticos
sabem que o sorvete será um candidato mais fácil para
a fruta vencer no segundo turno do que a torta de maçã
- em outras palavras, que o sorvete será um
"empurrão". No segundo turno, os eleitores táticos
votam em sua verdadeira primeira preferência, fruta.
Portanto, mesmo que apenas seis torcedores da torta
de maça prefiram fruta a sorvete, o resultado da
segunda rodada será:
Sorvete: 49
Fruta: 51
Portanto, os frutos serão eleitos. O sucesso dessa
tática depende de os torcedores da fruta serem
capazes de prever que o sorvete pode ser derrotado
pela fruta no segundo turno. Se uma grande maioria
dos apoiadores da torta de maça tivesse votado no
sorvete, a tática de "empurrar" teria saído pela culatra,
levando à eleição do sorvete, que os partidários de
frutas gostam ainda menos do que a torta de maça.
Analise a possibilidade do voto tático na votação
exaustiva.
Questão 4 – Sede dos Jogos Olímpicos
A escolha da sede dos jogos é um processo que
dura 7 anos. Veja as rodadas de votação da sede
de 2016:
Foi utilizado o método Run-Off sequencial
(votação exaustiva).
Por qual motivo é possível garantir, com certeza
absoluta, que houve voto tático na 2ª rodada.
(Obviamente você deve ignorar fatos que
eventualmente conheça como a Operação Unfair
Play)
Questão 5
(Escola Secundária Jaime Moniz - Portugal -
MACS - 10º ano) Na eleição para a direção de
uma Associação Desportiva, o número de votos
válidos era de 512 mas, para o vencedor ganhar
na primeira volta precisava obter maioria
qualificada de 2/3 dos votos. Qual é o número
mínimo de votos que o primeiro classificado
precisa de obter para vencer na primeira volta?
Questão 6 – Método Run-Off Sequencial é
Maioritário APROFUNDAMENTO
Explique por qual motivo o método Run-Off é
maioritário.

18
Método de Condorcet
QUADRO
MÉTODO DE CONDORCET
Faz-se comparação entre os pares de
candidatos, o que vencer todas as comparações
é vencedor. Se não houver vencedor de todas
as competições, faz-se duelos ponderados.
Existe uma variação onde se atribui pontos para
os duelos, como 2 pontos para vitória e 1 ponto
por empate, dando vitória ao vencedor. Esse
método é chamado de Método de comparação
par a par, e é uma variação do Método de
Condorcet.
Muitas vezes o emparelhamento no método de
Condorcet é chamado de head-to-head.
Quando um candidato é preferido por mais
eleitores do que qualquer outro ele é chamado
de "campeão em pares" ou "vencedor em todas
as batidas" e chamado de "vencedor de
Condorcet".
Um vencedor do Condorcet pode nem sempre
existir em uma eleição específica porque a
preferência de um grupo de eleitores que
seleciona entre mais de duas opções pode ser
cíclica - ou seja, é possível (mas muito raro) que
cada candidato tenha um oponente que os
derrote. em um concurso de dois candidatos. (É
semelhante ao jogo “pedra, papel e tesoura”,
onde cada formato de mão vence apenas um
oponente e perde para outro). Se interessar em
aprofundar leia sobre o conjunto de Smith e o
paradoxo de Condorcet (assuntos bem mais
elaborados).
É comum falar que o vencedor de Condorcet é
geralmente, mas não necessariamente, o
vencedor utilitário, aquele que maximiza o bem-
estar social.
Os métodos possuem esse nome em
homenagem ao Marquês de Condorcet,
matemático e filósofo francês do século XVIII
cujo nome é Marie Jean Antoine Nicolas Caritat,
que defendeu esses sistemas eleitoral. Porém,
Ramon Llull criou pela primeira vez esse
método em 1299 (sem que provavelmente
Condorcet saiba) numa variação semelhante ao
que hoje se chama de método de Copeland.
Se recorrermos para o conceito na Wikipédia
(https://en.wikipedia.org/wiki/Condorcet_metho
d) se explicam várias variações do método de
condorcet (Copeland's, Dodgson's, Kemeny-
Young, Maximal lotteries, Minimax, Nanson's,
Ranked pairs, Schulze). Não nos
aprofundaremos nesse método, tendo em vista
que esse é um curso elementar. Vamos nos
limitar ao que é estudado na disciplina de ensino
secundário (médio) de Portugal, a MACS.
Geralmente os métodos de Condorcert tem uma
única rodada de votação preferencial, na qual
cada eleitor classifica os candidatos da mais
preferida (marcada com o número 1) à menos
preferida (marcada com um número mais alta).
A classificação de um eleitor é chamada de
ordem de preferência (claro, é possível ser
utilizado voto tático e essa preferência não ser
genuína, sendo possível e até fácil a elaboração
de estratégias). Há várias formas de computar e
encontrar o vencedor. A que estudaremos aqui
será a mais comum nos livros didáticos
portugueses.
Exemplo cédula de votação pelo método
Condorcet. Os votos em branco são
equivalentes à classificação do candidato por
último.
Imagem de Wikipédia
A partir daqui vamos simplificar o método,
utilizando um único critério didático, o mais
simples. Alguns métodos usam inclusive
matrizes, não recorrermos para isso nesse
curso.
Atualmente não se conhece o uso de métodos
de Condorcet em eleições governamentais em

19
qualquer lugar do mundo, porém, um método de
Condorcert chamado método de Nanson, foi
usado nas eleições municipais na cidade
americana de Marquette em Michigan na
década de 1920.
Em eleições de organizações privadas há
várias:
- Primárias do Partido Pirata da Suécia (método
Schulze).
- Escolha do líder do Projeto Debian de Linux
GNU e da The Software in Public Interest
(método Schluze).
- Referendos Internos e escolha dos membros
do Conselho de Administração da Fundação
Gentoo Linux
- Escolha do estado de destino do Free State
Project (Minimax)
- Determinação da hierarquia uk.* da Usenet
- Eleições executivas da Sociedade de
Estudantes da Universidade de Colúmbia
(pares classificados)
- Escolha das equipes de gestão das
cooperativas de moradia estudantil Kingman
Hall e Hillegass Parker House.
O Método que vamos utilizar é na realidade o
Método de Copeland mas usaremos
genericamente como Método de Condorcet
para fins de exercícios.
Na comparação com pares do Método de
Condorcet o total de pares com n candidatos
pode ser dado por:
(
𝑛
2
) =
𝑛(𝑛 − 1)
2
Exemplo 1 – Calculando o vitorioso pelo
método de Condorcet
(http://pedronoia.net/ResumoAss1111.htm)
Os alunos de uma turma vão eleger o
tesoureiro, pois pretendem organizar uma
viagem de final de ano. Existem quatro
candidatos: A, B, C e D e os alunos votam por
ordem de preferência. Os resultados são:
Determine o vencedor usando o Método de
Condorcet. (apresente todos os confrontos
possíveis e os respetivos resultados)
Exemplo 2 – CONCEIÇÃO
O quadro a seguir mostra as preferências dos
membros da assembleia.
Quem seria o vencedor em cada método
eleitoral que estudamos?
Voto Plural:
P - 10 votos
D - 9 votos
C - 7 votos
B - 5 votos
Vitorioso: P
Voto Antiplural:
P - rejeitado por 16
D - rejeitado por 10
C - rejeitado por 5
B - não é rejeitado
Vitorioso: B
Voto Maioritário a Duas Voltas:
Os dois mais votados são P e D.
Na segunda volta
- os 7 eleitores de C passam para D (pois sua
primeira e segunda opções estão eliminados, e
D é a terceira opção).
- os 5 eleitores de B votam na segunda volta
em P (segunda opção)
Na 2ª volta
- D tem 9+7=16 voltas
- P tem 10+5=15 voltas.
Vitorioso: D

20
Método Run-Off (sequencial):
Veja as voltas como ficariam:
Vitorioso: D
Método de Condorcet:
Vamos comparar os 6 pares. Note que já
comparamos P e D no método maioritário de
duas voltas.
P – perde todas as comparações
D – vence 1 comparação
C – vence 3 comparações
B – vence 2 comparações
Vitorioso: C
Você notou que há um vitorioso diferente
dependendo do método a ser utilizado?
Veremos que se utilizássemos o método da
Contagem de Borda – que é um método
posicional - o vencedor seria B. Todos os 4
poderiam ser vencedores, dependendo do
método utilizado.
Aí fica a questão: a vitória é justa, se ela
depende do método? Kenneth Arrow estudou
isso detalhadamente e vamos estudar isso na
nossa 4ª aula: a questão da impossibilidade de
uma eleição justa com mais de 2 candidatos.
MÉTODO DE CONDORCET
Faz-se comparação entre os pares de
candidatos, o que vencer todas as
comparações é vencedor.
assim:
Vamos utilizar o método de Condorcet para
determinar qual seria a capital escolhida:
Pares:
Disputa Porcentagens Vencedor
Menphis x
Nashville
____x ____
Memphis x
Chattanooga
___x ____
Menphis x
Knoxville
___x ____
Nashville x
Chattanooga
___x ____
Nashville x
Knoxville
___x ____
Chattanooga x
Knoxville
___x ____
Vencedor:_________________
Qual seria o resultado da votação no:
Método Plural _______________
Método Antiplural _______________
Método Maioritário de Duas Voltas
_______________
Método Run-Off Sequencial _____________

21
Questão 2
MACS - 10º ano) Considere as seguintes
preferências resultantes de uma eleição:
a)Quantas pessoas votaram? _________
b)Qual a porcentagem de votos de cada candidato
no primeiro lugar?
A ______ B ______ C ______ D ______
c)Determine o vencedor usando o método:
c1) Pluralidade ______
c2) Run-off simples (maioritário de duas voltas)
Classificados para o 2º turno: ____
A vão para ___ - Total: ____
B vão para ___ - Total: ____
C vão para ___ - Total: ____
D vão para ___ - Total: ____
Votos de ____ - Total: ____
Votos de ____ - Total: ____
Vencedor: ___
c3) Run-off sequencial (exaustiva)
A B C D Eliminado
1ª
Rodada
2ª
Rodada
3ª
Rodada
Vencedor: ___
c4) Método de Condorcet.
Vencedor: ___
Questão 3
MACS - 10º ano) Considere as seguintes
preferências resultantes de uma eleição:
Quem é o vencedor usando o Método de
Condorcet?
Vencedor: ___
Assista o vídeo de terceiros:
https://youtu.be/VesM8nBq5wQ

22
Questão 4 – Ausência do Vencedor de
Condorcet
Mostre que no exemplo a seguir não há vencedor
de Condorcert (note que nem todos fizeram a lista
completa de votos, isso gerou os vários métodos
de Condorcet diferentes)
Veja as opções de voto:
a)Complete a tabela:
Comp
aração
Resu
ltado
Venc
edora
Comp
aração
Resu
ltado
Venc
edora
A x B B x D
A x C B x E
A x D C x D
A x E C x E
B x C D x E
b)Com base na tabela acima complete:
Candidato Vitórias Derrotas Saldo
A
B
C
D
E
c)Explique porque não existe vencedor de
Condorcet.
Método da Contagem de Borda
QUADRO
MÉTODO DE BORDA
O Método da Contagem de Borda é um método
posicional e considerado um sistema mais justo
de eleições por não ser simplesmente
maioritário, e leva em conta a ordem completa
de preferências dos eleitores sobre todos os
candidatos.
Não é o único método posicional, mas é o mais
antigo. Ele foi apresentado por Jean Charles
Borda, em 1770, como proposta para as
eleições da Academia Francesa de Ciências,
um caso que é bem explicada no livro de
CONCEIÇÃO (2006).
Na Contagem de Borda, cada eleitor atribui
pontos por ordem decrescente de preferência
aos candidatos. Para 3 candidatos atribuem-se
as pontuações (2,1,0), para 4, (3, 2, 1, 0) e
assim sucessivamente.
Exemplo 1 – voltemos ao exemplo 2 da
explanação sobre o Método de Condorcet:
Vamos ver quem venceria essa eleição:
Na Contagem de Borda, cada eleitor atribui 3, 2,
1 e 0 pontos aos candidatos, de acordo com a
sua ordem de preferência. BAsta portanto
contar quantos vezes um candidato é o
preferido, o segundo preferido, ... Por exemplo
B é o preferido 5 vezes, o segundo 16 vezes e
o terceiro 10 vezes. Calculemos a pontuação de
cada um deles.
O vencedor será B.
COMENTÁRIOS HISTÓRICOS E GEOGRÁFICOS
Se analisarmos mais profundamente, como
disponível em
https://en.wikipedia.org/wiki/Borda_count, a
Contagem de Borda, como o Método de
Condorcet é uma coleção de métodos de
eleição.
Antes de Borda, o método já havia sido usado
em 1435 por Nicholas de Cusa.
Atualmente os usos mais notáveis do método
são usados para eleger membros do

23
parlamento de Nauru e dois membros de
minorias étnicas da Assembléia Nacional da
Eslovênia. Em formas modificadas determina
quais candidatos são eleitos para os assentos
da lista de partidos das eleições parlamentares
da Islândia e para selecionar candidatos às
eleições presidenciais em Kirabati. Até 1970 era
usada uma variante na Finlândia para
candidatos individuais nas listas de partido.
O método de Borda pode ser usado para
eleições com vários vencedores e há um
método proporcional semelhante. Também
pode ser usado em competições.
Há variações:
- o sistema começa em 1 ao invés de 0.
- Sistema Dowdall de Nauru, onde o 1º colocado
recebe 1 ponto, o 2º colocado 1/2, o 3º colocado
1/3, o 4º colocado 1/4 e assim por diante
(sistema semelhante utilizado nas primárias de
Oklahoma em 1925).
- apenas alguns candidatos são classificados
(Kiribati, por exemplo, classifica apenas 4
candidatos).
Como é muito fácil burlar o método de Borda há
cédulas que obrigam os eleitores a classificar
todos os candidatos, sob pena de nulidade do
voto (como em Nauru).
Entre os usos atuais há 4 países que usam em
eleições políticas: Eslovênia, Micronésia, Kirbati
e Nauru. No caso da Eslovênia, o único país
grande da lista, é usado para apenas dois
membros de minorias étnicas na Assembléia
Nacional (imigrantes italianos e húngaros).
Também foi usada na política para eleger o
presidente do Partido Verde da Islândia. Um uso
político, mas não governamental, foi usada para
obter consenso nas conferências de paz da
Irlanda do Norte.
Nos usos não governamentais há a escolha de:
- governo central de estudantes e governo da
Faculdade de Literatura, Ciência e Artes
(LSASG) da Universidade de Michigan.
- oficiais do Conselho Profissional de Pós
Graduação da Universidade do Missouri.
- oficiais da Associação de Estudantes de Pós-
Graduação da Universidade de Los Angeles
Califórnia.
- membros do Conselho de Graduação (a partir
de 2018) da Universidade Harvard.
- oficiais do senado da faculdade da
Universidade do Sul de Illinois em Carbondale
- oficiais do Departamento de Matemática e
Estatística da Universidade Estadual do Arizona
- membros do corpo docente de comitês do
Collegio Wheaton, em Massachusetts.
- membros do comitê de professores da Escola
de Administração de Empresas, apenas
desempate, do Colégio de Willian e Mary em
Williansburg, Virgínia.
- assembléia de governantes da Sociedade
Internacional de Criobiologia.
- membros dos comitês da área de pesquisa da
Iniciativa de Trigo e Cevada dos Estados
Unidos.
- conselho de administração da Fundação
X.Org.
- seleção de cursos da OpenGL Architecture
Review Board.
- campeão mundial de oratória da Toastmasters
International (apenas os três primeiros).
- presidente do comitê membro da AIESEC nos
Estados Unidos (contagem modificada).
- vencedor da Eurovision Song Contest (método
fortemente modificado)
- julgamento do troféu de vinho da Sociedade
Australiana de Viticultura e Etnologia.
- vencedor da competição autônoma de futebol
de robôs RoboCup no Centro para Tecnologia
da Computação da Universidade de Bremem na
Alemanha.
- prêmio jogador mais valioso da MLB de
beisebol
- troféu Heisman de futebol americano
universitário
- classificação de equipes da faculdade NCAA,
inclusive na pesquisa de opinião da AP e
treinadores.
- seleção de vencedor de regata na corridas de
frota de velereiros
Além de Borda e Nicolau de Cusa, acredita que
Ramon Llull tenha descoberto tanto os critérios
de Borda quanto o de Condorcet em
manuscritos encontrados em 2001. Portanto há
três descobridores independentes, em 1299
(Llull), em 1433 (Cusa) e em 1770 (Borda).
Borda publicou seu método pela primeira vez
em 1781 como Mémoire sur les elections au
scrutin na Histoire de la Académie Royale des
Sciences Paris . O método foi usado pela
Academia de 1784 até ser anulado por
Napoleão em 1800.

24
Jean Charles Borda
Fonte: Wikipédia
MÉTODO DA CONTAGEM DE BORDA
Atribui-se pontos aos candidatos de forma
decrescente. O preferido de cada eleitor
recebe N pontos, o segundo N-1, o terceiro
N-2, e assim até o último, que recebe nota 0.
O mais pontuado é o vencedor.
assim:
Vamos utilizar a Contagem de Borda para
determinar qual será o vencedor:
Memphis:
Nashville:
Chattanooga:
Knoxville:
Questão 2
Veja a tabela, retirada da Wikipédia. Determine o
vencedor usando a Contagem de Borda:

25
No Brasil se associam eleições majoritárias ao
Executivo e proporcionais ao Legislativo, o que é
um erro. Nos EUA as eleições para deputados são
distritais, e todas elas majoritárias. Mesmo no
Brasil, as eleições para o senado são
proporcionais. É importante não fazer essa
confusão.
Questão 3
(Conceição, 2006) – Considere os seguintes
resultados de eleições democráticas, onde os
eleitores ordenam completamente o conjunto dos
candidatos (Considere que nenhum eleitor
utilizará estratégia ou “voto útil” e sempre votará
de acordo com sua preferência real)
a) Determine em cada caso o vencedor da eleição
se for usado o voto plural simples, maioritário a
duas voltas, antiplural, Contagem de Borda,
método de Condorcet e método Run-off.
1º caso
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Maioritário a duas voltas
_______________________________________
_______________________________________
_______
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Run-Off
A B C D Eliminado
1ª volta
2ª volta
3ª volta
Vencedor:___
Condorcet
Vencedor:___
Borda
Vencedor: ___
2º caso
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___

26
_______________________________________
_______________________________________
_______
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Run-Off
A B C D Eliminado
1ª volta
2ª volta
3ª volta
Vencedor:___
Condorcet
Vencedor:___
Borda
Vencedor: ___
Fique atento!!! Em minha cidade não há dois
turnos, e há 3 candidatos. Um deles eu considero
terrível e não quero a eleição dele de forma alguma.
Mas o que eu mais gosto não tem chance de ganhar,
então eu voto no meu 2º preferido para evitar a eleição
do qual eu detesto!
Esse exemplo fictício é muito comum no cotidiano
eleitoral, e é chamado de voto útil, tático ou estratégico.
Aqui estamos considerando métodos eleitorais onde
nenhum eleitor erra na hora de votar e que todos os
votos são honestos e sem qualquer tipo de estratégia
do tipo.
3º caso
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
_______________________________________
_______________________________________
_______
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Run-Off
A B C D E Eliminado
1ª volta
2ª volta
3ª volta
Vencedor:___
Condorcet
Vencedor:___
Borda

27
Vencedor: ___
b) Reverta a votação de cada eleitor, isto é, se
passa para , e diga
qual é o vencedor da votação plural, antiplural e
Contagem de Borda e compare com os
resultados do item anterior.
1º caso – Inverta a votação
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___ Quem havia
vencido antes da inversão? ____
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Borda
Vencedor: ___ Quem havia
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Borda

28
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Borda
Questão 4
Veja as preferências numa votação majoritária:
A ≻ B ≻ D ≻ C 16
A ≻ D ≻ C ≻ B 14
B ≻ A ≻ D ≻ C 10
C ≻ A ≻ B ≻ D 9
C ≻ D ≻ A ≻ B 8
Apure os votos em cada sistema.
Plural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Antiplural
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
_______________________________________
_______________________________________
_______
_______________________________________
_______________________________________
_______
Vencedor:___
Run-Off
A B C D Eliminado
1ª volta
2ª volta
3ª volta
Vencedor:___
Condorcet
Vencedor:___

29
Borda
Vencedor: ___
Questão 5
a)A eleição de prefeito em cidades com menos de
200.000 eleitores, que é o caso de Mococa, é feita
pelo sistema PLURAL, enquanto se a cidade tiver
mais de 200.000 eleitores, a eleição é feita pelo
sistema MAIORITÁRIO DE DUAS VOLTAS. A
prefeita eleita de Mococa em 2012 foi eleita, e ela
tinha apenas UM concorrente. Se o sistema fosse
MAIORITÁRIO DE DUAS VOLTAS ela também
seria eleita. Justifique. (Questão importante!)
b)Geraldo Alckimin foi eleito no primeiro turno das
eleições para governador de São Paulo em 2014.
Por qual motivo é correto dizer que ele também
seria vencedor se a eleição fosse feita pelo
MÉTODO DE CONDORCET. (Questão
importante!)
c)Na eleição do 2º turno entre Dilma Roulssef e
Aécio Neves. A atual presidente ficou em 1º lugar
na eleição e Aécio ficou em 2º lugar, deixando em
3º lugar a ex-senadora Marina Silva. As pesquisas
eleitorais mostravam que Aécio Neves
ultrapassou Marina Silva na intenção de voto
apenas nos 2 últimos dias, demonstrando um
crescimento do candidato tucano no final da
campanha. Suponha que analistas (DADOS
FICTÍCIOS) apontavam, no dia anterior à eleição,
intenções de voto para 2º turno no seguinte
cenario:
Aécio 41% Dilma 43%
Dilma 40% Marina 42%
Aécio 42% Marina 45%
Usando o método de Condorcet, quem seria o
vencedor nesse cenário.
Fonte da Imagem: Revista Veja

30
Questão 6
MACS - 10º ano) Três candidatos a presidente de
um clube, designados pelas letras A, B e C, foram
submetidos a uma votação por ordem de
preferência por parte dos 1200 sócios do clube.
480 votaram em “A” para o primeiro lugar, “B” para
o segundo e “C” para o terceiro. 420 votaram “A”
em último, “B” em segundo e “C” em primeiro. Os
restantes preferiram “B” em primeiro, “A” em
segundo e “C” em terceiro.
a) Determine o vencedor desta eleição utilizando
o método de Borda com 3 pontos para o 1º lugar,
2 pontos para o segundo e 1 ponto para o terceiro.
b) Modificando apenas a pontuação do 1º lugar,
investigue se é possível encontrar um outro
vencedor neste método. Se achar que não,
justifique. Se achar que sim, indique qual o
número mínimo de pontos a atribuir ao primeiro
lugar, de modo a obter novo vencedor.
Questão 7
MACS - 10º ano) Os alunos de uma classe de
ginástica vão eleger o tesoureiro, pois pretendem
organizar uma viagem no final do ano. Existem
três candidatos: Mariana, Carlos e Luísa. Os
alunos votam por ordem de preferência e os
resultados foram os seguintes:
a)Atribuindo 3 pontos para o 1º lugar, 2 pontos
para o 2º lugar e 1 ponto para o terceiro lugar,
determine o vencedor pelo método de Borda.
b)Quando a Luísa percebeu que não iria ganhar,
resolveu pedir ao júri para desistir. Deste modo, a
lista acima foi refeita com os candidatos Carlos e
Mariana. Determine novamente a contagem de
borda para esta nova situação.

31
Questão 8
MACS - 10º ano) Existe uma variante do Método
de contagem de Borda, chamado Método de
Borda Iterado, que consiste em aplicar em
primeiro lugar o método da contagem de Borda
tradicional para determinar um primeiro eleito. Em
seguida, este é suprimido da lista dos candidatos
e aplica-se o Método da contagem de Borda
tradicional novamente às alternativas restantes
para encontrar um 2º classificado e assim
sucessivamente. Suponha que uma assembleia
de 20 eleitores tem de escolher dois de entre três
candidatos A, B, C.
Admita que as preferências dos elementos da
assembleia se repartem da seguinte forma:
4 votantes: 1º A 2º B 3º C
9 votantes: 1º B 2º C 3º A
7 votantes: 1º C 2º A 3º B
Quais serão os escolhidos se o método utilizado
for o método de borda iterado? Apresente todos os
cálculos.
Esse método é similar ao IRV que é um método Run-
Off que já citamos.
Questão 9
MACS - 10º ano) Considere a tabela resultante de
uma votação com ordem de preferência, cujos
candidatos designaremos por “A”, “B”, “C” e “D”.
a) Atribuindo 4 pontos ao primeiro classificado, 3
pontos ao segundo, dois ao terceiro e um ponto ao
quarto, determine a pontuação de cada um dos
candidatos, de acordo com o método de Borda.
b) Será possível alterar o número de votantes da
coluna mais à direita de modo a obter outro
vencedor? Se acha que não, explique porquê. Se
acha que sim, indique qual o número mínimo de
votos a atribuir à coluna da direita de modo a obter
outro vencedor e apresente todos os cálculos com
as novas classificações.
https://youtu.be/WVijka3OruU

32
Questão 10
Determine o vencedor pelo Método de Borda:
Número de Votos Ordem de
Preferência
7 ABC
13 ACB
10 BAC
9 BCA
6 CAB
5 CBA
Questão 11 APROFUNDAMENTO
Mostre que o número de ordens de preferência
numa eleição com 𝑛 candidatos é igual a 𝑛!.
Vetor Eleitoral em Métodos
Posicionais
QUADRO
Numa eleição com 𝑛 candidatos, um método
posicional é um método em que cada eleitor
atribui 𝑤1 pontos ao seu candidato favorito, 𝑤2
pontos ao segundo, ..., 𝑤 𝑛−1 ao penúltimo e 0
ao último.
Ao vetor 𝑊 = (𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤 𝑛+1, 0) chamamos de
Vetor Eleitoral, onde é necessário que 𝑤1, ≥
𝑤2 ≥ . . . ≥ 𝑤 𝑛+1 ≥ 0
Exemplos de Vetores Eleitorais:
*Contagem de Borda 𝑊 = (𝑛 − 1, 𝑛 − 2, . . . , 1, 0).
Se 𝑛 = 5, o vetor é 𝑊 =
(4,3,2,1,0)~(1,
3
4
,
2
4
,
1
4
, 0).
*Festival Eurovisão da Canção 𝑊 =
(12, 10, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, . . . , 0) ~
(60, 50, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0, 0, 0, 0, . . . . , 0)
*Campeonato de Fórmula 1: 𝑊 =
(10, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, . . . , 0)
O comprimento do vetor eleitoral tem que ser
igual ao número de candidatos a uma eleição,
campeonato de Fórmula 1, etc.... Se
necessário, acrescentamos zeros nas últimas
posições.
Note que vetores eleitorais W ou kW, sendo k
um número real (escalar) resultam sempre o
mesmo resultado. (se você já estudou álgebra
linear entenderá melhor essa afirmação!)

33
Exemplo:
Considere a tabela:
Determine o vencedor usando o vetor eleitoral:
a) 𝑊 = (4,3,0)
Candidato A
6 ∙ 4 + 2 ∙ 3 + 5 ∙ 0 = 30
Candidato B
5 ∙ 4 + 6 ∙ 3 + 2 ∙ 0 = 38
Candidato C
2 ∙ 4 + 5 ∙ 3 + 6 ∙ 0 = 23
O vencedor é o candidato B.
b) 𝑊 = (8,1,0)
Candidato A
6 ∙ 8 + 2 ∙ 1 + 5 ∙ 0 = 50
Candidato B
5 ∙ 8 + 6 ∙ 1 + 2 ∙ 0 = 46
Candidato C
2 ∙ 8 + 5 ∙ 1 + 6 ∙ 0 = 21
O vencedor é o candidato A.
c)𝑊 = (2,1,0)
Candidato A
6 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + 5 ∙ 0 = 14
Candidato B
5 ∙ 2 + 6 ∙ 1 + 2 ∙ 0 = 16
Candidato C
2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 + 6 ∙ 0 = 9
O vencedor é o candidato B. Você notou que
trata-se da Contagem de Borda esse vetor?
d)𝑊 = (1,0,0)
Candidato A
6 ∙ 1 + 2 ∙ 0 + 5 ∙ 0 = 6
Candidato B
5 ∙ 1 + 6 ∙ 0 + 2 ∙ 0 = 5
Candidato C
2 ∙ 1 + 5 ∙ 0 + 6 ∙ 0 = 2
O vencedor é o candidato A. Você notou que
trata-se do Método Plural. Todo vetor da forma
(𝑛, 0,0,0,0) faz uma eleição do Método Plural.
Dizemos que dois vetores eleitorais são
equivalentes quando um é múltiplo do outro, ou
seja W e kW são equivalentes com 𝑘 ∈ ℝ..
Dois vetores não equivalentes podem gerar o
mesmo resultado numa eleição específica,
porém, dois vetores eleitorais não equivalentes
podem, em pelo menos uma situação, gerar um
resultado diferente, a depender da votação.
Perceba que Métodos Posicionais de eleições
Majoritárias são úteis em concursos culturais,
campeonatos, para criação de ratings, etc.
VETOR NORMALIZADO
É o vetor eleitoral da forma:
(1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤 𝑛−1, 0)
Há duas propriedades:
*Dois vetores normalizados diferentes nunca
são equivalentes.
* Qualquer vetor (𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤 𝑛+1, 0) é
equivalente ao vetor normalizado
(1,
𝑤2
𝑤1
, . . . ,
𝑤 𝑛+1
𝑤1
, 0)

34
Questão 1
(Conceição, 2006)
a) Conte os votos da eleição, usando o vetor
eleitoral (7,6,1,0)
Vencedor: ___
b) Conte os votos da eleição, usando o vetor
eleitoral (2,1,0,0)
Vencedor: ___
c) Conte os votos da eleição, usando o vetor
eleitoral (10, 3, 2, 1, 0)
Vencedor: ___
d) Qual é o vetor normalizado de cada uma das
eleições desse exercício?
Questão 2
a) Uma Olimpíada de Matemática atribui 10 pontos
para o 1º colocado, 8 pontos para o 2º colocado, 6
pontos para o 3º colocado, 3 pontos para os
próximos 4 colocados, e 0 pontos para os demais.
Qual é o vetor eleitoral dessa Olimpíada se
houverem 15 participantes?
b) Uma edição do Big Brother com 10 participantes
premia com 1 milhão de reais o 1º colocado, 500
mil reais o 2º colocado e todos os demais recebem
50 mil reais.
Qual é o vetor eleitoral irredutível dessa
competição?

35
Questão 3
(Teste de MACS – Ensino Secundário –
Portugal 2005/2006) Numa votação, para
escolher quatro candidatos, registram-se as
preferências individuais indicadas no quadro:
Indique o vencedor se for usado:
(a) O voto maioritário a duas voltas;
_______________________________________
_______________________________________
Vencedor: ____
(b) O voto antiplural;
_______________________________________
_______________________________________
Vencedor: ____
(c) O método posicional de vetor eleitoral (3,1,0,0)
Vencedor: ____
Questão 4
Quando o professor Otávio Sales estava na 7ª
série, em 1992 as meninas da sala votaram nos
meninos mais bonitos, entre 8 alunos, porém,
queriam um critério, e o professor Otávio, na
época um adolescente de 13 anos,
desconhecedor sequer que existia uma Teoria
Matemática das Eleições, propôs o seguinte
método, onde as meninas ordenavam os meninos,
dos que achavam mais bonito para o menos
bonito:
• 8 pontos para o mais bonito
• 7 pontos para o 2º mais bonito
• 1 ponto para o menos bonito
Somava-se então, a pontuação de cada
estudante.
Qual método eleitoral o professor Otávio usou,
intuitivamente?
Note que supomos que esse método foi inventado
e reinventado várias vezes na história da
humanidade, pela sua obviedade e possibilidade
de bons resultados.
Questão 5
MACS - 10º ano) Foi feita uma votação para
eleger o presidente de uma associação cultural e
ficou decidido utilizar o método de aprovação.
Apresentaram-se quatro candidatos que
designaremos pelas letras “A”, “B”, “C”, e “D”.
Os 30 votantes escolheram de acordo com os
seguintes resultados:
8 votaram A, B, C.
5 votaram B, C.
5 votaram em nenhum.
5 votaram C e D
4 votaram em todos os candidatos
3 não sabemos como votaram.
Sabemos que os resultados finais foram:
A: 12 B: 20 C: 25 D: 9

36
Como votaram os três últimos eleitores?
Essa questão não envolve o Método de Borda e no
curso de MACS é chamado de “Sistema de Aprovação”,
porém, entendemos que é possível que você consiga
compreendê-lo e resolvê-lo sem qualquer explicação
teórica.
Questão 6
MACS - 10º ano) Um grupo de 30 alunos vai
escolher o delegado de turma pelo método de
aprovação.
Suponha que foram obtidos os seguintes
resultados:
• Metade dos alunos escolheram o João, a
Maria e o Francisco.
• Um terço dos alunos escolheram o Manuel,
o João e a Maria.
• Os restantes alunos escolheram o Manuel
e a Maria
Indique quantos votos obteve cada um dos
concorrentes e quem foi eleito delegado.
Resolução:
https://youtu.be/znSla8Xj0W0
Questão 7 – Votos Desperdiçados e Lacuna de
Eficiência (sistema FPTP)
Em estudos mais profundos de Teoria Matemática
das Eleições ou no estudo de Sistemas Eleitorais
na Ciência Política se fala de votos desperdiçados.
A idéia de Lacuna de Eficiência foi criada para
evitar em sistemas FPTP a redistribuição de
distritos de tal forma que possa favorecer um
partido e usa a idéia de votos desperdiçados.
Vamos dar um exemplo de dois candidatos
votados em 5 distritos. Cada distrito conta um
único voto:
Todos os votos para um candidato perdedor são
desperdiçados.
Para ganhar um distrito, são necessários 51 votos,
portanto os votos em excesso para o vencedor são
votos desperdiçados.
Lacuna de eficiência
222−23
500
= 39,8% a favor do
Partido A.
O Partido A tem menos da metade dos votos, mas
muito mais votos do Partido B são desperdiçados.
Há críticas para a lacuna de eficiência. Esse
exemplo e as críticas são encontradas aqui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Wasted_vote
Determine a lacuna de eficiência da eleição a
seguir, determinando a favor de quem foi.

37
Questões dos Exames Nacionais de
MACS - Portugal
QUADRO
As questões a seguir foram objetos dos Exames
Nacionais de Matemática Aplicada e
Computacional em Portugal.
Questão 1 - E18F1Q1
Tema: Eleições: Pluralidade e eliminação
sucessiva
(Exame Nacional de MACS) Na escola de
Serrado de Cima, todos os anos é organizada uma
visita de estudo a um país estrangeiro.
No último ano, apresentou-se aos alunos três
países de destinos possíveis.
No boletim de voto, cada aluno colocou os três
países por ordem decrescente de preferência.
A Tabela 1 apresenta as quatro listas ordenadas
de preferência estabelecidas pelos alunos e o
respectivo número de votos; o número de votos
obtidos por uma das listas ordenadas é indicado
por X.
Questão 1.1 - Admita que a escolha do país a
visitar será feita considerando apenas a primeira
preferência indicada pelos alunos. Nestas
condições, o segundo país mais votado para visita
de estudos seria a Bélgica.
Assim, um valor possível de X é
a) 4
b) 7
c)10
d) 11
Questão 1.2 - Considere agora que X=9.
Foi decidido que a escolha do país a visitar
resultaria da aplicação do método a seguir
descrito.
• Efetua-se a contagem do número de votos
em cada país, como primeira preferência,
e verifica-se se algum deles obtém a
maioria absoluta. Caso isso se verifique,
esse país é o vencedor.
• Caso contrário, o país que obteve o menor
número de votos, como primeira
preferência, é eliminado da tabela. A tabela
de preferências é, em seguida,
reestruturada, e, em cada coluna, os
países que ocupavam os lugares abaixo do
país eliminados sobem uma linha,
mantendo-se pela mesma ordem.
• Os procedimentos anteriores são
aplicados à nova tabela de preferências
obtida no ponto anterior.
• O processo repete-se até que um dos
países obtenha a maioria absoluta da
primeira preferência.
Determine, por aplicação do método descrito, qual
o país escolhido pelos alunos com destino para a
sua visita de estudo.
Na sua resposta, apresente todos os cálculos
efetuados.
Tema: Run-Off Sucessivo
(Exame Nacional de MACS) De dois em dois
anos, o SCC participa no Encontro Desportivo
Internacional, que, em 2016, se realiza em
Pracóvia.
Na cerimônia de abertura do encontro, cada clube
participante é representado por um atleta que
desfila levando o seu estandarte.
Quatro dos atletas mais antigos do SCC, Eduarda
(E), Francisco (F), Gabriel (G) e Henrique (H), são
candidatos a porta-estandarte. Para selecionar o
candidato que será porta-estandarte, os
elementos dos órgãos diretivos do clube votam
nos quatro candidatos por ordem de preferência.
Foram apurados 47 votos válidos, cujos
resultados estão registrados na Tabela 2.

38
A seleção de candidato da aplicação do método a
seguir descrito.
• Efetua-se a contagem do número de
primeiras preferências de cada candidato e
verifica-se se algum deles obtém a maioria
absoluta na primeira preferência. Caso
isso se verifique, esse candidato é o
vencedor.
• Caso contrário, elimina-se o candidato
menos votado na primeira preferência e a
tabela de preferências é reestruturada,
passando a incluir menos um candidato.
Os candidatos nas preferências
imediatamente a seguir vão ocupar o lugar
vazio deixado pelo candidato eliminado.
• O procedimento repete-se até que um dos
candidatos obtenha a maioria absoluta na
Verifique, justificando, se o candidato declarado
vencedor, por aplicação do método descrito, foi o
que teve maior número de votos na primeira
preferência.
Na sua resposta, apresente todos os cálculos
efetuados.
Tema: Eleição com ordem de preferência;
Maioria absoluta
(Exame Nacional de MACS) Os alunos do 12.º
ano da Escola «Bom Estudante» pretendem
organizar uma viagem de finalistas a uma cidade
espanhola. Os delegados das oito turmas
reuniram-se para escolher essa cidade. Como não
conseguiram consenso, decidiram que seriam
todos os alunos do 12.º ano a eleger o destino da
viagem, sendo Granada, Madrid, Sevilha e Vigo as
cidades colocadas à votação.
Cada aluno, no seu boletim de voto, ordena as
quatro cidades, de acordo com a ordem das suas
preferências, sendo o seu voto atribuído à cidade
colocada em primeira preferência.
Na tabela (quadro de preferências) que se segue,
estão registados as sequências das preferências
obtidas na votação e o número correspondente de
boletins.
O método escolhido para apurar a cidade a eleger
como destino da viagem de finalistas foi o método
preferencial, de acordo com os seguintes critérios
e etapas:
• contabiliza-se o número de votos obtidos,
na primeira preferência, por cada cidade;
• caso uma cidade obtenha a maioria
absoluta de votos na primeira preferência,
ela é eleita vencedora e o processo
termina;
• caso contrário, elimina-se da eleição a
cidade que obteve o menor número de
votos, na primeira
• preferência, e o quadro de preferências é
reestruturado, passando a incluir menos
uma cidade (consequentemente, também
menos uma preferência);
• a este «novo» quadro de preferências,
aplicam-se novamente todos os
procedimentos anteriores, pela ordem
enunciada;
• o processo repete-se até uma das cidades
obter maioria absoluta de votos, na
Tendo em conta os resultados da votação
expressos na tabela:
Questão 3.1 - Calcule o número de votos que
cada uma das cidades obteve, na primeira
preferência.
Questão 3.2 - Indique o número mínimo de votos
que uma cidade deveria ter obtido, na primeira
preferência, para ser eleita vencedora na primeira
contagem.
Questão 3.3 - Determine, segundo o método
descrito, qual é a cidade aonde se vai realizar a
viagem de finalistas.
Na sua resposta deve incluir, obrigatoriamente, o
número de votos obtidos, na primeira preferência,
por cada cidade, em cada uma das contagens que
efetuar para determinar a cidade a visitar.

39
Questão 3.4 - Determine quantos alunos
frequentam o 12.º ano de escolaridade na Escola
«Bom Estudante», sabendo que 4% dos alunos do
12.º ano não votaram
Questão 4 - E17EEQ2
Tema: Eleições – Método de Borda
(Exame Nacional de MACS) A organização
decidiu exibir os filmes A, B, C e D no dia de
abertura do CineJov. Antecipadamente, colocou à
votação do público a ordem pela qual os filmes
iriam ser exibidos. A votação foi realizada no sítio
dedicado à divulgação do ciclo de cinema, tendo
cada votante de ordenar os quatro filmes, de
acordo com a sua preferência. Nesta votação,
foram apurados 750 votos válidos.
A Tabela 2 apresenta as preferências de 600
desses 750 votantes.
Os 150 votantes cujas preferências não estão
registradas na Tabela 2 votaram todos numa
mesma ordenação dos quatro filmes, sendo essa
ordenação diferente das três constantes da
Tabela 2.
Concluída a votação, a organização aplicou o
método a seguir descrito para definir a ordem de
exibição dos quatro filmes:
❖ São atribuídos pontos a cada um dos filmes
em função do seu lugar na ordem de
preferência. Cada filme recebe:
➢ quatro pontos por cada voto na primeira
preferência;
➢ três pontos por cada voto na segunda
preferência;
➢ dois pontos por cada voto na terceira
preferência;
➢ um ponto por cada voto na quarta
preferência.
❖ Contabiliza-se a pontuação total de cada um
dos filmes.
❖ Ordenam-se os filmes, por ordem decrescente
de pontuação, e será essa a ordem de
exibição, ou seja, é exibido em primeiro lugar
o filme com maior pontuação.
❖ Em caso de empate, caberá à organização
escolher a ordem de exibição dos filmes
empatados.
Após a contabilização da pontuação total de cada
um dos filmes, tendo em conta as preferências dos
750 votantes, verificou-se que as pontuações
obtidas pelos filmes A e D eram iguais e que o
filme B obteve a maior pontuação.
Identifique a ordenação dos filmes feitas pelos 150
votantes cujas preferências não estão registradas
na Tabela 2.
Na sua resposta, apresente a pontuação de cada
filme, aplicando o método descrito:
- aos 600 votos registrados na Tabela 2;
- ao total de 750 votos, tendo em conta a
ordenação dos filmes que identificou.
Tema: Método de Borda e variantes
(Exame Nacional de MACS) Num determinado
dia da próxima edição do festival de música
MaréFest, vão atuar no palco principal as bandas
A, B, C e D. Numa ação de campanha publicitária,
os organizadores puseram à votação do público a
ordem pela qual as bandas deveriam atuar. A
votação decorreu on-line.
Ao votar cada internauta tinha de dispor os nomes
das bandas, A, B, C e D, de acordo com a ordem
pela qual gostaria de as ver atuar, validando a
seguir o seu voto. A votação encerrou quando
foram apurados os votos dos primeiros mil
internautas.
A Tabela 1 apresenta a preferência de 900 desses
1000 internautas.

40
Os 100 internautas restantes votaram todos numa
mesma ordenação das quatro bandas, sendo essa
ordenação diferente das três constantes na
Tabela 1.
Concluída a votação, os organizadores aplicaram
o método a seguir descrito para tomarem a
decisão final.
❖ *São atribuídos pontos a cada uma das
bandas em função do seu lugar na ordem de
preferência. Cada banda recebe:
➢ quatro pontos por cada voto na primeira
preferência;
➢ três pontos por cada voto na segunda
preferência;
➢ dois pontos por cada voto na terceira
preferência;
➢ um ponto por cada voto na quarta
preferência.
❖ Contabiliza-se a pontuação total a cada uma
das bandas.
❖ Ordenam-se as bandas, por ordem
decrescente da pontuação, e será essa a
ordem de atuação, ou seja, atua em primeiro
lugar a banda mais votada.
❖ Em caso de empate, caberá aos elementos da
organização escolher a ordem de atuação das
bandas empatadas.
Demonstre que as afirmações seguintes são
falsas, justificando a sua resposta.
I - A banda C poderá atuar em primeiro lugar.
II - Nunca haverá bandas com o mesmo número
de pontos.
Na sua resposta, apresente:
- a pontuação de cada banda, resultante da
aplicação do método acima descrito aos votos
registrados na Tabela 1.
- para cada uma das afirmações, um exemplo que
a contraria e que resulte das votações possíveis
dos 100 internautas cujas preferências se
desconhecem.
Tema: Método da Contagem de Borda
(Exame Nacional de MACS) A Joana estuda na
Escola Secundária de Potes. Na turma da Joana,
os alunos têm de escolher uma cidade, que será o
destino de uma visita de estudo. Os alunos podem
escolher Amarante, Braga ou Lamego.
Não havendo consenso entre os alunos, a Diretora
de Turma propôs que a decisão fosse tomada por
votação. Cada aluno deveria ordenar, uma única
vez, os nomes das três cidades de acordo com as
suas preferências. A ordenação efetuada por cada
aluno corresponde a um voto. Foram apurados
vinte e um votos válidos.
Na Tabela 1, encontram-se organizados os
resultados obtidos
Suponha que a Diretora de Turma decide aplicar
o método de contagem de Borda para escolher a
cidade a visitar.
Segundo o método de contagem de Borda, a
escolha faz-se de acordo com os seguintes
critérios e etapas:
❖ para que um voto seja considerado válido,
cada aluno ordena, uma única vez, os nomes
das três cidades de acordo com as suas
preferências;
❖ na ordenação final das cidades, cada primeira
preferência recebe tantos pontos quantas as
cidades em votação;
❖ cada segunda preferência recebe menos um
ponto do que a primeira, e assim
sucessivamente, recebendo a última
preferência um ponto;
❖ é escolhida a cidade com maior número de
pontos.
Verifique se, aplicando o método de contagem de
Borda, a cidade vencedora respeitaria a primeira
preferência mais votada.
Tema: Método de Borda
(Exame Nacional de MACS) A associação de
estudantes da Escola Secundária de Monte da
Azinha decidiu aplicar o método da Contagem de
Borda, para escolher o representante dos alunos
da escola num fórum internacional sobre ciência.
Concorreram quatro candidatos: a Ana, a Inês, o
Nuno e o Pedro.
Segundo o método da Contagem de Borda, o
apuramento do vencedor faz-se de acordo com os

41
seguintes critérios e etapas:
• para que um voto possa ser considerado
válido, cada eleitor vota em todos os
candidatos, ordenando-os de acordo com
as suas preferências;
• na ordenação final dos concorrentes, cada
primeira preferência recebe tantos pontos
quantos os candidatos em votação;
• cada segunda preferência recebe menos
um ponto do que a primeira, e assim
sucessivamente, recebendo a última
preferência um ponto;
• o vencedor é o concorrente com maior
número de pontos.
Foram apurados noventa e cinco votos válidos. Os
resultados obtidos são os seguintes.
Determine a pontuação final de cada candidato, e
indique o vencedor.
Tema: Método de Borda. Método maioritário,
comparação com.
(Exame Nacional de MACS) Realizou-se uma
Assembleia-geral de uma associação cultural,
com o objetivo de eleger uma pessoa para
representar a associação em sessões oficiais.
Apresentaram-se três candidatos, o Rui, o Luís e
o João. A Mesa da Assembleia propôs que cada
associado votasse nos três candidatos, por ordem
de preferência. O método escolhido para apurar o
vencedor foi o preferencial, de acordo com os
seguintes critérios e etapas:
• por cada voto em primeira preferência, o
candidato votado recebe três pontos, em
segunda preferência, dois pontos e, em
terceira preferência, um ponto;
• feito o apuramento da pontuação obtida
por cada candidato, será vencedor o que
obtiver uma pontuação total mais elevada.
A contagem dos votos vem descrita na tabela
seguinte.
Questão 8.1 - Copie para a sua folha de prova a
tabela abaixo apresentada e, depois, complete-a
utilizando o método preferencial.
Qual foi o candidato vencedor, segundo este
método?
Questão 8.2 - Se fosse adotado o sistema
maioritário, só a primeira preferência seria tida em
conta, ganhando o candidato cujas primeiras
preferências tivessem uma maioria relativa.
Utilizando este método, o candidato vencedor
seria o João.
No entanto, este candidato perderia quando
comparado com os outros candidatos, dois a dois.
Uma forma de comparar os candidatos dois a dois
é utilizar o método maioritário, sem contar com os
votos no terceiro candidato. Por exemplo, não
contando com os votos no Luís, as votações no
João e no Rui passam a ser as seguintes:
Utilizando o método maioritário relativamente à
primeira preferência, o Rui seria o candidato

42
vencedor, uma vez que tinha 78 votos, enquanto
o João teria apenas 45 .
8.2.1. Construa duas tabelas semelhantes à
anterior, não contando, primeiro, com a votação no
João e, depois, com a votação no Rui. Em cada
uma das comparações, quem é o vencedor?
8.2.2. Terminadas as comparações possíveis,
dois a dois, o Luís afirmou que ele próprio deveria
ser considerado o vencedor global.
Numa pequena composição, justifique que este
candidato está em condições de se considerar
vencedor global, tendo em conta os resultados
obtidos.
Deve incluir, obrigatoriamente, na sua
resposta a soma dos resultados referentes às
contagens dos votos na comparação dos
candidatos dois a dois, com a consequente
ordenação dos candidatos.
Tema: Novo método, com algumas
semelhanças ao de Borda.
(Exame Nacional de MACS) O Clube dos
Colecionadores elegeu o seu presidente.
Neste clube, os sócios com mais de 18 anos têm
de optar entre duas categorias: Titular ou Efetivo.
Nos Estatutos do Clube está definido o número de
votos a que cada sócio tem direito.
Titular - Ao fim do primeiro ano ininterrupto como
sócio, tem direito a 2 votos. Por cada 5 anos
ininterruptos como sócio, tem direito a mais 1 voto.
Efetivo - Ao fim do primeiro ano ininterrupto como
sócio, tem direito a 1 voto. Por cada 10 anos
ininterruptos como sócio, tem direito a mais 1 voto.
Apresentaram-se às eleições dois candidatos, a
Teresa e o Ricardo.
Apurados os resultados, verificou-se que a Teresa
obteve 210 votos, referentes aos 71 sócios que
nela votaram.
Na Tabela 1, está registrado o número de sócios
que votaram no Ricardo, agrupados por
categorias e por antiguidade do associado.
Verifique se é verdadeira a afirmação seguinte:
<<Apesar de o número de sócios que votaram
no Ricardo ser menor do que o número de
sócios que votaram na Teresa, o Ricardo
venceu as eleições.>>
Na sua resposta, apresente todos os cálculos que
efetuar.
Tema: Eleições – Método de Condorcet
(Exame Nacional de MACS) No âmbito das
comemorações do seu décimo aniversário, a
referida cadeia de restaurantes promoveu ainda o
concurso "Emenda TOP".
Os clientes preencheram um boletim, no qual
ordenaram quatro emendas, A, B, C e D, de
acordo com as suas preferências. Cada boletim
preenchido, com uma determinada ordenação,
correspondia a 1 voto, tendo sido apurados 1638
votos válidos.
resultados desta votação.
Concluída a votação, o apuramento da emenda
vencedora é feito através do método a seguir
descrito.

43
• Seleciona-se um par de ementas e atribui-
se o número de votos registrados em cada
coluna à ementa mais bem posicionada, de
entre as duas selecionadas.
• Comparam-se os votos obtidos por essas
duas ementas. A ementa com o maior
número de votos é a vencedora do par
escolhido.
• Repetem-se os procedimentos anteriores
até uma das ementas ter vencido em todas
as comparações com os restantes. Essa
ementa é a vencedora.
Determine qual foi a ementa vencedora por
aplicação do método descrito, começando por
selecionar as ementas A e B.
Questão 11 - E16EEQ1
Tema: Eleições – Métodos de Condorcet e
Borda
(Exame Nacional de MACS) O canal Televisão
Para Todos (TPT) vai realizar uma gala para
entrega de prêmios em diversas categorias.
Na categoria de melhor ator, foram nomeados os
atores: Antônio Santana (A), Pedro Pedreira (P),
Ricardo Teixeira (R) e Vasco Silva (V).
Os espectadores votaram por SMS ao longo de
uma semana, ordenando os quatro atores, de
acordo com as suas preferências. Cada SMS,
indicando uma determinada ordenação,
correspondia a 1 voto, tendo sito apurados 1500
votos válidos.
resultados obtidos.
O ator vencedor foi apurado através do método a
seguir descrito.
• Seleciona-se um par de atores e, não
alterando o número de votos nem a ordem
das preferências, elabora-se uma nova
tabela, semelhante à apresentada, apenas
com os votos nos dois atores que
constituem esse par.
• Comparam-se os votos obtidos por esses
dois atores, atendendo apenas à primeira
linha da nova tabela; o ator com o maior
número de votos na primeira linha é o
vencedor do par escolhido.
• Repetem-se os procedimentos anteriores
até um dos atores ter vencido em todas as
comparações com os restantes.
• Indica-se o ator vencedor.
O diretor da gala afirmou que o vencedor seria
diferente se o apuramento tivesse sido realizado
aplicando o método que a seguir se descreve.
➢ Atribuem-se pontos a cada um dos atores
em função do seu lugar na ordem de
preferência. Cada ator recebe:
▪ quatro pontos por cada voto na
primeira preferência;
▪ três pontos por cada voto na segunda
preferência;
▪ dois pontos por cada voto na terceira
preferência;
▪ um ponto para cada voto na quarta
preferência.
➢ Contabiliza-se a pontuação total de cada
um dos atores.
➢ O vencedor é o ator com o maior número
de pontos.
Prove que, recorrendo a um ou ao outro método,
Vasco Silva (V) é o vencedor do prêmio de melhor
ator.
Questão 12 – 2011 – 1ª fase
Tema: Método de Condorcet
(Exame Nacional de MACS) Em 2011, a junta da
freguesia de Freixo dinamizou algumas atividades
sob a responsabilidade de uma comissão
organizadora.
Para constituir a comissão, foi aberto um
concurso.
A Maria (M), a Luísa (L) e a Fernanda (F)
candidataram-se ao cargo de presidente da
comissão organizadora das atividades, sendo a
escolha feita por votação.
Cada habitante de Freixo ordenou, uma única vez,
os nomes das três candidatas, de acordo com as
suas preferências. A ordenação efetuada por cada
habitante corresponde a um voto. Foram apurados
6100 votos válidos.

44
resultados obtidos.
A escolha do presidente é feita usando o método
seguinte.
▪ Seleciona-se um par de candidatos e,
não alternado os números de votos
nem a ordem de cada uma das
preferências, elabora-se uma nova
tabela apenas com os dois candidatos
que constituem esse par.
▪ Comparam-se esses candidatos,
contabilizando-se apenas a primeira
linha; o candidato com o maior número
de votos na primeira linha é o vencedor
do par escolhido.
▪ Repetem-se os pontos anteriores até
terem sido comprados todos os pares
de candidatos.
▪ Indica-se, caso exista, o candidato que
ganha quando comparado com os
restantes candidatos.
Por exemplo, ao selecionar-se o par formado pela
Maria (M) e pela Fernanda (F), obtém-se a Tabela
2.
Comparando as duas candidatas, a Fernanda é a
vencedora, uma vez que tem 4600 votos na
primeira linha, enquanto a Maria tem 1500 votos
nessa linha.
Determine, caso exista, a candidata escolhida
para presidente da comissão organizadora,
aplicando o método descrito.
Questão 13 – 2013 – 1ª fase
Tema: Método de Borda
(Exame Nacional de MACS) Os alunos da escola
de Bicas têm de escolher o tema dos trabalhos da
semana cultural. Os alunos podem escolher os
temas seguintes: Bullying, Solidariedade ou
Festas.
Cada aluno deve ordenar, uma única vez, os três
temas de acordo com as suas preferências. A
ordenação efetuada por cada aluno corresponde a
um voto. Foram apurados 985 votos válidos.
resultados obtidos.
A escolha do tema dos trabalhos da semana
cultural é feita usando o método seguinte.;
▪ Para que um voto possa ser
considerado válido, cada aluno ordena,
uma única vez, os temas de acordo
com as suas preferências.
▪ Na ordenação final dos temas, cada
primeira preferência recebe tantos
pontos quanto os temas em votação.
▪ Cada segunda preferência recebe
menos um ponto do que a primeira, e
assim sucessivamente, recebendo a
última prefeRência um ponto.
▪ É escolhido o tema com maior
númnero de pontos.
Antes de anunciar o tema escolhido, a diretora da
escola excluiu o tema Festas, não alterando os
números de votos nem a ordem de cada uma das
preferências (Tabela 1).
Verifique se o tema escolhido se mantém,
aplicando o método de escolha acima descrito aos
dois casos:
• incluindo o tema Festas;
• excluindo o tema Festas.

45
GABARITO
Questão 1
Resolução:
1.1 Se queremos que a Bélgica fique em segundo
lugar o total de primeiras preferências terá que
ultrapassar as 12 preferências da Dinamarca e
não ultrapassar as 15 preferências da Croácia.
Experimentando às várias opções:
(A) 7+4=11 < 12
(B) 7+7=14 > 12
(C) 7+10=17 > 15
(D) 7+11=18 > 15
Opção: B
1.2 Tendo em conta as primeiras preferências, a
votação teve os seguintes resultados:
Bélgica: 9+7=16 votos
Croácia: 15 votos
Dinamarca: 12 votos
Total de votos 16+12+15=43, logo para se obter
maioria absoluta seriam precisos 22 votos, o que
não é alcançado por nenhum dos países.
Eliminando então o país com menor número de
votos na primeira preferência que é a Dinamarca,
sendo a respectiva tabela reestruturada a
seguinte:
A situação é agora:
Bélgica: 9+7=16 votos
Croácia: 15+12=27 votos e obtém a maioria
absoluta.
O país escolhido pelos alunos como destino para
a sua visita de estudo foi a Croácia.
Questão 2
Nº de votos na 1ª preferência:
Candidato E: 7 votos
Candidato F: 14+6 = 17 votos
Candidato G: 14 votos
Candidato H: 9 votos.
O atleta com maior número de votos na 1ª
preferência (Fernando), não obtém maioria
absoluta, uma vez que
17
47
≈ 0,36 , logo inferior a
0,5.
É então necessário eliminar o candidato com
menor número de votos na 1ª preferência, que
nesse caso é a Eduarda (E).
Reestruturando a tabela de preferências, obtém-
se:
Nº de votos na 1ª preferência:
Candidato G: 14 votos
Candidato H: 7+9 = 16 votos
O candidato com maior número de votos na 1ª
preferência continua a ser o Fernando, com 17
votos e como tal não atinge a maioria absoluta.
Assim é necessário eliminar mais um candidato,
que neste caso é a Gabriela (G).
Reestruturando mais uma vez a tabela de
frequências:
Votos na 1ª preferência:
Candidato H: 14+7+9 = 30 votos
O candidato vencedor por aplicação do método
descrito é o Henrique, que não é o candidato com
maior número de votos na 1ª preferência na tabela
de preferências original.
Questão 3
3.1. Número de votos na 1ª preferência:
ƒ Madrid – 50 + 30 = 80 votos;
ƒ Vigo – 60 votos;
ƒ Sevilha – 40 votos;
ƒ Granada – 14 + 22 = 36 votos.
3.2.Para ser eleita vencedora na primeira
contagem, uma cidade teria que ter obtido uma
maioria absoluta de votos na primeira preferência,
ou seja o número mínimo de votos necessários na
primeira preferência seria metade do total
registado mais um voto.

46
O número total de votos é 216; metade é 108.
Então o número mínimo de votos necessários para
ser eleita vencedora na primeira contagem é 109.
3.3.Como na primeira contagem nenhuma cidade
obteve 109 votos, é necessário fazer uma
segunda contagem, eliminando Granada, a cidade
menos votada.
Quadro de preferências reestruturado:
Número de votos na 1ª preferência:
ƒ Madrid – 50 + 44 =94 votos;
ƒ Vigo – 60 votos;
ƒ Sevilha – 40 + 22 = 62 votos.
Mais uma vez, nenhuma cidade obteve 109 votos,
logo é necessário fazer uma terceira contagem,
eliminando agora Vigo, a cidade menos votada.
Quadro de preferências reestruturado:
Número de votos na 1ª preferência:
ƒ Madrid – 94 votos;
ƒ Sevilha – 122 votos.
A cidade onde se vai realizar a viagem de
finalistas, utilizando o método descrito, é Sevilha.
3.4.Uma vez que 4% dos alunos do 12º ano desta
escola não votaram, 216 votos correspondem a
96% dos alunos do 12º ano.
O número total dos alunos é
216×100
96
= 225.
225 alunos frequentaram o 12º ano nesta escola.
Questão 4
Para os 600 votos:
A - 195*4+180*2+225*1=1365
B - 195*2+180*3+225*2=1380
C - 195*1+180*4+225*3=1590
D - 195*3+180*1+225*4=1665
Para os 750 votos
Sabendo inicialmente que D tem mais 300 pontos
do que A. Se, no final D e A ficam iguais, então,
nos últimos 150 votos A obteve mais 300 pontos
do que D.
Com 300/150=2, então em cada voto A teve 2
pontos a mais que D, isto é, ficou dois lugares
acima.
Por outro lado, para que B tivesse ficado com a
melhor pontuação foi necessário ficar em primeiro
lugar nos últimos 150 votos. Reparemos que B
estava apenas em terceiro nos primeiros 600
votos.
Assim, a ordem dos últimos 150 será: B-A-C-D.
Final:
A - 1365+150*3=1815
B - 1380+150*4=1890
C - 1590+150*2=1890
D - 1665+150*1=1815
Critérios de correção:
Apresentar a pontuação de cada filme, resultante
da aplicação do método descrito aos votos
registrados na Tabela 2 .... (2+2+2+2)..... 8 pontos
[Filme A (1365); Filme B (1380); Filme C (1590);
Filme D (1665)]
Apresentar a ordenação dos filmes feitas pelos
150 votantes em falta (B-A-C-D) ........ 8 pontos
Apresentar a pontuação de cada filme resultante
do total de 750 votos ........... 4 pontos
[Filme A (1815); Filme B (1980); Filme C (1890);
Filme D (1815)]

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