La lógica difusa fue creada por Lofti Zadeh en 1965 para representar matemáticamente la incertidumbre. Permite valores intermedios entre 0 y 1 para representar el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto. Se usa ampliamente en sistemas de control y toma de decisiones.

1. LÓGICA DIFUSA
18/01/2022
Docente:
Mg. Bravo Escalante Jorge David
Integrantes:
Cruz Otiniano, Luis David
Minchola Llacta, Fernando Javier
Orrillo Abanto, Fernando Nicolas
Rosas Rodriguez, Torka Anabel
Silva Castillo, Marco Antonio
Vásquez Sánchez, Oscar Arturo
Trujillo – Perú
Trujillo - Perú

2. Historia
El concepto de Lógica Difusa fue creado
por Lofti A. Zadeh, catedrático de la
Universidad de Berkeley (California). En
su propuesta, la lógica difusa fue
presentada como una forma de
procesamiento de información en la que
los datos podrían tener asociados un
grado de pertenencia parcial a conjuntos.
Fue a mediados de los 70 cuando esta
teoría se aplicó a los sistemas de control.
1921-2017

3. Es una lógica multivaluada que permite representar matemáticamente la incertidumbre y la
vaguedad, proporcionando herramientas formales para su tratamiento.
Según Zadeh(1965), “Cuando aumenta la complejidad, los enunciados precisos pierden su
significado y los enunciados útiles pierden precisión.”, que puede resumirse como que “los árboles
no te dejan ver el bosque”.
Básicamente, cualquier problema del mundo puede resolverse como dado un conjunto de
variables de entrada (espacio de entrada), obtener un valor adecuado de variables de salida
(espacio de salida). La lógica difusa permite establecer este mapeo de una forma adecuada,
atendiendo a criterios de significado (y no de precisión).

4. El razonamiento exacto puede verse como un caso particular del razonamiento
aproximado.
1
3
2
4
El conocimiento se interpreta como una colección de restricciones difusas sobre una
colección de variables.
La inferencia puede verse como un proceso de propagación de estas restricciones difusas.
Se utiliza ampliamente en sistemas de ayuda a la toma de decisiones.

5. VENTAJAS
➢ La principal ventaja de este
sistema de control es su
facilidad de implementación.
➢ Este tipo de sistemas están
dando muy buenos resultados
en procesos no lineales y de
difícil modelización.
➢ El modo de funcionamiento es
similar al comportamiento
humano.
➢ Es una forma rápida y
económica de resolver un
problema.
➢ No se necesita conocer el
modelo matemático que rige su
funcionamiento.
DESVENTAJAS
➢ En las redes neuronales se
precisa de un tiempo de
aprendizaje para obtener los
mejores resultados en la salida.
➢ Ante un problema que tiene
solución mediante un modelo
matemático, obtenemos peores
resultados usando Lógica Difusa

6. Conjunto de difusión
se considera a los conjuntos difusos como una generalización de los conjuntos clásico,
debido a que la teoría de conjuntos clásica sólo contempla la pertenencia o no pertenencia
de un elemento a un conjunto, pero la teoría de conjuntos difusos contempla la pertenencia
parcial de un elemento a un conjunto, está considera un grado de pertenencia a un conjunto
difuso que puede tomar 0 o 1.
Grado de pertenencia
Sea X un conjunto clásico. Un conjunto difuso A, en X viene caracterizado por la función de
pertenencia fA(x), que asocia a cada punto a∈X un número real del intervalo [0,1], donde los
valores de fA(x) representan el "grado de pertenencia" de a en A, de tal forma que, cuanto más
cerca esté el valor de fA(x) a 1, mayor es el grado de pertenencia de x a A.

7. Funciones de pertenencia
Las funciones L y GAMMA se usan para
calificar valores lingüísticos extremos, tales
como bebé o anciano.
Las funciones PI y LAMBDA se usan para
describir valores intermedios (como joven, de
mediana edad, maduro)

8. Funciones de pertenencia
También se pueden utilizar otras funciones que no sean lineales a trozos. Por ejemplo, en
FuzzyCLIPS se utilizan las siguientes funciones:

9. Operaciones con conjuntos difusos
Unión
La forma generalizada de la unión es la T-conorma. Podemos definirla con la siguiente función:
Para que una función se pueda considerar como una unión difusa, debe satisfacer los siguientes axiomas ∀a, b, c ∈ [0, 1]:
1) Elemento Neutro: ⊥(a, 0) = a
2) Conmutatividad: ⊥(a, b) = ⊥(b, a)
3) Monotonicidad: Si a ≤ c y b ≤ d entonces ⊥(a, b) = ⊥(c, d)
4) Asociatividad: ⊥(⊥(a, b), c) = ⊥(a, ⊥(b, c))

10. Intersección
La forma generalizada de la intersección se denomina T-norma. Es una función de la forma: T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] µA∩B(x) = T
[µA(x), µB(x)] Una T-norma
satisface los siguientes axiomas ∀a, b, c ∈ [0, 1]
1) Elemento unidad: T(a, 1) = a
2) Conmutatividad: T(a, b) = T(b, a)
3) Monotonicidad: Si a ≤ c y b ≤ d entonces T(a, b) = T(c, d)
4) Asociatividad: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)
Complemento
El complemento A de un conjunto difuso A, se denota por cA; está definido por una función del tipo c : [0, 1] → [0, 1]. Tiene que
satisfacer los siguientes axiomas:
1) Condiciones límite o frontera: c(0) = 1 y c(1) = 0.
2) Monotonicidad: ∀a, b ∈ [0, 1] si a < b entonces c(a) ≥ c(b).
3) C es una función contínua.
4) c es involutiva ∀a ∈ [0, 1] tenemos c(c(a)) = a

11. Propiedades
de los
conjuntos
difusos
Los conjuntos Crisp y los difusos tienen las mismas
propiedades (en realidad los conjuntos crisp pueden
verse como un subconjunto de los conjuntos difusos).
● Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
● Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
● Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
● Idempotencia: A ∪ A = A y A ∩ A = A
● Involución: ¬(¬A) = A
● Transitiva: If(A ⊂ B) ∩ (B ⊂ C)thenA ⊂ C 1
● Leyes de Morgan: ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B y ¬(A ∪ B)
= ¬A ∩ ¬B

12. Variables lingüísticas
Para representar el conocimiento en razonamiento aproximado tenemos que utilizar variables lingüísticas. Una variable
lingüística es aquella cuyos valores son palabras o sentencias en un lenguaje natural o artificial.
Así, una variable lingüística está caracterizada por una quíntupla
(X, T(X), U, G, M)
● X es el nombre de la variable.
● T(X) es el conjunto de términos de X; es decir, la colección de sus valores lingüísticos (o etiquetas lingüísticas).
● U es el universo del discurso (o dominio subyacente).
● G es una gramática libre de contexto mediante la que se generan los términos en T(X), como podrían ser ”muy
alto”, ”no muy bajo”, ...
● M es una regla semántica que asocia a cada valor lingüístico de X su significado M(X) (M(X) denota un subconjunto
difuso en U).
Los símbolos terminales de las gramáticas incluyen:
● Términos primarios: ”bajo”, ”alto”, ...
● Modificadores: ”Muy”, ”más”, ”menos”, ”cerca de”, ...
● Conectores lógicos: Normalmente NOT, AND y OR.

13. Representación de conjuntos difusos
Un método habitual es preguntar a un experto sobre el dominio del problema y representarlo mediante
diferentes funciones (típicamente triangulares y trapezoidales). También se pueden utilizar funciones
curvas o la función singleton.
Ejemplo: Consideremos la variable lingüística “Altura de los seres humanos”, que toma valores en el
universo de discurso U = [1.4, 2.50]. Vamos a hacer una clasificación difusa de los seres humanos en tres
conjuntos difusos (o valores lingüísticos): bajos, medianos y altos.

14. Modificadores
Se puede emplear modificadores
para cambiar la forma de los
conjuntos difusos. Estos
modificadores pueden asociarse a
adverbios como “muy”,
“ligeramente”, “un poco”, etc... Estos
modificadores pueden aplicarse a
oraciones completas, verbos,
adjetivos, etc.

15. Inferencia difusa
La inferencia difusa puede definirse como el proceso de obtener un valor
de salida para un valor de entrada empleando la teoría de conjuntos
difusos.
Reglas Difusas:
Una regla difusa (regla de producción difusa if-then) es expresada
simbólicamente como:
IF<proposición difusa> THEN<proposición difusa>
Donde <proposición difusa> puede ser una proposición difusa atómica o
compuesta. Podemos definir una proposición sencilla de este tipo
mediante:
p: IF X es A THEN Y es B
El antecedente y consecuente de una regla puede tener múltiples partes.

16. Aplicaciones
★ Múltiples electrodomésticos,
★ Videos y fotografía.
★ Medidores de presión sanguínea.
★ Aires acondicionados inteligentes.
★ Control de humedad.
★ Control de luminosidad.
★ Sistemas de reconocimiento.
★ Sistemas basados en inteligencia artificial.

17. Referencia
Bibliográficas
● Caparrini, F. S. (2020a, agosto 2). Introducción a la Lógica Difusa - Fernando Sancho Caparrini. Http://Www.Cs.Us.Es/. Recuperado 14 de enero de
2022, de http://www.cs.us.es/%7Efsancho/?e=97#:%7E:text=Un%20conjunto%20difuso%20permite%20a,estrictamente%20entre%200%20y%201.
● Pérez Pueyo, R. (2004). Capitulo 2: Conceptos fundamentales de lógica difusa. Obtenido de
https://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/6887/04Rpp04de11.pdf
● Universidad de málaga. (2005). Teoría de conjuntos difusos y lógica difusa. Obtenido de
http://www.lcc.uma.es/~eva/aic/apuntes/fuzzy.pdf
● González Morcillo, C. (2012). Lógica Difusa una introduccion practica. Obtenido de
https://www.esi.uclm.es/www/cglez/downloads/docencia/2011_Softcomputing/LogicaDifusa.pdf