Uma árvore rubro-negra é uma árvore binária de pesquisa com um bit extra por nó indicando sua cor vermelha ou preta. Isso garante que nenhum caminho da raiz a uma folha seja maior que o dobro de outro, mantendo a árvore balanceada. A inserção e remoção têm complexidade O(log n), podendo violar propriedades que são restabelecidas com rotações ou mudanças de cor.

1. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
´Arvore rubro-negra
Dener Jamill, Raimundo Azevedo Neto, Samuel Cabral
Instituto Federal de Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a
25 de Maio de 2018
Dener Jamill, Raimundo Azevedo Neto, Samuel Cabral ´Arvores rubro-negra

2. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Introduc¸˜ao
Uma ´arvore rubro-negra, ou vermelho-preta, ´e uma ´arvore bin´aria de pesquisa com
um bit extra de armazenamento por n´o indicando sua cor: vermelho ou preto.
Restringindo o modo como os n´os podem ser coloridos em qualquer caminho desde
a raiz at´e uma folha, as ´arvores rubro-negra asseguram que nenhum desses caminhos
ser´a maior que duas vezes o comprimento de qualquer outro, de maneira que a ´arvore ´e
aproximadamente balanceada.
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3. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Propriedades
Uma ´arvore de pesquisa bin´aria ´e uma ´arvore rubro-negra se satisfaz as seguintes
propriedades:
1 Todo n´o ´e vermelho ou preto;
2 A raiz ´e preta;
3 Se um n´o ´e vermelho, ent˜ao ambos os seus filhos s˜ao pretos;
4 Para cada n´o, todos os caminhos desde um n´o at´e as folhas descendentes cont´em o
mesmo n´umero de n´os pretos;
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4. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Operac¸˜oes
As operac¸˜oes de inserc¸˜ao e remoc¸˜ao quando executadas sobre uma ´arvore rubro-
negra com n chaves demoram tempo O(log n). Considerando-se que elas modificam a
´arvore o resultado pode violar as propriedades e, para restabelecˆe-las, mudamos as cores
de alguns n´os ou efetuamos rotac¸˜oes.
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5. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Rotac¸˜ao
Rota¸c˜ao a esquerda
Consideremos um n´o ”x”, se seu filho da direita ”y” n˜ao for nulo procedemos da
seguinte forma:
• ”y” torna-se a nova raiz da sub´arvore considerada;
• ”x” torna-se filho esquerdo de y;
• o filho esquerdo de ”y” torna-se o filho direito de x;
Rota¸c˜ao a direita
Analogamente, se ”y”, o filho da esquerda de ”x”, n˜ao for nulo:
• ”y” torna-se a nova raiz da sub´arvore considerada;
• ”x” torna-se filho direito de y;
• o filho direito de ”y” torna-se o filho esquerdo de x;
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6. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Inserc¸˜ao
• Por padr˜ao, todo n´o inserido ´e vermelho;
• A inserc¸˜ao ´e realizada da mesma maneira que em ´arvores bin´arias comuns ou
´arvores AVL, em tempo proporcional a altura da ´arvore (O(log n));
• Em cada inserc¸˜ao precisamos verificar se alguma das propriedades foi violada;
• Se alguma das prorpiedades for violada s˜ao efetuadas rotac¸˜oes ou colorac¸˜oes de
maneira a tratar os casos a seguir;
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7. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Tratando violac¸˜oes
Caso 1: Tio ”s” do n´o ”x” ´e vermelho
z
y
A x
B C
s
D E
z
y
A x
B C
s
D E
Sub´arvore considerada antes e ap´os a aplicac¸˜ao da contramedida
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8. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Tratando violac¸˜oes
Contramedida para o caso 1:
• O pai ”y” e o tio ”s” tornam-se pretos e o avˆo vermelho;
• Se o avˆo for raiz permanece preto;
• Posteriormente verificamos se alguma propriedade ´e violada fazendo x = x.avo;
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9. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Tratando violac¸˜oes
Caso 2: Tio ”s” ´e preto e x ´e filho da direita.
Contramedida: Efetuamos uma rotac¸˜ao a esquerda sobre o pai de ”x”, ”y”.
z
y
A x
B C
s
D E
z
x
y
A B
C
s
D E
Sub´arvore considerada antes e ap´os a aplicac¸˜ao da contramedida
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10. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Tratando violac¸˜oes
Caso 3: Tio ”s” ´e preto e x ´e filho da esquerda.
Contramedida: Efetuamos uma rotac¸˜ao a direita sobre o pai de ”x”, ”y”.
z
s
A B
y
x
C D
E
z
s
A B
x
C y
D E
Sub´arvore considerada antes e ap´os a aplicac¸˜ao da contramedida
Dener Jamill, Raimundo Azevedo Neto, Samuel Cabral ´Arvores rubro-negra

11. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Tratando violac¸˜oes
Caso 4: Tio ”s” de x ´e preto e x ´e filho da direita.
Contramedida: Efetuamos uma rotac¸˜ao a esquerda sobre o avˆo de ”x”, ”z”.
Posteriormente fazemos ”z” e ”x” vermelhos e ”y” preto.
z
s
A B
y
C x
D E
y
z
s
A B
C
x
D E
Sub´arvore considerada antes e ap´os a aplicac¸˜ao da contramedida
Dener Jamill, Raimundo Azevedo Neto, Samuel Cabral ´Arvores rubro-negra

12. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Rotac¸˜ao
Inserc¸˜ao
Tratando violac¸˜oes
Caso 5: Tio ”s” de x ´e preto e x ´e filho da esquerda.
Contramedida: Efetuamos uma rotac¸˜ao a direita sobre o avˆo de ”x”, ”z”.
Posteriormente fazemos ”z” e ”x” vermelhos e ”y” preto.
z
y
x
A B
C
s
D E
y
x
A B
z
C s
D E
Sub´arvore considerada antes e ap´os a aplicac¸˜ao da contramedida
Dener Jamill, Raimundo Azevedo Neto, Samuel Cabral ´Arvores rubro-negra

13. Introduc¸˜ao
Propriedades
Operac¸˜oes
Bibliografia
Bibliografia I
Thomas H. Cormen...[et al.]
Algoritmos: teoria e pr´atica, Edicao 2.
Elsevier,2002.
Leo Guibas e Robert Sedgewick
A dichromatic framework for balanced trees
Proceedings of the 19th Annual Symposium on Foundations of Computer Science,
IEEE Computer Society, 1978.
Dener Jamill, Raimundo Azevedo Neto, Samuel Cabral ´Arvores rubro-negra