Regla de la potencia

1. Regla de la
potencia para la
integración
01
Aplicación

2. INTRODUCCIÓN
● Al igual que en la derivada se aplica la regla de la potencia
a la integración como una forma de facilitar el proceso
para funciones especiales, este proceso parte de la regla
de la cadena.

3. INTRODUCCIÓN
En una integral que posea
una potencia, el interior de
dicha potencia se tomará
como "u". Al obtener "du",
su resultado deberá
aparecer en la integral.
Ya realizado el cambio
de variable, se procede a
integrar a x.

4. TERMINOS MATEMÁTICOS


REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES.
Dada la función F ( x ) = ( g ( x ) )n
Su respectiva derivada es: f ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 . g ‘ ( x )
Ahora, si se plantea la función: f ( x ) = ( g ( x ) ) n . g ‘ ( x )
Su respectiva integral se obtiene así:
De la integral
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx se hace u = g ( x ) sin el exponente.
Luego, se obtiene el diferencial du , quedando: u = g ‘ ( x ) dx
Se llevará a cabo sustituciones, que se denominarán cambio de variable.
Al hacer cambio de variable, la integral quedará:
( g ( x ) )n
g ' ( x ) dx 
un
du 
un  1
n  1
c
Luego, es necesario volver a la condición inicial, por lo que se hace necesario
restituir la variable original. Entonces, se tiene:
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx 
( g ( x ) )n  1
n  1
c Regla de potencia para integrales
Ejercicios.

5. EJEMPLOS

6
( g ( x ) )n g ' ( x ) dx 
( g ( x ) )n  1
n  1
c Regla de potencia para integrales
Ejercicios.
1.
( x2
1)5
2x dx
Solución:
* Se hace u = x2 + 1. Luego, du = 2x dx
* Se sustituyen “u” y “du” en la integral.
( x2
 1)5
2x dx 
u5
du
( x2 1)5 2x dx 
u5
du 
u5  1
5  1
 c 
u
 c
6
( x2 1)5 2x dx 
u5 du 
u
6
 c 
( x2 1)6
c
6
6


6. EJEMPLOS APLICADOS
1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de
𝐶´ 𝑡 = −
58
3𝑡 + 2 2
(≤ 𝑡 ≤ 10)
donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los pañales costaban $10 dólares
a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t.
b. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000? Solución
−
58
3𝑡+2 2 ⅆ𝑡
− 58 3 + 2 −2
ⅆ𝑡
= −58 3𝑡 + 2 −2
ⅆ𝑡
= −58
3𝑡+2 −2 3
3
ⅆ𝑡

7. EJEMPLOS
=−
58
3
(3𝑡 + 2)−2(3)ⅆ𝑡
C(t) = -
58
3
(3𝑡+2)−1
−1
+ 𝑐
=
58
3
1
(3𝑡+2)
+ 𝑐 =
58
3(2𝑡+2)
+ 𝑐
𝐶(𝑡) =
58
3(3𝑡+2)
+ 𝑐
10=
58
3(3(0)+2)
+ 𝑐 . , 10 =
58
6
+ 𝑐 C = 10 – 58/6
C = 0.33
C (t) =
58
3(3𝑡+2)
+ 0.33
3(3t+2)

8. EJEMPLOS
C (t) =
58
3(3𝑡+2)
+ 0.33
t= 2000 – 1990 = 10
C (t) =
58
3(3(10)+2)
+ 0,33
C (t) =
58
96
+ 0,33 = 0,6 + 0,33
= 0,93
Lo que quiere decir que para el 2000 de paneles solares tendrán un costo aproximado
$0,93 dólares
Lo que quiere decir que para el 2000 de
paneles solares tendrán un costo
aproximado de $0,93 dólares

9. EJEMPLOS APLICADOS
2.- El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de
𝑁´ 𝑡 = 2000(1 + 0,2𝑡)−3/2
Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes
a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años.
b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años?
Solución
2000(1 + 0,2𝑡)−3/2
ⅆ𝑡
2000 (1 + 0,2𝑡)−3/2
ⅆ𝑡
2000
(1+0,2𝑡)
−
3
2 (0,2)
0,2
ⅆ𝑡
2000
0,2
(1 + 0,2𝑡)−
3
2 (0,2)ⅆ𝑡

10. EJERCICIOS
1. N (t) = 10000
(1+0,2𝑡)−1/2
−
1
2
+ 𝑐
2. N (t) = −20000
1
(1+0,2𝑡)1/2 + 𝑐
3. N (t) =
−20000
1+0,2𝑡
+ 𝑐
4. 1000 =
−20000
1+0,2(0)
+ 𝑐 C= 1000 + 2000
5. C= 3000
6. N (t) =
−20000
1+0,2𝑡
+ 3000 T= 5
7. N (t) =
−20000
1+0,2(5)
+ 3000
8. N (t) =
−20000
2
+ 3000
9. =
−20000
1,41
+ 3000 =1586
En cinco años el número de inscritos será
de 1586 estudiantes