EL GRAN FRACTAL DE SIERPINSKI CON LATAS DE REFRESCO. Por mateomaticas1

2. ¿QUÉ SON LOS FRACTALES?
Todos los fractales tienen algo en común, ya que
todos ellos son el producto de la iteración de un
proceso geométrico elemental que da lugar a una
estructura final de una complicación, aparentemente,
extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto
tiene la información necesaria para reproducirlo todo
(autosemejanza), y la dimensión fractal no es
necesariamente entera.

4. ENTRE LA GEOMETRÍA
EUCLÍDEA Y LA FRACTAL

5. CONCEPTO DE FRACTAL
A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos;
poseen la propiedad de que cada pequeña porción del
fractal puede ser visualizada como una réplica a escala
reducida del todo. La característica que fue decisiva para
llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen
dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a
los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen
usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos,
pero muchas veces entre ellos. Ejemplo: 1,55. Se define la
dimensión fractal, que además es una generalización de la
dimensión euclídea, como D =log s / log r, donde r
es la razón de semejanza y s es el número
de copias o partes autosemejantes.

6. Los fractales son una idealización.
Los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles
que los fractales ofrecen con un cierto grado de
magnificación.

7. TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El matemático polaco Waclav
Sierpinski (1882-1969), construyó
este triángulo en 1919 para poner
de manifiesto características
geométricas extrañas, en este caso
para demostrar que una curva puede
cruzarse consigo misma en todos
sus puntos. Lo hizo del modo
siguiente:

8. Paso Inicial (0): Construimos un triángulo
equilátero de lado a:

9. Paso o iteración 1: Uno los puntos medios de
los lados y resulta la siguiente figura:
Tres triángulos equiláteros sombreados
y un hueco que es otro triángulo equilátero.

10. Paso o iteración 2: Repetimos el proceso en
cada uno de los triángulos sombreados y obtengo
la siguiente figura:

11. Paso o iteración 3: Repetimos lo mismo en cada
uno de los triángulos equiláteros sombreados
obteniendo la figura siguiente:

12. Y así, sucesivamente….

13. Observamos que en cada paso el triángulo de Sierpinski
está formado por tres copias autosemejantes del paso
anterior.
Un objeto de estas características autosemejante en
distintas escalas es un fractal, y está caracterizado por su
dimensión fractal D, siendo el factor de escala entre los
lados del triángulo en una etapa y la siguiente, y el número
de partes generadas en cada etapa, de la definición de
dimensión resulta: D =log 3 / log 2 = 1.585.

14. El triángulo de Sierpinski existe sólo en su estado
infinito, pero en la práctica nos conformamos con
visualizarlo en alguna etapa finita de su desarrollo.
En el apartado “Educación Ambiental” y reciclaje hemos
reutilizado para su construcción latas de refrescos.

15. PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
Primera fase: Pasos de 1 al 4.
Hemos realizado “triángulos equiláteros” con 3 latas
(paso 1), las cuales pegábamos con silicona (no más
clavos), para su transporte rodeábamos la figura con gomas
elásticas y posteriormente dejábamos secar. A
continuación, se procedía del mismo modo con estas
figuras formadas por 3 latas y construíamos figuras con 9
latas (paso 2), y así sucesivamente, hasta llegar al paso 4
constituido por una figura de 81 latas formando un
triángulo equilátero.

16. De este modo teníamos los cuatro primero términos de la
sucesión de triángulos de Sierpinski con latas de refresco,
ahora bien, la figura formada por 81 latas presentaba un
problema a la hora de su desplazamiento, y es que al
mínimo descuido o golpe, acababa por desmoronarse.
Decidimos entonces proceder igual que antes, pero además,
tras cada uno de los pasos se fijó o rodeó la figura con cinta
americana, para que ante cualquier golpe siguiese
manteniendo su consistencia.

20. Segunda fase: Pasos 5 y 6. Instalación en el
exterior.
Una vez construidos todos los triángulos del paso 4
necesarios para montar los pasos 5 y 6, salimos al exterior y
presentamos la sucesión de triángulos, de tal modo que la
distancia de un triángulo a otro estuviese en progresión
aritmética, ya que el número de latas empleadas en cada
triángulo va en progresión geométrica.
Una vez hecha la presentación y viendo que todo salía según lo
previsto, procedimos a marcar y atornillar los perfiles de
aluminio cuyas medidas previamente habían sido calculadas.
Posteriormente se fueron insertando los 3 triángulos del paso 4
para constituir el paso 5, y pegándolos con silicona, del mismo
modo se procedió para el paso 6 formado por 729 latas.
El hecho de utilizar los perfiles de aluminio ha sido para dar
consistencia a la estructura, igualmente, cuando se
deterioren las latas se pueden reciclar y reutilizar otras,
aprovechando estos mismos perfiles.

25. Tercera fase o final:
Rotulación y colocación
de la placa.