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DICTA LOS METODOS DE CALCULO DE MATEMAICA FINANCIERA

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Diseño cubierta Digital SP Cia creativa Incluye CD Esta nueva edición desarrolla los programas académicos de Matemáticas financieras e Ingeniería económica, en once capítulos que han sido reestructurados y actualizados pensando en la dinámica que debe tener todo currículo. Se ampliaron los capítulos siguientes: - : incluye el tema de las ecuaciones de valor. - : incluye los temas sobre tasas de cambio y devaluaciones entre dos monedas, lo mismo que las tasas de cambio y las devaluaciones cruzadas con otras monedas. - : contempla todos los sistemas de amortización en UVR y en pesos. - : presenta las diversas modalidades del gradiente, aritmético y geométrico. - : se adicionó el tema que relaciona la tasa interna de retorno con el valor presente neto y los flujos de caja descontados. - : el apéndice respectivo se amplió con 100 problemas entre propuestos y resueltos, con el fin de proporcionarle al lector una herramienta más para la solución de sus propios problemas. Adicionalmente, el texto contiene un CD-ROM con tres calculadoras que le permitirán al usuario resolver los siguientes problemas: - Encontrar las tasas de interés equivalentes a otra tasa cualquiera. Basta digitar en la calculadora la tasa de interés conocida e inmediatamente aparecerán sus respectivas tasas equivalentes. - Conocer la situación de un crédito bancario mediante una tabla de amortización debidamente detallada para cualquiera de los sistemas de amortización que operan en el mercado financiero colombiano, para créditos de vivienda y de libre inversión. En esta tabla se podrá apreciar cuánto se paga en una cuota por concepto de capital, cuánto por IPC y cuánto por intereses propiamente dichos. Estas modificaciones ponen la obra a tono con las exigencias de un mundo en constante cambio que exige que los profesionales del área se mantengan actualizados. Principio de la equivalencia financiera Tasas de interés Sistemas de amortización Gradientes Tasa interna de retorno Problemas propuestos y resueltos ISBN-13:978-958-41-0362-8 ISBN-10:958-41-0362-8 9 789584 103628 .
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Matemáticas financieras Tercera edición ALBERTO ÁLVAREZ ARANGO Ingeniero industrial Universidad Autónoma Latinoamericana Profesor universitario Revisión técnica ALEJANDRO USECHE Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Ciudad de México NuevaYork • Ciudad de Panamá • San Juan • Santiago de Chile • São Paulo Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • París San Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Toronto Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 1 .
MATEMÁTICAS FINANCIERAS, Tercera edición. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Derechos reservados. Copyright © 2005, por Alberto Álvarez Arango Derechos reservados. Copyright © 2005, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A. Cra 11 No. 93 - 46. Bogotá, D.C., Colombia Editora: Lily Solano Arévalo Jefa de produción: Consuelo Ruiz M. Diagramación y armada electrónica: Yolanda Alarcón V. 3012456789 30123467895 Impreso en Colombia Printed in Colombia Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 2 Impresor: Legis S.A. ISBN 10: 958-41-0362-8 ISBN 13: 978-958-41-0362-8
A mi esposa, Astrid, y a mis hijos, Ricardo Alberto, Víctor Hugo y Gabriel Darío, quienes son la fuente inmanente de mi vida. Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 3 .
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v Contenido Prefacio Notas preliminares .......................................................................................xv Justificación........................................................................................................................ xv Objetivo general.................................................................................................................. xv Objetivos específicos .......................................................................................................... xv Logaritmos ......................................................................................................................... xvi Definición..................................................................................................................... xvi Propiedades de los logaritmos ...................................................................................... xvi Logaritmo de un producto ...................................................................................... xvii Logaritmo de un cociente ....................................................................................... xvii Logaritmo de una potencia ..................................................................................... xvii Logaritmo de una raíz............................................................................................. xvii Series o progresiones ........................................................................................................ xvii Progresión aritmética................................................................................................... xvii Suma de los términos de una progresión aritmética ........................................................ xviii Progresión geométrica ........................................................................................... xviii Suma de los términos de una progresión geométrica ................................................... xix El número e......................................................................................................................... xx Factores a interés compuesto ....................................................................................... xxii Nomenclaturas diferentes pero equivalentes .......................................................... xxii Capítulo 1 Interés ......................................................................................... 1 Justificación.......................................................................................................................... 1 Objetivo general.................................................................................................................... 1 Objetivos específicos ............................................................................................................ 1 Conducta de entrada ............................................................................................................. 2 Respuestas a la conducta de entrada................................................................................ 2 Interés ................................................................................................................................... 3 Definición........................................................................................................................ 3 Diagramas económicos ................................................................................................... 4 Interés simple .................................................................................................................. 6 Interés compuesto ............................................................................................................ 8 Valor futuro de una suma presente ............................................................................. 9 Valor presente de una suma futura ........................................................................... 10 Diferencia entre interés compuesto e interés simple ..................................................... 12 Problemas propuestos ......................................................................................................... 16 Autoevaluación ............................................................................................................... 16 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 5 .
Matemáticas financieras vi Respuestas a la autoevaluación........................................................................................... 17 Actividades de repaso ......................................................................................................... 18 Capítulo 2 Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos.... 19 Justificación........................................................................................................................ 19 Objetivo general.................................................................................................................. 19 Objetivo específico ............................................................................................................. 19 Conducta de entrada ........................................................................................................... 20 Respuestas a la conducta de entrada.............................................................................. 20 Principio de equivalencia.................................................................................................... 21 Descuento (D)................................................................................................................ 21 Valor nominal (Vn).................................................................................................... 21 Valor efectivo (Ve)..................................................................................................... 21 Descuento comercial (Dc) ........................................................................................ 22 Descuento racional (Dr) ........................................................................................... 22 Descuento compuesto (D’c)...................................................................................... 24 Vencimientos ................................................................................................................. 25 Vencimiento medio................................................................................................... 25 Vencimiento común.................................................................................................. 26 Ecuaciones de valor ............................................................................................................ 29 Problemas propuestos ......................................................................................................... 38 Autoevaluación ................................................................................................................... 39 Respuestas a la autoevaluación........................................................................................... 40 Actividades de repaso ........................................................................................................ 42 Capítulo 3 Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad .................... 43 Justificación........................................................................................................................ 43 Objetivo general.................................................................................................................. 43 Objetivos específicos .......................................................................................................... 43 Conducta de entrada ........................................................................................................... 44 Respuestas a la conducta de entrada.............................................................................. 44 Tasa nominal y tasa efectiva ............................................................................................... 45 Tasa nominal.................................................................................................................. 45 Tasa efectiva .................................................................................................................. 45 Deducción de fórmulas.................................................................................................. 47 Capitalizaciones vencidas ........................................................................................ 47 Capitalizaciones anticipadas .................................................................................... 50 Cálculo de una tasa efectiva periódica cuando se conoce otra tasa efectiva periódica ................................................................................................ 53 Cálculo de una tasa efectiva anual cuando interviene el IPC ................................... 56 Interés realmente cobrado en el año ......................................................................... 57 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 6
Contenido vii Cálculo de la tasa de interés cuando intervienen otros elementos como comisiones, estudio del crédito, papelería, timbres, dividendos, etc. ....... 57 Aplicaciones de las tasas de interés .................................................................................... 60 En moneda corriente...................................................................................................... 60 En moneda extranjera .................................................................................................... 63 Inflación.............................................................................................................................. 63 Causas de la inflación......................................................................................................64 Efectos de la inflación.....................................................................................................65 Otras tasas de interés .......................................................................................................... 67 Relaciones entre estas tasas de interés .......................................................................... 68 Cálculo de la devaluación ................................................................................................... 68 Tasa de cambio (TC)........................................................................................................... 68 Devaluación (DEV) ............................................................................................................ 70 Tasas de cambio y devaluaciones cruzadas ................................................................... 72 Problemas propuestos ......................................................................................................... 76 Autoevaluación ................................................................................................................... 78 Respuestas a la autoevaluación........................................................................................... 80 Actividades de repaso ......................................................................................................... 84 Capítulo 4 Anualidades y capitalización continua....................................... 85 Justificación........................................................................................................................ 85 Objetivo general.................................................................................................................. 85 Objetivos específicos .......................................................................................................... 85 Conducta de entrada ........................................................................................................... 87 Respuestas a la conducta de entrada.............................................................................. 87 Anualidades ........................................................................................................................ 88 Anualidades vencidas .................................................................................................... 88 Anualidades indefinidas ................................................................................................ 93 Capitalización continua ............................................................................................ 95 Anualidades anticipadas .............................................................................................. 100 Anualidad anticipada con cuota al final ................................................................. 104 Liquidación de intereses sobre saldos mínimos ..................................................... 105 Cuotas anticipadas y periodo de pago menor que el periodo de capitalización ..... 105 Cuotas anticipadas y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización ..... 107 Cuotas vencidas ...................................................................................................... 110 Anualidades diferidas ............................................................................................. 112 Problemas propuestos ....................................................................................................... 114 Autoevaluación ............................................................................................................ 115 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 116 Actividades de repaso ....................................................................................................... 120 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 7 .
Matemáticas financieras viii Capítulo 5 Gradiente ................................................................................ 121 Justificación...................................................................................................................... 121 Objetivo general................................................................................................................ 121 Objetivos específicos ........................................................................................................ 121 Conducta de entrada ......................................................................................................... 122 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 122 Gradiente aritmético ......................................................................................................... 123 Gradientes ......................................................................................................................... 132 Gradiente aritmético (lineal) diferido ............................................................................... 132 Gradiente aritmético infinito ............................................................................................ 134 Gradiente aritmético (lineal) escalonado .......................................................................... 139 Gradiente aritmético infinito y escalonado ...................................................................... 141 Gradiente geométrico o (exponencial) ............................................................................. 142 Gradiente geométrico infinito .......................................................................................... 146 Gradiente geométrico escalonado ............................................................................... 149 Gradiente geométrico infinito y escalonado..................................................................... 151 Problemas propuestos ....................................................................................................... 159 Autoevaluación ............................................................................................................ 160 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 162 Actividades de repaso ....................................................................................................... 166 Capítulo 6 Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR 167 Justificación...................................................................................................................... 167 Objetivo general................................................................................................................ 167 Objetivos específicos ........................................................................................................ 167 Conducta de entrada ......................................................................................................... 169 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 169 Amortizaciones................................................................................................................. 170 Sistemas simples............................................................................................................... 171 Cuota única al final del periodo .................................................................................. 172 Cuota periódica uniforme ............................................................................................ 172 Cuota periódica creciente linealmente ........................................................................ 182 Cómo calcular el saldo con este plan .......................................................................... 187 Cuota periódica decreciente linealmente..................................................................... 193 Cuota periódica creciente geométricamente................................................................ 195 Sistemas integrados ..................................................................................................... 198 Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos................ 198 Anualidad creciente geométricamente ........................................................................ 202 Sistemas agregados........................................................................................................... 208 Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final ................................................... 209 Anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmente y anticipada ............................................................................................................ 211 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 8
Contenido ix Sistema de valor constante ............................................................................................... 218 Sistema UPAC y Sistema UVR ................................................................................... 218 Comparación entre el sistema UPAC y el sistema UVR....................................................220 Planes de amortización para créditos de vivienda ....................................................... 221 Sistema de cuota constante en pesos ........................................................................... 222 Explicación de la tabla de amortización en el sistema de cuota constante (fija) en pesos. .............................................................................................. 223 Calculo de la tasa de interés realmente cobrada en un crédito...........................................225 Sistema de cuota constante en pesos con abono extraordinario no pactado ......................227 Sistema de abono constante a capital en pesos...................................................................229 Sistema de abono constante en U.V.R.................................................................................231 Sistema de abono constante a capital en U.V.R..................................................................233 Problemas propuestos ....................................................................................................... 240 Autoevaluación ............................................................................................................ 241 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 243 Actividades de repaso ....................................................................................................... 258 Capítulo 7 Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente ........ 259 Justificación...................................................................................................................... 259 Objetivo general................................................................................................................ 259 Objetivos específicos ........................................................................................................ 259 Conducta de entrada ......................................................................................................... 260 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 260 Métodos para evaluar alternativas .................................................................................... 261 Valor presente neto (VPN)................................................................................................ 263 Alternativas con vidas útiles iguales ........................................................................... 265 Alternativas con vidas útiles diferentes ....................................................................... 267 Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ...................................................................... 269 Fondo de amortización de salvamento ........................................................................ 269 Valor presente de salvamento ...................................................................................... 270 Recuperación de capital más intereses ........................................................................ 271 Costo capitalizado ............................................................................................................ 274 Problemas propuestos ....................................................................................................... 280 Autoevaluación ............................................................................................................ 281 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 282 Actividades de repaso ....................................................................................................... 288 Capítulo 8 Evaluación financiera de alternativas de inversión ................... 289 Justificación...................................................................................................................... 289 Objetivo general................................................................................................................ 289 Objetivos específicos ........................................................................................................ 289 Conducta de entrada ......................................................................................................... 290 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 9 .
Matemáticas financieras x Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 290 Cálculo del punto de equilibrio ........................................................................................ 291 Sensibilidad ...................................................................................................................... 294 Análisis ............................................................................................................................. 294 Punto de equilibrio con más de dos alternativas............................................................... 296 Problema del reemplazo ................................................................................................... 303 Beneficio neto .................................................................................................................. 307 Tasa de Actualización Social (is)................................................................................. 307 Beneficio neto (BN) .................................................................................................... 307 Beneficio neto diferencial BN (i-j) ............................................................................. 307 Relación beneficio-costo .................................................................................................. 310 Análisis de alternativas mediante las tasas de rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra ................................................................................................... 311 Problemas propuestos ....................................................................................................... 315 Autoevaluación ............................................................................................................ 317 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 322 Actividades de repaso ....................................................................................................... 334 Capítulo 9 Tasa interna de retorno ........................................................... 335 Justificación...................................................................................................................... 335 Objetivo general................................................................................................................ 335 Objetivos específicos ........................................................................................................ 335 Conducta de entrada ......................................................................................................... 336 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 336 Tasa interna de retorno ..................................................................................................... 337 Tasa interna de retorno vs. valor presente neto................................................................. 351 Flujo de caja después de impuestos .................................................................................. 355 Cálculo de la TIR después de impuestos ..................................................................... 356 Cálculo del CAUE ....................................................................................................... 357 Problemas propuestos ....................................................................................................... 361 Autoevaluación ............................................................................................................ 361 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 363 Actividades de repaso ....................................................................................................... 374 Capítulo 10 Bonos .................................................................................... 375 Justificación...................................................................................................................... 375 Objetivo general................................................................................................................ 375 Objetivos específicos ........................................................................................................ 375 Conducta de entrada ......................................................................................................... 376 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 376 Bonos ................................................................................................................................ 377 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 10
Contenido xi Bonos sin sorteo emitidos a la par............................................................................... 378 Bonos sin sorteo emitidos bajo la par.......................................................................... 379 Bonos con sorteo emitidos a la par.............................................................................. 381 Bonos con sorteo emitidos bajo la par ........................................................................ 386 Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con lote........................................................ 387 Bonos emitidos en serie............................................................................................... 388 Problemas propuestos ....................................................................................................... 395 Autoevaluación ............................................................................................................ 396 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 397 Actividades de repaso ....................................................................................................... 402 Capítulo 11 Activos financieros y bolsa de valores .................................. 403 Justificación...................................................................................................................... 403 Objetivo general................................................................................................................ 403 Objetivos específicos ........................................................................................................ 403 Conducta de entrada ......................................................................................................... 404 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 404 La bolsa de valores ........................................................................................................... 405 ¿Qué es la bolsa de valores? ........................................................................................ 405 ¿Quién es el comisionista de bolsa? ............................................................................ 405 ¿Qué operaciones realiza la bolsa de valores? ............................................................ 405 ¿Qué es una acción? .................................................................................................... 405 ¿Qué es un dividendo?................................................................................................. 406 ¿Qué es un ADR? ........................................................................................................ 406 ¿Qué es el CERT?........................................................................................................ 406 ¿Qué es el emisor?....................................................................................................... 406 ¿Qué es el mercado primario? ..................................................................................... 406 ¿Qué es la liquidez primaria? ...................................................................................... 406 ¿Qué es el mercado secundario? ................................................................................. 406 ¿Qué es el mercado negro?.......................................................................................... 407 ¿Qué es la liquidez secundaria?................................................................................... 407 ¿Qué es un mercado firme?......................................................................................... 407 ¿Qué es un mercado ofrecido? .................................................................................... 407 ¿Qué es una operación carrusel? ................................................................................. 407 ¿Qué es un mercado repo?........................................................................................... 407 ¿Qué es una operación swap? ...................................................................................... 407 Clases de activos ............................................................................................................... 408 Activos monetarios ...................................................................................................... 408 Activos reales .............................................................................................................. 408 Otros activos ................................................................................................................ 408 Activos financieros...................................................................................................... 408 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 11 .
xii Activos financieros que devengan interés ................................................................... 409 Tasa de registro ............................................................................................................ 411 Tasa para el comprador................................................................................................ 411 Tasa de cesión .............................................................................................................. 412 Con liquidación de intereses en forma anticipada.................................................. 413 Precio de registro ......................................................................................................... 416 Precio de compra ......................................................................................................... 417 Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención........................ 419 Activos financieros que se negocian a descuento ....................................................... 422 Activos financieros con IPC........................................................................................ 423 Activos financieros con devaluación ........................................................................... 423 Activos financieros con valorización .......................................................................... 425 Activos financieros de rentabilidad agregada ............................................................. 426 Con interés en dos tasas distintas ........................................................................... 426 Con interés y descuento.......................................................................................... 427 Con interés e IPC.................................................................................................... 428 Con interés y devaluación ...................................................................................... 428 Con interés y valorización ...................................................................................... 429 Con descuento y devaluación ................................................................................. 430 Problemas propuestos ....................................................................................................... 430 Autoevaluación ............................................................................................................ 431 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 432 Actividades de repaso ....................................................................................................... 438 Apéndice A Problemas adicionales propuestos .................................................................................... 439 Apéndice B Problemas propuestos y resueltos ..................................................................................... 459 Bibliografía ....................................................................................................................... 483 Índice ................................................................................................................................ 485 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 12
xiii Prefacio Una de las características más relevantes del mundo globalizado son los cambios vertiginosos en todos sus ámbitos, en especial en el tecnológico, el económico y el financiero, los cuales son deter- minantes en el afianzamiento cultural de los países. Así mismo, las matemáticas financieras evolucionan constantemente, en la medida que cambia el escenario sobre el cual actúan. Por ello, consciente de la dinámica que reviste todo programa académico, en esta tercera edición se actualizan los contenidos y se profundiza sobre los capítulos siguientes: - En el capítulo 2 se incluye el tema de las ecuaciones de valor, fundamentalmente para la reestructuración de obligaciones bancarias. - En el capítulo 3, el tema de las tasas de interés se complementa con el de las tasas de cambio y la devaluación, tanto entre dos monedas como entre varias monedas. - En el capítulo 5, el tema de los gradientes se complementa con todos los diversos tipos de gradientes, aritméticos y geométricos, para proporcionarle al estudiante un conocimiento básico para acometer posteriormente el estudio de temas rela- cionados con proyectos, costos de capital y rentas variables, entre otros. - En el capítulo 6 se hace una breve reseña histórica del aspecto financiero del sistema UPAC y su transición al sistema UVR, del cual se estudian todas sus aplicaciones a las operaciones financieras, entre ellas, los diversos planes de amortización. - En el capítulo 9 se da más claridad al tema de la Tasa Interna de Retorno y su relación con el Valor Presente Neto. También se recalca la gran diferencia que existe entre la Tasa Interna de Retorno y la tasa que indica la verdadera rentabilidad de un Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 13 .
xiv proyecto, cuando hay capitales que salen de éste para generar nuevos rendimientos. - Los capítulos restantes se conservan de la edición anterior por su vigencia tanto en los programas académicos de las universi- dades como en el ejercicio práctico de los profesionales del área financiera. - Adicionalmente, el texto se acompaña de un CD-ROM donde el estudiante encontrará unas calculadoras que le facilitarán los cálculos en operaciones relacionadas con estos temas, y los diversos planes de amortización para que el estudiante pueda poner en práctica los conocimientos teóricos expuestos en el libro. Por todo lo anterior, no cabe duda de que este libro contribuirá de manera decisiva en la formación de profesionales más compe- titivos, condición obligada para el éxito en la sociedad globalizada de hoy. El autor Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 14
Contenido xv Notas preliminares ■ J u s t i f i c a c i ó n Con el fin de proporcionar una mayor ayuda al lector, se incluyen estas notas preliminares como un repaso de aquellos conceptos matemáticos sobre los cuales se basa en gran parte el contenido del texto. En la mayor parte de los casos, el lector ha olvidado los con- ceptos de progresiones aritméticas y geométricas, de logaritmos, en fin, se ha olvidado un poco de su formación matemática. Por esta razón es necesario familiarizarse nuevamente con es- tos temas y nada más apropiado que proporcionar la información adecuada para una buena nivelación. ■ Objetivo general Obtener una nivelación adecuada para iniciar el curso de matemá- ticas financieras. ■ Objetivos específicos ■ Hallar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética y de una geométrica. ■ Diferenciar las propiedades de los logaritmos. Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 15 .
Matemáticas financieras xvi Logaritmos 씰 D e f i n i c i ó n El logaritmo de un número es el exponente al cual debemos elevar un número llamado base para obtener el número dado. Ejemplo: 6 0 = 1 Base: 6 Exponente: 0 Número: 1 El logaritmo de 1 es cero (0), ya que cero (0) es el exponente al cual debe elevarse la base seis (6) para obtener el número uno (1). Nota. Todo número elevado a un exponente cero (0) da como resultado el número uno (1). Toda magnitud o número dividido por sí mismo da como resultado el número uno (1). Así: 1 1 = 1 2 2 = 1 a a = 1 c c = 1 10 10 = 1 5 5 = 1 Luego, 6 6 2 2 = 1 porque 36 36 = 1 entonces, 6 6 2 2 = 6 2-2 = 6 0 = 1 Por consiguiente, 6 0 = 1 씰 Propiedades de los logaritmos 1. Los números negativos no tienen logaritmo. 2. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 16
Notas preliminares xvii 3. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero. 4. Todo número mayor que la unidad tendrá logaritmo positivo. 5. Todo número no negativo menor que la unidad tendrá logaritmo negativo. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log (2)(4) = log 2 + log 4 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. log 4 3 = 3 log 4 El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre el índice de la raíz. Nota. Luego, Nota. El logaritmo de una suma algebraica no está definido. Series o progresiones Una serie es una sucesión de términos que obedecen a una ley de formación. Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12 4, 8, 16, 32 Progresión aritmética (PA) es una serie en la cual cada término se forma al sumar al anterior una cantidad fija llamada razón. Ejemplo:2, 4, 6, 8, 10 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 17 .
Matemáticas financieras xviii En este caso, la razón es 2 El primer término es 2 El último término es 10 씰 Suma de los términos de una progresión aritméti- c a Se tiene la siguiente progresión aritmética: a, b, c, d, … r, s, t, u La suma será Suma = a + b + c + d + … + r + s + t + u (1) Si se invierte el orden, Suma = u + t + s + r +… + d + c + b +a (2) Al sumar (1) + (2) se obtiene: 2 Suma = (a + u) + (b + t) + (c + s) + (d + r) +… + (r + d) + (s + c) + (t + b) + (u + a) Es una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los dos términos extremos, así: 2 Suma = (a + u)n Progresión geométrica (PG) es una serie en la cual cada término se forma al multiplicar el anterior por una cantidad fija llamada razón. Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32 La razón es 2 r = 2 El primer término es 2 a = 2 El último término es 32 u = 32 El número de términos es 5 n = 5 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 18
Notas preliminares xix 씰 Suma de los términos de una progresión geométrica Se tiene la siguiente progresión geométrica: a, b, c, d, …s, t, u La razón es r, Suma = a + b + c + d +… + s + t +u (1) Se multiplica por la razón cada uno de los miembros de la igualdad: (Suma) r = ar + br + cr +dr +… + sr + tr + ur (2) Se resta de (2) la serie (1): Porque ar = b cr = d br = c dr = e Al factorizar se obtiene: Suma (r − 1) = ur - a Luego, con r > 1 Si se quiere expresar la suma únicamente en función del primer término, entonces bastará con reemplazar u por su equivalente: u = ar n − 1 Luego, con r > 1 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 19 .
Matemáticas financieras xx Con esta expresión se calcula la suma de los términos de una progresión geométrica creciente. Si la progresión geométrica es decreciente, la expresión será la siguiente: El número e Se define como el valor de la función exponencial en 1 y se expresa como e = exp 1 Esta letra se escogió en memoria de Leonhard Euler y se llama número de Euler, el cual no puede expresarse como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. El núme- ro e es una constante que equivale a 2,71828182846. Considérese la función logarítmica natural: f (x) = ln x La derivada de f está dada por f ′ (x) = 1/x. Luego, f ′ (1) = 1 Mediante la definición de la derivada y calculando f‘ (1) se tiene: Luego, Al reemplazar ∆x por k se obtiene: Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 20
Notas preliminares xxi La función exponencial y la función logaritmo natural son funciones inversas, entonces Además, la función exponencial es continua y existe y es igual a 1. Luego, Así, Ahora se comprueba que el límite existe: f (k) = (1 + k) 1/k A continuación se determinan los valores de la función para algunos valores de k que están muy cerca de cero, pero sin llegar a ser cero. Este cuadro indica que cuando k tiende a cero, el límite de (1 + k) 1lk es un valor com- prendido entre 2,718268237 y 2,71829542. Estos valores corresponden a unos valores de k por encima y por debajo de cero, muy próximos a cero pero sin llegar a ser cero. Cuando k es igual a f (k) = (1 + k) 1/k 1 2 0,4 2,3191032 0,04 2,6658363 0,004 2,712865123 0,001 2,716923932 0,0001 2,7181459 0,00001 2,718268237 −0,00001 2,71829542 −0,0001 2,718417755 −0,001 2,719642216 −0,004 2,723738403 −0,04 2,77472006 −0,4 53,586095691 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 21 .
Matemáticas financieras xxii Fórmula Terminología Terminología Terminología Terminología matemática de Grant tabl. Suramericana Tarquín Taylor (1 + i)n (CAF′, i%, n) (1 + i)n (F/P, i%, n) SP CAP i% n (PWF´, i%, n) (P/F, i%, n) SP PWF i% n (CAF, i%, n) Sn (A/F, i%, n) SF DF i% n (SFF, i%, n) (A/F, i%, n) SF DF i% n (PWF, i%, n) an (P/A, i%, n) US PWF i% n (CRF, i%, n) (A/P, i%, n) CRF i% n n V 1 1+ ( ) i n 1 1 + ( ) − i i n i i n 1 1 + ( ) − 1 1 1 + ( ) − + ( ) i i i n n i i i n n 1 1 1 + ( ) + ( ) − 1 an 1 Sn 씰 Factores a interés compuesto Nomenclaturas diferentes pero equivalentes Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 22
Interés ■ Justificación En este capítulo el lector aprenderá a definir una serie de concep- tos como interés, valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempo o periodos de pago. Asimismo comprenderá el concepto del valor del dinero en el tiempo y aprenderá a manejar los diagramas económicos o líneas de tiempo como una herramienta para visualizar y analizar los problemas financieros. Después de entender lo anterior, se iniciará el estudio del inte- rés simple y del interés compuesto estableciendo con claridad las características de cada uno de ellos y, en consecuencia, sus dife- rencias. Al concluir esta etapa, el estudiante estará en capacidad de ini- ciar el cálculo de algunas operaciones financieras. ■ Objetivo general Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto a par- tir de su definición. ■ Objetivos específicos ■ Interpretar los diagramas económicos. ■ Establecer una clara diferencia entre interés simple e interés compuesto. ■ Calcular a interés simple: • El valor presente de una suma futura. • El valor futuro de una suma presente. • El valor futuro de una serie de cuotas iguales, en forma ven- cida o anticipada. ■ Calcular a interés compuesto: • El valor presente de una suma futura. • El valor futuro de una suma presente. ■ Resolver unos casos de la vida real. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM 1 .
Matemáticas financieras 2 Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta. 1 En la progresión aritmética 2, 4, 6, …96, 98 la suma de sus términos es: a. 2.400 b. 2.450 c. 2.350 d. 1.450 e. 2.550 2 En la progresión geométrica −81, −27, −9, −3, −1, ... su razón es: a. 3 b. − 1 3 c. a d. 1 3 e. −3 3 Si log 10 = 1, log 100 = 2, entonces 5 log 10.000 es igual a: a. 20 b. 15 c. 10 d. 50 e. 25 4 El valor de x en la ecuación log7 x = 3 es: a. 49 b. 21 c. 434 d. 729 e. 343 5 Al expresar la relación en la ecuación 3 4 = 81 mediante notación logarít- mica, se obtiene: a. log3 4 = 81 b. log4 81 = 3 c. 4 = log3 81 d. log81 4 = 3 e. log81 = 3 Respuestas a la conducta de entrada 1. b 2. d 3. a 4. e 5. c Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM 2
3 Interés 씰 Definición El Diccionario Larousse Ilustrado, edición 5a. de 1990, define el interés así: Interés: “Lo que a uno le conviene. Beneficio que se saca del dinero prestado. Derecho eventual de alguna ganancia. Valor que en sí tiene una cosa”. Algunos autores lo definen como: 씰 “Valor del dinero en el tiempo”. 씰 “Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo”. 씰 “Utilidad o ganancia que genera un capital”. 씰 “Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un periodo determinado”. 씰 “Rendimiento de una inversión”. El pueblo dice: “Interés: ¿cuánto valés?” Todas estas definiciones son válidas. A continuación se presenta un ejemplo para aclarar lo expuesto. El señor Pérez le prestó al señor Gil la suma de $100, con la condición de que el señor Gil le devuelva la suma de $150 dos meses después. Como puede apreciarse, el señor Pérez se ganó $50 por prestarle $100 al señor Gil durante dos meses. Esto indica que los intereses fueron $50 durante los dos meses. Del problema planteado puede deducirse que: a. $100 representan el capital invertido, capital inicial, valor presente o valor actual del crédito. Este valor se denotará con la letra mayúscula P; por consiguiente P = 100. b. $150 representan el valor en el cual se transformaron $100 durante dos meses; es el valor inicial más los intereses, se denominará valor futuro y se representará con la letra F; por tanto, se define como el valor en el cual se convierte o transforma una suma de dinero durante un tiempo determinado, y a una tasa de interés acordada o pactada; F = 150. c. $50 representan el valor de un interés devengado por $100 prestados durante dos me- ses. Este valor se indica con la letra mayúscula I y se define como la diferencia entre el Capítulo 1 • Interés Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM 3 .
Matemáticas financieras 4 valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de las definiciones dadas antes. I = F − P En el ejemplo, I = 150 − 100 = 50 y corresponde a un periodo de dos meses, el cual se denota con la letra minúscula n. Así, n = 2 meses. Por tanto, en porcentaje se tiene que 25 100 = 0,25; este valor corresponde a un Mes porcentual que indicará el valor de los intereses; este índice se denomina tasa de interés y se denota con la letra minúscula i. Luego, i = 25 100 = 0,25 Nótese que la tasa de interés no es más que la relación entre los intereses y el valor del crédito. i = I P = 25 100 = 0,25 = 25% Nota.Siemprequesetrabajeconproblemasfinancierosesnecesariotenerencuentaquelatasa de interés debe estar dada en función del periodo en el cual se trabaja el tiempo de las transac- ciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica debe ser trimestral. 씰 Diagramas económicos Consisten en la representación gráfica de un problema financiero. Su importancia radica en que permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis correcto. Un diagrama consta de lo siguiente: 1. Una línea horizontal en la cual se representan todos los periodos en los cuales se ha dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés. 2. Unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo, con las cuales se representa el flujo de caja (ingresos y egresos respectivamente). El ejemplo puede representarse así: Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 4
Capítulo 1 • Interés 5 Ejemplo 1.1 Una persona invierte hoy $1.000 en una corporación que reconoce el 2% mensual. Si esta persona retira mensualmente los intereses y en el mes 36 retira el capital, ¿cuál es el diagrama económico? Ejemplo 1.2 Una persona hizo un préstamo de $5.000 en una corporación que cobra el 10% trimestral a interés simple. Si esta persona paga los intereses trimestralmente y el crédito se vence en un año, ¿cuál es el diagrama económico? Nota. Algunos autores no hablan de diagramas económicos, sino de “líneas de tiempo” o diagramas de flujo de caja. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 5 .
Matemáticas financieras 6 씰 Interés simple Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando los intereses liquidados no se suman periódicamente al capital; es decir, los intereses no devengan interés. Sus características son las siguientes: 1. La tasa de interés siempre se aplicará sobre el capital inicial. 2. Por la misma razón puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada periodo. 3. Las tasas de interés simple se pueden dividir o multiplicar por cualquier número para hallar su equivalente en un periodo de capitalización distinto. Por ejemplo, dada una tasa de 24% anual simple, 24% anual simple/12 = 2% mensual simple 2% mensual simple × 12 = 24% anual simple 24% anual simple/4 = 6% trimestral simple Ejemplo 1.3 Un Banco otorga un crédito de $20.000 a 4 meses y a una tasa del 24% anual simple. ¿Qué interés simple se paga mensualmente? P = $20.000 i = 0,24 anual ó 0,02 mensual n = 4 meses I = (20.000) (0,02) = 400 luego, I = P · i · n Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 6
Capítulo 1 • Interés 7 Si se desea averiguar el valor total de los intereses, I = 20.000 (0,02) (4) = 1.600 luego, I = Pin De esta expresión pueden despejarse las otras variables: P I in = i I Pn = n I Pi = Para calcular el valor futuro a interés simple es necesario sumar los intereses más el valor presente: F = P + I Pero, como I = Pin, entonces: F = P+ Pin F = P (1+ in) Al resolver el problema anterior, F = ? P = $20.000 i = 0,02mensual n = 4 meses Se tiene la expresión F =P (1+ in) F =20.000 [1 + (0,02)(4)] F =21.600 Comprobación: F =P + I F =20.000 + 1.600 F =21.600 De la expresión de valor futuro puede despejarse la variable de valor presente, así: F = P (1+ in) Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 7 .
Matemáticas financieras 8 luego, Al resolver el ejemplo anterior, F = $21.600 i = 0,02mensual n = 4 meses P = ? 씰 Interés compuesto A diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización. Para comprender mejor esta definición, véase el ejemplo siguiente: Ejemplo 1.4 El señor Pérez deposita $100 en un Banco, el cual le reconoce una tasa de interés del 36% anual con capitalización trimestral. ¿Cuál será el valor ahorrado al finalizar el primer año? Como la tasa de interés dada es anual y la capitalización es trimestral, aquella debe expresarse en términos trimestrales. Luego, Ahora puede elaborarse la siguiente tabla: Periodo Valor Intereses Valor (n) presente (P) trimestre (I) futuro (F) 1 100 9 109 2 109 9,81 118,81 3 118,81 10,6929 129,50 4 129,50 11,6552 141,15 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 8
Capítulo 1 • Interés 9 Gráficamente, el problema se representa así: Al interpretar este caso particular en forma general, se tiene: n = número de periodos de capitalización it = tasa de interés efectiva trimestral P = valor presente F = valor futuro Con base en esta tabla, puede observarse la ley de formación y encontrarse las expre- siones generales siguientes: Valor futuro de una suma presente • El valor futuro en un periodo n está dado por: F = P (1+i) n Periodo Valor Intereses Valor futuro (F) (n) Presente (P) trimestre (I) 1 P Pi P + pi = P (1 + i) 2 P (1 + i) P (1 + i)i P (1 + i) + P (1 + i)i = P (1+ i) 2 3 P (1 + i) 2 P (1 + i) 2 i P (1 + i) 2 + P (1 + i) 2 i =P (1+ i) 3 4 P (1 + i) 3 P (1 + i) 3 i P (1 + i) 3 + P (1 + i) 3 i =P (1+ i) 4 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 9 .
Matemáticas financieras 10 • Los intereses correspondientes a un periodo n están dados por: In = iP (1+ i) n − 1 • El capital inicial para un periodo n está dado por: Pn = P (1+ i) n − 1 Valor presente de una suma futura A partir de lo anterior, también puede concluirse que: Ejemplo 1.5 Se depositan $100.000 en una corporación que reconoce el 32% anual con capitalización trimestral vencida. ¿Cuál será el valor acumulado al final de 2 años? P = $100.000 it = = 0,08 n = 8 trimestres F = ? F = P (1+i) n = 100.000 (1+0,08) 8 = 185.093 Considerando el mismo problema pero a interés simple, se tiene: F= P (1+in) F= 100.000 [1+0,08 (8)] = 164.000 Ejemplo 1.6 El señor Pérez necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícu- la de su hijo. Si una corporación le ofrece el 36% anual con capitalización bimestral, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo? Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 10
Capítulo 1 • Interés 11 F = $300.000 n = 6 meses = 3 bimestres i = 0 36 6 , = 0,06 bimestral P = ? P = 300.000 (0,839619283) = 251.885,78 Si la variable a calcular fuera n, se tendría: F = P (1 + i) n 1,19101602321 = (1,06) n log 1,19101602321 = n log 1,06 0,075917604 = 0,025305865n n = 3 bimestres Si la variable a calcular fuera i: F = P (1 + i) n = (1 + i) n 1,06 = 1 + i i = 1,06 − 1 = 0,06 o 6% bimestral Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 11 .
Matemáticas financieras 12 씰 Diferencia entre interés compuesto e interés simple Para comprender mejor esta diferencia véase la gráfica de los valores acumulados corres- pondientes a los intereses en el siguiente problema: P = $1.000.000, n = 6 meses, i = 0, 10. Interés simple I = Pin I1 = (1.000.000)(0,10)(1) = 100.000 I2 = (1.000.000)(0,10)(2) = 200.000 I3 = (1.000.000)(0,10)(3) = 300.000 I4 = (1.000.000)(0,10)(4) = 400.000 I5 = (1.000.000)(0,10)(5) = 500.000 I6 = (1.000.000)(0,10)(6) = 600.000 Interés compuesto I1 = Pi = (1.000.000)(0,10) = 100.000 I2 = I2 + I1 = (100.000)(1,10) + 100.000 = 210.000 I3 = I3 + I2 = (100.000)(1, 10) 2 + 210.000 = 331.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 12
Capítulo 1 • Interés 13 I4 = I4 + I3 = (100.000)(1,10) 3 + 331.000 = 464.100 I5 = I5 + I4 = (100.000)(1,10) 4 + 464.100 = 610.510 I6 = I6 + I5 = (100.000)(1, 10) 5 + 610.510 = 771.561 Ejemplo 1.7 Se tiene un crédito de $5.000.000 a 24 meses y a una tasa del 5% mensual. a. Calcular los intereses y los saldos a interés simple e interés compuesto; b. Elaborar la gráfica. Interés simple Mes Monto Intereses Saldo 1 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.250.000,00 2 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.500.000,00 3 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.750.000,00 4 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.000.000,00 5 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.250.000,00 6 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.500.000,00 7 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.750.000,00 8 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.000.000,00 9 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.250.000,00 10 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.500.000,00 11 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.750.000,00 12 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.000.000,00 13 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.250.000,00 14 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.500.000,00 15 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.750.000,00 16 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.000.000,00 17 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.250.000,00 18 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.500.000,00 19 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.750.000,00 20 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.000.000,00 21 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.250.000,00 22 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.500.000,00 23 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.750.000,00 24 $5.000.000,00 $250.000,00 $11.000.000,00 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 13 .
Matemáticas financieras 14 Interés compuesto Mes Monto Intereses Saldo 1 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.250.000,00 2 $5.250.000,00 $262.500,00 $5.512.500,00 3 $5.512.500,00 $275.625,00 $5.788.125,00 4 $5.788.125,00 $289.406,25 $6.077.531,25 5 $6.077.531,25 $303.876,56 $6.381.407,81 6 $6.381.407,81 $319.070,39 $6.700.478,20 7 $6.700.478,20 $335.023,91 $7.035.502,11 8 $7.035.502,11 $351.775,11 $7.387.277,22 9 $7.387.277,22 $369.363,86 $7.756.641,08 10 $7.756.641,08 $387.832,05 $8.144.473,13 11 $8.144.473,13 $407.223,66 $8.551.696,79 12 $8.551.696,79 $427.584,84 $8.979.281,63 13 $8.979.281,63 $448.964,08 $9.428.245,71 14 $9.428.245,71 $471.412,29 $9.899.658,00 15 $9.899.658,00 $494.982,90 $10.394.640,90 16 $10.394.640,90 $519.732,04 $10.914.372,94 17 $10.914.372,94 $545.718,65 $11.460.091,59 18 $11.460.091,59 $573.004,58 $12.033.096,17 19 $12.033.096,17 $601.654,81 $12.634.750,98 20 $12.634.750,98 $631.737,55 $13.266.488,53 21 $13.266.488,53 $663.324,43 $13.929.812,95 22 $13.929.812,95 $696.490,65 $14.626.303,60 23 $14.626.303,60 $731.315,18 $15.357.618,78 24 $15.357.618,78 $767.880,94 $16.125.499,72 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 14
Capítulo 1 • Interés 15 Ejemplo 1.8 ¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 4% mensual? F = P(1 + i) n F = 2P 2P = P(1 + i) n 2 = (1,04) n log 2 = n log 1,04 0,301029 = n(0,0170333) n = 17,6729 meses Ejemplo 1.9 Resolver el problema anterior considerando el interés simple. F = P (1 + in) F = 2P 2P = P (1 + in) 2 = 1 + 0,04n 2 − 1 = 0,04n Comprobación: a. A interés compuesto F = 1 (1 + 0,04) 17,6729 F = 2 b. A interés simple F = 1(1 + in) F = 1[1 + (0,04)(25)] F = 2 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 15 .
Matemáticas financieras 16 Problemas propuestos 1. Una persona recibe al final de cada mes y durante 10 meses la suma de $150.000; al principio de los meses tercero, cuarto, quinto y noveno debe pagar $200.000. Elaborar el diagra- ma económico. 2. Elaborar el diagrama económico para el siguiente cuadro: 3. ¿Cuántosenecesitadepositarhoyenuna corporación que reconoce el 3% men- sual para poder disponer de $5.000.000 alcabodeunaño?a. Resolverelproble- maainteréssimpleyainteréscompues- to; b. Sacar conclusiones. Respuesta: A interés simple: $3.676.470,58; a interés compuesto: $3.506.899,40 4. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es del 6% trimes- tral? Resolver el problema para interés simple y para interés compuesto. Respuesta: 33,33 trimestres; 18,85 trimestres. 5. Una propiedad adquirida hace tres años vale hoy $25.000.000; si la tasa de valorización ha sido del 28% anual simple durante los últimos tres años, ¿cuál era el precio de la propiedad en esa época? Respuesta: $13.586.956,52 Autoevaluación 1. El señor Pérez necesita disponer de $1.000.000 dentro de seis meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 28% anual con capitalización trimestral, ¿cuánto deberá depositar hoy para lo- grar su objetivo? 2. Si la variable a calcular fuera n, ¿cuál sería la solución? 3. ¿En cuánto tiempo se duplica un ca- pital en una corporación que recono- ce el 3% mensual? 4. Resolver el problema anterior pero considerando el interés simple. 5. ¿A cuánto equivalen hoy $5.000.000 que se entregarán dentro de un año si se considera una tasa de interés del 24% anual con capitalización anual? 6. Resolver el problema anterior pero considerando el interés simple. Expli- car la respuesta. 7. Si hoy se depositan $2.000.000 en una corporación que reconoce el 6% tri- mestral, ¿cuánto se tendrá ahorrado al final del quinto año? Mes Ingresos Egresos 1 $500.000 $1.000.000 2 300.000 0 3 2.800.000 300.000 4 1.000.000 70.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 16
Capítulo 1 • Interés 17 Respuestas a la autoevaluación 1. F = $1.000.000 n = 6 meses = 2 trimestres i = 0,28 anual = 0 28 4 , = 0,07 trimestral P = ? 2. F = P (1 + i)n 1,14490 = (1,07) n log 1,14490 = n log 1,07 n = 2 3. F = P (1 + i) n F = 2P 2P = P (1 + i) n 2 = (1 + i) n 2 = (1,03) n log 2 = n log 1, 03 n = 23,449772 meses 4. F = P (1 + in) F = 2P 2P = P (1 + in) 2 − 1 = in 1 = in 5. P = ? F = $5.000.000 n = 1 año i = 0,24 6. Las respuestas son iguales porque sólo hubo un periodo de capitalización. 7. P = 2.000.000 i = 0,06 trimestral n = 20 trimestres F = ? F = P (1+i) n F = 2.000.000 (1,06) 20 = 6.414.270,94 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 17 .
Matemáticas financieras 18 Actividades de repaso 8. ¿Cómo define usted el interés simple? 9. ¿Cómo define usted el interés com- puesto? 10. ¿Cuáles son las características del interés simple y del interés com- puesto? 11. Con un ejemplo analítico y una grá- fica establezca las diferencias en- tre el interés simple y el interés compuesto. 1. ¿Qué es valor presente? 2. Defina valor futuro. 3. Defina tasa de interés. 4. Defina interés. 5. ¿Qué es un diagrama económico? 6. ¿De qué elementos consta un diagra- ma económico? 7. Proponga un ejemplo financiero y construya un diagrama económico. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 18
19 Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos ■ Justificación En este capítulo se estudiarán el principio de equivalencia o prin- cipio de equidad financiera y su aplicación a la teoría de los descuentos y los vencimientos, bajo las modalidades del interés simple y el interés compuesto. Con esto se pretende dar al lector la información suficiente para que se capacite en el manejo de los descuentos y vencimien- tos de documentos y pueda realizar las diferentes operaciones fi- nancieras que se le presenten en la práctica. ■ Objetivo general Establecer los parámetros para el cálculo de los descuentos y los vencimientos. ■ Objetivo específico ■ Utilizar el principio de equidad financiera o principio de equi- valencia para: • Calcular el descuento comercial. • Calcular el descuento racional. • Calcular el descuento compuesto. • Calcular el vencimiento medio. • Calcular el vencimiento común, en forma racional y en for- ma comercial. • Resolver problemas de la vida real. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 19 .
20 Matemáticas financieras Conducta de entrada 1 Elaborar un paralelo entre una opera- ción financiera a interés simple y otra a interés compuesto. 2 ¿Qué se entiende por capitalización? A continuación se presenta una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted consi- dere correcta. 3 Al cabo de seis meses, el valor futuro F de una inversión P = $10.000 al 3 % mensual simple es de: a. $11.800 b. $10.800 c. $12.800 d. $11.500 e. $9.800 4 Si el señor Cortés necesita $ 100. 000 dentro de un año, ¿cuánto debe de- positar hoy en una institución finan- ciera que reconoce el 2,5% mensual? a. $76.923,08 b. $78.923,08 c. $74.355,59 d. $75.355,59 e. $80.155,59 5 ¿Cuánto tiempo se necesita para con- vertir $25.000 en $40.025,81 si se de- positan en una corporación al 4% mensual? a. 10 meses b. 12 meses c. 15 meses d. 13 meses e. 9 meses Respuestas a la conducta de entrada 1. 3. a 4. c 5. b 2. Capitalización es el proceso median- te el cual se adicionan al capital los intereses liquidados. Interés simple El capital inicial no varía durante todo el tiempo. La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo capital. Los intereses son siempre iguales para todos los periodos de liquidación. Interés compuesto El capital inicial se incrementa perió- dicamente. La tasa de interés se aplica siempre sobre un capital diferente. Los intereses son siempre mayores cada vez que se liquidan. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 20
21 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Principio de equivalencia Una o varias sumas de dinero pueden transformarse en otra u otras sumas de dinero equivalen- tes con el paso del tiempo si la tasa de interés utilizada para la transformación satisface las aspiraciones del inversionista. Ejemplo 2.1 Si se quiere invertir en una cuenta de un Banco que reconoce el 24% anual, puede decirse que $100 invertidos hoy, en esa cuenta, son equivalentes a $124 que se entregarán en un año. Nota. Algunos autores no hablan del principio de equivalencia sino del principio de equi- dad financiera, que es de mucha aplicación en matemáticas financieras, como es el caso de los vencimientos, aunque antes de hablar de ellos se hará referencia a los descuentos. 씰 Descuento (D) El descuento es una modalidad del interés simple. La diferencia radica en que el interés simple por lo general se paga vencido, en tanto que el descuento se produce por anticipado. Si I = Pin entonces, D = Pin donde i es la tasa de descuento. En el mercado financiero operan tres tipos de descuentos: comercial, racional o simple y compuesto. Antes de definir cada uno de ellos es necesario precisar lo siguiente: Valor nominal (Vn) es el valor que está escrito en un documento. En algunos casos se maneja como un valor futuro. Valor efectivo (Ve) es el valor que se recibe después de haberse efectuado el respectivo descuento del valor nominal; luego, Ve =Vn − D Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 21 .
22 Matemáticas financieras Descuento comercial (Dc) es aquel que se calcula sobre el valor nominal de un documento y siempre se paga antes de su vencimiento. También se le llama descuento bancario. Dc = Vn in Luego, Ve =Vn – Dc Ve = Vn – Vn in Ve = Vn – (1 – in) Ejemplo 2.2 El señor Pérez tiene una letra de $500.000 la cual estipula una tasa de descuento del 3% mensual y un vencimiento dentro de 6 meses. a. ¿Cuál es el descuento comercial? Dc = Vn in Dc = 500.000 (0,03) (6) = 90.000 b. ¿Cuál es el valor efectivo de la letra? Ve = Vn – (1 – in) Ve = 500.000 – [1 – (0,03) (6)] = 410.000 lo anterior equivale a: Ve = Vn – Dc = 500.000 – 90.000 = 410.000 Descuento racional (Dr) es aquel que se calcula sobre el valor efectivo de un documento. Dr = Ve in (1) Sin embargo, Ve = Vn – Dr luego, Ve = Vn –Ve in Ve + Ve in = Vn Ve (1+in) = Vn Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 22
23 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos de donde (2) Al reemplazar (2) en (1) se obtiene: Como Dc = Vn in entonces, Ejemplo 2.3 Con los datos del problema anterior, calcular: a. Dr b. Ve a. Dr = Otra forma es: b. Otra posibilidad es: Ve = Vn − Dr Ve = 500.000 − 76.271,18 = 423.728,82 Nota. Este descuento también se denomina descuento justo, descuento interior o descuen- to por dentro. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 23 .
24 Matemáticas financieras Descuento compuesto (D’c), como su nombre lo indica, opera con base en el interés com- puesto. Si el proceso de capitalización es la suma periódica de los intereses, el descuento com- puesto debe ser todo lo contrario. Como F = P(1 + i) n luego, Vn = Ve (1 + i) n de donde por tanto, Al factorizar se tiene: Ejemplo 2.4 Con los datos del problema anterior, calcular: a. D′c b. Ve a. D′c = 500.000 (0,162515743) = 81.257,87 b. Ve = Vn − D′c Ve = 500.000 − 81.257,87 = 418.742,13 Nota. El descuento mayor es el comercial, le siguen el descuento compuesto y, por últi- mo, el racional. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 24
25 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Ejemplo 2.5 El señor Pérez tiene una letra de $200.000, la cual reconoce unos intereses del 3% mensual y vence dentro de 5 meses. El señor Pérez ofrece la letra porque necesita dinero para atender un compromiso urgente. Quien ofrece comprársela le exige una tasa de descuento del 5% mensual, que es la tasa con la cual esa persona acostumbra trabajar. ¿Cuánto debe darle por la letra? Maneje la información a interés simple (descuento racional). Lo primero que debe hacerse es hallar el valor futuro de la letra a la tasa que reconoce, o sea, el 3% mensual. F = P ( 1 + in) F = 200.000 [1 + (0,03)(5)] = 230.000 Este valor futuro será el valor nominal de la letra. Luego se halla el valor efectivo que va a recibirse al 5%: donde i es la tasa de descuento, 씰 Vencimientos Existen dos clases de vencimientos: el medio y el común. Vencimiento medio. Su característica fundamental radica en que el valor nominal de un documento tiene que ser igual a la suma de los valores nominales de los documentos por los cuales se desea cambiar. Esto implica que el valor del nuevo documento también tiene que ser igual a la suma de los valores actuales de los documentos que se cambian o se negocian. Ejemplo 2.6 Se tienen dos letras, una de $50.000 y otra de $100.000, que vencen a los 6 meses y 9 meses, respectivamente, La tasa de descuento sería del 3% anual. Si se quiere cambiar Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 25 .
26 Matemáticas financieras estas dos letras por una sola, ¿cuál será el vencimiento de la nueva letra? Considerar la operación en forma comercial. Ve1 +Ve2 = Ve (nueva letra) Vn1 + Vn2 = Vn (nueva letra) 50.000 + 100.000 = 150.000 Ve = Vn − Dc = Vn − Vn in = Vn (1− in) Ve = 50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] 150.000 [1 − (0,03)(n)] = 50.000(0,82) + 100.000(0,73) 150.000 − 4.500n = 41.000 + 73.000 − 4.500n = −36.000 n = 8 meses Nota. En el vencimiento medio el problema consiste en calcular el vencimiento del nuevo documento. Vencimiento común. Su característica principal radica en que el valor nominal del nuevo o los nuevos documentos es diferente de la suma de los valores nominales de los documen- tos por los cuales se desea cambiar. El problema consiste en: a. Dado el valor nominal del nuevo documento o los nuevos documentos, hallar su venci- miento. b. Dado el vencimiento del nuevo o los nuevos documentos, hallar su valor nominal. Ejemplo 2.7 Con los datos del problema anterior y teniendo en cuenta que el valor nominal del nuevo documento será de $170.000, hallar el vencimiento en formas racional y comercial. a. En forma comercial: Ve1 +Ve2 = Ve (del nuevo documento) Ve = Vn (1−in) Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 26
27 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] =170.000 [1 − (0,03)(n)] 41.000 + 73.000 =170.000 − 5.100 n −56.000 =−5.100n n =10,98 meses b. En forma racional: 121.113,03 (1 + 0,03n) = 170.000 121.113,03 + 3.633,39 n = 170.000 n = 13,45 meses Ejemplo 2.8 Una persona debe una letra de $80.000 para cancelarla dentro de 6 años y otra de $ 100.000 para cancelarla dentro de 7 años, y quiere liquidarlas con un solo pago dentro de dos años. ¿Qué cantidad debe hacer efectiva en esa fecha si la tasa de descuento es del 8% anual en forma compuesta? Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 27 .
28 Matemáticas financieras Ejemplo 2.9 El señor Pérez tiene documentos en las siguientes condiciones: $100.000 con vencimiento en 4 meses, $250.000 con vencimiento en 10 meses, $300.000 con vencimiento en 20 meses. La tasa de descuento pactada es de 3% mensual y el señor Pérez desea cambiar estos tres documentos por uno solo. ¿Cuál será el plazo para dicho documento si se consi- dera un vencimiento medio? Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3 Vn = 100.000 + 250.000 + 300.000 = 650.000 Ve = Ve1 +Ve2 + Ve3 Ve = Vn (1− in) Ve1 = 100.000 [1 − (0,03)(4)] = 88.000 Ve2 = 250.000 [1 − (0,03)(10)] = 175.000 Ve3 = 300.000 [1 − (0,03)(20)] = 120.000 Ve = 88.000 + 175.000 + 120.000 = 383.000 383.000 = 650.000 [1 − (0,03)(n)] n = 13,69 meses Ejemplo 2.10 Resolver el problema anterior considerando que el valor nominal del nuevo documento debe ser $700.000. Ve = Vn (1 − in) 383.000 = 700.000[1 − (0,03)(n)] 383.000 = 700.000 − 21.000 n 21.000n = 317.000 n = 15,09 meses Ejemplo 2.11 Resolver el ejemplo anterior considerando que el plazo del nuevo documento será de 10 meses. Ve = Vn (1 − in) Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 28
29 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 383.000 = Vn [1 − (0,03)(10)] 383.000 = Vn − 0,3 Vn 383.000 = Vn (1 − 0,3) 383.000 = Vn (0,7) Vn = 547.142,85 씰 Ecuaciones de valor Constituyen otra de las grandes aplicaciones del principio de la equivalencia financiera o equidad financiera. Operan tanto a interés simple como a interés compuesto. En las ecuaciones de valor aparece el concepto de fecha focal, que se define como aquella en la cual que se comparan los ingresos con los egresos. Esta fecha es acordada entre las partes y a ella se debe trasladar todo el flujo de caja, con el fin de plantear en ese punto la respectiva ecuación de valor. Ejemplo 2.12 La empresa XX le adeuda al Banco YY la suma de $600.000.000 representados en los siguientes pagares: uno por $400.000.000 con vencimiento en 10 meses más intereses del 28% anual, otro por $200.000.000 con vencimiento en 22 meses más intereses del 36% anual. El gerente de la empresa quiere reestructurar sus obligaciones y acuerda con el gerente del Banco pagarlas en la siguiente forma: $300.000.000 en la fecha y el resto en 13 meses. ¿Cuál será el valor de dicho pago si la tasa de interés acordada para la reestructura- ción fue del 24% anual? Asuma una fecha focal en el mes 13 e interés compuesto. Primero: se calcula el valor futuro del primer pagaré a una tasa de interés del 28% anual. Este valor se asume como un valor presente y se calcula su valor futuro en la fecha focal a una tasa del 24% anual. Segundo: se calcula el valor futuro del segundo pagaré a una tasa del 36% anual. Este valor se traslada a la fecha focal, es decir, se le calcula su valor presente con una tasa del 24% anual. Tercero: se trasladan los $300.000.000 a la fecha focal con una tasa del 24% anual. Cuarto: el resto del pago está representado por la letra X. Como este valor está en la fecha focal, no hay, necesidad de trasladarlo. Quinto: con todos los valores en la fecha focal, se procede a plantear la ecuación de valor y luego a resolverla para el valor de X. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 29 .
30 Matemáticas financieras F F F 1 10 3 2 22 9 3 13 400 000 000 1 0233333333 1 02 534 603 395 200 000 000 1 03 1 1 02 320 661 923 300 000 000 1 02 388 081 989 = ( ) [ ] ( ) [ ]= = ( ) [ ] ( )         = = ( ) = . . . , . . . . , , . . . . , . . F1 + F2 = F3 + X 534.603.395 + 320.661.923 = 388.081.989 + X X = 467.183.329 Ejemplo 2.13 Resolver el problema anterior pero a interés simple. F F F F 1 1 2 3 400 000 000 1 0 0233333333 10 1 0 02 3 522 933 232 200 000 000 1 0 03 22 1 1 0 02 9 281 335 932 300 000 000 1 0 02 13 378 000 000 = + ( )( ) [ ] + ( )( ) [ ] = = + ( )( ) [ ] + ( )( )      = = + ( )( ) [ ]= . . , , . . . . , , . . . . , . . X = 426.269.264 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 30
31 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Ejemplo 2.14 Una empresa le ha firmado a un Banco un pagaré por $100.000.000 a 4 meses y una tasa de interés del 30% anual; dos meses después firma otro por $50.000.000 a 3 meses y sin intereses. El gerente de la empresa quiere recoger estos pagarés y reemplazarlos por uno solo a 3 meses, contados a partir de la fecha de vencimiento del primer pagaré y con una tasa de interés del 36% anual. Además, entregará al Banco la suma de $30.000.000 en la fecha de vencimiento del segundo pagaré. ¿Cuál será el valor del nuevo documento? Asu- ma una fecha focal en el mes séptimo e interés simple. F F F F 1 1 2 3 100 000 000 1 0 30 12 4 1 0 36 12 3 119 900 000 50 000 000 1 0 1 0 36 12 2 53 000 000 30 000 000 1 0 36 12 2 = +       ( )       +       ( )       = = + [ ] + ( )      = = +       ( ) . . , , . . . . , . . . . ,       = 31 800 000 . . F1 = 119.900.000 F1 + F2 = F3 + X 119.900.000 + 53.000.000 = 31.800.000 + X X = 141.100.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM 31 .
32 Matemáticas financieras Ejemplo 2.15 Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 15 meses, sin intereses, y otra de $15.000.000 con vencimiento en 24 meses e intereses del 30% anual van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $XX cada uno, con vencimientos en 12 meses y 18 meses, respectiva- mente. Hallar el valor de los pagos si la tasa acordada para la negociación fue del 28% anual. Asuma una fecha facal en 18 meses e interés simple. F F P F X 1 2 2 3 25 000 000 1 0 28 12 3 26 750 000 15 000 000 1 0 30 12 24 24 000 000 24 000 000 1 0 28 12 6 21 052 632 1 0 28 12 = +       ( )      = = +       ( )      = = +      ( )       = = + . . , . . . . , . . . . , . . ,        ( )      = 6 1 14 , X 26.750.000 + 21.052.632 = 1,14 X + X X = $22.337.679 Ejemplo 2.16 Dos obligaciones de $20.000.000 y $50.000.000 sin intereses, vencen en 3 y 10 meses, respectivamente. Si estas obligaciones se cambian por otra de $90.000.000 con vencimien- to a 15 meses ¿cuál será la tasa de interés de la negociación? Asuma la operacion a interés simple y una fecha focal en el mes 15. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM 32
33 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 20.000.000 [1 + 12i] + 50.000.000 [1 + 5i] = 90.000.000 20.000.000 + 240.000.000i + 50.000.000 + 250.000.000i = 90.000.000 i = 0,040816327 mensual i = 4,0816327% mensual Ejemplo 2.17 Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 12 meses y otra de $XX con vencimiento en 20 meses e intereses del 30%, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $24.830.570 cada uno, con vencímiento en 10 meses y 18 meses, respectivamente. Determinar el valor de XX con una tasa de rendimiento del 28% anual y fecha focal en el mes 18. Asuma la operación a interés simple. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM 33 .
34 Matemáticas financieras F F F X X P X 1 1 2 2 25 000 000 1 0 30 12 12 32 500 000 32 500 000 1 0 28 12 6 37 050 000 1 0 30 12 20 1 5 1 5 1 0 28 12 = +       ( )      = = +       ( )      = = +       ( )      = = +   . . , . . . . , . . , , , ,      ( )       = = = +       ( )      = 2 1 5 1 04666666 1 433121 24 830 570 1 0 28 12 8 29 465 610 3 , , , . . , . . X X F 37.050.000 + 1,433121X = 29.465.610 + 24.830.570 X = 12.034.001 Ejemplo 2.18 Una compañía manufacturera adquiere materias primas por valor de $200.000.000 y con- viene pagar el 30% anual de intereses. Si paga $30.000.000 cuatro meses después de la compra y $40.000.000 seis meses después de la compra, ¿qué pago tendrá que hacer año y medio después de la compra, para liquidar totalmente el saldo? Tome como fecha focal un año después de la compra y maneje la operacion a interés simple. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:15 AM 34
35 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos F F F P X 1 2 3 1 200 000 000 1 0 30 12 12 260 000 000 30 000 000 1 0 30 12 8 36 000 000 40 000 1 0 30 12 6 46 000 000 1 0 30 12 = +       ( )      = = +       ( )      = = +       ( )      = = +   . . , . . . . , . . . , . . ,      ( )       = 6 1 15 X , 260.000.000 = 36.000.000 + 46.000.000 + X 1 15 , X = $204.700.000 Ejemplo 2.19 Una compañía contrata el 10 de mayo un préstamo por $100.000.000 a una tasa de interés del 32% anual y un plazo de 180 días. Calcular el saldo en la fecha de vencimiento de la obligación si se efectuaron los siguientes abonos: En junio 15 $20.000.000 En julio 18 20.500.000 En septiembre 30.000.000 Asuma la fecha focal en la fecha de vencimiento de la obligoacíón. Trabaje a interés simple. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:15 AM 35 .
36 Matemáticas financieras F F F F 1 2 3 4 100 000 000 1 0 32 365 180 115 780 822 20 000 000 1 0 32 365 180 36 22 524 932 25 000 000 1 0 32 365 180 69 27 432 877 30 = +       ( )      = = +       − ( )      = = +       − ( )      = = . . , . . . . , . . . . , . . .000 000 000 1 0 32 365 180 116 31 683 288 . , . . +       − ( )      = 115.780.822 = 22.524.932 + 27.432.877 + 31.683.288 + X X = 34.139.726 Ejemplo 2.20 Se firmó un pagaré por $50.000.000 con un plazo de cinco meses para su vencimiento y una tasa del 3% mensual a interés simple. Otro pagaré por $200.000.000 fue firmado dos meses después del anterior, vence a los siete meses y contempla una tasa del 2,5% mensual a interés simple. Si se conviene con el acreedor darle $85.000.000 un mes después de la fecha de vencimiento del primer pagaré y el resto cinco meses después, considerando una tasa de interés del 4% mensual simple, ¿cuál será el valor del último pagaré? F F F 1 50 000 000 1 0 03 5 1 0 04 6 71 300 000 2 200 000 000 1 0 025 7 1 0 04 2 253 800 000 3 85 000 000 1 0 04 5 102 000 000 = + ( )( ) [ ] + ( )( ) [ ]= = + ( )( ) [ ] + ( )( ) [ ]= = + ( )( ) [ ]= . . , , . . . . , , . . . . , . . 71.300.000 + 253.800.000 = 102.000.000 + X X = 223.100.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:16 AM 36
37 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Ejemplo 2.21 Resolver el problema anterior considerando el interés compuesto. F1 = 50.000.000 (1,03) 5 (1,04) 6 = 73.342.577 F2 = 200.000.000 (1,025) 7 (1,04) 2 = 257.136.502 F3 = 85.000.000 (1,04) 5 = 103.415.497 73.342.577 + 257.136.502 = 103.415.497 + X X = 227.063.582 Ejemplo 2.22 Tengo que pagar $10.000.000 dentro de 5 meses, $20.000.000 dentro de 8 meses y $30.000.000 dentro de 12 meses. Si deseo hacer un solo pago de $80.000.000, ¿cuá1 será el plazo para dicho pago?Asuma una tasa del 3% mensual a interés compuesto y una fecha focal en el mes 12. 10.000.000 (1,03) 7 + 20.000.000 (1,03) 4 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03) 12−n 12.298.739 + 22.510.176 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03) 12−n 64.808.915 = 80.000.000 (1,03) 12−n 0,810111438 = (1,03) 12−n log 0,810111438 = (12−n) log 1,03 −0,091455238 = (12−n)(0,01283725) −0,091455238 = 0,15404652 − 0,01283725n n = 19,12417 meses n = 19 meses, 4 días Nota: Este mismo problema se puede resoIver aplicando la teoría de descuentos. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:16 AM 37 .
38 Matemáticas financieras Como el interés es compuesto, entonces se aplicará el descuento compuesto. Vn = Ve (1 + i) n Ve = V i n n 1+ ( ) 10 000 000 1 03 20 000 000 1 03 30 000 000 1 03 80 000 000 1 03 8 626 088 15 788 185 21 041 396 80 000 000 1 03 45 455 669 80 000 000 1 03 1 03 1 759956497 1 759956497 1 03 5 8 12 . . , . . , . . , . . , . . . . . . . . , . . . . , , , log , log , ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + + = ( ) = ( ) ( ) = = n n n n n n = 19,12417 meses n = 19 meses, 4 días Problemas propuestos 1. Se tienen dos documentos por $500.000 y $600.000 con vencimien- to a 6 meses y 5 meses, respectiva- mente. Con el fin de expedir un solo documento por $1.100.000 se ha pac- tado una tasa de descuento del 2,5% mensual, ¿a qué plazo debe expedirse el nuevo documento? Respuesta: 5,4545 meses 2. Resolver el problema anterior consi- derando como valor del nuevo docu- mento la suma de $1.500.000. Respuesta: 14,66 meses 3. ¿Qué tipo de vencimiento correspon- de al problema 1 y cuál al problema 2? Respuesta: Medio; común 4. Se tienen dos documentos por $ 1.000.000 y $2.000.000 con venci- mientos a un año y dos años, res- pectivamente. Si la tasa pactada es de 6,5% trimestral, ¿cuál será el plazo para un nuevo documento si se tiene en cuenta que se hará con vencimien- to medio? Respuesta: 6, 66 trimestres 5. Dos documentos por $200.000 y $300.000, respectivamente, vencen a los 2 años, 5 meses y 30 días, el pri- mero, y a 1 año, 3 meses y 90 días, el segundo. Se quiere elaborar un solo Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 38
39 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos documento por $600.000 con una tasa de 2,8% mensual, ¿cuál será el plazo para su vencimiento? Respuesta: 24,95 meses 6. El señor Pérez posee dos letras que suman $800.000, una de las cuales vence dentro de 5 meses y se descuen- ta en forma comercial al 3% mensual, la otra vence dentro de 10 meses y se descuenta en forma comercial al 3,5% mensual. Si hoy le ofrecen por ellas la suma de $620.000, ¿cuál será el valor nominal de cada una? Respuesta: $300.000 y $500.000, res- pectivamente 7. El señor Pérez tiene una letra por $xy la cual vence dentro 12 meses. El Ban- co leofrecedescontarlacomercialmen- te a una tasa i% y le entrega $260.000. Otra entidad le ofrece la misma tasa de descuento pero la operación la rea- liza en forma racional y le entrega $337.837,83. ¿Cuál es el valor nomi- nal de la letra y cuál es la tasa de des- cuento que ofrecen las corporaciones? Respuesta: $500.000; 4% Autoevaluación 1. El señor Pérez tiene en su poder una letra de $1.000.000 que vence dentro de 5 meses y reconoce intereses del 2,5% mensual simple, y quiere nego- ciarla con el Banco en forma comer- cial; el banco acepta la letra pero la descuenta al 3% mensual. ¿Cuál es el precio de la letra? 2. Resolver el problema anterior en for- ma racional. 3. Resolver el problema 1 considerando el descuento compuesto. 4. Una letra de $200.000 se descuenta a 7 meses en forma comercial y con una tasa de descuento del 3% mensual. ¿Cuál es el valor del descuento? 5. Una letra de $300.000 se descuenta en forma comercial al 3% mensual. Si el descuento fue de $50.000, ¿qué tiempo faltará para el vencimiento? 6. Una letra tiene impreso el valor de $500.000; si se descuenta en forma racional al 3% mensual, ¿cuál será el periodo de redención si tiene un va- lor efectivo de $400.000? 7. El señor Pérez tiene una letra de $1.000.000 con vencimiento dentro de un año, cuatro meses, diez días. Si fue- ra a hacerse efectiva hoy, consideran- do una tasa de descuento del 2% mensual y realizando la operación en forma comercial, ¿cuál es el valor ac- tual de la letra? 8. Con los datos del problema anterior, calcular la tasa de descuento. 9. Una letra vence dentro de 8 meses y estipula una tasa de descuento del 3% mensual. Si se calculan los descuen- tos comercial y racional se hallará en- tre ellos una diferencia de $46.451,62. ¿Cuál será el valor nominal de la le- Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 39 .
40 Matemáticas financieras tra? Calcular cada uno de los descuen- tos citados. 10. El señor Pérez tiene una letra de $500.000 a una tasa de interés sim- ple del i% y con vencimiento dentro de 10 meses. Si dentro de 6 meses se negocia esa letra con el Banco en forma comercial, se acepta al Banco la suma de $400.000 por ella y se re- conoce un descuento de $180.000, ¿cuál fue la tasa de interés pactada inicialmente y cuál la tasa de des- cuento? Respuestas a la autoevaluación 1. F = Vn F = P(1 + in ) = 1.000.000[ 1 + (0,025)(5)] F = $1.125 .000 Dc = Vn in = 1.125.000(0,03)(5) = $168.750 Ve = Vn − Dc = 1.125.000 − 168.750 = $956.250 2. F = $1.125.000 F = Vn El descuento es igual a Dr = Ve in = 978.260,86(0,03)(5) = $146.739,13 3. F=P(1 + i) n F = 1.000.000(1,025) 5 = $1.131.408,21 F= Vn D′ c = $155.445,54 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 40
41 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 4. Dc = Vn in Dc = (200.000)(7)(0,03) = $42.000 5. Dc = Vn in 6. Ve = $400.000 Vn = $500.000 i = 0,03 n = ? n = 8,3333 meses 7. meses Vn = $1.000.000 i = 0,02 mensual Dc = Vn in = (1.000.000)(0,02)(16,3333) Dc = $326.366,66 Ve = Vn − Dc = 1.000.000 − 326.666,66 Ve = $673.333,34 8. Vn = $ 1.000.000 Ve = $673.333,34 n = 16,33333 meses i =? Dc = $326.666,66 Dc = Vn in i = 2% mensual 9. n = 8 meses i = 0,03 Dc − Dr = 46.451,62 Sin embargo, Dc = Vn in 0,0576 Vn = (46.451,62)(1,24) Vn = 1.000.000 Dc = Vn in Dc = 1.000.000 (0,03)(8) = 240.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 41 .
42 Matemáticas financieras 10. Ve = $400.000 n = 10 meses Dc = $180.000 n = 4 meses para descuento Dc = Vn in Vn =Ve + Dc Vn = 400.000 + 180.000 = 580.000 (tasa de descuento) F = P(1 + in) i = 1,6% (tasa de interés) Actividades de repaso 1. Enuncie el principio de equivalencia. 2. ¿Qué es un descuento? 3. ¿Cuál es la diferencia entre descuen- to e interés simple? 4. Defina valor nominal y valor efectivo. 5. Defina descuento comercial. 6. Defina descuento racional. 7. ¿Cuál es la diferencia entre descuen- to racional y descuento comercial? 8. Defina descuento compuesto. 9. ¿Cuál es la diferencia entre descuen- to compuesto y los descuentos co- mercial y racional? 10. ¿Cuál de los tres descuentos es ma- yor? 11. Si a usted fuera a descontársele una letra, ¿cuál descuento elegiría? 12. Si usted es quien va a efectuar el des- cuento, ¿cuál descuento elegiría y por qué? 13. Defina vencimiento medio. 14. Defina vencimiento común. 15. ¿Cuál es la diferencia entre venci- miento medio y vencimiento común? Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 42
43 Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad ■ Justificación La mejor herramienta para medir el costo de un crédito o la renta- bilidad de una inversión es la tasa de interés efectiva. Por lo general, cuando se habla de tasas de interés se hace refe- rencia a tasas nominales; por esta razón es necesario aprender a calcular las tasas de interés efectivas con las cuales se medirán los costos de un crédito y la rentabilidad de una inversión. Asimismo, es necesario aprender a hacer todas las conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés. ■ Objetivo general Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de interés nominal dada, o viceversa. ■ Objetivos específicos ■ Definir e interpretar el concepto de tasa de interés nominal. ■ Definir e interpretar el concepto de tasa de interés efectiva. ■ Calcular una tasa de interés efectiva anual cuando se conoce la tasa de interés nominal anual, con capitalización vencida y anticipada. ■ Hacer el mismo tipo de cálculo pero a la inversa. ■ Calcular una tasa de interés efectiva periódica cuando se cono- ce una tasa de interés nominal anual, y viceversa. ■ Calcular una tasa de interés efectiva anual conociendo la co- rrección monetaria. ■ Calcular el interés real en el año. ■ Calcular la tasa de interés efectiva cuando intervienen comi- siones, timbres, etc. ■ Calcular el costo de un crédito. ■ Calcular la rentabilidad en moneda corriente. ■ Calcular la rentabilidad en moneda extranjera. ■ Estimar cuándo puede invertirse en una moneda extranjera determinada. Capitulo 3 1/20/06, 10:28 AM 43 .
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  • 1. LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS GRATIS EN DESCARGA DIRECTA SIGUENOS EN: VISITANOS PARA DESARGALOS GRATIS.
  • 2. Diseño cubierta Digital SP Cia creativa Incluye CD Esta nueva edición desarrolla los programas académicos de Matemáticas financieras e Ingeniería económica, en once capítulos que han sido reestructurados y actualizados pensando en la dinámica que debe tener todo currículo. Se ampliaron los capítulos siguientes: - : incluye el tema de las ecuaciones de valor. - : incluye los temas sobre tasas de cambio y devaluaciones entre dos monedas, lo mismo que las tasas de cambio y las devaluaciones cruzadas con otras monedas. - : contempla todos los sistemas de amortización en UVR y en pesos. - : presenta las diversas modalidades del gradiente, aritmético y geométrico. - : se adicionó el tema que relaciona la tasa interna de retorno con el valor presente neto y los flujos de caja descontados. - : el apéndice respectivo se amplió con 100 problemas entre propuestos y resueltos, con el fin de proporcionarle al lector una herramienta más para la solución de sus propios problemas. Adicionalmente, el texto contiene un CD-ROM con tres calculadoras que le permitirán al usuario resolver los siguientes problemas: - Encontrar las tasas de interés equivalentes a otra tasa cualquiera. Basta digitar en la calculadora la tasa de interés conocida e inmediatamente aparecerán sus respectivas tasas equivalentes. - Conocer la situación de un crédito bancario mediante una tabla de amortización debidamente detallada para cualquiera de los sistemas de amortización que operan en el mercado financiero colombiano, para créditos de vivienda y de libre inversión. En esta tabla se podrá apreciar cuánto se paga en una cuota por concepto de capital, cuánto por IPC y cuánto por intereses propiamente dichos. Estas modificaciones ponen la obra a tono con las exigencias de un mundo en constante cambio que exige que los profesionales del área se mantengan actualizados. Principio de la equivalencia financiera Tasas de interés Sistemas de amortización Gradientes Tasa interna de retorno Problemas propuestos y resueltos ISBN-13:978-958-41-0362-8 ISBN-10:958-41-0362-8 9 789584 103628 .
  • 4. Matemáticas financieras Tercera edición ALBERTO ÁLVAREZ ARANGO Ingeniero industrial Universidad Autónoma Latinoamericana Profesor universitario Revisión técnica ALEJANDRO USECHE Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Ciudad de México NuevaYork • Ciudad de Panamá • San Juan • Santiago de Chile • São Paulo Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • París San Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Toronto Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 1 .
  • 5. MATEMÁTICAS FINANCIERAS, Tercera edición. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Derechos reservados. Copyright © 2005, por Alberto Álvarez Arango Derechos reservados. Copyright © 2005, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A. Cra 11 No. 93 - 46. Bogotá, D.C., Colombia Editora: Lily Solano Arévalo Jefa de produción: Consuelo Ruiz M. Diagramación y armada electrónica: Yolanda Alarcón V. 3012456789 30123467895 Impreso en Colombia Printed in Colombia Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 2 Impresor: Legis S.A. ISBN 10: 958-41-0362-8 ISBN 13: 978-958-41-0362-8
  • 6. A mi esposa, Astrid, y a mis hijos, Ricardo Alberto, Víctor Hugo y Gabriel Darío, quienes son la fuente inmanente de mi vida. Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 3 .
  • 8. v Contenido Prefacio Notas preliminares .......................................................................................xv Justificación........................................................................................................................ xv Objetivo general.................................................................................................................. xv Objetivos específicos .......................................................................................................... xv Logaritmos ......................................................................................................................... xvi Definición..................................................................................................................... xvi Propiedades de los logaritmos ...................................................................................... xvi Logaritmo de un producto ...................................................................................... xvii Logaritmo de un cociente ....................................................................................... xvii Logaritmo de una potencia ..................................................................................... xvii Logaritmo de una raíz............................................................................................. xvii Series o progresiones ........................................................................................................ xvii Progresión aritmética................................................................................................... xvii Suma de los términos de una progresión aritmética ........................................................ xviii Progresión geométrica ........................................................................................... xviii Suma de los términos de una progresión geométrica ................................................... xix El número e......................................................................................................................... xx Factores a interés compuesto ....................................................................................... xxii Nomenclaturas diferentes pero equivalentes .......................................................... xxii Capítulo 1 Interés ......................................................................................... 1 Justificación.......................................................................................................................... 1 Objetivo general.................................................................................................................... 1 Objetivos específicos ............................................................................................................ 1 Conducta de entrada ............................................................................................................. 2 Respuestas a la conducta de entrada................................................................................ 2 Interés ................................................................................................................................... 3 Definición........................................................................................................................ 3 Diagramas económicos ................................................................................................... 4 Interés simple .................................................................................................................. 6 Interés compuesto ............................................................................................................ 8 Valor futuro de una suma presente ............................................................................. 9 Valor presente de una suma futura ........................................................................... 10 Diferencia entre interés compuesto e interés simple ..................................................... 12 Problemas propuestos ......................................................................................................... 16 Autoevaluación ............................................................................................................... 16 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 5 .
  • 9. Matemáticas financieras vi Respuestas a la autoevaluación........................................................................................... 17 Actividades de repaso ......................................................................................................... 18 Capítulo 2 Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos.... 19 Justificación........................................................................................................................ 19 Objetivo general.................................................................................................................. 19 Objetivo específico ............................................................................................................. 19 Conducta de entrada ........................................................................................................... 20 Respuestas a la conducta de entrada.............................................................................. 20 Principio de equivalencia.................................................................................................... 21 Descuento (D)................................................................................................................ 21 Valor nominal (Vn).................................................................................................... 21 Valor efectivo (Ve)..................................................................................................... 21 Descuento comercial (Dc) ........................................................................................ 22 Descuento racional (Dr) ........................................................................................... 22 Descuento compuesto (D’c)...................................................................................... 24 Vencimientos ................................................................................................................. 25 Vencimiento medio................................................................................................... 25 Vencimiento común.................................................................................................. 26 Ecuaciones de valor ............................................................................................................ 29 Problemas propuestos ......................................................................................................... 38 Autoevaluación ................................................................................................................... 39 Respuestas a la autoevaluación........................................................................................... 40 Actividades de repaso ........................................................................................................ 42 Capítulo 3 Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad .................... 43 Justificación........................................................................................................................ 43 Objetivo general.................................................................................................................. 43 Objetivos específicos .......................................................................................................... 43 Conducta de entrada ........................................................................................................... 44 Respuestas a la conducta de entrada.............................................................................. 44 Tasa nominal y tasa efectiva ............................................................................................... 45 Tasa nominal.................................................................................................................. 45 Tasa efectiva .................................................................................................................. 45 Deducción de fórmulas.................................................................................................. 47 Capitalizaciones vencidas ........................................................................................ 47 Capitalizaciones anticipadas .................................................................................... 50 Cálculo de una tasa efectiva periódica cuando se conoce otra tasa efectiva periódica ................................................................................................ 53 Cálculo de una tasa efectiva anual cuando interviene el IPC ................................... 56 Interés realmente cobrado en el año ......................................................................... 57 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 6
  • 10. Contenido vii Cálculo de la tasa de interés cuando intervienen otros elementos como comisiones, estudio del crédito, papelería, timbres, dividendos, etc. ....... 57 Aplicaciones de las tasas de interés .................................................................................... 60 En moneda corriente...................................................................................................... 60 En moneda extranjera .................................................................................................... 63 Inflación.............................................................................................................................. 63 Causas de la inflación......................................................................................................64 Efectos de la inflación.....................................................................................................65 Otras tasas de interés .......................................................................................................... 67 Relaciones entre estas tasas de interés .......................................................................... 68 Cálculo de la devaluación ................................................................................................... 68 Tasa de cambio (TC)........................................................................................................... 68 Devaluación (DEV) ............................................................................................................ 70 Tasas de cambio y devaluaciones cruzadas ................................................................... 72 Problemas propuestos ......................................................................................................... 76 Autoevaluación ................................................................................................................... 78 Respuestas a la autoevaluación........................................................................................... 80 Actividades de repaso ......................................................................................................... 84 Capítulo 4 Anualidades y capitalización continua....................................... 85 Justificación........................................................................................................................ 85 Objetivo general.................................................................................................................. 85 Objetivos específicos .......................................................................................................... 85 Conducta de entrada ........................................................................................................... 87 Respuestas a la conducta de entrada.............................................................................. 87 Anualidades ........................................................................................................................ 88 Anualidades vencidas .................................................................................................... 88 Anualidades indefinidas ................................................................................................ 93 Capitalización continua ............................................................................................ 95 Anualidades anticipadas .............................................................................................. 100 Anualidad anticipada con cuota al final ................................................................. 104 Liquidación de intereses sobre saldos mínimos ..................................................... 105 Cuotas anticipadas y periodo de pago menor que el periodo de capitalización ..... 105 Cuotas anticipadas y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización ..... 107 Cuotas vencidas ...................................................................................................... 110 Anualidades diferidas ............................................................................................. 112 Problemas propuestos ....................................................................................................... 114 Autoevaluación ............................................................................................................ 115 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 116 Actividades de repaso ....................................................................................................... 120 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 7 .
  • 11. Matemáticas financieras viii Capítulo 5 Gradiente ................................................................................ 121 Justificación...................................................................................................................... 121 Objetivo general................................................................................................................ 121 Objetivos específicos ........................................................................................................ 121 Conducta de entrada ......................................................................................................... 122 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 122 Gradiente aritmético ......................................................................................................... 123 Gradientes ......................................................................................................................... 132 Gradiente aritmético (lineal) diferido ............................................................................... 132 Gradiente aritmético infinito ............................................................................................ 134 Gradiente aritmético (lineal) escalonado .......................................................................... 139 Gradiente aritmético infinito y escalonado ...................................................................... 141 Gradiente geométrico o (exponencial) ............................................................................. 142 Gradiente geométrico infinito .......................................................................................... 146 Gradiente geométrico escalonado ............................................................................... 149 Gradiente geométrico infinito y escalonado..................................................................... 151 Problemas propuestos ....................................................................................................... 159 Autoevaluación ............................................................................................................ 160 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 162 Actividades de repaso ....................................................................................................... 166 Capítulo 6 Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR 167 Justificación...................................................................................................................... 167 Objetivo general................................................................................................................ 167 Objetivos específicos ........................................................................................................ 167 Conducta de entrada ......................................................................................................... 169 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 169 Amortizaciones................................................................................................................. 170 Sistemas simples............................................................................................................... 171 Cuota única al final del periodo .................................................................................. 172 Cuota periódica uniforme ............................................................................................ 172 Cuota periódica creciente linealmente ........................................................................ 182 Cómo calcular el saldo con este plan .......................................................................... 187 Cuota periódica decreciente linealmente..................................................................... 193 Cuota periódica creciente geométricamente................................................................ 195 Sistemas integrados ..................................................................................................... 198 Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos................ 198 Anualidad creciente geométricamente ........................................................................ 202 Sistemas agregados........................................................................................................... 208 Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final ................................................... 209 Anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmente y anticipada ............................................................................................................ 211 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 8
  • 12. Contenido ix Sistema de valor constante ............................................................................................... 218 Sistema UPAC y Sistema UVR ................................................................................... 218 Comparación entre el sistema UPAC y el sistema UVR....................................................220 Planes de amortización para créditos de vivienda ....................................................... 221 Sistema de cuota constante en pesos ........................................................................... 222 Explicación de la tabla de amortización en el sistema de cuota constante (fija) en pesos. .............................................................................................. 223 Calculo de la tasa de interés realmente cobrada en un crédito...........................................225 Sistema de cuota constante en pesos con abono extraordinario no pactado ......................227 Sistema de abono constante a capital en pesos...................................................................229 Sistema de abono constante en U.V.R.................................................................................231 Sistema de abono constante a capital en U.V.R..................................................................233 Problemas propuestos ....................................................................................................... 240 Autoevaluación ............................................................................................................ 241 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 243 Actividades de repaso ....................................................................................................... 258 Capítulo 7 Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente ........ 259 Justificación...................................................................................................................... 259 Objetivo general................................................................................................................ 259 Objetivos específicos ........................................................................................................ 259 Conducta de entrada ......................................................................................................... 260 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 260 Métodos para evaluar alternativas .................................................................................... 261 Valor presente neto (VPN)................................................................................................ 263 Alternativas con vidas útiles iguales ........................................................................... 265 Alternativas con vidas útiles diferentes ....................................................................... 267 Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ...................................................................... 269 Fondo de amortización de salvamento ........................................................................ 269 Valor presente de salvamento ...................................................................................... 270 Recuperación de capital más intereses ........................................................................ 271 Costo capitalizado ............................................................................................................ 274 Problemas propuestos ....................................................................................................... 280 Autoevaluación ............................................................................................................ 281 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 282 Actividades de repaso ....................................................................................................... 288 Capítulo 8 Evaluación financiera de alternativas de inversión ................... 289 Justificación...................................................................................................................... 289 Objetivo general................................................................................................................ 289 Objetivos específicos ........................................................................................................ 289 Conducta de entrada ......................................................................................................... 290 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 9 .
  • 13. Matemáticas financieras x Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 290 Cálculo del punto de equilibrio ........................................................................................ 291 Sensibilidad ...................................................................................................................... 294 Análisis ............................................................................................................................. 294 Punto de equilibrio con más de dos alternativas............................................................... 296 Problema del reemplazo ................................................................................................... 303 Beneficio neto .................................................................................................................. 307 Tasa de Actualización Social (is)................................................................................. 307 Beneficio neto (BN) .................................................................................................... 307 Beneficio neto diferencial BN (i-j) ............................................................................. 307 Relación beneficio-costo .................................................................................................. 310 Análisis de alternativas mediante las tasas de rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra ................................................................................................... 311 Problemas propuestos ....................................................................................................... 315 Autoevaluación ............................................................................................................ 317 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 322 Actividades de repaso ....................................................................................................... 334 Capítulo 9 Tasa interna de retorno ........................................................... 335 Justificación...................................................................................................................... 335 Objetivo general................................................................................................................ 335 Objetivos específicos ........................................................................................................ 335 Conducta de entrada ......................................................................................................... 336 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 336 Tasa interna de retorno ..................................................................................................... 337 Tasa interna de retorno vs. valor presente neto................................................................. 351 Flujo de caja después de impuestos .................................................................................. 355 Cálculo de la TIR después de impuestos ..................................................................... 356 Cálculo del CAUE ....................................................................................................... 357 Problemas propuestos ....................................................................................................... 361 Autoevaluación ............................................................................................................ 361 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 363 Actividades de repaso ....................................................................................................... 374 Capítulo 10 Bonos .................................................................................... 375 Justificación...................................................................................................................... 375 Objetivo general................................................................................................................ 375 Objetivos específicos ........................................................................................................ 375 Conducta de entrada ......................................................................................................... 376 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 376 Bonos ................................................................................................................................ 377 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 10
  • 14. Contenido xi Bonos sin sorteo emitidos a la par............................................................................... 378 Bonos sin sorteo emitidos bajo la par.......................................................................... 379 Bonos con sorteo emitidos a la par.............................................................................. 381 Bonos con sorteo emitidos bajo la par ........................................................................ 386 Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con lote........................................................ 387 Bonos emitidos en serie............................................................................................... 388 Problemas propuestos ....................................................................................................... 395 Autoevaluación ............................................................................................................ 396 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 397 Actividades de repaso ....................................................................................................... 402 Capítulo 11 Activos financieros y bolsa de valores .................................. 403 Justificación...................................................................................................................... 403 Objetivo general................................................................................................................ 403 Objetivos específicos ........................................................................................................ 403 Conducta de entrada ......................................................................................................... 404 Respuestas a la conducta de entrada............................................................................ 404 La bolsa de valores ........................................................................................................... 405 ¿Qué es la bolsa de valores? ........................................................................................ 405 ¿Quién es el comisionista de bolsa? ............................................................................ 405 ¿Qué operaciones realiza la bolsa de valores? ............................................................ 405 ¿Qué es una acción? .................................................................................................... 405 ¿Qué es un dividendo?................................................................................................. 406 ¿Qué es un ADR? ........................................................................................................ 406 ¿Qué es el CERT?........................................................................................................ 406 ¿Qué es el emisor?....................................................................................................... 406 ¿Qué es el mercado primario? ..................................................................................... 406 ¿Qué es la liquidez primaria? ...................................................................................... 406 ¿Qué es el mercado secundario? ................................................................................. 406 ¿Qué es el mercado negro?.......................................................................................... 407 ¿Qué es la liquidez secundaria?................................................................................... 407 ¿Qué es un mercado firme?......................................................................................... 407 ¿Qué es un mercado ofrecido? .................................................................................... 407 ¿Qué es una operación carrusel? ................................................................................. 407 ¿Qué es un mercado repo?........................................................................................... 407 ¿Qué es una operación swap? ...................................................................................... 407 Clases de activos ............................................................................................................... 408 Activos monetarios ...................................................................................................... 408 Activos reales .............................................................................................................. 408 Otros activos ................................................................................................................ 408 Activos financieros...................................................................................................... 408 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 11 .
  • 15. xii Activos financieros que devengan interés ................................................................... 409 Tasa de registro ............................................................................................................ 411 Tasa para el comprador................................................................................................ 411 Tasa de cesión .............................................................................................................. 412 Con liquidación de intereses en forma anticipada.................................................. 413 Precio de registro ......................................................................................................... 416 Precio de compra ......................................................................................................... 417 Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención........................ 419 Activos financieros que se negocian a descuento ....................................................... 422 Activos financieros con IPC........................................................................................ 423 Activos financieros con devaluación ........................................................................... 423 Activos financieros con valorización .......................................................................... 425 Activos financieros de rentabilidad agregada ............................................................. 426 Con interés en dos tasas distintas ........................................................................... 426 Con interés y descuento.......................................................................................... 427 Con interés e IPC.................................................................................................... 428 Con interés y devaluación ...................................................................................... 428 Con interés y valorización ...................................................................................... 429 Con descuento y devaluación ................................................................................. 430 Problemas propuestos ....................................................................................................... 430 Autoevaluación ............................................................................................................ 431 Respuestas a la autoevaluación......................................................................................... 432 Actividades de repaso ....................................................................................................... 438 Apéndice A Problemas adicionales propuestos .................................................................................... 439 Apéndice B Problemas propuestos y resueltos ..................................................................................... 459 Bibliografía ....................................................................................................................... 483 Índice ................................................................................................................................ 485 Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 12
  • 16. xiii Prefacio Una de las características más relevantes del mundo globalizado son los cambios vertiginosos en todos sus ámbitos, en especial en el tecnológico, el económico y el financiero, los cuales son deter- minantes en el afianzamiento cultural de los países. Así mismo, las matemáticas financieras evolucionan constantemente, en la medida que cambia el escenario sobre el cual actúan. Por ello, consciente de la dinámica que reviste todo programa académico, en esta tercera edición se actualizan los contenidos y se profundiza sobre los capítulos siguientes: - En el capítulo 2 se incluye el tema de las ecuaciones de valor, fundamentalmente para la reestructuración de obligaciones bancarias. - En el capítulo 3, el tema de las tasas de interés se complementa con el de las tasas de cambio y la devaluación, tanto entre dos monedas como entre varias monedas. - En el capítulo 5, el tema de los gradientes se complementa con todos los diversos tipos de gradientes, aritméticos y geométricos, para proporcionarle al estudiante un conocimiento básico para acometer posteriormente el estudio de temas rela- cionados con proyectos, costos de capital y rentas variables, entre otros. - En el capítulo 6 se hace una breve reseña histórica del aspecto financiero del sistema UPAC y su transición al sistema UVR, del cual se estudian todas sus aplicaciones a las operaciones financieras, entre ellas, los diversos planes de amortización. - En el capítulo 9 se da más claridad al tema de la Tasa Interna de Retorno y su relación con el Valor Presente Neto. También se recalca la gran diferencia que existe entre la Tasa Interna de Retorno y la tasa que indica la verdadera rentabilidad de un Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 13 .
  • 17. xiv proyecto, cuando hay capitales que salen de éste para generar nuevos rendimientos. - Los capítulos restantes se conservan de la edición anterior por su vigencia tanto en los programas académicos de las universi- dades como en el ejercicio práctico de los profesionales del área financiera. - Adicionalmente, el texto se acompaña de un CD-ROM donde el estudiante encontrará unas calculadoras que le facilitarán los cálculos en operaciones relacionadas con estos temas, y los diversos planes de amortización para que el estudiante pueda poner en práctica los conocimientos teóricos expuestos en el libro. Por todo lo anterior, no cabe duda de que este libro contribuirá de manera decisiva en la formación de profesionales más compe- titivos, condición obligada para el éxito en la sociedad globalizada de hoy. El autor Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 14
  • 18. Contenido xv Notas preliminares ■ J u s t i f i c a c i ó n Con el fin de proporcionar una mayor ayuda al lector, se incluyen estas notas preliminares como un repaso de aquellos conceptos matemáticos sobre los cuales se basa en gran parte el contenido del texto. En la mayor parte de los casos, el lector ha olvidado los con- ceptos de progresiones aritméticas y geométricas, de logaritmos, en fin, se ha olvidado un poco de su formación matemática. Por esta razón es necesario familiarizarse nuevamente con es- tos temas y nada más apropiado que proporcionar la información adecuada para una buena nivelación. ■ Objetivo general Obtener una nivelación adecuada para iniciar el curso de matemá- ticas financieras. ■ Objetivos específicos ■ Hallar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética y de una geométrica. ■ Diferenciar las propiedades de los logaritmos. Preliminares 1/20/06, 10:08 AM 15 .
  • 19. Matemáticas financieras xvi Logaritmos 씰 D e f i n i c i ó n El logaritmo de un número es el exponente al cual debemos elevar un número llamado base para obtener el número dado. Ejemplo: 6 0 = 1 Base: 6 Exponente: 0 Número: 1 El logaritmo de 1 es cero (0), ya que cero (0) es el exponente al cual debe elevarse la base seis (6) para obtener el número uno (1). Nota. Todo número elevado a un exponente cero (0) da como resultado el número uno (1). Toda magnitud o número dividido por sí mismo da como resultado el número uno (1). Así: 1 1 = 1 2 2 = 1 a a = 1 c c = 1 10 10 = 1 5 5 = 1 Luego, 6 6 2 2 = 1 porque 36 36 = 1 entonces, 6 6 2 2 = 6 2-2 = 6 0 = 1 Por consiguiente, 6 0 = 1 씰 Propiedades de los logaritmos 1. Los números negativos no tienen logaritmo. 2. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 16
  • 20. Notas preliminares xvii 3. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero. 4. Todo número mayor que la unidad tendrá logaritmo positivo. 5. Todo número no negativo menor que la unidad tendrá logaritmo negativo. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log (2)(4) = log 2 + log 4 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. log 4 3 = 3 log 4 El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre el índice de la raíz. Nota. Luego, Nota. El logaritmo de una suma algebraica no está definido. Series o progresiones Una serie es una sucesión de términos que obedecen a una ley de formación. Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12 4, 8, 16, 32 Progresión aritmética (PA) es una serie en la cual cada término se forma al sumar al anterior una cantidad fija llamada razón. Ejemplo:2, 4, 6, 8, 10 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 17 .
  • 21. Matemáticas financieras xviii En este caso, la razón es 2 El primer término es 2 El último término es 10 씰 Suma de los términos de una progresión aritméti- c a Se tiene la siguiente progresión aritmética: a, b, c, d, … r, s, t, u La suma será Suma = a + b + c + d + … + r + s + t + u (1) Si se invierte el orden, Suma = u + t + s + r +… + d + c + b +a (2) Al sumar (1) + (2) se obtiene: 2 Suma = (a + u) + (b + t) + (c + s) + (d + r) +… + (r + d) + (s + c) + (t + b) + (u + a) Es una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los dos términos extremos, así: 2 Suma = (a + u)n Progresión geométrica (PG) es una serie en la cual cada término se forma al multiplicar el anterior por una cantidad fija llamada razón. Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32 La razón es 2 r = 2 El primer término es 2 a = 2 El último término es 32 u = 32 El número de términos es 5 n = 5 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 18
  • 22. Notas preliminares xix 씰 Suma de los términos de una progresión geométrica Se tiene la siguiente progresión geométrica: a, b, c, d, …s, t, u La razón es r, Suma = a + b + c + d +… + s + t +u (1) Se multiplica por la razón cada uno de los miembros de la igualdad: (Suma) r = ar + br + cr +dr +… + sr + tr + ur (2) Se resta de (2) la serie (1): Porque ar = b cr = d br = c dr = e Al factorizar se obtiene: Suma (r − 1) = ur - a Luego, con r > 1 Si se quiere expresar la suma únicamente en función del primer término, entonces bastará con reemplazar u por su equivalente: u = ar n − 1 Luego, con r > 1 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 19 .
  • 23. Matemáticas financieras xx Con esta expresión se calcula la suma de los términos de una progresión geométrica creciente. Si la progresión geométrica es decreciente, la expresión será la siguiente: El número e Se define como el valor de la función exponencial en 1 y se expresa como e = exp 1 Esta letra se escogió en memoria de Leonhard Euler y se llama número de Euler, el cual no puede expresarse como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. El núme- ro e es una constante que equivale a 2,71828182846. Considérese la función logarítmica natural: f (x) = ln x La derivada de f está dada por f ′ (x) = 1/x. Luego, f ′ (1) = 1 Mediante la definición de la derivada y calculando f‘ (1) se tiene: Luego, Al reemplazar ∆x por k se obtiene: Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 20
  • 24. Notas preliminares xxi La función exponencial y la función logaritmo natural son funciones inversas, entonces Además, la función exponencial es continua y existe y es igual a 1. Luego, Así, Ahora se comprueba que el límite existe: f (k) = (1 + k) 1/k A continuación se determinan los valores de la función para algunos valores de k que están muy cerca de cero, pero sin llegar a ser cero. Este cuadro indica que cuando k tiende a cero, el límite de (1 + k) 1lk es un valor com- prendido entre 2,718268237 y 2,71829542. Estos valores corresponden a unos valores de k por encima y por debajo de cero, muy próximos a cero pero sin llegar a ser cero. Cuando k es igual a f (k) = (1 + k) 1/k 1 2 0,4 2,3191032 0,04 2,6658363 0,004 2,712865123 0,001 2,716923932 0,0001 2,7181459 0,00001 2,718268237 −0,00001 2,71829542 −0,0001 2,718417755 −0,001 2,719642216 −0,004 2,723738403 −0,04 2,77472006 −0,4 53,586095691 Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 21 .
  • 25. Matemáticas financieras xxii Fórmula Terminología Terminología Terminología Terminología matemática de Grant tabl. Suramericana Tarquín Taylor (1 + i)n (CAF′, i%, n) (1 + i)n (F/P, i%, n) SP CAP i% n (PWF´, i%, n) (P/F, i%, n) SP PWF i% n (CAF, i%, n) Sn (A/F, i%, n) SF DF i% n (SFF, i%, n) (A/F, i%, n) SF DF i% n (PWF, i%, n) an (P/A, i%, n) US PWF i% n (CRF, i%, n) (A/P, i%, n) CRF i% n n V 1 1+ ( ) i n 1 1 + ( ) − i i n i i n 1 1 + ( ) − 1 1 1 + ( ) − + ( ) i i i n n i i i n n 1 1 1 + ( ) + ( ) − 1 an 1 Sn 씰 Factores a interés compuesto Nomenclaturas diferentes pero equivalentes Preliminares 1/20/06, 10:09 AM 22
  • 26. Interés ■ Justificación En este capítulo el lector aprenderá a definir una serie de concep- tos como interés, valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempo o periodos de pago. Asimismo comprenderá el concepto del valor del dinero en el tiempo y aprenderá a manejar los diagramas económicos o líneas de tiempo como una herramienta para visualizar y analizar los problemas financieros. Después de entender lo anterior, se iniciará el estudio del inte- rés simple y del interés compuesto estableciendo con claridad las características de cada uno de ellos y, en consecuencia, sus dife- rencias. Al concluir esta etapa, el estudiante estará en capacidad de ini- ciar el cálculo de algunas operaciones financieras. ■ Objetivo general Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto a par- tir de su definición. ■ Objetivos específicos ■ Interpretar los diagramas económicos. ■ Establecer una clara diferencia entre interés simple e interés compuesto. ■ Calcular a interés simple: • El valor presente de una suma futura. • El valor futuro de una suma presente. • El valor futuro de una serie de cuotas iguales, en forma ven- cida o anticipada. ■ Calcular a interés compuesto: • El valor presente de una suma futura. • El valor futuro de una suma presente. ■ Resolver unos casos de la vida real. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM 1 .
  • 27. Matemáticas financieras 2 Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta. 1 En la progresión aritmética 2, 4, 6, …96, 98 la suma de sus términos es: a. 2.400 b. 2.450 c. 2.350 d. 1.450 e. 2.550 2 En la progresión geométrica −81, −27, −9, −3, −1, ... su razón es: a. 3 b. − 1 3 c. a d. 1 3 e. −3 3 Si log 10 = 1, log 100 = 2, entonces 5 log 10.000 es igual a: a. 20 b. 15 c. 10 d. 50 e. 25 4 El valor de x en la ecuación log7 x = 3 es: a. 49 b. 21 c. 434 d. 729 e. 343 5 Al expresar la relación en la ecuación 3 4 = 81 mediante notación logarít- mica, se obtiene: a. log3 4 = 81 b. log4 81 = 3 c. 4 = log3 81 d. log81 4 = 3 e. log81 = 3 Respuestas a la conducta de entrada 1. b 2. d 3. a 4. e 5. c Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM 2
  • 28. 3 Interés 씰 Definición El Diccionario Larousse Ilustrado, edición 5a. de 1990, define el interés así: Interés: “Lo que a uno le conviene. Beneficio que se saca del dinero prestado. Derecho eventual de alguna ganancia. Valor que en sí tiene una cosa”. Algunos autores lo definen como: 씰 “Valor del dinero en el tiempo”. 씰 “Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo”. 씰 “Utilidad o ganancia que genera un capital”. 씰 “Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un periodo determinado”. 씰 “Rendimiento de una inversión”. El pueblo dice: “Interés: ¿cuánto valés?” Todas estas definiciones son válidas. A continuación se presenta un ejemplo para aclarar lo expuesto. El señor Pérez le prestó al señor Gil la suma de $100, con la condición de que el señor Gil le devuelva la suma de $150 dos meses después. Como puede apreciarse, el señor Pérez se ganó $50 por prestarle $100 al señor Gil durante dos meses. Esto indica que los intereses fueron $50 durante los dos meses. Del problema planteado puede deducirse que: a. $100 representan el capital invertido, capital inicial, valor presente o valor actual del crédito. Este valor se denotará con la letra mayúscula P; por consiguiente P = 100. b. $150 representan el valor en el cual se transformaron $100 durante dos meses; es el valor inicial más los intereses, se denominará valor futuro y se representará con la letra F; por tanto, se define como el valor en el cual se convierte o transforma una suma de dinero durante un tiempo determinado, y a una tasa de interés acordada o pactada; F = 150. c. $50 representan el valor de un interés devengado por $100 prestados durante dos me- ses. Este valor se indica con la letra mayúscula I y se define como la diferencia entre el Capítulo 1 • Interés Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM 3 .
  • 29. Matemáticas financieras 4 valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de las definiciones dadas antes. I = F − P En el ejemplo, I = 150 − 100 = 50 y corresponde a un periodo de dos meses, el cual se denota con la letra minúscula n. Así, n = 2 meses. Por tanto, en porcentaje se tiene que 25 100 = 0,25; este valor corresponde a un Mes porcentual que indicará el valor de los intereses; este índice se denomina tasa de interés y se denota con la letra minúscula i. Luego, i = 25 100 = 0,25 Nótese que la tasa de interés no es más que la relación entre los intereses y el valor del crédito. i = I P = 25 100 = 0,25 = 25% Nota.Siemprequesetrabajeconproblemasfinancierosesnecesariotenerencuentaquelatasa de interés debe estar dada en función del periodo en el cual se trabaja el tiempo de las transac- ciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica debe ser trimestral. 씰 Diagramas económicos Consisten en la representación gráfica de un problema financiero. Su importancia radica en que permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis correcto. Un diagrama consta de lo siguiente: 1. Una línea horizontal en la cual se representan todos los periodos en los cuales se ha dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés. 2. Unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo, con las cuales se representa el flujo de caja (ingresos y egresos respectivamente). El ejemplo puede representarse así: Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 4
  • 30. Capítulo 1 • Interés 5 Ejemplo 1.1 Una persona invierte hoy $1.000 en una corporación que reconoce el 2% mensual. Si esta persona retira mensualmente los intereses y en el mes 36 retira el capital, ¿cuál es el diagrama económico? Ejemplo 1.2 Una persona hizo un préstamo de $5.000 en una corporación que cobra el 10% trimestral a interés simple. Si esta persona paga los intereses trimestralmente y el crédito se vence en un año, ¿cuál es el diagrama económico? Nota. Algunos autores no hablan de diagramas económicos, sino de “líneas de tiempo” o diagramas de flujo de caja. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 5 .
  • 31. Matemáticas financieras 6 씰 Interés simple Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando los intereses liquidados no se suman periódicamente al capital; es decir, los intereses no devengan interés. Sus características son las siguientes: 1. La tasa de interés siempre se aplicará sobre el capital inicial. 2. Por la misma razón puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada periodo. 3. Las tasas de interés simple se pueden dividir o multiplicar por cualquier número para hallar su equivalente en un periodo de capitalización distinto. Por ejemplo, dada una tasa de 24% anual simple, 24% anual simple/12 = 2% mensual simple 2% mensual simple × 12 = 24% anual simple 24% anual simple/4 = 6% trimestral simple Ejemplo 1.3 Un Banco otorga un crédito de $20.000 a 4 meses y a una tasa del 24% anual simple. ¿Qué interés simple se paga mensualmente? P = $20.000 i = 0,24 anual ó 0,02 mensual n = 4 meses I = (20.000) (0,02) = 400 luego, I = P · i · n Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 6
  • 32. Capítulo 1 • Interés 7 Si se desea averiguar el valor total de los intereses, I = 20.000 (0,02) (4) = 1.600 luego, I = Pin De esta expresión pueden despejarse las otras variables: P I in = i I Pn = n I Pi = Para calcular el valor futuro a interés simple es necesario sumar los intereses más el valor presente: F = P + I Pero, como I = Pin, entonces: F = P+ Pin F = P (1+ in) Al resolver el problema anterior, F = ? P = $20.000 i = 0,02mensual n = 4 meses Se tiene la expresión F =P (1+ in) F =20.000 [1 + (0,02)(4)] F =21.600 Comprobación: F =P + I F =20.000 + 1.600 F =21.600 De la expresión de valor futuro puede despejarse la variable de valor presente, así: F = P (1+ in) Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 7 .
  • 33. Matemáticas financieras 8 luego, Al resolver el ejemplo anterior, F = $21.600 i = 0,02mensual n = 4 meses P = ? 씰 Interés compuesto A diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización. Para comprender mejor esta definición, véase el ejemplo siguiente: Ejemplo 1.4 El señor Pérez deposita $100 en un Banco, el cual le reconoce una tasa de interés del 36% anual con capitalización trimestral. ¿Cuál será el valor ahorrado al finalizar el primer año? Como la tasa de interés dada es anual y la capitalización es trimestral, aquella debe expresarse en términos trimestrales. Luego, Ahora puede elaborarse la siguiente tabla: Periodo Valor Intereses Valor (n) presente (P) trimestre (I) futuro (F) 1 100 9 109 2 109 9,81 118,81 3 118,81 10,6929 129,50 4 129,50 11,6552 141,15 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 8
  • 34. Capítulo 1 • Interés 9 Gráficamente, el problema se representa así: Al interpretar este caso particular en forma general, se tiene: n = número de periodos de capitalización it = tasa de interés efectiva trimestral P = valor presente F = valor futuro Con base en esta tabla, puede observarse la ley de formación y encontrarse las expre- siones generales siguientes: Valor futuro de una suma presente • El valor futuro en un periodo n está dado por: F = P (1+i) n Periodo Valor Intereses Valor futuro (F) (n) Presente (P) trimestre (I) 1 P Pi P + pi = P (1 + i) 2 P (1 + i) P (1 + i)i P (1 + i) + P (1 + i)i = P (1+ i) 2 3 P (1 + i) 2 P (1 + i) 2 i P (1 + i) 2 + P (1 + i) 2 i =P (1+ i) 3 4 P (1 + i) 3 P (1 + i) 3 i P (1 + i) 3 + P (1 + i) 3 i =P (1+ i) 4 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 9 .
  • 35. Matemáticas financieras 10 • Los intereses correspondientes a un periodo n están dados por: In = iP (1+ i) n − 1 • El capital inicial para un periodo n está dado por: Pn = P (1+ i) n − 1 Valor presente de una suma futura A partir de lo anterior, también puede concluirse que: Ejemplo 1.5 Se depositan $100.000 en una corporación que reconoce el 32% anual con capitalización trimestral vencida. ¿Cuál será el valor acumulado al final de 2 años? P = $100.000 it = = 0,08 n = 8 trimestres F = ? F = P (1+i) n = 100.000 (1+0,08) 8 = 185.093 Considerando el mismo problema pero a interés simple, se tiene: F= P (1+in) F= 100.000 [1+0,08 (8)] = 164.000 Ejemplo 1.6 El señor Pérez necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícu- la de su hijo. Si una corporación le ofrece el 36% anual con capitalización bimestral, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo? Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 10
  • 36. Capítulo 1 • Interés 11 F = $300.000 n = 6 meses = 3 bimestres i = 0 36 6 , = 0,06 bimestral P = ? P = 300.000 (0,839619283) = 251.885,78 Si la variable a calcular fuera n, se tendría: F = P (1 + i) n 1,19101602321 = (1,06) n log 1,19101602321 = n log 1,06 0,075917604 = 0,025305865n n = 3 bimestres Si la variable a calcular fuera i: F = P (1 + i) n = (1 + i) n 1,06 = 1 + i i = 1,06 − 1 = 0,06 o 6% bimestral Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 11 .
  • 37. Matemáticas financieras 12 씰 Diferencia entre interés compuesto e interés simple Para comprender mejor esta diferencia véase la gráfica de los valores acumulados corres- pondientes a los intereses en el siguiente problema: P = $1.000.000, n = 6 meses, i = 0, 10. Interés simple I = Pin I1 = (1.000.000)(0,10)(1) = 100.000 I2 = (1.000.000)(0,10)(2) = 200.000 I3 = (1.000.000)(0,10)(3) = 300.000 I4 = (1.000.000)(0,10)(4) = 400.000 I5 = (1.000.000)(0,10)(5) = 500.000 I6 = (1.000.000)(0,10)(6) = 600.000 Interés compuesto I1 = Pi = (1.000.000)(0,10) = 100.000 I2 = I2 + I1 = (100.000)(1,10) + 100.000 = 210.000 I3 = I3 + I2 = (100.000)(1, 10) 2 + 210.000 = 331.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 12
  • 38. Capítulo 1 • Interés 13 I4 = I4 + I3 = (100.000)(1,10) 3 + 331.000 = 464.100 I5 = I5 + I4 = (100.000)(1,10) 4 + 464.100 = 610.510 I6 = I6 + I5 = (100.000)(1, 10) 5 + 610.510 = 771.561 Ejemplo 1.7 Se tiene un crédito de $5.000.000 a 24 meses y a una tasa del 5% mensual. a. Calcular los intereses y los saldos a interés simple e interés compuesto; b. Elaborar la gráfica. Interés simple Mes Monto Intereses Saldo 1 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.250.000,00 2 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.500.000,00 3 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.750.000,00 4 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.000.000,00 5 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.250.000,00 6 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.500.000,00 7 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.750.000,00 8 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.000.000,00 9 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.250.000,00 10 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.500.000,00 11 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.750.000,00 12 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.000.000,00 13 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.250.000,00 14 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.500.000,00 15 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.750.000,00 16 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.000.000,00 17 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.250.000,00 18 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.500.000,00 19 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.750.000,00 20 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.000.000,00 21 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.250.000,00 22 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.500.000,00 23 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.750.000,00 24 $5.000.000,00 $250.000,00 $11.000.000,00 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 13 .
  • 39. Matemáticas financieras 14 Interés compuesto Mes Monto Intereses Saldo 1 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.250.000,00 2 $5.250.000,00 $262.500,00 $5.512.500,00 3 $5.512.500,00 $275.625,00 $5.788.125,00 4 $5.788.125,00 $289.406,25 $6.077.531,25 5 $6.077.531,25 $303.876,56 $6.381.407,81 6 $6.381.407,81 $319.070,39 $6.700.478,20 7 $6.700.478,20 $335.023,91 $7.035.502,11 8 $7.035.502,11 $351.775,11 $7.387.277,22 9 $7.387.277,22 $369.363,86 $7.756.641,08 10 $7.756.641,08 $387.832,05 $8.144.473,13 11 $8.144.473,13 $407.223,66 $8.551.696,79 12 $8.551.696,79 $427.584,84 $8.979.281,63 13 $8.979.281,63 $448.964,08 $9.428.245,71 14 $9.428.245,71 $471.412,29 $9.899.658,00 15 $9.899.658,00 $494.982,90 $10.394.640,90 16 $10.394.640,90 $519.732,04 $10.914.372,94 17 $10.914.372,94 $545.718,65 $11.460.091,59 18 $11.460.091,59 $573.004,58 $12.033.096,17 19 $12.033.096,17 $601.654,81 $12.634.750,98 20 $12.634.750,98 $631.737,55 $13.266.488,53 21 $13.266.488,53 $663.324,43 $13.929.812,95 22 $13.929.812,95 $696.490,65 $14.626.303,60 23 $14.626.303,60 $731.315,18 $15.357.618,78 24 $15.357.618,78 $767.880,94 $16.125.499,72 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 14
  • 40. Capítulo 1 • Interés 15 Ejemplo 1.8 ¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 4% mensual? F = P(1 + i) n F = 2P 2P = P(1 + i) n 2 = (1,04) n log 2 = n log 1,04 0,301029 = n(0,0170333) n = 17,6729 meses Ejemplo 1.9 Resolver el problema anterior considerando el interés simple. F = P (1 + in) F = 2P 2P = P (1 + in) 2 = 1 + 0,04n 2 − 1 = 0,04n Comprobación: a. A interés compuesto F = 1 (1 + 0,04) 17,6729 F = 2 b. A interés simple F = 1(1 + in) F = 1[1 + (0,04)(25)] F = 2 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 15 .
  • 41. Matemáticas financieras 16 Problemas propuestos 1. Una persona recibe al final de cada mes y durante 10 meses la suma de $150.000; al principio de los meses tercero, cuarto, quinto y noveno debe pagar $200.000. Elaborar el diagra- ma económico. 2. Elaborar el diagrama económico para el siguiente cuadro: 3. ¿Cuántosenecesitadepositarhoyenuna corporación que reconoce el 3% men- sual para poder disponer de $5.000.000 alcabodeunaño?a. Resolverelproble- maainteréssimpleyainteréscompues- to; b. Sacar conclusiones. Respuesta: A interés simple: $3.676.470,58; a interés compuesto: $3.506.899,40 4. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es del 6% trimes- tral? Resolver el problema para interés simple y para interés compuesto. Respuesta: 33,33 trimestres; 18,85 trimestres. 5. Una propiedad adquirida hace tres años vale hoy $25.000.000; si la tasa de valorización ha sido del 28% anual simple durante los últimos tres años, ¿cuál era el precio de la propiedad en esa época? Respuesta: $13.586.956,52 Autoevaluación 1. El señor Pérez necesita disponer de $1.000.000 dentro de seis meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 28% anual con capitalización trimestral, ¿cuánto deberá depositar hoy para lo- grar su objetivo? 2. Si la variable a calcular fuera n, ¿cuál sería la solución? 3. ¿En cuánto tiempo se duplica un ca- pital en una corporación que recono- ce el 3% mensual? 4. Resolver el problema anterior pero considerando el interés simple. 5. ¿A cuánto equivalen hoy $5.000.000 que se entregarán dentro de un año si se considera una tasa de interés del 24% anual con capitalización anual? 6. Resolver el problema anterior pero considerando el interés simple. Expli- car la respuesta. 7. Si hoy se depositan $2.000.000 en una corporación que reconoce el 6% tri- mestral, ¿cuánto se tendrá ahorrado al final del quinto año? Mes Ingresos Egresos 1 $500.000 $1.000.000 2 300.000 0 3 2.800.000 300.000 4 1.000.000 70.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM 16
  • 42. Capítulo 1 • Interés 17 Respuestas a la autoevaluación 1. F = $1.000.000 n = 6 meses = 2 trimestres i = 0,28 anual = 0 28 4 , = 0,07 trimestral P = ? 2. F = P (1 + i)n 1,14490 = (1,07) n log 1,14490 = n log 1,07 n = 2 3. F = P (1 + i) n F = 2P 2P = P (1 + i) n 2 = (1 + i) n 2 = (1,03) n log 2 = n log 1, 03 n = 23,449772 meses 4. F = P (1 + in) F = 2P 2P = P (1 + in) 2 − 1 = in 1 = in 5. P = ? F = $5.000.000 n = 1 año i = 0,24 6. Las respuestas son iguales porque sólo hubo un periodo de capitalización. 7. P = 2.000.000 i = 0,06 trimestral n = 20 trimestres F = ? F = P (1+i) n F = 2.000.000 (1,06) 20 = 6.414.270,94 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 17 .
  • 43. Matemáticas financieras 18 Actividades de repaso 8. ¿Cómo define usted el interés simple? 9. ¿Cómo define usted el interés com- puesto? 10. ¿Cuáles son las características del interés simple y del interés com- puesto? 11. Con un ejemplo analítico y una grá- fica establezca las diferencias en- tre el interés simple y el interés compuesto. 1. ¿Qué es valor presente? 2. Defina valor futuro. 3. Defina tasa de interés. 4. Defina interés. 5. ¿Qué es un diagrama económico? 6. ¿De qué elementos consta un diagra- ma económico? 7. Proponga un ejemplo financiero y construya un diagrama económico. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 18
  • 44. 19 Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos ■ Justificación En este capítulo se estudiarán el principio de equivalencia o prin- cipio de equidad financiera y su aplicación a la teoría de los descuentos y los vencimientos, bajo las modalidades del interés simple y el interés compuesto. Con esto se pretende dar al lector la información suficiente para que se capacite en el manejo de los descuentos y vencimien- tos de documentos y pueda realizar las diferentes operaciones fi- nancieras que se le presenten en la práctica. ■ Objetivo general Establecer los parámetros para el cálculo de los descuentos y los vencimientos. ■ Objetivo específico ■ Utilizar el principio de equidad financiera o principio de equi- valencia para: • Calcular el descuento comercial. • Calcular el descuento racional. • Calcular el descuento compuesto. • Calcular el vencimiento medio. • Calcular el vencimiento común, en forma racional y en for- ma comercial. • Resolver problemas de la vida real. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 19 .
  • 45. 20 Matemáticas financieras Conducta de entrada 1 Elaborar un paralelo entre una opera- ción financiera a interés simple y otra a interés compuesto. 2 ¿Qué se entiende por capitalización? A continuación se presenta una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted consi- dere correcta. 3 Al cabo de seis meses, el valor futuro F de una inversión P = $10.000 al 3 % mensual simple es de: a. $11.800 b. $10.800 c. $12.800 d. $11.500 e. $9.800 4 Si el señor Cortés necesita $ 100. 000 dentro de un año, ¿cuánto debe de- positar hoy en una institución finan- ciera que reconoce el 2,5% mensual? a. $76.923,08 b. $78.923,08 c. $74.355,59 d. $75.355,59 e. $80.155,59 5 ¿Cuánto tiempo se necesita para con- vertir $25.000 en $40.025,81 si se de- positan en una corporación al 4% mensual? a. 10 meses b. 12 meses c. 15 meses d. 13 meses e. 9 meses Respuestas a la conducta de entrada 1. 3. a 4. c 5. b 2. Capitalización es el proceso median- te el cual se adicionan al capital los intereses liquidados. Interés simple El capital inicial no varía durante todo el tiempo. La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo capital. Los intereses son siempre iguales para todos los periodos de liquidación. Interés compuesto El capital inicial se incrementa perió- dicamente. La tasa de interés se aplica siempre sobre un capital diferente. Los intereses son siempre mayores cada vez que se liquidan. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 20
  • 46. 21 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Principio de equivalencia Una o varias sumas de dinero pueden transformarse en otra u otras sumas de dinero equivalen- tes con el paso del tiempo si la tasa de interés utilizada para la transformación satisface las aspiraciones del inversionista. Ejemplo 2.1 Si se quiere invertir en una cuenta de un Banco que reconoce el 24% anual, puede decirse que $100 invertidos hoy, en esa cuenta, son equivalentes a $124 que se entregarán en un año. Nota. Algunos autores no hablan del principio de equivalencia sino del principio de equi- dad financiera, que es de mucha aplicación en matemáticas financieras, como es el caso de los vencimientos, aunque antes de hablar de ellos se hará referencia a los descuentos. 씰 Descuento (D) El descuento es una modalidad del interés simple. La diferencia radica en que el interés simple por lo general se paga vencido, en tanto que el descuento se produce por anticipado. Si I = Pin entonces, D = Pin donde i es la tasa de descuento. En el mercado financiero operan tres tipos de descuentos: comercial, racional o simple y compuesto. Antes de definir cada uno de ellos es necesario precisar lo siguiente: Valor nominal (Vn) es el valor que está escrito en un documento. En algunos casos se maneja como un valor futuro. Valor efectivo (Ve) es el valor que se recibe después de haberse efectuado el respectivo descuento del valor nominal; luego, Ve =Vn − D Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 21 .
  • 47. 22 Matemáticas financieras Descuento comercial (Dc) es aquel que se calcula sobre el valor nominal de un documento y siempre se paga antes de su vencimiento. También se le llama descuento bancario. Dc = Vn in Luego, Ve =Vn – Dc Ve = Vn – Vn in Ve = Vn – (1 – in) Ejemplo 2.2 El señor Pérez tiene una letra de $500.000 la cual estipula una tasa de descuento del 3% mensual y un vencimiento dentro de 6 meses. a. ¿Cuál es el descuento comercial? Dc = Vn in Dc = 500.000 (0,03) (6) = 90.000 b. ¿Cuál es el valor efectivo de la letra? Ve = Vn – (1 – in) Ve = 500.000 – [1 – (0,03) (6)] = 410.000 lo anterior equivale a: Ve = Vn – Dc = 500.000 – 90.000 = 410.000 Descuento racional (Dr) es aquel que se calcula sobre el valor efectivo de un documento. Dr = Ve in (1) Sin embargo, Ve = Vn – Dr luego, Ve = Vn –Ve in Ve + Ve in = Vn Ve (1+in) = Vn Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 22
  • 48. 23 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos de donde (2) Al reemplazar (2) en (1) se obtiene: Como Dc = Vn in entonces, Ejemplo 2.3 Con los datos del problema anterior, calcular: a. Dr b. Ve a. Dr = Otra forma es: b. Otra posibilidad es: Ve = Vn − Dr Ve = 500.000 − 76.271,18 = 423.728,82 Nota. Este descuento también se denomina descuento justo, descuento interior o descuen- to por dentro. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 23 .
  • 49. 24 Matemáticas financieras Descuento compuesto (D’c), como su nombre lo indica, opera con base en el interés com- puesto. Si el proceso de capitalización es la suma periódica de los intereses, el descuento com- puesto debe ser todo lo contrario. Como F = P(1 + i) n luego, Vn = Ve (1 + i) n de donde por tanto, Al factorizar se tiene: Ejemplo 2.4 Con los datos del problema anterior, calcular: a. D′c b. Ve a. D′c = 500.000 (0,162515743) = 81.257,87 b. Ve = Vn − D′c Ve = 500.000 − 81.257,87 = 418.742,13 Nota. El descuento mayor es el comercial, le siguen el descuento compuesto y, por últi- mo, el racional. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 24
  • 50. 25 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Ejemplo 2.5 El señor Pérez tiene una letra de $200.000, la cual reconoce unos intereses del 3% mensual y vence dentro de 5 meses. El señor Pérez ofrece la letra porque necesita dinero para atender un compromiso urgente. Quien ofrece comprársela le exige una tasa de descuento del 5% mensual, que es la tasa con la cual esa persona acostumbra trabajar. ¿Cuánto debe darle por la letra? Maneje la información a interés simple (descuento racional). Lo primero que debe hacerse es hallar el valor futuro de la letra a la tasa que reconoce, o sea, el 3% mensual. F = P ( 1 + in) F = 200.000 [1 + (0,03)(5)] = 230.000 Este valor futuro será el valor nominal de la letra. Luego se halla el valor efectivo que va a recibirse al 5%: donde i es la tasa de descuento, 씰 Vencimientos Existen dos clases de vencimientos: el medio y el común. Vencimiento medio. Su característica fundamental radica en que el valor nominal de un documento tiene que ser igual a la suma de los valores nominales de los documentos por los cuales se desea cambiar. Esto implica que el valor del nuevo documento también tiene que ser igual a la suma de los valores actuales de los documentos que se cambian o se negocian. Ejemplo 2.6 Se tienen dos letras, una de $50.000 y otra de $100.000, que vencen a los 6 meses y 9 meses, respectivamente, La tasa de descuento sería del 3% anual. Si se quiere cambiar Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 25 .
  • 51. 26 Matemáticas financieras estas dos letras por una sola, ¿cuál será el vencimiento de la nueva letra? Considerar la operación en forma comercial. Ve1 +Ve2 = Ve (nueva letra) Vn1 + Vn2 = Vn (nueva letra) 50.000 + 100.000 = 150.000 Ve = Vn − Dc = Vn − Vn in = Vn (1− in) Ve = 50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] 150.000 [1 − (0,03)(n)] = 50.000(0,82) + 100.000(0,73) 150.000 − 4.500n = 41.000 + 73.000 − 4.500n = −36.000 n = 8 meses Nota. En el vencimiento medio el problema consiste en calcular el vencimiento del nuevo documento. Vencimiento común. Su característica principal radica en que el valor nominal del nuevo o los nuevos documentos es diferente de la suma de los valores nominales de los documen- tos por los cuales se desea cambiar. El problema consiste en: a. Dado el valor nominal del nuevo documento o los nuevos documentos, hallar su venci- miento. b. Dado el vencimiento del nuevo o los nuevos documentos, hallar su valor nominal. Ejemplo 2.7 Con los datos del problema anterior y teniendo en cuenta que el valor nominal del nuevo documento será de $170.000, hallar el vencimiento en formas racional y comercial. a. En forma comercial: Ve1 +Ve2 = Ve (del nuevo documento) Ve = Vn (1−in) Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 26
  • 52. 27 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] =170.000 [1 − (0,03)(n)] 41.000 + 73.000 =170.000 − 5.100 n −56.000 =−5.100n n =10,98 meses b. En forma racional: 121.113,03 (1 + 0,03n) = 170.000 121.113,03 + 3.633,39 n = 170.000 n = 13,45 meses Ejemplo 2.8 Una persona debe una letra de $80.000 para cancelarla dentro de 6 años y otra de $ 100.000 para cancelarla dentro de 7 años, y quiere liquidarlas con un solo pago dentro de dos años. ¿Qué cantidad debe hacer efectiva en esa fecha si la tasa de descuento es del 8% anual en forma compuesta? Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 27 .
  • 53. 28 Matemáticas financieras Ejemplo 2.9 El señor Pérez tiene documentos en las siguientes condiciones: $100.000 con vencimiento en 4 meses, $250.000 con vencimiento en 10 meses, $300.000 con vencimiento en 20 meses. La tasa de descuento pactada es de 3% mensual y el señor Pérez desea cambiar estos tres documentos por uno solo. ¿Cuál será el plazo para dicho documento si se consi- dera un vencimiento medio? Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3 Vn = 100.000 + 250.000 + 300.000 = 650.000 Ve = Ve1 +Ve2 + Ve3 Ve = Vn (1− in) Ve1 = 100.000 [1 − (0,03)(4)] = 88.000 Ve2 = 250.000 [1 − (0,03)(10)] = 175.000 Ve3 = 300.000 [1 − (0,03)(20)] = 120.000 Ve = 88.000 + 175.000 + 120.000 = 383.000 383.000 = 650.000 [1 − (0,03)(n)] n = 13,69 meses Ejemplo 2.10 Resolver el problema anterior considerando que el valor nominal del nuevo documento debe ser $700.000. Ve = Vn (1 − in) 383.000 = 700.000[1 − (0,03)(n)] 383.000 = 700.000 − 21.000 n 21.000n = 317.000 n = 15,09 meses Ejemplo 2.11 Resolver el ejemplo anterior considerando que el plazo del nuevo documento será de 10 meses. Ve = Vn (1 − in) Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 28
  • 54. 29 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 383.000 = Vn [1 − (0,03)(10)] 383.000 = Vn − 0,3 Vn 383.000 = Vn (1 − 0,3) 383.000 = Vn (0,7) Vn = 547.142,85 씰 Ecuaciones de valor Constituyen otra de las grandes aplicaciones del principio de la equivalencia financiera o equidad financiera. Operan tanto a interés simple como a interés compuesto. En las ecuaciones de valor aparece el concepto de fecha focal, que se define como aquella en la cual que se comparan los ingresos con los egresos. Esta fecha es acordada entre las partes y a ella se debe trasladar todo el flujo de caja, con el fin de plantear en ese punto la respectiva ecuación de valor. Ejemplo 2.12 La empresa XX le adeuda al Banco YY la suma de $600.000.000 representados en los siguientes pagares: uno por $400.000.000 con vencimiento en 10 meses más intereses del 28% anual, otro por $200.000.000 con vencimiento en 22 meses más intereses del 36% anual. El gerente de la empresa quiere reestructurar sus obligaciones y acuerda con el gerente del Banco pagarlas en la siguiente forma: $300.000.000 en la fecha y el resto en 13 meses. ¿Cuál será el valor de dicho pago si la tasa de interés acordada para la reestructura- ción fue del 24% anual? Asuma una fecha focal en el mes 13 e interés compuesto. Primero: se calcula el valor futuro del primer pagaré a una tasa de interés del 28% anual. Este valor se asume como un valor presente y se calcula su valor futuro en la fecha focal a una tasa del 24% anual. Segundo: se calcula el valor futuro del segundo pagaré a una tasa del 36% anual. Este valor se traslada a la fecha focal, es decir, se le calcula su valor presente con una tasa del 24% anual. Tercero: se trasladan los $300.000.000 a la fecha focal con una tasa del 24% anual. Cuarto: el resto del pago está representado por la letra X. Como este valor está en la fecha focal, no hay, necesidad de trasladarlo. Quinto: con todos los valores en la fecha focal, se procede a plantear la ecuación de valor y luego a resolverla para el valor de X. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 29 .
  • 55. 30 Matemáticas financieras F F F 1 10 3 2 22 9 3 13 400 000 000 1 0233333333 1 02 534 603 395 200 000 000 1 03 1 1 02 320 661 923 300 000 000 1 02 388 081 989 = ( ) [ ] ( ) [ ]= = ( ) [ ] ( )         = = ( ) = . . . , . . . . , , . . . . , . . F1 + F2 = F3 + X 534.603.395 + 320.661.923 = 388.081.989 + X X = 467.183.329 Ejemplo 2.13 Resolver el problema anterior pero a interés simple. F F F F 1 1 2 3 400 000 000 1 0 0233333333 10 1 0 02 3 522 933 232 200 000 000 1 0 03 22 1 1 0 02 9 281 335 932 300 000 000 1 0 02 13 378 000 000 = + ( )( ) [ ] + ( )( ) [ ] = = + ( )( ) [ ] + ( )( )      = = + ( )( ) [ ]= . . , , . . . . , , . . . . , . . X = 426.269.264 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM 30
  • 56. 31 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Ejemplo 2.14 Una empresa le ha firmado a un Banco un pagaré por $100.000.000 a 4 meses y una tasa de interés del 30% anual; dos meses después firma otro por $50.000.000 a 3 meses y sin intereses. El gerente de la empresa quiere recoger estos pagarés y reemplazarlos por uno solo a 3 meses, contados a partir de la fecha de vencimiento del primer pagaré y con una tasa de interés del 36% anual. Además, entregará al Banco la suma de $30.000.000 en la fecha de vencimiento del segundo pagaré. ¿Cuál será el valor del nuevo documento? Asu- ma una fecha focal en el mes séptimo e interés simple. F F F F 1 1 2 3 100 000 000 1 0 30 12 4 1 0 36 12 3 119 900 000 50 000 000 1 0 1 0 36 12 2 53 000 000 30 000 000 1 0 36 12 2 = +       ( )       +       ( )       = = + [ ] + ( )      = = +       ( ) . . , , . . . . , . . . . ,       = 31 800 000 . . F1 = 119.900.000 F1 + F2 = F3 + X 119.900.000 + 53.000.000 = 31.800.000 + X X = 141.100.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM 31 .
  • 57. 32 Matemáticas financieras Ejemplo 2.15 Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 15 meses, sin intereses, y otra de $15.000.000 con vencimiento en 24 meses e intereses del 30% anual van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $XX cada uno, con vencimientos en 12 meses y 18 meses, respectiva- mente. Hallar el valor de los pagos si la tasa acordada para la negociación fue del 28% anual. Asuma una fecha facal en 18 meses e interés simple. F F P F X 1 2 2 3 25 000 000 1 0 28 12 3 26 750 000 15 000 000 1 0 30 12 24 24 000 000 24 000 000 1 0 28 12 6 21 052 632 1 0 28 12 = +       ( )      = = +       ( )      = = +      ( )       = = + . . , . . . . , . . . . , . . ,        ( )      = 6 1 14 , X 26.750.000 + 21.052.632 = 1,14 X + X X = $22.337.679 Ejemplo 2.16 Dos obligaciones de $20.000.000 y $50.000.000 sin intereses, vencen en 3 y 10 meses, respectivamente. Si estas obligaciones se cambian por otra de $90.000.000 con vencimien- to a 15 meses ¿cuál será la tasa de interés de la negociación? Asuma la operacion a interés simple y una fecha focal en el mes 15. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM 32
  • 58. 33 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 20.000.000 [1 + 12i] + 50.000.000 [1 + 5i] = 90.000.000 20.000.000 + 240.000.000i + 50.000.000 + 250.000.000i = 90.000.000 i = 0,040816327 mensual i = 4,0816327% mensual Ejemplo 2.17 Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 12 meses y otra de $XX con vencimiento en 20 meses e intereses del 30%, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $24.830.570 cada uno, con vencímiento en 10 meses y 18 meses, respectivamente. Determinar el valor de XX con una tasa de rendimiento del 28% anual y fecha focal en el mes 18. Asuma la operación a interés simple. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM 33 .
  • 59. 34 Matemáticas financieras F F F X X P X 1 1 2 2 25 000 000 1 0 30 12 12 32 500 000 32 500 000 1 0 28 12 6 37 050 000 1 0 30 12 20 1 5 1 5 1 0 28 12 = +       ( )      = = +       ( )      = = +       ( )      = = +   . . , . . . . , . . , , , ,      ( )       = = = +       ( )      = 2 1 5 1 04666666 1 433121 24 830 570 1 0 28 12 8 29 465 610 3 , , , . . , . . X X F 37.050.000 + 1,433121X = 29.465.610 + 24.830.570 X = 12.034.001 Ejemplo 2.18 Una compañía manufacturera adquiere materias primas por valor de $200.000.000 y con- viene pagar el 30% anual de intereses. Si paga $30.000.000 cuatro meses después de la compra y $40.000.000 seis meses después de la compra, ¿qué pago tendrá que hacer año y medio después de la compra, para liquidar totalmente el saldo? Tome como fecha focal un año después de la compra y maneje la operacion a interés simple. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:15 AM 34
  • 60. 35 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos F F F P X 1 2 3 1 200 000 000 1 0 30 12 12 260 000 000 30 000 000 1 0 30 12 8 36 000 000 40 000 1 0 30 12 6 46 000 000 1 0 30 12 = +       ( )      = = +       ( )      = = +       ( )      = = +   . . , . . . . , . . . , . . ,      ( )       = 6 1 15 X , 260.000.000 = 36.000.000 + 46.000.000 + X 1 15 , X = $204.700.000 Ejemplo 2.19 Una compañía contrata el 10 de mayo un préstamo por $100.000.000 a una tasa de interés del 32% anual y un plazo de 180 días. Calcular el saldo en la fecha de vencimiento de la obligación si se efectuaron los siguientes abonos: En junio 15 $20.000.000 En julio 18 20.500.000 En septiembre 30.000.000 Asuma la fecha focal en la fecha de vencimiento de la obligoacíón. Trabaje a interés simple. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:15 AM 35 .
  • 61. 36 Matemáticas financieras F F F F 1 2 3 4 100 000 000 1 0 32 365 180 115 780 822 20 000 000 1 0 32 365 180 36 22 524 932 25 000 000 1 0 32 365 180 69 27 432 877 30 = +       ( )      = = +       − ( )      = = +       − ( )      = = . . , . . . . , . . . . , . . .000 000 000 1 0 32 365 180 116 31 683 288 . , . . +       − ( )      = 115.780.822 = 22.524.932 + 27.432.877 + 31.683.288 + X X = 34.139.726 Ejemplo 2.20 Se firmó un pagaré por $50.000.000 con un plazo de cinco meses para su vencimiento y una tasa del 3% mensual a interés simple. Otro pagaré por $200.000.000 fue firmado dos meses después del anterior, vence a los siete meses y contempla una tasa del 2,5% mensual a interés simple. Si se conviene con el acreedor darle $85.000.000 un mes después de la fecha de vencimiento del primer pagaré y el resto cinco meses después, considerando una tasa de interés del 4% mensual simple, ¿cuál será el valor del último pagaré? F F F 1 50 000 000 1 0 03 5 1 0 04 6 71 300 000 2 200 000 000 1 0 025 7 1 0 04 2 253 800 000 3 85 000 000 1 0 04 5 102 000 000 = + ( )( ) [ ] + ( )( ) [ ]= = + ( )( ) [ ] + ( )( ) [ ]= = + ( )( ) [ ]= . . , , . . . . , , . . . . , . . 71.300.000 + 253.800.000 = 102.000.000 + X X = 223.100.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:16 AM 36
  • 62. 37 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos Ejemplo 2.21 Resolver el problema anterior considerando el interés compuesto. F1 = 50.000.000 (1,03) 5 (1,04) 6 = 73.342.577 F2 = 200.000.000 (1,025) 7 (1,04) 2 = 257.136.502 F3 = 85.000.000 (1,04) 5 = 103.415.497 73.342.577 + 257.136.502 = 103.415.497 + X X = 227.063.582 Ejemplo 2.22 Tengo que pagar $10.000.000 dentro de 5 meses, $20.000.000 dentro de 8 meses y $30.000.000 dentro de 12 meses. Si deseo hacer un solo pago de $80.000.000, ¿cuá1 será el plazo para dicho pago?Asuma una tasa del 3% mensual a interés compuesto y una fecha focal en el mes 12. 10.000.000 (1,03) 7 + 20.000.000 (1,03) 4 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03) 12−n 12.298.739 + 22.510.176 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03) 12−n 64.808.915 = 80.000.000 (1,03) 12−n 0,810111438 = (1,03) 12−n log 0,810111438 = (12−n) log 1,03 −0,091455238 = (12−n)(0,01283725) −0,091455238 = 0,15404652 − 0,01283725n n = 19,12417 meses n = 19 meses, 4 días Nota: Este mismo problema se puede resoIver aplicando la teoría de descuentos. Capitulo 1-2 1/20/06, 10:16 AM 37 .
  • 63. 38 Matemáticas financieras Como el interés es compuesto, entonces se aplicará el descuento compuesto. Vn = Ve (1 + i) n Ve = V i n n 1+ ( ) 10 000 000 1 03 20 000 000 1 03 30 000 000 1 03 80 000 000 1 03 8 626 088 15 788 185 21 041 396 80 000 000 1 03 45 455 669 80 000 000 1 03 1 03 1 759956497 1 759956497 1 03 5 8 12 . . , . . , . . , . . , . . . . . . . . , . . . . , , , log , log , ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + + = ( ) = ( ) ( ) = = n n n n n n = 19,12417 meses n = 19 meses, 4 días Problemas propuestos 1. Se tienen dos documentos por $500.000 y $600.000 con vencimien- to a 6 meses y 5 meses, respectiva- mente. Con el fin de expedir un solo documento por $1.100.000 se ha pac- tado una tasa de descuento del 2,5% mensual, ¿a qué plazo debe expedirse el nuevo documento? Respuesta: 5,4545 meses 2. Resolver el problema anterior consi- derando como valor del nuevo docu- mento la suma de $1.500.000. Respuesta: 14,66 meses 3. ¿Qué tipo de vencimiento correspon- de al problema 1 y cuál al problema 2? Respuesta: Medio; común 4. Se tienen dos documentos por $ 1.000.000 y $2.000.000 con venci- mientos a un año y dos años, res- pectivamente. Si la tasa pactada es de 6,5% trimestral, ¿cuál será el plazo para un nuevo documento si se tiene en cuenta que se hará con vencimien- to medio? Respuesta: 6, 66 trimestres 5. Dos documentos por $200.000 y $300.000, respectivamente, vencen a los 2 años, 5 meses y 30 días, el pri- mero, y a 1 año, 3 meses y 90 días, el segundo. Se quiere elaborar un solo Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 38
  • 64. 39 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos documento por $600.000 con una tasa de 2,8% mensual, ¿cuál será el plazo para su vencimiento? Respuesta: 24,95 meses 6. El señor Pérez posee dos letras que suman $800.000, una de las cuales vence dentro de 5 meses y se descuen- ta en forma comercial al 3% mensual, la otra vence dentro de 10 meses y se descuenta en forma comercial al 3,5% mensual. Si hoy le ofrecen por ellas la suma de $620.000, ¿cuál será el valor nominal de cada una? Respuesta: $300.000 y $500.000, res- pectivamente 7. El señor Pérez tiene una letra por $xy la cual vence dentro 12 meses. El Ban- co leofrecedescontarlacomercialmen- te a una tasa i% y le entrega $260.000. Otra entidad le ofrece la misma tasa de descuento pero la operación la rea- liza en forma racional y le entrega $337.837,83. ¿Cuál es el valor nomi- nal de la letra y cuál es la tasa de des- cuento que ofrecen las corporaciones? Respuesta: $500.000; 4% Autoevaluación 1. El señor Pérez tiene en su poder una letra de $1.000.000 que vence dentro de 5 meses y reconoce intereses del 2,5% mensual simple, y quiere nego- ciarla con el Banco en forma comer- cial; el banco acepta la letra pero la descuenta al 3% mensual. ¿Cuál es el precio de la letra? 2. Resolver el problema anterior en for- ma racional. 3. Resolver el problema 1 considerando el descuento compuesto. 4. Una letra de $200.000 se descuenta a 7 meses en forma comercial y con una tasa de descuento del 3% mensual. ¿Cuál es el valor del descuento? 5. Una letra de $300.000 se descuenta en forma comercial al 3% mensual. Si el descuento fue de $50.000, ¿qué tiempo faltará para el vencimiento? 6. Una letra tiene impreso el valor de $500.000; si se descuenta en forma racional al 3% mensual, ¿cuál será el periodo de redención si tiene un va- lor efectivo de $400.000? 7. El señor Pérez tiene una letra de $1.000.000 con vencimiento dentro de un año, cuatro meses, diez días. Si fue- ra a hacerse efectiva hoy, consideran- do una tasa de descuento del 2% mensual y realizando la operación en forma comercial, ¿cuál es el valor ac- tual de la letra? 8. Con los datos del problema anterior, calcular la tasa de descuento. 9. Una letra vence dentro de 8 meses y estipula una tasa de descuento del 3% mensual. Si se calculan los descuen- tos comercial y racional se hallará en- tre ellos una diferencia de $46.451,62. ¿Cuál será el valor nominal de la le- Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 39 .
  • 65. 40 Matemáticas financieras tra? Calcular cada uno de los descuen- tos citados. 10. El señor Pérez tiene una letra de $500.000 a una tasa de interés sim- ple del i% y con vencimiento dentro de 10 meses. Si dentro de 6 meses se negocia esa letra con el Banco en forma comercial, se acepta al Banco la suma de $400.000 por ella y se re- conoce un descuento de $180.000, ¿cuál fue la tasa de interés pactada inicialmente y cuál la tasa de des- cuento? Respuestas a la autoevaluación 1. F = Vn F = P(1 + in ) = 1.000.000[ 1 + (0,025)(5)] F = $1.125 .000 Dc = Vn in = 1.125.000(0,03)(5) = $168.750 Ve = Vn − Dc = 1.125.000 − 168.750 = $956.250 2. F = $1.125.000 F = Vn El descuento es igual a Dr = Ve in = 978.260,86(0,03)(5) = $146.739,13 3. F=P(1 + i) n F = 1.000.000(1,025) 5 = $1.131.408,21 F= Vn D′ c = $155.445,54 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 40
  • 66. 41 Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos 4. Dc = Vn in Dc = (200.000)(7)(0,03) = $42.000 5. Dc = Vn in 6. Ve = $400.000 Vn = $500.000 i = 0,03 n = ? n = 8,3333 meses 7. meses Vn = $1.000.000 i = 0,02 mensual Dc = Vn in = (1.000.000)(0,02)(16,3333) Dc = $326.366,66 Ve = Vn − Dc = 1.000.000 − 326.666,66 Ve = $673.333,34 8. Vn = $ 1.000.000 Ve = $673.333,34 n = 16,33333 meses i =? Dc = $326.666,66 Dc = Vn in i = 2% mensual 9. n = 8 meses i = 0,03 Dc − Dr = 46.451,62 Sin embargo, Dc = Vn in 0,0576 Vn = (46.451,62)(1,24) Vn = 1.000.000 Dc = Vn in Dc = 1.000.000 (0,03)(8) = 240.000 Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 41 .
  • 67. 42 Matemáticas financieras 10. Ve = $400.000 n = 10 meses Dc = $180.000 n = 4 meses para descuento Dc = Vn in Vn =Ve + Dc Vn = 400.000 + 180.000 = 580.000 (tasa de descuento) F = P(1 + in) i = 1,6% (tasa de interés) Actividades de repaso 1. Enuncie el principio de equivalencia. 2. ¿Qué es un descuento? 3. ¿Cuál es la diferencia entre descuen- to e interés simple? 4. Defina valor nominal y valor efectivo. 5. Defina descuento comercial. 6. Defina descuento racional. 7. ¿Cuál es la diferencia entre descuen- to racional y descuento comercial? 8. Defina descuento compuesto. 9. ¿Cuál es la diferencia entre descuen- to compuesto y los descuentos co- mercial y racional? 10. ¿Cuál de los tres descuentos es ma- yor? 11. Si a usted fuera a descontársele una letra, ¿cuál descuento elegiría? 12. Si usted es quien va a efectuar el des- cuento, ¿cuál descuento elegiría y por qué? 13. Defina vencimiento medio. 14. Defina vencimiento común. 15. ¿Cuál es la diferencia entre venci- miento medio y vencimiento común? Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM 42
  • 68. 43 Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad ■ Justificación La mejor herramienta para medir el costo de un crédito o la renta- bilidad de una inversión es la tasa de interés efectiva. Por lo general, cuando se habla de tasas de interés se hace refe- rencia a tasas nominales; por esta razón es necesario aprender a calcular las tasas de interés efectivas con las cuales se medirán los costos de un crédito y la rentabilidad de una inversión. Asimismo, es necesario aprender a hacer todas las conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés. ■ Objetivo general Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de interés nominal dada, o viceversa. ■ Objetivos específicos ■ Definir e interpretar el concepto de tasa de interés nominal. ■ Definir e interpretar el concepto de tasa de interés efectiva. ■ Calcular una tasa de interés efectiva anual cuando se conoce la tasa de interés nominal anual, con capitalización vencida y anticipada. ■ Hacer el mismo tipo de cálculo pero a la inversa. ■ Calcular una tasa de interés efectiva periódica cuando se cono- ce una tasa de interés nominal anual, y viceversa. ■ Calcular una tasa de interés efectiva anual conociendo la co- rrección monetaria. ■ Calcular el interés real en el año. ■ Calcular la tasa de interés efectiva cuando intervienen comi- siones, timbres, etc. ■ Calcular el costo de un crédito. ■ Calcular la rentabilidad en moneda corriente. ■ Calcular la rentabilidad en moneda extranjera. ■ Estimar cuándo puede invertirse en una moneda extranjera determinada. Capitulo 3 1/20/06, 10:28 AM 43 .