8. Grau do polinômio
- É o expoente de maior valor da variável;
- Indica o total de raízes (soluções) que a equação possui;
- Auxilia na divisão por outro polinômio.
8
25. Operações: DIVISÃO
25
𝟒𝟖𝟗 𝟐𝟏
2
42
6
9
3
63
6
𝟒𝟖𝟗 = 𝟒 ∙ 102 + 𝟖 ∙ 101 + 𝟗 ∙ 100
𝟐𝟏 = 𝟐 ∙ 101 + 𝟏 ∙ 100
𝟔 = 𝟔 ∙ 100
𝟐𝟑 = 𝟐 ∙ 101 + 𝟑 ∙ 100
Ao dividir 2 polinômios,
𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥), o grau do 𝑅(𝑥) é
sempre menor que o grau de
𝐵(𝑥).
O grau de 𝑄(𝑥) é a diferença
entre os graus de 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥).
38. DIVISÃO POR BINÔMIO
- Binômio do tipo 𝑥 + 𝑎 ou 𝑥 – 𝑎.
- 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 + 𝑎) ou 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎) resulta em 𝑄(𝑥) com
coeficiente dominante igual ao do 𝑃(𝑥).
- Os demais coeficientes de 𝑄(𝑥) são o produto de 𝑎 (raiz do
binômio) pelo coeficiente anterior somado ao coeficiente
semelhante de 𝑃(𝑥).
38
39. DIVISÃO POR BINÔMIO
39
Charles Auguste Briot
1817 – 1882
Paolo Ruffini
1765 – 1822
Divisão de polinômios pelo Dispositivo prático de Briot-Ruffini
49. Raiz de um polinômio
- A raiz de um polinômio é o valor assumido por 𝑥 que torna
𝑃(𝑥) = 0.
- Todo polinômio de grau 𝑛 tem exatamente 𝑛 raízes complexas.
49
50. Decomposição de polinômio
- Todo polinômio pode ser decomposto em fatores do primeiros
grau.
- 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 ∙ (𝑥 − 𝑟1) ∙ (𝑥 − 𝑟2) ∙ ⋯ ∙ (𝑥 − 𝑟𝑛) onde 𝑟1, 𝑟2, ..., 𝑟𝑛
são as raízes do polinômio e 𝑎𝑛 é o coeficiente dominante do
polinômio.
- 𝑃 𝑥 é divisível por cada um dos seus fatores.
50
51. Decomposição de polinômio
Se 2, −3 e 5 são raízes de 𝑃(𝑥) então podemos escrever 𝑃(𝑥) =
𝑥³ − 4𝑥² − 11𝑥 + 30 da seguinte forma:
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)
51
53. Encontrar raízes racionais
Passo 1: Denomina de 𝑝 o termo independente;
Passo 2: Denomina de 𝑞 o coeficiente dominante;
Passo 3: Se 𝑝 e 𝑞 são primos entre si, então as possíveis raízes serão
divisores de 𝑝/𝑞.
53
54. Encontrar raízes racionais
𝟑𝒙³ − 𝟕𝒙² + 𝟖𝒙 − 𝟐 = 𝟎
Passo 1 e 2: 𝑞 = 3 e 𝑝 = −2
Passo 3: 𝑝 = {−1, −2, 1, 2} e 𝑞 = {−1, −3, 1, 3}
𝑝/𝑞 = {±1, ±1/3, ±2, ±2/3}
Apenas 𝑃(1/3) = 0, portanto, a única raiz racional deste polinômio
é 1/3.
54
56. Gráficos
• O gráfico toca Ox nos pontos em que tem-se raízes reais;
• O gráfico sempre tocará Oy em ao (termo independente);
• Se o polinômio só possuir raízes complexas, então o gráfico não
corta Ox;
• As raízes complexas sempre aparecem aos pares, logo, o
polinômio de grau ímpar sempre terá ao menos uma raiz real;
56
57. Gráficos
• Polinômios de grau par tem gráfico indo para o infinito em forma
de parábola;
57
4 raízes
reais
Grau par
58. Gráficos
• Polinômios de grau ímpar tem gráfico indo para o infinito em
forma de reta.
58
1 raiz real
Grau ímpar
ao = -8