Se muestra qué son y cómo se emplean las identidades trigonométricas.

1. Identidades
Trigonométricas
Luis Alberto Duarte López
Estudiante de la Licenciatura en
Enseñanza de las Matemáticas
UnADM

2. Introducción
Identidad trigonométrica es una igualdad
algebraica entre razones de un mismo
ángulo que se verifica para cualquier valor
que se atribuya a dicho ángulo (Anfossi,
1962, p. 48).
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 2

3. Identidades de:
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 3
1. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
1
𝑐𝑠𝑐 𝛼
2. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑐 𝛼
3. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑡 𝛼
4. 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
5. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
6. 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
7. 𝑠𝑒𝑛 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
8. 𝑐𝑜𝑠 (90° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼
9. 𝑡𝑎𝑛 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡 𝛼
10. 𝑐𝑜𝑡 (90° − 𝛼) = 𝑡𝑎𝑛 𝛼
11. 𝑠𝑒𝑐 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑠𝑐 𝛼
12. 𝑐𝑠𝑐 (90° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑐 𝛼
Funciones
inversas
Ángulo
complementario
13. 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
14. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
15. 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
16. 𝑠𝑒𝑐2
𝛼 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝛼
17. 𝑐𝑠𝑐2𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼
Elementales

4. Identidades de:
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 4
26. 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼
27. 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼
28. 𝑡𝑎𝑛 2𝛼 =
2 𝑡𝑎𝑛 𝛼
1 − 𝑡𝑎𝑛2𝛼
29. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛
𝛼
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼
2
30. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2
𝛼
2
− 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
2
31. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
2 𝑡𝑎𝑛
𝛼
2
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼
2
Productos y cocientes
18. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼
19. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼
20. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
21. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
22. 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 − 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
23. 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 − 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 + 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
24. 𝑐𝑜𝑡 (𝛼 + 𝛽) =
𝑐𝑜𝑡 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛽 − 1
𝑐𝑜𝑡 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 𝛽
25. 𝑐𝑜𝑡 (𝛼 − 𝛽) =
𝑐𝑜𝑡 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛽 + 1
𝑐𝑜𝑡 𝛽 − 𝑐𝑜𝑡 𝛼
Sumas y diferencias

5. Identidades de:
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 5
36. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 + 𝛽) 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 − 𝛽)
37. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 − 𝛽) 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 + 𝛽)
38. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 + 𝛽) 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 − 𝛽)
39. 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 + 𝛽) 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 − 𝛽)
Transformación de sumas y diferencias en
productos
32. 2 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
2
= 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼
33. 2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼
2
= 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
34. 𝑠𝑒𝑛
𝛼
2
=
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼
2
35. 𝑐𝑜𝑠
𝛼
2
=
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
2
34. 𝑡𝑎𝑛
𝛼
2
=
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
35. 𝑡𝑎𝑛
𝛼
2
=
−1 ± 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼
𝑡𝑎𝑛 𝛼
Un semiángulo
(Anfossi, 1962, p. 205-206)

6. 1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 6
Solución del ejercicio 9 tomado de la página 111 del
curso de Trigonometría Rectilínea (Anfossi, 1962).
2 − 𝑠𝑒𝑐2𝛼
𝑠𝑒𝑐2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (1)
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
(2)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑟á 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 (5):
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 2 𝑒𝑛 1 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 −
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
2
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
2 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 3

7. 1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 7
2 −
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (3), 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼
1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (4)

8. 1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 8
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 4 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 13 :
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (4)
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − (𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (5)
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (6)
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (27):
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 7
𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 7 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 , 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 𝑙𝑞𝑑

9. Gracias
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