1) O documento apresenta 20 questões de combinatória sobre temas como número de combinações, permutações e arranjos. 2) As questões envolvem cálculos para determinar o número de maneiras de se escolher pessoas, letras, cores e outros itens de forma ordenada ou não ordenada a partir de conjuntos dados. 3) São abordados também temas como passeios de Euler em grafos e formação de comissões ou times a partir de grupos com características específicas.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
COMBINATÓRIA

2. COMBINATÓRIA
1
01. (Unicamp 2015) O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele
há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a
a) 21. b) 20. c) 15. d) 14.
02. (Fgv 2015) Conforme indica a figura, uma caixa contém 6 letras F azuis e 5 brancas, a outra contém 4 letras G
azuis e 7 brancas, e a última caixa contém 6 letras V azuis e 6 brancas.
Em um jogo, uma pessoa vai retirando letras das caixas, uma a uma, até que forme a sigla FGV com todas as letras da
mesma cor. A pessoa pode escolher a caixa da qual fará cada retirada, mas só identifica a cor da letra após a retirada.
Usando uma estratégia conveniente, o número mínimo de letras que ela deverá retirar para que possa cumprir a tarefa
com toda certeza é
a) 14. b) 15. c) 16. d) 17. e) 18.
03. (Unesp 2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5
alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem
assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A,
duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo.
Modelo de folha de resposta (gabarito)
A B C D E
01 X
02 X
03 X
04 X
05 X
06 X
07 X
08 X
09 X
10 X
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será
a) 302400 b) 113 400 c) 226800 d) 181440 e) 604800

3. COMBINATÓRIA
2
04. (Fgv 2014) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em
consideração. Eis uma senha possível: Quantas senhas diferentes podem ser formadas com
quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7?
a) 10!
b) 2 520
c) 3 150
d) 6 300
e)
05. (Mackenzie 2014) Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas
de uma determinada fileira. O número de maneiras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se
um dos casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é
a)
b)
c)
d)
e)
06. (Fgv 2013) O total de matrizes distintas que possuem apenas os números 1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos,
sem repetição, é igual a
a) (4!)4
b) 16.4!
c) 5.16!
d) (16!)5
e) 1616
07. (Mackenzie 2013) Uma faculdade possui 11 professores titulares, dos quais 7 são homens e 4, mulheres. O número
de bancas distintas de avaliação que podem ser formadas, contendo cada uma apenas 3 homens e 3 mulheres é
a) 4
b) 70
c) 80
d) 140
e) 180
08. (Ifsp 2013) Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em quatro outros retângulos
menores, R1, R2, R3 e R4, de maneira que retângulos com um lado comum não devem ser coloridos com a mesma cor.
R1 R2
R3 R4
O número de modos diferentes de colorir os quatro retângulos com apenas duas cores é
a) 8 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20
(a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7).
10!
4!6!
( )
9 9!
⋅
( )
8 9!
⋅
( )
8 8!
⋅
10!
2
10!
4

4. COMBINATÓRIA
3
09. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada
time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são
paulistas é
a) menor que 7%.
b) maior que 7%, mas menor que 10%.
c) maior que 10%, mas menor que 13%.
d) maior que 13%, mas menor que 16%.
e) maior que 16%.
10. (Fgv 2013) O total de números naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus algarismos seja 14 é
a) 14
b) 28
c) 35
d) 42
e) 49
11. (Unicamp 2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com
três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.
ABC 1234 ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao
número máximo de placas em vigor seria
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
12. (Unicamp 2012) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião
do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De
quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão?
a) 6720
b) 100800
c) 806400
d) 1120
13. (Mackenzie 2012) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri
com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos um advogado é
a) 70
b) 4
7
c) 120
d) 7
4
e) 140

5. COMBINATÓRIA
4
14. (Mackenzie 2012) No restaurante italiano Ingiusto, os garçons colocam os pedidos dos clientes à cozinha uns sobre
os outros de modo que eles formam uma pilha de pedidos. Cada novo pedido que chega é colocado no topo da pilha.
O pessoal da cozinha, quando se vê livre para pegar um novo pedido, pega sempre o pedido que está no topo da pilha.
Em determinado dia, durante a primeira hora de funcionamento do restaurante, foram feitos e atendidos quatro
pedidos de clientes. Suponha que eles tenham sido numerados e que foram colocados na pilha, na ordem 1, 2, 3, 4.
Das sequências a seguir, aquela que pode representar a ordem em que esses pedidos foram pegos pelo pessoal da
cozinha é
a) 1, 3, 2, 4
b) 2, 4, 1, 3
c) 4, 2, 1, 3
d) 3, 4, 1, 2
e) 4, 1, 2, 3
15. (Fgv 2012) Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas
de modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam necessariamente diferentes?
a) 7 290
b) 5 040
c) 10 000
d) 6 840
e) 11 220
16. (Mackenzie 2012) Os vértices de um cubo são pintados de azul ou de vermelho. A pintura dos vértices é feita de
modo que cada aresta do cubo tenha pelo menos uma de suas extremidades pintada de vermelho. O menor número
possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
17. (Fgv 2011) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre:
banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando
apenas os tipos de frutas e não as quantidades?
a) 26
b) 24
c) 22
d) 30
e) 28
18. (Unesp 2011) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são
sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa
R$ 2,00 , uma aposta em 6 dezenas deve custar
a) R$15,00
b) R$30,00
c) R$ 35,00
d) R$ 70,00
e) R$ 140,00

6. COMBINATÓRIA
5
19. (Mackenzie 2011) Cada um dos círculos da figura deverá ser pintado com uma cor, escolhida dentre três
disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, o número de formas de
se pintar os círculos é
a) 72
b) 68
c) 60
d) 54
e) 48
20. (Unesp 2011) Um grafo é uma figura constituída de um número finito de arestas ou arcos, cujas extremidades são
chamadas vértices. Em um grafo, a “ordem de um vértice” é o número de extremidades de arestas ou arcos que se
apoiam naquele vértice. A figura 1 é um grafo cujos vértices A e C possuem ordem 3 (o vértice A é o apoio de um arco
cujas extremidades coincidem) e os demais vértices possuem ordem 2.
Além disso, dizemos que um grafo admite um “passeio de Euler” se existir um caminho do qual façam parte todas as
arestas ou arcos desse grafo, sendo possível desenhá-lo sem tirar o lápis do papel e passando-o uma única vez em
cada aresta ou arco. Na figura 1 é possível fazer um “passeio de Euler” partindo-se apenas dos vértices “A” ou “C”. Por
exemplo, um possível “passeio” pode ser representado pela sequência de vértices dada por: AABCDEFC. Consideres
os grafos:
Os que admitem um “passeio de Euler” são apenas
a) I e III b) I e IV c) I, II e V d) I, III e IV e) I, IV e V

7. COMBINATÓRIA
6
GABARITO
1 - C 2 - B 3 - B 4 - C 5 - B
6 - C 7 - D 8 - E 9 - B 10 - D
11 - A 12 - D 13 - C 14 - A 15 - A
16 - C 17 - A 18 - B 19 - E 20 - E