DINÁMICA ROTACIÓN

1. Profesor Donato Loparco Galasso Página 1
Dinámica Rotacional
En Cinemática Rotacional describimos el movimiento de Rotación de un cuerpo rígido
sin conocer sus causas, empleando magnitudes físicas como el desplazamiento angular,
la velocidad angular y la aceleración angular. En Dinámica Rotacional se estudian las
causas que producen el movimiento de rotación de los cuerpos rígidos mediante
magnitudes físicas análogas al movimiento de traslación donde se aplican las leyes de
Newton. Estas magnitudes son: el momento de inercia que es el análogo de la masa y el
torque que es el análogo de la fuerza. Veremos que el torque neto que actúa sobre un
cuerpo rígido determina su aceleración angular de la misma manera que la fuerza neta
determina la aceleración lineal sobre un cuerpo. Esta será la ley fundamental de la
dinámica de rotación de un cuerpo rígido. Analizaremos primero la rotación de un
cuerpo rígido alrededor de un eje que esta fijo (rotación pura) en un marco de referencia
inercial. Posteriormente se trabajara la rotación de cuerpos rígidos que no están fijos,
específicamente veremos el caso común de rodadura de un cuerpo rigido que se estudia
como un movimiento combinado de rotación y traslación.
1) Torque o Momento de Torsión
Para hacer rotar un cuerpo rígido es necesario aplicar una fuerza. La capacidad de esa
fuerza para producir una rotación depende de su modulo, dirección y punto de
aplicación respecto a un eje de rotación.
Por ejemplo cuando tratamos de aflojar o apretar una tuerca con una llave inglesa, su
eficiencia aumenta si aumentamos el módulo de la fuerza, pero también aumenta si
aplicamos la fuerza en un punto que este lo más alejado del eje rotación y en dirección
perpendicular al mango de la llave.

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Definiremos primero el torque o momento de rotación para el caso de una particula y
más adelante se ampliara este concepto para el caso general de un cuerpo rígido.
Si una fuerza F

es aplicada sobre una particula situada en un punto P cuya posición
con respecto al origen O de un marco de referencia inercial esta dado por el vector r

, el
torque o momento de rotación 

que se produce sobre la particula respecto al origen O,
se define matemáticamente con el siguiente producto vectorial:
F
r





 (1)
El módulo o magnitud de este producto vectorial es:


 Sen
F
r



(2)
Donde  : ángulo formado entre r

y F

El torque 

es un vector que es perpendicular al plano formado por r

y F

El sentido del torque 

esta dado por la regla de la mano derecha (ver tema de
vectores). Según esta regla con los dedos entrecerrados de la mano derecha, se hace
girar r

hacia F

y luego la dirección del pulgar extendido indica la dirección y sentido
del vector torque 

La unidad del torque en el SI es: Newton. Metro = N .m
z


y
r

P F

x 

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El módulo o magnitud del torque también se puede expresar con una distancia
denominada brazo de la palanca, esto es:
bF
Sen
F
r 

 



(3)
Donde 
Sen
r
r
b 
  , b : brazo de la palanca
b : distancia donde la proyección del vector r

es perpendicular a línea de acción de
la fuerza F

2) Momento de Inercia
El momento de de inercia I de un sistema de partículas respecto de un eje de
rotación es la suma de los productos de sus masas i
m por el cuadrado de sus
distancias i
r perpendiculares a dicho eje. Esto es:


i
i
i r
m
I 2
(4)
n
n
nr
m
r
m
r
m
r
m
I 



 ....
2
3
3
2
2
2
2
1
1
La unidad SI del momento de inercia es: kg . m2
Para una distribución continua de materia (o cuerpo rígido), la suma se transforma en
una integral, esto es:

 dm
r
I 2
(5)
Donde dV
dm 
 :
:
 densidad volumétrica de masa
Ejemplo
Eje rotación
m1 m2
1
r 2
r
Ejemplo
r dm

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 Momentos de inercia de cuerpos rígidos
A continuación se muestran los momentos de inercia respecto al centro de masa de
algunos cuerpos rígidos simétricos, donde su eje de simetría pasa por su centro de
masa.
 Teorema de los ejes paralelos o Teorema de Steiner
El momento de inercia I de un cuerpo rígido respecto a un eje arbitrario, es igual al
momento de inercia CM
I con respecto a un eje paralelo que pase por su centro de
masa, más el producto de la masa M del cuerpo por el cuadrado de la distancia d
entre los dos ejes. Esto es:
2
Md
I
I CM 
 (6)

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3) Torque sobre un cuerpo rígido
Supongamos una particula de masa i
m de un cuerpo rígido qu puede rotar entorno a
un eje z (ver figura). Se aplica una fuerza tangencial externa i
F

sobre la particula i
m
que la hace girar en un círculo de radio i
r en un plano xy. Por la segunda ley de
Newton el módulo de esta fuerza tangencial es igual a i
i
i a
m
F  . El módulo del
torque i
 asociado a esta fuerza es:
i
i
i
i
i
i a
m
r
F
r 


Como todos los elementos de masa i
m giran con la misma aceleración angular se
tiene que su aceleración tangencial es igual a 
i
i r
a  . Por tanto tenemos que él
torque i
 es: 
 2
i
i
i r
m

Sumando sobre todas las partículas obtenemos el torque neto sobre el cuerpo rígido,



 I
r
m i
i
i
neto 

 
 )
(
2
 
 I
neto 
Vectorialmente se tiene que:




I
neto  (7)
Esta ecuación nos indica que el torque neto neto


sobre un cuerpo rígido produce una
aceleración angular  . Esta ecuación se conoce como la segunda ley de Newton de
la rotación que y dice así: El torque neto neto


de las fuerzas externas que hacen rotar
o girar un cuerpo rígido en torno a un eje, es igual al producto del momento de
inercia I por la aceleración angular 

.

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Se tiene una analogía entre las magnitudes físicas de la rotación y la traslación, es
decir: el torque neto neto


es el análogo de la fuerza neta neta
F

, el momento de inercia
I es el análogo de masa M y a la aceleración angular 

es el análogo de la
aceleración lineal 

. Esto es:




I
neto   a
M
Fneta



El torque neto es proporcional a la aceleración angular en el movimiento de rotación por un
factor de proporcionalidad I , de la misma manera que la fuerza neta es proporcional a la
aceleración lineal en el movimiento de traslación por el factor de proporcionalidad M.
4) Energía cinética de rotación
Cuando un cuerpo rígido rota o gira alrededor de un eje fijo, todas las partículas
tienen la misma velocidad angular . Considerando el momento de inercia I
respecto al eje fijo, tenemos que la energía cinética de rotación vine dada por la
siguiente ecuación:
2
2
1

I
K  (8)
Se tiene una analogía entre las magnitudes físicas de la rotación y la traslación, es
decir: el momento de inercia I es el análogo de masa M y a la velocidad angular


es el análogo de la velocidad lineal v

. Esto es:
2
2
1

I
K   2
2
1
v
M
K 
5) Rodadura
Cuando un cuerpo rígido rueda sin deslizar sobre una superficie plana, este presenta
un movimiento combinado de rotación y de traslación. Si el cuerpo gira o rota un
ángulo  su punto C de contacto con el piso (ver dibujo) se habrá desplazado una
distancia 
R
s  .

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Como el centro O del cuerpo se encuentra directamente encima del punto de contacto
C, su centro de masa se mueve la misma distancia s . Luego la velocidad de CM es:


R
dt
d
R
dt
ds
vCM 

  
R
vCM  (9)
Si la rueda tiene una aceleración angular  , su centro de masa se desplaza sobre una
trayectoria rectilínea y se tiene una aceleración lineal de CM dada por:


R
dt
d
R
dt
dv
a CM
CM 

  
R
aCM  (10)
Las ruedas de un automóvil o de una bicicleta se diseñan para que ruede sin deslizar
(o resbalar). Esto implica que en el punto de contacto C con el piso existe una fuerza
de rozamiento estático donde la rueda permanece momentáneamente en reposo.
Considerando que el punto de contacto C no se desliza, la fuerza de roce estático no
realiza trabajo y la energía mecánica se conserva.
Supongamos que la rueda se traslada hacia la derecha en una superficie plana. En un
instante dado, un punto a la izquierda del punto C de contacto se estará moviendo
hacia arriba, mientras que el punto C se estará moviendo hacia abajo. Un momento
después, este último punto que baja tocara el suelo y quedara instantáneamente en
reposo y así el proceso se va repitiendo

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El rodamiento de un cuerpo rígido se puede visualizar como la superposición de dos
movimientos: una rotación pura respecto a un eje que pasa por su CM y una
traslación pura del CM
Respecto a eje O, el punto C de contacto se mueve hacia atrás con velocidad
R
v 

 , mientras que el punto P superior se mueve hacia adelante con velocidad
R
v 

Las velocidades instantáneas de los puntos de la rueda resultan de la superposición
del movimiento de rotación y traslación. Escalarmente tenemos que:
 En punto de contacto C :
0





R
v
R
v
R
v
v CM
CM
CM
C 
 En el punto del eje O:
CM
CM
o v
v
v 

 0
 En el punto superior P :
CM
CM
CM
CM
P v
R
v
R
v
R
v
v 2




 

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6) Energía cinética en el rodamiento
El eje que pasa por el punto de contacto C esta instantáneamente fijo, por tanto la
energía cinética total de la rueda es:
2
2
1

C
I
K 
Donde C
I es el momento de inercia respecto a un eje en el punto de contacto.
Aplicando la condición de rodadura 
R
vCM  y el teorema de los ejes paralelos:
2
MR
I
I CM
C 

Tenemos que la energía cinética total es:
2
2
2
)
(
2
1
2
1









R
v
MR
I
I
K cm
CM
C
2
2
2
1
2
1
CM
CM Mv
I
K 
  (11)
La ecuación (11) indica que la energía cinética total de un cuerpo que rueda es la
suma de la energía cinética de rotación (
2
2
1

CM
I ) más la energía cinética de
traslación (
2
2
1
CM
Mv
K  )

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