The document discusses different types of coordinate systems, including Cartesian and polar coordinates. It provides definitions and examples of transforming coordinates between the Cartesian and polar systems. The key steps for transformation involve using trigonometric functions like sine, cosine, and inverse tangent. Translating and rotating coordinate axes is also covered, with equations provided for finding new coordinates after such transformations. Examples of graphs in polar coordinates include a parabola and circle.
1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión – Caracas
Transformación de coordenadas.
Profesor: Ely Ramirez
Autor: Tapia Domínguez Javier Enrique, C.I.: 30.124.203
Caracas, 10 de diciembre de 2021
2. Transformación de coordenadas
Definición y conceptos básicos de transformación de coordenadas
Existen diferentes tipos de coordenadas dependiendo de los sistemas que se utilicen. Por
ejemplo, las coordenadas cartesianas y polares, son los dos principales.
Cartesianas
Para el caso de las coordenadas cartesianas, consta de dos ejes coordenados llamados
abscisas y ordenadas, los cuales cortan en el origen. Para el caso de las ordenadas, consta
de una recta vertical denominado eje Y. Asimismo, el eje de las abscisas se denomina como
eje X, y es representado por una recta horizontal con inclinación de 0°.
En el sistema de coordenadas cartesianas los puntos dependen de la distancia con
respecto al eje coordenado en cuestión (X, Y).
Por ejemplo, un punto que corta con el eje X sería P= (1, 0), donde P estaría 1 unidad
alejado del origen hacia la derecha. En el caso del punto P= (0, 1), P corta con el eje Y, y
estaría alejado 1 unidad hacia arriba del origen. Por último, el punto P= (1, 1), estaría
alejado 1 unidad hacia la derecha y 1 hacia arriba, y no cortaría con ninguno de los ejes
coordenados. A su vez, también existen coordenadas negativas, las cuales hacen el inverso
de las positivas. X= -1 está 1 unidad alejado hacia la izquierda del origen, y Y= -1 está 1
unidad alejado hacia abajo del origen.
Así pues, el origen está marcado por el punto P= (0, 0).
3. Polares
El sistema de coordenadas polares los puntos son determinados por una distancia al
origen y un ángulo. Consta de una recta horizontal que marca la distancia con respecto al
origen, en donde la segunda coordenada depende del ángulo que tome el punto.
Por ejemplo, el punto P= (5, 90°), el punto P está alejado 5 unidades del origen, con una
inclinación de 90°. Debido a que el sistema de coordenadas polares consta en su totalidad
de infinitas circunferencias, la distancia con respecto al origen es llamada radio R, pero el
ángulo es representado como Theta θ. Entonces los puntos del plano polar se representarían
como P= (R, θ).
4. Transformación de coordenadas cartesianas a polares
Como ya se sabe, las coordenadas cartesianas son representadas como (X, Y), por lo
tanto, para transformar las coordenadas cartesianas a polares, se deben hacer dos
procedimientos.
Para hallar el radio R:
Conociendo ambas coordenadas del punto, se puede aplicar el teorema de Pitágoras para
encontrar la distancia de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo, donde la base
sería X y la altura Y. Es así como R se encuentra con la siguiente fórmula:
𝑟 = √𝑋2 + 𝑌2
Para hallar el ángulo θ
Para encontrar el ángulo de inclinación θ que tiene un punto en coordenadas polares,
también se utilizan las coordenadas iniciales (X, Y) del punto. Teniendo en cuenta que el
eje X normalmente será el cateto adyacente del triángulo y el eje Y el opuesto, se puede
utilizar la razón trigonométrica de la tangente inversa del ángulo para encontrar θ. Tal que:
𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1
𝑌
𝑋
5. Transformación de coordenadas polares a cartesianas
Al igual que en la transformación anterior, en este caso se deberá conocer las
coordenadas del punto polar a transformar. Se utilizan razones trigonométricas afines
dependiendo del cateto a hallar.
Hallar la coordenada X
Para hallar la coordenada X del plano cartesiano, se utiliza la razón trigonométrica del
coseno, puesto que el eje X es el cateto adyacente con respecto al ángulo de inclinación.
Entonces se utiliza la siguiente fórmula:
𝑋 = 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃
Hallar la coordenada Y
Al igual que con la coordenada X, la coordenada Y del plano cartesiano se puede
conseguir con la función trigonométrica inversa de la anterior, sabiendo que el eje Y es el
cateto opuesto al ángulo. Entonces:
𝑌 = 𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃
Ejemplos de las transformaciones anteriores
De cartesianas a polares
P= (8, 6)
𝑟 = √82 + 62 = √100 = 10 𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 6
8
= 36.86°
P1= (10, 36.36°)
De polares a cartesianas
P= (6, 75°)
𝑋 = 6 cos(75°) = 1.55 𝑌 = 6𝑠𝑒𝑛(75°) = 5.79
P1= (1.55, 5.79)
6. Translación de ejes
La traslación de ejes ayuda a resolver problemas de la geometría analítica de manera
más sencilla, moviendo los ejes representan un nuevo punto de origen para un plano
desplazado llamado 0’ (h, k), donde los ejes X, Y pasan a ser ejes paralelos que cortan en el
origen 0’ llamados X’ y Y’.
Asimismo, las ecuaciones para hallar los nuevos puntos en el nuevo origen desplazado
serían:
𝑋′
= 𝑋 − ℎ
𝑌′ = 𝑌 − 𝑘
Rotación de ejes
La rotación o giro de los ejes tiene la función de agregar un ángulo a los ejes
coordenados originales denominado Phi Φ, pero manteniendo la misma ubicación del punto
original. Es decir, el origen del sistema se mantiene, al igual que la ubicación del punto,
pero cambia sus coordenadas en función del ángulo de inclinación.
Estas nuevas coordenadas se denominan X’ y Y’, entonces un punto en el eje con
rotación será P’= (X’, Y’). Para encontrar las nuevas coordenadas de un punto con ejes
rotados se utilizarían las siguientes fórmulas:
𝑋′
= 𝑥𝐶𝑜𝑠𝛷 + 𝑦𝑆𝑒𝑛𝛷
𝑌′
= 𝑦𝐶𝑜𝑠𝛷 − 𝑥𝑆𝑒𝑛𝛷
