Este documento presenta un repaso de examen final para el curso de Matemáticas para Ingenieros II. Incluye cuatro ejercicios de práctica sobre integrales iteradas, cambio de variable a coordenadas polares y esféricas, integrales dobles y triples, y el cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa e inertias. Finaliza con una pregunta sobre los aprendizajes del día y agradecimientos.

1. Bienvenido
Comenzamos en breve

2. Repaso de examen final
Matemática para ingenieros II

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Percy Casquina Rojas
Tutor - Docente

4. ● Integrales iteradas: áreas y volúmenes
● Cambio de variable: coordenadas polares
● Integrales dobles: centros de masa y momentos de inercia
● Área de una superficie
● Integrales triples: Aplicaciones
¿Qué veremos hoy?

5. Coordenadas cilíndricas

6. Coordenadas esféricas

7. Ejercicio 1
Calcule la masa de la lámina en la forma de la región acotada por las curvas
𝒚 = −𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟓 y 𝒚 = −𝒙 − 𝟏, si la densidad de área en el sistema
internacional, en cualquier punto es 𝝆 𝒙, 𝒚 = 𝒚

8. Ejercicio 1

9. Ejercicio 2
Usando el cambio de variable a coordenadas polares, calcular:
න
𝟎
𝟐
න
𝟎
𝟒−𝒙𝟐
𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙

10. Ejercicio 2

11. Ejercicio 3
Empleando integrales dobles calcular el área de la superficie del
paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 abajo del plano 𝒛 = 𝟐𝟓

12. Ejercicio 3

13. Ejercicio 4
Calcule: ‫׮‬
𝑨
𝒙𝟓
𝒚𝟑
𝒛 𝒅𝑽, dando el recinto V por las desigualdades
𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙, 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒙𝒚
𝑰 = ම
𝑨
𝒙𝟓
𝒚𝟑
𝒛 𝒅𝑽
𝑨 = { 𝒙, 𝒚, 𝒛 /𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙, 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒙𝒚}

14. ¡A poner en práctica!
Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
= 𝟒 y el
paraboloide 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟑𝒛 (la parte interior con respecto al paraboloide)

15. ¡A poner en práctica!

16. ¿Qué aprendizaje nos llevamos el día hoy?

17. ¡Gracias!