Estimaciones para garantizar promoción

1. Estimaciones

2. Identificar valores de la población y
valores de la muestra
Población Signos Muestra Signos
Parámetro Estadístico
Media Aritmética µ Media Aritmética
Desviación
estándar
 Desviación
estándar
s
Proporción P Proporción P
N ≥ 30 n < 30

3. 1. Intervalo de confianza para una media aritmética  
 Utilizando la distribución “Z”  
 Utilizando la distribución “t student”  
2. Análisis de estimación para una proporción  
 Utilizando la distribución “Z” (para proporciones siempre es Z)  
3. Estimación para la diferencia entre dos medias aritméticas, Independientes
 Utilizando la distribución “Z”
 Utilizando la distribución “t student”
4. Estimación para la diferencia entre dos medias aritméticas, Dependientes
 Utilizando la distribución “t student”
5. Estimación para la diferencia entre dos proporciones
 Utilizando la distribución “Z” (para proporciones siempre es Z)

4. Caso especial: se conoce la desviación
estándar poblacional.
• La vida útil de una muestra aleatoria de 20 focos, es 4,500 horas con una
desviación estándar de 125. La desviación estándar del total de 400, es de 250.
Halle un intervalo de confianza del 95 %; para el promedio poblacional de vida de
los focos.
• Datos:
n:20 focos
: 4,500
S: 125 focos
N: 400 focos
 : 250
FFC: n/N = 20/400 = 0.05 se aplica.
β : 0.95 (0.95/2) = 0.4750 = Z: 1.96

5. • Intervalo de Confianza: IC: ± Z

𝒏
𝑵−𝒏
𝑵−𝟏
Primer Paso: Sustituir datos
• IC: 4,500 ± 1.96
𝟐𝟓𝟎
𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎−𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎−𝟏
• Segundo Paso: Sacar de paréntesis utilizando 4 decimales.
IC: 4,500 ± (1.96) (55.9017)(0.9759)
IC: 4,500 ± 106.92
Nota importante: cuando se tiene información
de la desviación estándar poblacional “”, se
utiliza “Z” aunque la muestra sea pequeña.

6. IC: 4,500 ± 106.92
LIC: 4,500 – 106.92= 4,393.08
• LSC: 4,500 + 106.92= 4,606.92

7. Identificar la estimación puntual, el máximo error
de estimación y el error estándar del muestreo
• Estimación de punto = µ 4,500 = 4,500
• Máximo error de estimación ± 1.96
𝟐𝟓𝟎
𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎−𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎−𝟏
• Error estándar del muestreo
𝟐𝟓𝟎
𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎−𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎−𝟏

8. • Ejercicios

11. Estimación para la diferencia entre dos
medias aritméticas, Independientes
Distribución “Z”
Se comparan tipos distintos de recubrimiento para tubos, en cuanto a su tolerancia a la
corrosión. La cantidad de corrosión en una muestra de tubo se cuantifica midiendo la
profundidad máxima de las picaduras. Para el recubrimiento A, 30 muestras
mostraron una profundidad máxima promedio de 0.25 cm con una desviación estándar
de 0.03 cm. Para el recubrimiento B, las profundidades máximas de picaduras en 35
muestras tuvieron un promedio de 0.31 cm y desviación estándar de 0.02 cm. Estimar
la diferencia entre profundidades promedio en un intervalo de confianza del 95%.
Datos.
Recubrimiento N S
A 30 0.25 0.03
B 35 0.31 0.02
Β = 0.95

12. IC: ( 1- 2) ± Z
𝑺𝟏
𝟐
𝒏𝟏
+
𝑺𝟐
𝟐
𝒏𝟐
IC: (0.25 - 0.31) ± 1.96
𝟎.𝟎𝟑𝟏
𝟐
𝟑𝟎𝟏
+
𝟎.𝟎𝟐𝟐
𝟐
𝟑𝟓𝟐
IC: 0.06 ± (1.96)(0.0064)
L1: 0.06-0.0125 = 0.0475
L2: 0.06+0.0125 = 0.0725
Recubrimiento N S
A 30 0.25 0.03
B 35 0.31 0.02
Β = 0.95/2 = 0.4750

13. Estimación para la diferencia entre dos
medias aritméticas, Independientes
Distribución “t”
Se comparan dos tipos de tornillo para ver su resistencia a la tensión. Se prueban 29
piezas de cada tipo. La marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 88.4 kg
con una desviación estándar de 6.5 kg, mientras la marca B tuvo una resistencia
promedio a la tensión de 79.4 kg con una desviación estándar de 5.7 kg. Estime un
intervalo de confianza del 90 % para la diferencia de las resistencias promedio, a la
tensión de los dos tipos de tornillos.
Datos.
Marca N S
A 29 88.4 6.5
B 29 79.4 5.7
Β = 0.90

14. • IC: ( 1- 2) ± t
𝑺𝟏
𝟐
𝒏𝟏
+
𝑺𝟐
𝟐
𝒏𝟐
• t: (gl; 1- α/2)= t(n1 + n2 -2; 1- α/2)
• = (29+29-2; 1-0.10/2) = (56; 0.95) = 1.673
• IC: (88.41- 79.42) ± 1.673
𝟔.𝟓𝟏
𝟐
𝟐𝟗𝟏
+
𝟓.𝟕𝟐
𝟐
𝟐𝟗𝟐
IC: ( 9 ) ± (1.673)(1.6054)
L1: 9- 2.6858 = 6.3142
L2: 9+ 2.6858 = 11.6858
Marca N S
A 29 88.4 6.5
B 29 79.4 5.7
Β = 0.90

15. Estimación para la diferencia entre dos
medias aritméticas, Dependientes “t”
Una empresa propone al director una fábrica, licenciado Oswaldo Batres, un nuevo
método que supuestamente, reduce el tiempo empleado en el montaje de uno de sus
productos. Con el propósito de comparar tal método con el empleado
habitualmente, selecciono aleatoriamente a ocho empleados para hacer el montaje
con los dos sistemas, y anotó los tiempos empleados en el montaje, obteniendo los
siguientes resultados:
Con un nivel de confianza del 95 % ¿Cuáles serán los limites, si el licenciado Batres
quiere estimar el promedio de las diferencias con los dos métodos?
Método habitual 40 35 38 33 39 37 36 38
Método nuevo 35 33 35 29 36 32 34 31

16. No
Método
habitual
Método
nuevo d d²
1 40 35 5 25
2 35 33 2 4
3 38 35 3 9
4 33 29 4 16
5 39 36 3 9
6 37 32 5 25
7 36 34 2 4
8 38 31 7 49
∑d 31
d² 141
=31/8 = 3.87

17. • Datos
• t= (gl; 1-α/2) = (n-1; 1-0.05/2)=(8-1; 1-0.05/2) = (7; 0.975) = 2.365
• IC: ± t
𝑆𝑑
𝑛
•𝑆𝑑= ∑𝑑2−𝑛( )²
𝑛 −1
=
141−8(3.87)²
8 −1
= 1.7396
• IC: 3.87 ± 2.365 (
1.7396
8
)
• IC: 3.87 ± (2.365) (0.6150)
• L1: 3.87 - 1.4544 = 2.4156
• L2: 3.87 + 1.4544 = 5.3244

18. Estimación para la diferencia entre
dos proporciones “Z”
• De una muestra de 112 grandes empresas minoristas, 70 emplean técnicas
estadísticas como un método de predicción de sus ventas. De otra muestra
aleatoria independiente de 135 pequeños minoristas, 65 utilizan técnicas
estadísticas como método de predicción de sus ventas. Calcule un intervalo de
confianza de 90 %, para estimar la diferencia de proporciones de la empresas que
emplean métodos estadísticos para la predicción.
• Datos:
• n1 112
• p’ = 70/112= 0.63
• n2 135
• p’ = 65/135 = 0.48
• β = 0.90/2 = 0.4500 = 1.65

19. • Tener cuidado con la información (cuadrarla)
• De una muestra de 112 grandes empresas minoristas, 42 no emplean técnicas estadísticas como un
método de predicción de sus ventas. De otra muestra aleatoria independiente de 135 pequeños
minoristas, 65 utilizan técnicas estadísticas como método de predicción de sus ventas. Calcule un
intervalo de confianza de 90 %, para estimar la diferencia de proporciones de la empresas que
emplean métodos estadísticos para la predicción.
• Datos:
• n1 112
• No emplean y el problema me pide los que emplean: 112-42 = 70
• p’ = 70/112= 0.63
• n2 135
• p’ = 65/135 = 0.48
• β = 0.90/2 = 0.4500 = 1.65

20. • IC: (p’1- p’2) ± Z p’q′𝟏
𝒏𝟏
+
p’q′𝟐
𝒏𝟐
• IC: (0.63- 0.48) ± 1.65
𝟎.𝟔𝟑∗𝟎.𝟑𝟕
𝟏𝟏𝟐
+
𝟎.𝟒𝟖∗𝟎.𝟓𝟐
𝟏𝟑𝟓
• IC: (0.15) ± (1.65)(0.0627)
• L1=0.15 – 0.1034 = 0.0466
• L2=0.15+ 0.1034 = 0.2534

21. Gracias por su
atención