El principio de Huygens-Fresnel y el premio de la Academia de Ciencias de París de 1819.

Gradu Amaierako Lana / Trabajo Fin de Grado
Fisikako Gradua / Grado en Física
Óptica: una breve historia.
El principio de Huygens-Fresnel y el premio de la Academia de Ciencias de
París de 1819.
Egilea/Autor/a:
Igor García Atutxa
Zuzendaria/Director/a:
José Ángel García
Leioa, 2016ko iraila-ren 1a /Leioa, 1 de septiembre de 2016

ÍNDICE ÍNDICE
Índice
1. Introducción y objetivos 3
2. Desarrollo 4
2.1. Contexto cientı́fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1. Teorı́as de la luz. Siglos XVII-XVIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2. Principios del siglo XIX. Teorı́a de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Cientı́ficos y sociedades cientı́ficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4. Premio de la Academia de Ciencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5. Aceptación y transición a la teorı́a ondulatoria de Fresnel . . . . . . . . . 10
2.2. Teorı́a de difracción de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2. Redescubriendo la interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3. Memoria de octubre de 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4. Experimento del doble espejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5. Rayos eficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.6. Memoria presentada a la Academia de Ciencias . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Teorı́a de difracción para los estudiantes de Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1. Difracción de Fresnel por aberturas y obstáculos circulares . . . . . . . . . 27
2.3.2. Integrales de Fresnel y abertura rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Conclusiones 33
Referencias 34
2

1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
1. Introducción y objetivos
El estudio de la naturaleza de la luz ha suscitado diversos debates y teorı́as a lo largo de
nuestra historia. En la Antigua Grecia, se pensaba que la luz era una emisión que tenı́an ciertos
cuerpos. Aún ası́, algunos intelectuales de aquella época, como Euclides, desarrollaron leyes en
geometrı́a que posteriormente serı́an muy útiles para la óptica. Siguiendo la herencia de estos
autores, en la Edad Media, los árabes proseguirı́an haciendo avances en la óptica, con Alha-
zen a la cabeza y su obra Libro de la Óptica. En este libro se utilizaban técnicas cientı́ficas
que intentaban evidenciar la propagación rectilı́nea de la luz, también se analizaban diferentes
fenómenos ópticos como la reflexión o la refracción. Ulteriormente, en el siglo XVII, aparecerı́an
dos teorı́as que durante casi dos siglos se contrapondrı́an, originando uno de los enfrentamientos
más apasionantes y trascendentales de la fı́sica. Estas dos teorı́as de la naturaleza de la luz eran:
la teorı́a corpuscular y la teorı́a ondulatoria cuyos principales adalides eran Newton y Huygens,
respectivamente. Durante este perı́odo, todas las ondas conocidas necesitaban un entorno mate-
rial para propagarse en el espacio. Los defensores de la teorı́a ondulatoria creı́an que ese medio
especial por el que se transmitı́a la luz era el éter. En la teorı́a corpuscular, se partı́a de la
base de que los cuerpos emitı́an partı́culas. Además, se suponı́a que habı́a diferentes tipos de
partı́culas lumı́nicas dando lugar a los diferentes colores. Finalmente, esta segunda teorı́a saldrı́a
victoriosa de la contienda, siendo aceptada ampliamente por la comunidad cientı́fica hasta los
experimentos de Young (1801). Uno de los logros de Young fue la incorporación de un nuevo
concepto que reforzaba la teorı́a ondulatoria, la interferencia. Años más tarde, Fresnel con su
teorı́a de la difracción dotarı́a a la teorı́a ondulatoria de una mayor solidez. La teorı́a ondulatoria
fue ganando adeptos paulatinamente, ayudaron a ello los experimentos de Fizeau y Facoult o
la teorı́a de Maxwell. En la actualidad, la difracción es una técnica eficaz para el estudio de las
estructuras de los materiales (difracción de rayos X), entre otros.
La finalidad de este Trabajo Fin de Grado es la de mostrar la teorı́a de difracción de Fresnel,
tal y como él la presentó originalmente situándola dentro del contexto cientı́fico de la época. Hay
que decir que el orden de esta memoria ha sido un punto de discusión, más que de enfrentamiento,
entre el autor de este trabajo y aquellas personas que han tenido algo que ver en su génesis.
Finalmente he optado por la siguiente estructura. En primer lugar, para dotar al trabajo de un
contexto cientı́fico adecuado, teniendo en cuenta que Fresnel desarrolló su teorı́a en la década de
1810, se mencionarán y analizarán las principales organizaciones cientı́ficas y cientı́ficos de mayor
renombre de las últimas décadas del siglo XVIII y las primeras del siglo XIX. Se citarán también
las principales teorı́as sobre la naturaleza de la luz existentes en los siglos previos al XIX. De este
modo, podremos entender las grandes dificultades que tuvo que superar la teorı́a ondulatoria
de difracción de la luz de Fresnel, frente a la teorı́a predominante y ampliamente aceptada por
casi todos los cientı́ficos de la época, la teorı́a corpuscular de la luz de Newton. Continuaremos,
presentando los planteamientos iniciales y la trayectoria investigadora que desarrolló Fresnel
hasta llegar a su propuesta final. Se expondrán las ideas principales de la teorı́a de Fresnel, los
experimentos que realizó y los datos experimentales que la contrastaban. Su proposición final
está recogida en la memoria presentada a la Academie des Sciences (Academia de Ciencias).
Para todo ello, nos basaremos en la tesis Augustin Fresnel (1788-1827) and the establishment of
the wave theory of light[1], contrastando la información y empleando los datos experimentales de
la memoria de Fresnel, La diffraction de la lumière[2], anteriormente mencionada. Finalizaremos
el trabajo exponiendo la teorı́a de difracción como se estudia actualmente en el grado de Fı́sica,
puesto que este trabajo está ideado para ser utilizado como material complementario por los
alumnos de Óptica. Con el propósito de presentar la difracción tal y como hoy la cursan los
estudiantes de Fı́sica, se tomarán como referencia principal los libros Óptica[3] y Principles of
optics : electromagnetic theory of propagation, interference, and diffraction of light[4], ambos
libros forman parte de la bibliografı́a básica de la asignatura de Óptica.
3

2 DESARROLLO
2. Desarrollo
2.1. Contexto cientı́fico
Como nuestro propósito es analizar la teorı́a de Fresnel y dado que él vivió toda su vida en
Francia, nos es indispensable conocer la situación de la ciencia francesa, ası́ como las principales
teorı́as que formaban el paradigma de fines del siglo XVIII y principios del siglo XIX.
A finales del siglo XVIII, Francia vivió una época muy convulsa, ya que fue el epicentro de
una de las mayores revoluciones de la historia, La Revolución Francesa (1789). La cuál acabarı́a
con el Antiguo Régimen e iniciarı́a una nueva etapa que encabezarı́a finalmente, tras un golpe de
estado, Napoleón Bonaparte (1799-1814). Durante aquella etapa, Francia se encontraba en una
confrontación con Austria y Prusia (posteriormente la tendrı́a con Rusia, España e Inglaterra).
Napoleón consciente de la importancia de la ciencia en el devenir de las guerras contra otros
estados, impulsó la ciencia aplicada en su afán de formar un gran imperio. No soló eso, creı́a que
la ciencia sobrepasaba las fronteras nacionales y que por sı́ sola ayudarı́a a mejorar la reputación
de su gobierno. Con la meta de promover la ciencia, puso en marcha varios premios. Este es el
caso de un premio que se comenzó a entregar anualmente en 1802 al trabajo más innovador en
electricidad. La cuantı́a del premio ascendı́a hasta los 3.000 francos1[5].
Napoleón también tuvo buenas relaciones con algunos de los cientı́ficos franceses más impor-
tantes de este perı́odo, llegando a nombrar a varios de ellos ministros. Éste es el caso de Chaptal
y Laplace2.
2.1.1. Teorı́as de la luz. Siglos XVII-XVIII
A lo largo de los siglos han ido apareciendo multitud de teorı́as sobre la luz, en las cuales
se pretendı́a dar respuesta a preguntas como: ¿qué es la luz? y ¿cómo se propaga?. Antes de
llegar a los planteamientos más modernos de Young o Fresnel (siglo XIX) repasaremos que otras
teorı́as sobre la luz emergieron en los siglos XVII y XVIII. En este apartado se comentarán
las más importantes, sin olvidarnos que en la época en la que Fresnel formuló su teorı́a, habı́a
pocas personas partidarias de la teorı́a ondulatoria de la luz. La teorı́a que estaba totalmente
reconocida en todos los colegios y universidades era la corpuscular.
La teorı́a corpuscular de la luz fue propuesta por Newton. En opinión de Newton, la luz
consistı́a en una forma de movimiento o presión en un medio fluido universal, el éter3. La inter-
acción entre el éter y la luz, darı́a como resultado todo fenómeno óptico. Los fenómenos de la
refracción y de la reflexión los explicaba como la diferencia de densidad de éter provocada por la
presencia de cuerpos materiales. Newton también hizo una escasa mención a otro fenómeno, que
no era exactamente la difracción, al que los newtonianos4 llamaban inflexión5. La inflexión era
familiar para Newton, que habı́a observado extrañas perdidas de luz a través de ciertos objetos
opacos como cuchillos. Hooke comentarı́a que este fenómeno tenı́a un parecido a la curvatura del
sonido alrededor de obstáculos y por lo tanto daba crédito a la hipótesis ondulatoria de la luz.
Desde el punto de vista de Newton, la inflexión no era más que un tipo especial de refracción, y
la explicación que daba de ella no hacı́a ninguna referencia a la naturaleza de la luz. Después de
1
Llegando a otogarse 60.000 francos a cualquier trabajo similar en importancia a los de Volta o Franklin.
2
Ambos ostentarı́an el cargo de Ministro del Interior. Laplace sólo permanecerı́a en el cargo seis semanas.
3
En palabras de Newton el éter era “un medio de parecida constitución al aire, pero mucho más raro, más
sutil, y más elástico”.
4
Nos referiremos en este trabajo como newtoniano a todo aquello relacionado con la teorı́a corpuscular de la
luz o mecánica de Newton.
5
Las partı́culas al pasar a lo largo de una obstáculo eran atraı́das o repelidas.
4

2.1 Contexto cientı́fico 2 DESARROLLO
que Newton plantease su teorı́a, la luz pasó a consistir en cuerpos muy pequeños y, la interacción
entre los rayos de luz y las partı́culas se manifestaba en la refracción, reflexión e inflexión. Un
acontecimiento destacable en la óptica realizado por Newton sucederı́a en 1666, con su famoso
experimento del prisma, en el que se validó su hipótesis de que la luz blanca estaba formada por
la combinación de cada uno de los otros colores.
En 1800, la ciencia en óptica era totalmente newtoniana. Para llegar a aquella situación este
punto de vista tuvo que imponerse a diferentes teorı́as:
1. La teorı́a cartesiana, postulaba que la luz era presión transmitida instantáneamente a
través de la materia del espacio. Esta teorı́a perdió mucha credibilidad cuando en 1676 Roemer
demostró que la velocidad de la luz era finita6.
2. La teorı́a de Huygens (1678-1690, Traité de la lumière). En su obra Huygens desarro-
llaba una analogı́a entre el sonido y la luz, indicando que la luz era una forma de movimiento.
La luz consistı́a en impulsos emitidos desde las partı́culas vibrantes de un cuerpo luminoso a
las partı́culas elásticas del medio hasta llegar a nuestros ojos, haciéndose perceptible para el ser
humano. Cada una de esas partı́culas del éter, por transmitir el impulso a sus vecinos se con-
vertı́a en un emisor de onda esférico. Con este modelo Huygens era capaz de dar demostraciones
geométricas elegantes sobre las leyes de reflexión, refracción y doble refracción.
3. En 1699, el filósofo Malebranche presentó una teorı́a similar a la de Huygens, en ella
la luz se propagaba no por la interacción de las partı́culas elásticas, sino por la contracción y ex-
pansión de pequeños vértices que formaban el éter. A esta teorı́a le aportarı́a mayor profundidad
posteriormente Jean Bernoulli. Estas teorı́as encontraban su inspiración en la fı́sica cartesiana.
En paı́ses como Holanda o Reino Unido la derrota del cartesianismo fue rápida y se completó
después de la publicación de Philosophiæ naturalis principia mathematica (1687) de Newton. El
prestigio de Newton también ayudó a que se afianzara la teorı́a corpuscular, en detrimento de las
teorı́as cartesianas. Estos paı́ses fueron la excepción, ya que en la mayor parte de paı́ses continuó
el cartesianismo. Francia fue la que más se resistió. En 1738, se desatarı́a la última batalla en
Francia entre cartesianos y newtonianos cuando Voltaire publicó Elemens de la philosophie du
Newton, oponiéndose a la teorı́a de Bernoulli.
Durante el siglo XVIII, el mayor crı́tico de la óptica newtoniana fue Leonhard Euler7. Euler
seguirı́a los pasos de sus predecesores desde Huygens a Bernoulli, utilizando la analogı́a entre
el sonido y la luz. Esta analogı́a no podı́a ser completa en su opinión, debido a que la luz no
se curvaba al interaccionar con un obstáculo (como era el caso del sonido), generando sombras.
Utilizó el concepto de frecuencia para explicar los colores (Huygens no lo habı́a hecho), a cada
color le correspondı́a una frecuencia determinada. Asimismo, propuso que la luz consistı́a en
pulsos longitudinales que se transmitı́an a lo largo del éter de la misma manera que lo hacı́a el
sonido en el aire. Partiendo de la idea de que un cuerpo opaco es invisible, éste estarı́a protegido
de la luz incidente, la única explicación para la visibilidad serı́a que los rayos incidentes imparten
un movimiento vibracional a las partı́culas del cuerpo, estas vibraciones son las que producen
rayos secundarios que transmiten la imagen del cuerpo al ojo. La mayor objeción a la teorı́a
corpuscular que veı́a Euler era la idea del espacio vacı́o, consecuencia dibujada por Newton del
hecho de que el movimiento planetario no estaba sujeto a ninguna resistencia. Según Euler, sin
un medio que pudiera sustentar las vibraciones, no podrı́a propagarse la luz. Los newtonianos
se defendı́an de esos ataques argumentando que los cielos estaban llenos de corpúsculos que via-
6
Obtuvo un valor de c=225.000 km/s mediante la observación de los satélites de Júpiter.
7
Las ideas principales de Euler aparecen en su Nova theoria lucis et colorum(1746).
5

jaban en todas direcciones. La teorı́a de Euler en general era muy sólida, daba una explicación
a todas las clases de fenómenos ópticos.
2.1.2. Principios del siglo XIX. Teorı́a de Young
Tras muchas décadas de supremacı́a de la teorı́a corpuscular, en los primeros años del siglo
XIX, la teorı́a ondulatoria de la luz se reavivó gracias al fı́sico ingles Thomas Young. Young,
aunque no tenı́a animadversión a la teorı́a corpuscular, se inclinó por la teorı́a ondulatoria de-
bido a las analogı́as que percibı́a entre los efectos acústicos y ópticos.
Young defendı́a que la velocidad de la luz a través de un fluido elástico serı́a la misma en todo
el medio. Desde el punto de vista newtoniano, las partı́culas de luz se podı́an mover a diferentes
velocidades y dependiendo del color estas velocidades cambiaban. La hipótesis de la velocidad
uniforme, era inexplicable en la teorı́a newtoniana, la consecuencia de esta uniformidad serı́a
que cualquier partı́cula se transmitirı́a con la misma velocidad. La postura más mencionada
en contra de la teorı́a ondulatoria era la de la propagación rectilı́nea de la luz, ésta podı́a ser
desechada por considerar que el sonido podrı́a ser transmitido por un medio menos elástico que
el presumido para el éter luminoso. De ser cierto esto último la luz sufrirı́a una desviación menor.
Young demostró con argumentos de geometrı́a simple que la teorı́a ondulatoria era total-
mente consistente con la ley de ángulos iguales, la ley del seno de refracción (Ley de Snell), el
fenómeno de reflexión total y las caracterı́sticas generales de la inflexión.
En Mayo de 1801, Young descubrió el principio de interferencia de la luz8. Según este princi-
pio, el movimiento de una partı́cula de éter perturbada por las ondulaciones, era una combinación
de los efectos ocasionados por cada onda. Estas ondas de una cierta amplitud tenı́an unos máxi-
mos o crestas y unos mı́nimos. Cuando en un punto todas las crestas coincidı́an, la luz era más
intensa y cuando coincidı́an los mı́nimos la intensidad era nula, sino coincidı́an exactamente
era un punto intermedio entre ambas. Una explicación semejante de la ley serı́a: cuando dos
porciones diferentes de la misma luz (monocromática) llegan al ojo por diferentes rutas, la luz
se vuelve más intensa cuando la diferencia de caminos es múltiplo de la longitud de onda de la
luz monocromática.
En 1802 y 1803 en unas conferencias en la Royal Institution, ofreció una llamativa confir-
mación del papel que jugaba la interferencia en la difracción. Elaboró un experimento en el que
un haz de luz monocromática era dirigido a una pantalla con dos pequeñas rendijas. Este es el
conocido como experimento de la doble rendija de Young (1801). El verdadero argumento del
experimento estaba en los elementos cuantitativos, los valores de las longitudes de ondas podı́an
utilizarse para calcular la posición de las franjas en la pantalla receptora. Con los datos obteni-
dos en las medidas experimentales, parecı́a razonable la teorı́a de Young, aunque muchos de sus
compañeros no la tuvieron en cuenta. Después de los artı́culos de Brougham[6][7][8] en contra de
su trabajo, las investigaciones de Young fueron olvidadas, no recibieron prácticamente ningún
elogio y tuvieron un impacto pequeño. El artı́culo de Brougham fue una razón de la bajı́sima
aceptación de la teorı́a, pero sobre todo se debı́a a la firme idea de que la teorı́a corpuscular
era la correcta y que se imponı́a a la ondulatoria. Eso hizo que todos los intentos realizados a
principios de siglo fueran derribados, hasta que Fresnel presentara su teorı́a.
El clima de opinión de principios de siglo, se basaba en un acto de fe en la simplicidad de la
naturaleza y la convicción de que los procesos naturales eran análogos unos a otros y estaban
8
100 años antes Newton habı́a utilizado la idea de la interferencia para los efectos de las mareas en Batsha, en
el golfo de Tonkin.
6

limitados a unos pocos casos. Con el éxito de la teorı́a gravitacional se tenı́a la idea de que toda
la naturaleza se podı́a reducir a la interacción de partı́culas materiales bajo fuerzas atractivas
y repulsivas. Pudiendo explicarse de esta manera: la electricidad, el magnetismo, la refracción,
la reflexión... A este respecto, Biot en 1816 escribirı́a que la hipótesis ondulatoria debı́a de ser
rechazada, ya que las técnicas matemáticas existentes eran insuficientes para confirmar los re-
sultados experimentales que preveı́a dicha teorı́a. En cambio, en la corpuscular todo era claro y
preciso. Muchos cientı́ficos aceptaban de igual manera la teorı́a corpuscular porque matemáti-
camente era más sencilla.
2.1.3. Cientı́ficos y sociedades cientı́ficas
En las décadas de 1770 y 1780 habrı́a que destacar en la ciencia francesa los trabajos reali-
zados por Lavoisier, los cuales realizó sin ningún tipo de ayuda gubernamental. Posteriormente,
fueron surgiendo diferentes organizaciones cientı́ficas. Éste es el caso de la Primera Clase del Ins-
tituto de Francia (anteriormente conocida como Acadèmie Royale des Sciences, estaba dedicada
al estudio de las ciencias fı́sicas y las matemáticas), que se fundó en 1795 y del que formaron
parte cientı́ficos como Lagrange, Laplace, Berthollet y Guyton. Las otras dos clases que forma-
ban el Instituto trataban otras disciplinas no cientı́ficas. La Primera Clase contaba con unos 60
miembros, más que ninguna de las otras clases. Los miembros celebraban una reunión general
anual y una reunión pública cuatrimestral, esta última se exponı́a ante un público no cientı́fico.
En el siglo XIX, se crearı́a otra institución muy importante, La Sociedad de Arcueil. Fundada
en 1806, era un cı́rculo cientı́fico francés que se reunı́a los domingos en el pueblo de Arcueil,
al sur de Parı́s. Las reuniones se realizaban en las casas de Laplace y Berthollet. En ellas se
leı́an diferentes publicaciones de la Academia de Ciencias y luego se debatı́a. Las reuniones
finalizarı́an en 1822. La lista de miembros estaba repleta de grandes cientı́ficos franceses: La-
place, Berthollet, Malus, Gay-Lussac, Biot, Pyramus de Candolle, Collet-Descotils, Humboldt,
Thénard, Arago, Bérard, Chaptal, Dulong o Poisson. La mayor parte de estos cientı́ficos com-
partı́an la visión newtoniana, siendo un fiel reflejo del punto de vista de toda la ciencia. Esta
visión era mayoritaria en la sociedad debido en gran medida a Laplace y Berthollet. Laplace era
un gran admirador de Newton, Berthollet en cambio, fue desarrollando este punto de vista por
su insistencia en que las reacciones quı́micas sólo dependı́an de las masas de los reactivos, como
en mecánica newtoniana la fuerza entre dos cuerpos era función de la masa. En alguna de las
personas antes mencionada, la creencia en la teorı́a corpuscular de la luz fue desvaneciéndose
con el paso del tiempo. Entre ellos se encuentra Arago, un hombre de gran trascendencia en la
vida cientı́fica de Fresnel. Tras conocer las investigaciones de Fresnel y Young fue desechando la
teorı́a corpuscular. Esta sociedad era un grupo de presión para la elección de los puestos en La
Primera Clase del Instituto de Francia y la Academia de Ciencias.
Otras instituciones importantes serı́an: la École Polytechnique9 y la Academia de Ciencias.
La primera, estaba orientada a planteamientos teóricos. Los estudiantes acababan sus estudios
bien instruidos en las matemáticas y con gran dominio del cálculo. Las técnicas que utilizó Fres-
nel en su teorı́a de ondas muestran cierto legado de este organismo. La segunda serı́a la que
otorgarı́a su premio de 1819 a Fresnel por su memoria sobre la difracción de la luz.
Las rivalidades y enfrentamientos en la ciencia francesa de la época eran muy comunes, ya
que muchos cientı́ficos querı́an atribuirse los nuevos descubrimientos. De esta manera, conse-
guı́an todos los méritos y realzar su nombre para ganar premios y otras distinciones. A este
9
Fresnel estudió en la École Polytechnique, en la que se encontraban profesores como Berthollet, Lagrange,
Ampere, Poisson... En matemáticas y mecánica se daba una buena formación. En cambio, en fı́sica general la
enseñanza era muy débil.
7

respecto, es llamativo el caso de Biot. Biot era conocido por su hábito de reclamar como propio
el trabajo de otras personas y por omitir las referencias a otros trabajos que habı́a utilizado
para realizar el suyo. Hay una anécdota entre Biot y Arago que puede ser muy ilustrativa de
ciertos comportamientos en la ciencia de esta etapa. En uno de sus trabajos, Biot pidió ayuda a
Arago para un experimento. Cuando Biot publicó su trabajo lo hizo únicamente bajo su nombre,
omitiendo el nombre de Arago. Arago, cuando se percató de ello, expresó su malestar en una
carta que hizo llegar a Poisson y Thernard. Gracias a la intervención de ambos, el informe se
publicarı́a finalmente con los nombres de los dos cientı́ficos10.
2.1.4. Premio de la Academia de Ciencias
Como ya se ha mencionado, algunas de las diferentes sociedades cientı́ficas francesas otorga-
ban premios a las mejores trabajos cientı́ficos. Uno de los más importantes era el que entregaba
la Academia de Ciencias. En 1817, una comisión formada por Laplace, Biot, Berthollet y Charles
fue nombrada por la Academia de Ciencias para elegir el tema del siguiente premio en Fı́sica.
Laplace y Biot vieron en este premio una oportunidad para que jóvenes cientı́ficos desarrollaran
la teorı́a corpuscular de la luz. El 10 de febrero de 1817, Biot en representación de la comisión
propondrı́a como tema la difracción. Meses antes de que se conociera el tema del premio, en
diciembre de 1816, el futuro ganador del premio escribió desde Rennes a Arago para poder mos-
trar a Laplace los resultados que habı́a obtenido en favor de la teorı́a ondulatoria (darı́a un gran
impulso a su teorı́a que Laplace validara éstos). Arago le respondió que no tenı́a tiempo para
revisar los resultados, por lo que el encuentro con Laplace no tuvo lugar. Este encuentro tendrı́a
que esperar hasta el verano de 1818, cuando Fresnel junto a Arago visitó a Laplace en su casa
de Arcueil con la intención de ganarse su apoyo para obtener el premio de 1819.
Después de conocer la proposición de la comisión y tras decidirse a presentar su memoria,
el gran temor de Fresnel era la comisión que valorarı́a el premio. Fresnel temı́a que sus inte-
grantes fueran férreos partidarios de Biot y Laplace. Los integrantes de la comisión se dieron
a conocer el 27 de julio de 1818. La comisión estaba formada por cinco de los cientı́ficos más
destacados: Laplace, Biot, Poisson, Arago y Gay-Lussac11. Laplace, Biot y Poisson eran defen-
sores de la teorı́a corpuscular, Fresnel esperaba por parte de ellos gran hostilidad en contra de su
teorı́a ondulatoria. Arago, en cambio, era defensor de la teorı́a de Fresnel. El último miembro,
Gay-Lussac, nunca habı́a mostrado interés por la óptica y se esperaba que fuera totalmente
imparcial. Aunque los peores presentimientos de Fresnel no se habı́an cumplido, los partidarios
de la teorı́a corpuscular seguı́an siendo mayorı́a en el jurado, independientemente de la opinión
de Gay-Lussac. Parecı́a que su teorı́a tenı́a pocas opciones de prosperar.
Los candidatos que presentaban sus memorias al jurado eran oficialmente anónimos, se pre-
sentaban exclusivamente con un epigrama. Tras presentar los trabajos, los concursantes eran
libres de intentar convencer al jurado de que su trabajo debı́a ser el ganador. Fresnel intentarı́a
aprovechar la oportunidad para persuadir a los tres miembros newtonianos del jurado. Antes de
comenzar la competición Fresnel tenı́a la esperanza de convencer a Laplace de su teorı́a y le pidió
a Arago que concertara una cita con éste. Un mes después del cierre de la competición Fresnel
visitó a Laplace en Arcueil para debatir sobre los dos puntos de vista en la óptica (corpuscular
y ondulatoria). Laplace no le prestó mucha atención y no logró convencerlo. Biot y Poisson,
en cambio, estaban más dispuestos a discutir sobre óptica y albergaban algunas dudas sobre la
teorı́a newtoniana.
10
No es la única disputa que tuvo Biot. En un experimento con luz polarizada que realizó con Malus, se reprodujo
un hecho similar. Humboldt tuvo que mediar para acabar con el enfrentamiento.
11
En los miembros seleccionados se puede ver la gran influencia de la Sociedad de Arcueil en la Academia de
Ciencias durante el primer cuarto de siglo.
8

En la designación del premio, la Academia de Ciencias habı́a seleccionado dos memorias co-
mo posibles ganadoras. La “número 1” pertenecı́a a un fı́sico experimentado. Según la comisión,
los resultados de este trabajo no eran lo suficientemente precisos y no habı́a analizado bien los
fenómenos de la luz al pasar a través de ciertos obstáculos o aberturas. Añadı́an también, que el
autor parecı́a desconocer los trabajos de Young y Fresnel (publicados en Annales de chimie et
de physique, en 1816), además de tener graves y obvios errores. Por lo que la memoria “número
2” partı́a con ventaja (la memoria de Fresnel), bajo el tı́tulo de Natura simplex et fecunda12.
Fresnel, en su memoria presentada a la Academia de Ciencias, demostró que sus previsiones
teóricas estaban confirmadas por los valores experimentales obtenidos. Los resultados que pre-
sentó en su memoria, los obtuvo para los casos de un cuerpo opaco estrecho delimitado por lados
paralelos y el de una abertura estrecha de lados paralelos (geometrı́a rectangular). En un primer
momento, la comisión criticó que no hiciera un mayor énfasis en los resultados obtenidos y que
intentara contradecir la teorı́a corpuscular. Durante la revisión de la memoria de Fresnel, Pois-
son intuyó que ese análisis podrı́a ser extendido a otros casos y propuso el caso de un obstáculo
circular. Para este caso, Poisson dedujo que si la teorı́a de Fresnel era correcta, cuando la luz
fuera dirigida hacia un obstáculo opaco circular, en el centro de la pantalla deberı́a observarse
un punto brillante, como si no hubiera obstáculo (“spot” de Arago 13 o “white spot”14(punto
blanco)). Tras esta última aparentemente paradoja, parecı́a imposible que Fresnel ganara el pre-
mio.
En el informe del premio emitido por el jurado se mencionaba el valor que tenı́a la teorı́a para
cualquier distancia entre la fuente y el objeto difractado, por un lado, y entre el objeto y el punto
de observación, por el otro. Añadı́a que de las 125 medidas experimentales para obstáculos es-
trechos de geometrı́a rectangular, los valores experimentales de las franjas de difracción diferı́an
en un caso en 5/100 mm, en tres casos en 3/100 mm, en 6 casos en 2/100 mm y en 115 casos en
1/100 mm o menos (cuadro 1). Obtuvo errores similares en los resultados de aberturas estrechas
(cuadro 2). Sólo al final del informe los comisarios indicaban que Poisson habı́a propuesto que
no importarı́a que hubiera o no obstáculo, ya que en el centro habrı́a un punto iluminado. Esta
consecuencia de la teorı́a fue presentada con un experimento que realizó Arago, la observación
confirmó el planteamiento de Fresnel, existı́a el “white spot”. De todas formas se tomó como un
caso singular y no espectacular. Fresnel estaba seguro que si con un obstáculo circular brillaba
el centro, con una abertura circular el centro serı́a oscuro (“black spot” (punto negro)). Esta
visión era complementaria a la del “white spot”. La demostración experimental del primer caso
(la paradoja que planteó Poisson), se efectuó antes de la entrega del premio y la del “black
spot” se efectuarı́a después de la misma. La concesión del premio a Fresnel se aplazó hasta que
Poisson hiciera los cálculos teóricos y Arago verificara los resultados empı́ricamente, antes de
desechar la teorı́a. La existencia de este punto potenció la teorı́a de Fresnel e hizo tambalearse
las aparentemente firmes bases de la teorı́a corpuscular. Tras esta demostración, toda resistencia
hacia su teorı́a por parte de los newtonianos (o laplaceanos) se vino abajo.
El informe final hizo mucho mayor énfasis en los casos mencionados en la memoria y que ya
habı́an sido estudiados, que en la existencia del “spot” de Poisson. Ningún modelo de partı́culas
de la época podı́a explicar ese punto luminoso. El informe sobre las memorias presentadas en la
Academia de Ciencias fue leı́do por Arago el 15 de marzo de 1819, dando a conocer el resultado
12
Naturaleza simple y fértil. Este epigrama se debe a la creencia de Fresnel de que una buena teorı́a se basa en
una sencilla base conceptual y se predice mediante la experiencia. Es decir, la multitud de efectos que ocurren en
la naturaleza son ocasionados por ideas simples y generales.
13
También es conocido de forma jocosa como el “spot” de Poisson.
14
El white spot ya habı́a sido predicho por J.N. Delisle y G.F. Maraldi pero ninguno dio explicación del porqué
surgı́a. Los miembros de la Academia de Ciencias desconocı́an esta hipótesis.
9

de la competición. No hubo ningún tipo de duda en el jurado en que la memoria de Fresnel era
la mejor, obteniendo ası́ Fresnel el premio de la Academia de Ciencias de 1819. La memoria
completa se publicarı́a ese mismo año en Annales de chimie.
La teorı́a ondulatoria de la luz no era nueva, habı́a sido presentada por Huygens y después
por Young pero siempre habı́a prevalecido hasta la fecha la teorı́a corpuscular de Newton. En
1816, los estudios que estaba llevando a cabo Fresnel, en el que daba todo tipo de detalles sobre
las franjas de difracción dentro y fuera de la sombra del obstáculo opaco, y como obtenerlos de
forma directa impresionaron a Poinsot y Arago. Fresnel habı́a inventado un nuevo método de
observación y medición de las franjas de difracción. Hasta esa fecha los investigadores veı́an las
franjas indirectamente a través de una pantalla blanca o de una placa de vidrio sin pulir, Fresnel
se percató de que esto no era estrictamente necesario. Las franjas se podı́an obtener directamente
utilizando una simple lente. Con estas lentes se podı́a medir con gran precisión, hasta entonces
nunca conseguida, la distancia entre franjas. La comisión informó de las ventajas que ofrecı́a
este método novedoso. Este descubrimiento fue, el que hizo que su trabajo fuera considerado
como posible ganador, a pesar de los errores en el planteamiento que citaba la comisión. Estos
errores que veı́an en la teorı́a, se asentaban en bases corpusculares, dejando de lado ideas en
las que la teorı́a de Fresnel se asentaba firmemente. El jurado se centró en casos conocidos de
difracción y se olvidó de lo que acarreaba el “spot” de Arago, cuyo descubrimiento proponı́a una
gran revisión de toda la teorı́a corpuscular.
Aunque el descubrimiento del “spot” de Arago derribó toda oposición para la obtención del
premio y dejando también de lado lo novedoso del método utilizado, hay otra hazaña que le
dio gran reconocimiento ante la comisión: las expresiones matemáticas. El informe del comité
no mencionaba la palabra onda, sin embargo, si que daba gran importancia a estas expresiones
matemáticas, las conocidas como integrales de Fresnel. Estas integrales estaban fundamentadas
en la teorı́a ondulatoria de la luz pero en la comisión no tuvieron esto en cuenta. Lo que si pen-
saron es que el trabajo presentado por Fresnel, con esas integrales, daba una expresión general
para todo tipo de fenómeno de difracción.
El premio de la Academia de Ciencias de 1819 no fue un simple premio, los planteamientos de
Fresnel pusieron fin al predominio de la teorı́a corpuscular desde Newton15. A partir de entonces
algunos cientı́ficos empezaron a apostar por la teorı́a ondulatoria de la luz. No obstante, en
un primer momento, fuera de su cı́rculo de amigos y apoyos en Parı́s, sólo Young apreció el
alcance de la teorı́a de Fresnel. Al principio, Young se regañó a sı́ mismo por no pensar en usar
el principio de Huygens para explicar la difracción, pero luego tuvo la elegancia de reconocer
que la memoria de Fresnel “seguramente merece un rango distinguido entre los escritos que más
han contribuido al progreso de la óptica”[2]. Durante su largo periplo, Fresnel siempre tuvo el
apoyo de Arago. Desde sus inicios en trabajos sobre la luz, Arago le prestó su ayuda y estı́mulo,
proporcionándole laboratorios en Parı́s. Se convirtió en su defensor y colaborador dentro de
la Academia de Ciencias. El triunfo de Fresnel con la confirmación de la existencia del punto
de Arago, supuso una gran satisfacción para Arago. Tras muchas batallas en favor de Fresnel,
lograba vencer a los newtonianos.
2.1.5. Aceptación y transición a la teorı́a ondulatoria de Fresnel
El cambio de paradigma no fue inmediato. En la década posterior a la muerte de Fresnel
(década de 1830), la teorı́a ganó numerosos adeptos. Fue una época en la que la óptica sufrió una
reorientación. Se buscaban las ventajas y desventajas de cada teorı́a. Según afirmaba Verdet,
“el “spot” de Arago no supuso un cambio de la teorı́a newtoniana a la ondulatoria de manera
15
Fresnel le comentarı́a a su hermano Léonor en un carta: “Aquı́ hay algo más interesante que un premio; hay
una revolución que hacer en la ciencia”.
10

abrupta y veloz. No cambió las convicciones básicas de los comisarios, empero, era un incidente
notable que causarı́a una gran impresión”[9].
Entre los integrantes de la comisión reticentes a aceptar la teorı́a, encontramos a los defenso-
res de la teorı́a corpuscular: Laplace, Biot y Poisson. En el caso de Poisson, éste puso problemas
matemáticos a la teorı́a hasta pasado 1819. A pesar de la demostración paradójica del “spot” de
Arago, en 1823, Poisson escribirı́a a Fresnel para decirle que la teorı́a ondulatoria se encontraba
ante grandes dificultades y que esperaba que se clarificaran las dudas. Poisson añadı́a que en el
caso de ser correcta la teorı́a, estaba seguro que no era por las razones que se habı́an dado hasta
entonces. Por otro lado, Biot siguió resistiéndose a la teorı́a ondulatoria y haciendo una defensa
a ultranza de la teorı́a newtoniana hasta pasada la década de 1830, cuando empezó a cambiar de
opinión. Vivió hasta 1862, lo que le permitió ser testigo de como se iba derrumbando la teorı́a
que durante tanto tiempo habı́a defendido. Por último, Laplace, el gran estandarte de la teorı́a
corpuscular que murió solo cuatro meses después que Fresnel, no se conoce que escribiera nada
a favor de la teorı́a de Fresnel. Dada la notoriedad de Laplace, si hubiera escrito algo en este
sentido no habrı́a pasado inadvertido. Se puede decir que de los tres grandes rivales que tuvo
Fresnel en la presentación de su memoria, sólo Poisson cambió de punto de vista, aunque su
transformación fuera tardı́a. En 1840 después de su muerte, se encontraron unos papeles que
demuestran que aceptaba la teorı́a ondulatoria.
Al otro lado del canal de la Mancha, en la fı́sica británica, Brewster se opuso inicialmente a
la teorı́a. En 1833 escribirı́a, “La fuerza de una teorı́a para explicar y predecir hechos, de ninguna
manera es una prueba de su verdad; y en apoyo de esta observación sólo tenemos que apelar
a la teorı́a newtoniana”[10]. Toda su vida profesional la habı́a basado en la teorı́a corpuscular
y necesitó años para interiorizar la nueva teorı́a. En un primer momento, el mayor apoyo que
obtuvo la teorı́a fue de las nuevas generaciones de fı́sicos. Éste es el caso, por ejemplo, de Airy,
Ampère o Cauchy.
En el desarrollo de la teorı́a ondulatoria las matemáticas tuvieron un papel central. La
teorı́a lentamente se fue fundamentando en unas bases matemáticas sólidas. Desde la década
de 1830 la teorı́a ondulatoria fue adquiriendo mayor importancia, aun ası́ deberı́an pasar varias
décadas para que la aceptación fuera total. Esto se debı́a a que muchos fı́sicos habı́an estado
tan familiarizados con la teorı́a corpuscular que la conversión fue difı́cil. En cuanto a Fresnel,
sufrió la indiferencia de muchos de sus compañeros hasta su muerte, al igual que la sufrieron
Huygens o Young, y no llegó a ver el avance que supuso su propuesta. En 1823, se convertirı́a
en miembro de la Academia de Ciencias y en 1825 de la Royal Society de Londres. Esta última
sociedad cientı́fica, en 1827, en su último mes de vida le concedió la medalla Rumford16.
16
Distinción que se otorga por trabajos realizados en el campo de las propiedades térmicas u ópticas de la
materia.
11

2.2 Teorı́a de difracción de Fresnel 2 DESARROLLO
2.2. Teorı́a de difracción de Fresnel
La de Fresnel es una de las carreras más increı́bles de la fı́sica, como breve por la temprana
edad en la que se vio truncada17. Fresnel comenzó por pura intuición a creer en la naturaleza
ondulatoria de la luz. Toda su carrera la desarrollo defendiendo, elaborando y confirmando esta
teorı́a. Pese a que trabajó en otros ámbitos de la óptica, siempre le movió su convencimiento de
que la teorı́a ondulatoria era la correcta. A lo largo de su carrera siempre se encontró fuera de
la ortodoxia cientı́fica que habı́a predominado en los últimos 100 años. El conservadurismo de la
ciencia, hacı́a que la teorı́a corpuscular estuviera de moda debido a la persona a la que estaba
ligada, Newton.
La teorı́a ondulatoria debı́a presentarse desde todos los ángulos y en un lenguaje claro para
llegar a constituir un nuevo punto de vista viable. Este propósito sólo lo conseguirı́a Fresnel18.
La teorı́a que presentó Fresnel, era matemática en la forma y sus evidencias se sustentaban en
la comparación entre el valor medido y el estimado previamente. Fresnel dio sus primeros pasos
en la teorı́a ondulatoria de la luz cuando estuvo investigando la relación entre el calor y la luz.
En 1815, Fresnel decidió investigar la difracción de la luz. No querı́a simplemente investigar este
fenómeno, sino estudiar la naturaleza de la luz de una forma general. Consideraba que el mayor
problema para confirmar la teorı́a ondulatoria era la aparente propagación rectilı́nea de la luz. Si
la luz tuviera un comportamiento ondulatorio, deberı́a de tener ciertas analogı́as con el sonido,
pero parecı́a que no era capaz de propagarse sobre espacios o curvarse sobre los obstáculos en su
camino. La solución que propuso fue la de pensar que la luz no es exactamente igual al sonido,
es decir, las vibraciones en el éter y en el aire serı́an diferentes. Como la velocidad de la luz es
mayor que la del sonido, esto provoca una menor desviación en el camino rectilı́neo.
2.2.1. Método experimental
En los experimentos que realizó Fresnel sobre difracción hay una peculiaridad, el método
utilizado. En sus experimentos un haz de luz solar era enviado dentro de una habitación os-
cura a través de una ventana y era recibido en un pantalla de papel o cartulina blanca. Los
efectos producidos eran observados en la pantalla cuando el haz era interceptado por un objeto
estrecho. En tiempos de Fresnel la investigación estaba bastante restringida debida a la falta de
helióstatos que reflejaran los rayos solares, para mantener el haz de luz en una dirección cons-
tante durante horas sin moverlo se usaban espejos. Según Arago esto se podı́a resolver poniendo
una lente potente en la ventana que produciera una imagen microscópica de toda la suma de
rayos. De esta manera, Fresnel pudo hacer sus experimentos sin necesidad de tener helióstatos.
La novedad que introdujo Fresnel en el método experimental de medición era, que fue el pri-
mero que reemplazó la tradicional pantalla por una placa de vidrio esmerilado y observó las
franjas asociadas al obstáculo que aparecı́an con unas lentes potentes. Luego repitió el mismo
experimento pero esta vez usando una placa de vidrio, en la que sólo la mitad de la superficie
era vidrio esmerilado. Se percató de que los efectos observados a través de la lente para las dos
mitades eran los mismos. Aparentemente el tipo de vidrio no alteraba en nada la medida, por lo
que podı́a estudiarse la difracción directamente con las lentes. Esto era muy útil, de esta manera
nadie que experimentara con difracción tendrı́a que preocuparse por obstruir los rayos con su
cabeza cuando fueran a medir las franjas de difracción y podrı́an seguir las franjas de difracción
hasta prácticamente su origen. Para la medición de la anchura de las bandas ocasionadas por
la difracción era imprescindible un micrómetro que Fresnel no poseı́a. Improvisando cogió dos
17
Fresnel murió en 1827 a los 39 años de edad, tras sufrir una tuberculosis. Sus problemas de salud fueron
constantes a lo largo de toda su vida.
18
Los primeros trabajos de Fresnel en quı́mica y fı́sica tenı́an fallos en conocimientos elementales, lo que indica
que no consiguió gran nivel de conocimiento en la École Polytechnique, aunque adquirió ciertas rutinas a la hora
de trabajar.
12

hilos de seda anudados en un extremo y los estiró formando una especie de V, cogiendo un trozo
de cartulina como corredera. Ası́ consiguió una precisión de 1/40 mm en sus medidas, ninguno
de sus predecesores habı́a conseguido semejante exactitud.
Muchas de sus primeras observaciones estaban influenciadas por la teorı́a de Newton de la
inflexión. Conforme a esta hipótesis, era más apropiado estudiar el fenómeno en la vecindad
cercana del difractor donde las fuerzas atractivas y repulsivas se suponı́a que operaban. Estas
fuerzas deberı́an variar en magnitud dependiendo de la masa del difractor. Usando la técnica
mencionada anteriormente, Fresnel examinó las franjas externas19 a distancias cada vez más
cercanas al difractor y advirtió que aparentemente estas franjas surgı́an de las esquinas del di-
fractor. Este incidente lo tomarı́a como una prueba contra la explicación newtoniana. Si la teorı́a
newtoniana fuera correcta, deberı́a de haber una cierta distancia entre los bordes del difractor
que ocasionaban la repulsión de las partı́culas incidentes y el origen de las franjas de difrac-
ción. En ningún caso, todas estas franjas surgirı́an según la teorı́a corpuscular en el borde del
difractor como habı́a propuesto Fresnel tras su experimento. Convencido del error de la teorı́a
newtoniana de la difracción, Fresnel intentarı́a esclarecer este fenómeno partiendo de la base de
que la naturaleza de la luz es ondulatoria.
2.2.2. Redescubriendo la interferencia
El camino al éxito se le abrió a Fresnel con el redescubrimiento del principio de interferencia.
Es curioso que en las conversaciones que tenı́a con Arago en las cuales se hablaba mucho de
Young, no se mencionara su principal descubrimiento, la interferencia. Hay que señalar que no
hay muchas dudas de que Fresnel descubrió este principio de forma independiente, sin conocer
los planteamientos de Young. De hecho, toda la correspondencia entre Arago y Fresnel muestra
como Fresnel creı́a que la interferencia era un nuevo descubrimiento. El experimento con el que
demostró el principio de interferencia, fue uno de los que habı́a utilizado Young anteriormente.
Esto no es de extrañar, ya que los elementos y los experimentos que se podı́an elaborar con ellos
no ofrecı́an muchas variantes. Ulteriormente, Fresnel envió un primer informe a Arago de los
experimentos en difracción que habı́a llevado a cabo con placas finas como difractores. Cuando
Arago lo recibió, tomó la decisión de no remitirlo al Institut de France por su falta de innovación.
Fresnel continuó con sus investigaciones, añadiendo ahora una hoja de papel negro a una de
las esquinas del delgado filamento que usaba como difractor. Observó que las franjas internas de
la sombra desaparecı́an. En cambio, si el papel se quitaba reaparecı́an. Fresnel dedujo que las
franjas internas dependı́an de un cruce de los rayos desviados en la sombra desde ambos bordes
del difractor. Las franjas externas aparentemente surgı́an de un cruce de rayos procedentes direc-
tamente de la fuente de luz y por la reflexión desde un borde del difractor. La teorı́a newtoniana
no podı́a explicar este suceso. Sin embargo, la teorı́a ondulatoria sı́: “se deduce que las vibra-
ciones de ambos rayos los cuales se intersectan en un ángulo muy pequeño pueden neutralizarse
entre ellos si los nodos de uno corresponden con los máximos del otro”. El desconocimiento de
Fresnel del trabajo de Young hizo que invirtiera mucho tiempo en el fenómeno de la interferencia
que ya habı́a sido descubierto.
Fresnel para explicar este experimento confeccionó el esquema de la Figura 1. En este esque-
ma, S es el punto luminoso, A y B los extremos del cuerpo difractor y C el punto medio entre A
y B. Desde los puntos S, A y B como centro, se dibuja una serie de cı́rculos que continuamente
aumentan el radio en media longitud de onda.
19
Con franjas externas nos referimos a aquellas franjas que están fuera de la sombra geométrica, es decir, si
trazamos una lı́nea recta desde la fuente a los bordes del difractor hasta la pantalla, las franjas que quedarı́an
fuera. Las internas son las que se situarı́an dentro.
13

Figura 1: Interferencia de ondas emitidas desde la fuente S al pasar un obstáculo (AB). Figura
tomada de la referencia [2].
Supongamos que los cı́rculos en lı́neas continuas representan los nodos, y los cı́rculos en lı́neas
discontinuas los máximos. Las intersecciones de los diferentes cı́rculos dan la zona más oscura de
las franjas. F1 y F2 muestran las franjas externas de primer orden y de segundo orden, respec-
tivamente. Las hipérbolas f1, f2... indican las franjas interiores de primer orden, segundo orden...
Esta explicación serı́a uno de los primeros pasos que darı́a Fresnel en su camino hacia su
teorı́a definitiva de la difracción, pero todavı́a tenı́a que refinarla. Fresnel continuaba reteniendo
algunos conceptos de la teorı́a corpuscular, como la inflexión, que tendrı́a que soslayar. Para el
cálculo teórico, no se necesitaba más que la información aportada por la colocación y dimensio-
nes de los aparatos experimentales y el conocimiento de las longitudes de onda de los diferentes
tipos de luz monocromática que se empleaban. Considerando el caso de un difractor opaco, Fres-
nel consiguió dos fórmulas: la primera especificaba la localización de las franjas externas sobre
la pantalla y la segunda establecı́a la colocación de las franjas internas. Infirió estas fórmulas
teniendo en cuenta la Figura 2.
Figura 2: Imagen para obtener la ubicación de las franjas internas (M) y externas (F) al pasar
un obstáculo (AA0, su sombra geométrica es TT0). Figura tomada de la referencia [2].
En este esquema (Figura 2), R es el punto de la fuente de luz, AA´el difractor (C marca el
punto equidistante) y FT´ la pantalla. La anchura del difractor es c, la distancia BC es b, y la
14

distancia RB es a. Conforme a la hipótesis de Fresnel, la iluminación en el punto F fuera de la
sombra geométrica TT´, depende de la concurrencia de los rayos procedentes directamente de R
y de la reflexión proveniente de A. Siendo más precisos, la iluminación depende de la diferencia
de recorrido entre estos rayos, dado por RA+AF-RF. A la distancia FT la llamamos x, y la
expresamos en términos de RF, RA y AF. Luego despreciamos los ordenes superiores a O(x)
y O(c2). Éstos se pueden omitir debido a que son muy pequeños comparados con a y b. La
dependencia de c desaparecerá y tendremos que la expresión para la diferencia de trayecto serı́a:
d =
ax2
2b(a + b)
(1)
Despejando x obtenemos la primera fórmula que nos da la ubicación de las franjas externas,
x =
r
2db(a + b)
a
(2)
Cuando d es λ, 2λ o cualquier otro número entero de longitud de onda (nλ, n = 1, 2...), x nos
dará la posición de la franja luminosa de un determinado orden (n) medido desde el borde de la
sombra geométrica. De forma análoga cuando d tenga valores de longitud de onda semienteros

(2n + 1)λ
2
, n = 0, 1, 2...

, x nos dará la posición de las franjas oscuras de los distintos ordenes.
La segunda fórmula, nos da una forma de calcular la localización de las franjas internas. La
intensidad de la luz en el punto M (Figura 2) esta determinado por el efecto compuesto de los
rayos procedentes de ambos bordes del difractor, A y A´. La diferencia de camino es A´M -
AM. Si x es la distancia MC, la diferencia de camino sera:
d =
r
b2 +
c
2
+ x
2
−
r
b2 +
c
2
− x
2
(3)
Poniéndolo en forma de series y despreciando los términos de orden superior a x, obtenemos:
d =
cx
b
(4)
Despejando x de esta ecuación, obtenemos la posición de las franjas internas medidas desde el
centro de la sombra:
x =
bd
c
(5)
Otra vez tenemos, que si d es un número entero de longitudes de onda, x nos dará la posición
de las franjas luminosas. En cambio, si d es semientero obtendremos la posición de las franjas
oscuras. Partiendo de estas fórmulas Fresnel intentó corroborarlas experimentalmente.
Primero examinó las franjas externas. Hizo diferentes mediciones cambiando la fuente de luz,
el difractor, la pantalla y variando la distancia entre ellas. Midió los intervalos entre las franjas
de la sombra. A partir de los valores obtenidos, calculó la anchura geométrica de la sombra y la
comparó con los resultados de anchura teórica de su modelo ondulatorio. Parecı́a que ambos re-
sultados concordaban dando cierta confirmación de la teorı́a, no obstante en algunos casos habı́a
un desvı́o de un 7 %. El siguiente paso fue examinar las franjas internas, con las que obtuvo
un resultado similar. Aunque estos resultados eran esperanzadores para la teorı́a ondulatoria, lo
más favorable fue una de sus consecuencias: las posiciones ocupadas por las franjas variando las
15

distancias entre difractor y pantalla solı́an ser puntos a lo largo de una curva hiperbólica (Figura
1). Esta consecuencia, la propagación curvilı́nea de la franjas, no tenı́a ninguna base en la teorı́a
corpuscular, donde se promulgaba la propagación rectilı́nea. Los primeros meses en el estudio
de la difracción de Fresnel fueron fructı́feros y parecı́a que estaba en disposición de formular la
teorı́a de difracción, sobre todo después de su redescubrimiento de la interferencia. Todavı́a habı́a
detalles que pulir, es el caso de las franjas de luz fuera de la sombra. Estas franjas aparecı́an
donde la teorı́a decı́a que deberı́an presentarse franjas oscuras, y viceversa. Para corregir esta al-
teración en el posicionamiento de las franjas predicha por la teorı́a, Fresnel simplemente asumió
que los rayos procedentes del borde del difractador se sometı́an a un retardo de media longitud
de onda después de una inflexión. Esta aseveración no tendrı́a porque afectar a la teorı́a general.
El principio de Huygens de ondas elementales daba una mejor explicación de esta anomalı́a, pero
en este punto Fresnel estaba muy cerca de la concepción newtoniana. Según la concepción newto-
niana los rayos al pasar por el difractor, eran atraı́dos o repelidos por el material de los bordes20.
2.2.3. Memoria de octubre de 1815
Todo el trabajo de Fresnel sobre difracción hasta la fecha, serı́a incluido en una primera
memoria que publicaba el 15 de octubre de 1815. Fresnel aclaró, que si la memoria estaba mal
escrita era por la rapidez con la que tuvo que escribirla para que ningún otro cientı́fico se le
adelantara. Un suplemento de esta memoria se publicarı́a 3 semanas después. Mérimée actuó
de intermediario, enviando los papeles a Arago para que éste los presentara a la Primera Clase
del Instituto. Fresnel escribirı́a que a pesar de los resultados que habı́a obtenido, “la teorı́a de
Newton era aceptada de forma general”.
El Institut encargarı́a a Arago el examen de la memoria, quien fue presionado por Fresnel
para que hiciera una evaluación preliminar. La memoria fue leı́da cuidadosamente, el Institut
emitió unas valoraciones donde se mencionaba como se habı́an encontrado “un gran número
de experimentos interesantes, de los cuales algunos ya han sido realizados por el Dr. Thomas
Young, tratando de manera análoga este fenómeno a la que has adoptado”. Los peores augurios
para Fresnel se habı́an confirmado, Young se habı́a anticipado. Las noticias de que sus ideas
eran esencialmente las de Young, creó una pequeña rivalidad. Young no mencionó nada sobre
la propagación hiperbólica de las franjas, lo que llevó a Fresnel a hacerse la siguiente pregunta:
“¿Si Young se habı́a anticipado a sus ideas como no conocı́a que las franjas se propagaban hi-
perbólicamente?”. Esta idea para él era una consecuencia directa de la teorı́a. Arago consciente
de la frustración que le ocasionarı́a a Fresnel este revés, alzó la voz manifestando que nadie
previamente habı́a planteado la propagación hiperbólica de las franjas de difracción, dotando a
la memoria de un cariz novedoso. Aunque Arago se equivocaba en la originalidad de la idea,
Fresnel necesitaba un estı́mulo que no le hiciera pensar que habı́a malgastado el tiempo.
En el suplemento de la memoria, la cual Arago llevó al Institut, debatı́a la aplicación del
principio de la interferencia a las propiedades ópticas de superficies estriadas y placas finas.
Después de estos hechos, Fresnel intentó extender la hipótesis ondulatoria a la doble refracción
y a la polarización pero Arago le urgió a proseguir con el trabajo en difracción. De este modo,
Fresnel podrı́a dotar a su teorı́a de una base más sólida. Cuando volvió a Parı́s a principios
de 1816, se percató de que Young estaba siguiendo su misma lı́nea de investigación y volvió
a estudiar la difracción. Pero hasta ahora habı́a muy poco de nuevo en el trabajo de Fresnel.
De vuelta al estudio de la difracción, Fresnel redactó de nuevo su memoria para publicarla.
Informado, ahora sı́, de los logros de Young por el informe del Institut. Fresnel suprimió todo
el suplemento, solamente podrı́a justificar la publicación de la memoria por los motivos de la
20
El miedo a perder la primicia de la teorı́a, le forzarı́a a no reparar mucho en esta cuestión.
16

propagación hiperbólica de las franjas externas que previamente eran desconocidas (Fresnel y
Arago ası́ lo creı́an). Posteriormente, cuando la memoria de Fresnel se publicó en los Annales
de chimie, Young envió una carta diseñada para evitar un posible malentedido. Aunque Fres-
nel reclamó el descubrimiento de la propagación hiperbólica como suyo, Young tenı́a prioridad.
Fresnel le escribió diciendo que aunque sus ideas eran novedosas y conseguidas de forma in-
dependiente, Young se le habı́a adelantado, aun ası́, se alegraba de que esos descubrimientos
ayudaran a incrementar su confianza en la teorı́a que defendı́a. Ası́ Young era recompesado,
después de una década y media en la que sus compañeros habı́an obviado su trabajo. Con ello,
Fresnel conseguı́a una confirmación independiente a su trabajo, lo que podrı́a ayudarle para sus
futuros planteamientos. Una de las razones del oscurantismo y falta de atención al que habı́a
estado sometida la teorı́a de Young era la falta de claridad en sus propios apuntes de óptica.
Para explicar los conceptos, Young utilizaba demasiadas palabras y no era sistemático en sus
planteamientos lo que hacı́a difı́cil hacerse entender. En cambio, la memoria de Fresnel reflejaba
la disciplina de la educación cientı́fica parisina, lúcida, concisa y sistemática. Fresnel daba sus
argumentos con gran simplicidad poniéndolos sobre bases cuantitativas.
Arago, por otro lado, vio en el descubrimiento de la propagación hiperbólica de las franjas la
prueba decisiva de que la hipótesis ondulatoria era la correcta. A partir de ese momento, Fresnel
contarı́a con su respaldo y ayuda. En una carta que Arago envió a Fresnel se ofrecı́a como su
compañero, dispuesto a hacer frente a los defensores de la teorı́a corpuscular21. Arago urgió a
Fresnel para que repitiera y extendiera sus experimentos, objetivo que Fresnel aceptó. Fresnel
estaba convencido de que habı́a demostrado, fuera de toda duda, la proyección curvilı́nea de las
franjas de difracción. Arago estaba menos satisfecho. A principios de 1816, Fresnel estaba en
Parı́s y con la ayuda activa de Arago repitió todos los experimentos. Los experimentos confir-
maron todo lo que Fresnel reivindicaba y Arago intuı́a.
En un experimento ideado por Arago, una placa de vidrio era insertada dentro del haz de
luz en un borde del difractador. El efecto que se observaba en ese experimento, era exactamente
el mismo que cuando Fresnel, y anteriormente Young, habı́an interceptado los haces de luz con
objetos opacos. Las franjas dentro de la sombra desaparecı́an. Para explicar este sorprendente
fenómeno Fresnel razonó que la reducida velocidad de la luz pasando a lo largo del grueso vidrio
causaba el desplazamiento de las franjas fuera de la sombra. Predijo que si la placa de vidrio (o
una hoja de mica) fuera más fina, las franjas se desplazarı́an menos y quedarı́an dentro de las
franjas de la sombra. Tiempo después realizarı́a el experimento, obteniendo el resultado predi-
cho. Arago quedó sorprendido con este resultado, lo que animarı́a a Fresnel a presentar un breve
documento del experimento al Institut el 26 de febrero de 1816.
El Institut (Arago escribió el informe) reconocerı́a el valor de este trabajo. Introduciendo la
distinción entre los experimentos y la teorı́a, Arago primero discutió las técnicas observacionales
innovadoras y las caracterı́sticas de la difracción reveladas por ella. Las dificultades que este
fenómeno planteaba para la teorı́a corpuscular eran amplias. No en cambio para la visión on-
dulatoria de Fresnel. Los académicos, de igual forma, mencionaban que la teorı́a era admirable
en dos aspectos fundamentales: su precisión en el posicionamiento de las franjas de difracción
y sus leyes de propagación en el espacio. Asimismo se le aconsejaba si podrı́a centrar sus in-
vestigaciones en emplearlo a otros fenómenos fı́sicos, ya que habı́a algunos puntos oscuros. Esta
actitud de Arago en las notas emitidas por el Institut se debe a que siempre actuó con cautela
frente a ciertos descubrimientos, conocedor de la fuerte convicción newtoniana de los miembros
del Institut (los cientı́ficos más importantes y que además defendı́an esta teorı́a eran Laplace,
Haüy y Biot). Con esta oposición, lo máximo que podı́a conseguir Arago en esos momentos era
21
Arago empezó a dudar de la teorı́a newtoniana en 1811, con la explicación newtoniana de los fenómenos
cromáticos. Cuando leyó la memoria de Fresnel ya era proclive a la idea de la teorı́a ondulatoria.
17

el visto bueno por parte de los miembros del Institut para los experimentos de Fresnel, y en ello
se centró. Arago tuvo éxito con esta táctica y el Institut aprobó sus recomendaciones. Debido
a esto, Arago intentarı́a atrasar el plazo de presentación de ciertos experimentos hasta tener
mayores y fehacientes pruebas, consciente de la oposición que tendrı́an esos trabajos de Fresnel.
2.2.4. Experimento del doble espejo
Los descubrimientos reportados en la memoria inicial (memoria de octubre) sobre la difrac-
ción sólo eran el inicio. Alentado por Arago continuó con sus investigaciones, esta vez llevarı́a a
cabo el experimento conocido del doble espejo. Fresnel creı́a que la interferencia se podı́a demos-
trar ampliamente con el experimento en el cual las franjas internas de la sombra desaparecı́an
cuando el haz de luz era interceptado en el difractor. Ahora bien, los newtonianos podı́an ad-
herirse a la idea de que los fenómenos se debı́an a la atracción y repulsión ocasionada por los
bordes del difractor (inflexión), mientras los efectos de interferencia estuvieran asociados sólo
a la difracción. Fresnel buscaba alguna manera en la que poder derribar este argumento de los
newtonianos, para ello, necesitaba producir interferencia sin que éstos pudieran recurrir a la
inflexión como contraargumentación.
El experimento que se le ocurrió para desmontar ese argumento fue el siguiente: colocó dos
espejos, dos piezas de vidrio fino entintadas por la parte de atrás para evitar las dobles imágenes
(Figura 3), dispuestas por los extremos de tal manera que forman entre sı́ un ángulo ligeramente
inferior a 180◦. Frente a ellas, puso una fuente de luz situada en el punto S, aislándola con una
placa que permitı́a que no llegara la luz a la pantalla directamente (σ en la Figura 3). Los rayos
que se reflejan en los espejos y llegan a la pantalla pueden considerarse que tienen el origen en las
fuentes virtuales S1 y S2. Al realizar el experimento Fresnel vislumbró en la pantalla unas franjas
diminutas, producidas cuando los rayos reflejados de ambos espejos intersectaban e interferı́an
entre ellos. Cuando colocó un trozo de vidrio en uno de esos dos haces de luz, las franjas en
la pantalla desaparecı́an (cuando se quitaba el vidrio volvı́an a reaparecer). Esto era lo mismo
que ocurrı́a en los experimentos de difracción. Utilizando la analogı́a entre la anchura de los
difractores y la distancia que separa las dos imágenes espejo, fue capaz de calcular de su fórmula
teórica de la difracción los valores para la posición de las franjas. Los valores experimentales
obtenidos eran replicados con gran exactitud por los valores teóricos. Con este experimento
quedaba descartada definitivamente la explicación de la inflexión como el origen de las franjas.
Para Fresnel este experimento era la demostración de que las franjas estaban producidas por
la influencia que los rayos luminosos ejercen unos a otros y que sin ninguna duda la luz se
propagaba por ondas en el éter.
Con el experimento del doble espejo pudo dar por terminado su estudio de difracción. Pero
Fresnel no estaba del todo satisfecho y antes de abandonar el estudio de la difracción debı́a acla-
rar la inversión de las franjas, donde teóricamente deberı́an aparecer franjas oscuras aparecı́an
franjas iluminadas, y viceversa. Para ello, se pasó los dos siguientes años intentando encajar la
teorı́a total y definitivamente con las observaciones. Buscando el necesario refinamiento teórico,
primero rechazó su original punto de vista de que “el centro de la ondulación de la luz inflexada
era siempre el propio borde del cuerpo opaco, dicho de otro modo, la luz inflexada procedı́a de
los rayos que habı́an tocado su superficie”. La alternativa era que los rayos inflexados podrı́an
pasar a una cierta distancia del difractador opaco. Esta simple corrección introducı́a nuevas
diferencias de camino en el cálculo de distancias a la sombra, eliminaba el problema de la inver-
sión de las franjas y abrı́a el camino a una explicación completamente natural de la difracción.
¿Pero que base habı́a para creer que la luz inflexada se originase a cierta distancia del borde del
difractor?. Según Fresnel, si no habı́a ningún tipo de problema en la regularidad del movimiento
ondulatorio, las ondas deberı́an de ser totalmente esféricas. Cuando el movimiento vibratorio
18

Figura 3: Experimento del doble espejo de Fresnel. Los rayos parten de la fuente de luz S y se
reflejan en ambos espejos llegando a la pantalla σ. S1 y S2 son las fuentes virtuales de los rayos
reflejados. Figura tomada de la referencia [11].
es interceptado en algún lugar en el espacio, el frente de ondas primario forma en cada pun-
to nuevas ondas esféricas (ondas secundarias). Éstas, al interferir, se vuelven perceptibles sólo
en las direcciones donde se refuerzan entre sı́ y son imperceptibles en aquellas zonas en las
que anulan entre sı́. Combinando el concepto de ondas elementales con la interferencia Fresnel
podrı́a obtener la solución al problema, aunque esto planteaba grandes dificultades matemáticas.
2.2.5. Rayos eficaces
Empezarı́a a trabajar en este inconveniente en verano de 1816. Comenzó a analizar la idea
de los “rayos eficaces”. Haciendo uso del diagrama que utilizó Fresnel (Figura 4), tenemos que
A es el borde del difractor AG. A, B, C, C´ y C´´ son puntos a lo largo del frente de una onda
interceptada. F es un punto dentro de la sombra del difractor en el cual las ondas elementales
llegan en diferentes fases.
Desde el punto F como centro y cogiendo un radio igual a AF más media longitud de onda
describimos el arco EC. Éste corta el frente de onda en el punto C. Por lo tanto, los rayos CF y
AF difieren en media longitud de onda. C´F es igual a CF más media longitud de onda. Todas
las vibraciones salientes del arco CC´en dirección oblicua están en completa discordancia con las
vibraciones salientes de los correspondientes puntos de AC (interfieren destructivamente ya que
la diferencia de camino es de media longitud de onda, λ
2 ). Pero las ondas que surgen en CC´ ya
están debilitados por los rayos que aparecen en C´C´´, no pudiendo producir una disminución
mayor que la mitad en la ondas procedentes de AC. A excepción de este último arco, en el resto
del frente de onda se destruirán mutuamente los rayos que se producen. De esta manera, B en el
medio del arco AC, deberı́a considerarse el principal centro de ondas. El camino recorrido por el
rayo eficaz BF, consecuentemente, será en un cuarto de longitud de onda más largo que el que
recorrerı́a un rayo que surgiera en la orilla del cuerpo difractor AG.
19

Figura 4: Rayos eficaces. Se analiza la difracción en el punto F, siendo AG el difractor. Para
trazar los diferentes puntos, que representan cada rayo, se añaden múltiplos de λ
2 a la distancia
AF. Figura tomada de la referencia [2].
La idea de los rayos eficaces era un avance, ahora quedaban eliminados de su teorı́a todos los
vestigios de teorı́a corpuscular que pudiera haber. Este cambio de pensamiento centro la atención
lejos del material del borde del difractor, eliminando cualquier tipo de idea sobre la influencia
de la inflexión. Por otro lado, la idea de las ondas elementales podı́a aguantar cualquier tipo
de explicación en términos enteramente ondulatorios. La hipótesis de “rayos eficaces” reducı́a
la discrepancia entre la teorı́a y la realidad, pero carecı́a de precisión matemática. Fresnel no
estaba del todo satisfecho y rogó al Institut que encuadraran los resultados dentro de una teorı́a
muy difı́cil que todavı́a estaba en fases iniciales.
2.2.6. Memoria presentada a la Academia de Ciencias
Después de un tiempo estudiando la polarización cromática, retomarı́a el estudio de la difrac-
ción. En abril de 1818, Fresnel parecı́a tener buenos augurios sobre las soluciones a los errores
de su teorı́a. Pocos dı́as después, entregaba a la Academia de Ciencias la solución que podı́a sol-
ventar el problema que le habı́a atormentado durante mucho tiempo. En verano de 1818, Fresnel
se enteró de que el mes de marzo, la Academia de Ciencias habı́a anunciado la difracción como
tema para su próximo premio de 1819. Podı́a intuirse que el tema habı́a sido seleccionado en
respuesta directa al éxito alcanzado por Fresnel en la explicación de la difracción por medio de la
hipótesis ondulatoria, y/o que los newtonianos intentaban conseguir una alternativa adecuada
a sus planteamientos. Este galardón también servirı́a para fomentar más estudios en una mate-
ria que habı́a conseguido recientemente la atención de varios cientı́ficos: Young, Fresnel, Arago,
Pouillet, Biot, etc. Los newtonianos pensaban que un estudio detallado de la difracción serı́a
un nuevo triunfo para la óptica corpuscular. La opinión mayoritaria seguı́a siendo la corpus-
cular aunque Fresnel habı́a ido sumando adeptos (cientı́ficos como Arago, Ampere o el escocés
Playfair lo apoyaban). Muchos defensores de Fresnel tomaron este premio como una llamada
a las armas, donde Arago desempeñarı́a el rol de estratega. Como tal, la primera intención de
Arago fue la de mantener a Fresnel fuera de la competición y publicar su nueva teorı́a de la
difracción en los Annales de chimie. Cuando la comisión del premio anunció que ninguno de los
concursantes habı́a resuelto el problema, la inadecuidad de la teorı́a corpuscular quedó dramáti-
camente expuesta. Tras esto, Arago le instó a Fresnel a entrar en la lista de competidores. Para
Fresnel la competición sobre todo era una oportunidad de demostrar la superioridad de la teorı́a
ondulatoria, más que la oportunidad de lograr un premio.
En la competición la comisión valorarı́a dos elementos:
20

1. Determinar experimentalmente y con precisión todos los efectos de la difracción de rayos de
luz directos y reflejados cuando pasan cerca de los extremos de uno o varios cuerpos de forma
limitada o indefinida, teniendo en cuenta los intervalos entre éstos, ası́ como la distancia a la
fuente de luz de donde emanan los rayos.
2. Establecer y predecir, partiendo de estos experimentos por inducción matemática los movi-
mientos de los rayos en su paso cerca de los cuerpos.
La memoria que presentó Fresnel a la Academia de Ciencias sobre difracción era un suma-
rio de las investigaciones que habı́a desarrollado durante los últimos tres años. Empezaba con
una descripción general de los fenómenos de difracción y mostraba como estos contradecı́an la
teorı́a de la inflexión. Introducı́a el principio de interferencia como la explicación más natural
de los efectos de difracción. Volviendo a los planteamientos de investigaciones previas, Fresnel
consideró su hipótesis original de rayos procedentes del borde del difractor y luego la consignó
para descartar la inflexión. En la segunda parte de la memoria presentaba su nueva teorı́a. Se
iniciaba con unas pequeñas consideraciones para la matemática utilizada en la óptica de ondas.
Asumiendo una analogı́a entre las oscilaciones de una molécula del éter y las de un péndulo,
Fresnel primero notó que la fuerza que tendı́a a desplazar la molécula a la posición de equili-
brio es proporcional a la cantidad del desplazamiento. Si x es el desplazamiento, la fuerza serı́a,
Ax + Bx2 + Cx3 + ... Para pequeñas oscilaciones tenemos Ax, donde se desprecian los otros
términos, y por consiguiente, dv = Axdt. Fresnel resolvió esta ecuación obteniendo:
v =
√
Csin(
√
At) (6)
donde C representa la intensidad del movimiento vibratorio o amplitud. Si tomamos el periodo
de la oscilación como la unidad de tiempo, (cuando t = 1 ya ha realizado una oscilación com-
pleta) se puede escribir de la siguiente manera:
v =
√
Csin(2πt) (7)
Fresnel añadirı́a:“La velocidad de las moléculas de éter en cualquier punto del espacio después
de un tiempo t es proporcional a la del punto-fuente en el instante t −
x
λ
, siendo x la distancia
desde este punto a la fuente de movimiento y λ la longitud de onda de la luz”. Denotando como
u la velocidad de las partı́culas del éter, tenemos22:
u = asin
h
2π

t −
x
λ
i
(8)
Después de esto, Fresnel estaba en disposición de tratar el problema de la interferencia en su
memoria. Esto llevó al descubrimiento de un método para determinar el movimiento del éter
en un punto donde cualquier número de sistemas de ondas converge. Conociendo el resultado,
Fresnel tendrı́a una medida de la intensidad de la luz. Fresnel continuó trabajando en el caso del
movimiento producido por la concurrencia de dos sistemas de ondas, separado uno del otro por
un cuarto de longitud de onda. Las velocidades de estos sistemas vienen dadas por las ecuaciones
(8) y (9).
u0
= a0
sin


2π


t −
x +
λ
4
λ





 (9)
22
La intensidad a de vibración en un fluido es inversa al radio de la distancia de la onda desde el centro de la
perturbación. Si tenemos en cuenta lo diminutas que son estas ondas, cuando se las compara con la distancia que
les separa del punto luminoso, se puede despreciar la variación de a y tomarla como constante.
21

Ésta se puede expresar también de la siguiente manera,
u0
= −a0
cos
h
2π

t −
x
λ
i
(10)
La velocidad resultante serı́a:
V = asin
h
2π

t −
x
λ
i
− a0
cos
h
2π

t −
x
λ
i
(11)
Si ahora hacemos que a = Acos(i) y a0 = Asin(i), donde “i” es el ángulo entre la amplitud a
de una de las ondas y la amplitud A de la onda resultante, la fórmula anterior nos quedará de
la siguiente manera:
A
h
cos(i)sin
h
2π

t −
x
λ
i
− sin(i)cos
h
2π

t −
x
λ
ii
(12)
o
Asin
h
2π

t −
x
λ

− i
i
(13)
Con las relaciones anteriores de a y a0, Fresnel infirió que la amplitud era, A =
√
a2 + a02.
Esto precisamente serı́a el valor resultante de dos fuerzas perpendiculares a y a0. Otrosı́, la fase
de la nueva onda correspondı́a a la orientación angular de la resultante de las mismas dos fuerzas.
“Ası́, la similaridad entre la resultante de dos fuerzas perpendiculares y la de dos sistemas de
ondas separadas por un cuarto de longitud de onda estaba completo”. Esto resolvió el problema
de la interferencia,“cualquiera que sea el número de diferentes sistemas de ondas e intervalos
que los separan, uno puede sustituir por cada uno de ellos las componentes relativas a dos puntos
comunes separados por un cuarto de onda; luego, añadiendo o quitando, dependiendo del signo,
las intensidades de los componentes relativos al mismo punto, uno puede referir el movimiento
total a dos sistemas de ondas separados por un intervalo de un cuarto de onda, y la raı́z cua-
drada de la suma de los cuadrados de sus intensidades será la intensidad de su resultante”. El
procedimiento para determinar la amplitud de una onda compuesta es la misma.
Tras acabar su discusión de la interferencia, indicó la gran utilidad de este procedimiento:
para la óptica era útil tener una fórmula general que diera la resultante de dos sistemas de
ondas separadas por cualquier intervalo. Se ve que el movimiento combinado, corresponde a la
resultante de dos fuerzas iguales a las amplitudes de las ondas que concurrı́an, y otro término
dependiente de las distancia entre las dos ondas. Por lo tanto, la amplitud A de la onda resul-
tante serı́a:
A = ±
r
a2 + a02 + 2aa0cos

2π
c
λ

(14)
donde c es el intervalo entre la primera y la segunda onda.
Después de esto su memoria se centrarı́a en la teorı́a de la difracción. Continuando con su
estrategia de los “rayos eficaces”, Fresnel combinó el principio de interferencia con el concepto
de ondas elementales de Huygens. Su próximo objetivo serı́a determinar teóricamente la ilumi-
nación de algún punto que estuviera detrás del difractor.
22

Figura 5: El frente de onda con origen en C es dividido en pequeños arcos para analizar sus
contribuciones en el punto P. Figura tomada de la referencia [12].
En la Figura 5 tenemos que C es el punto luminoso, AG el cuerpo opaco y AME es el frente de
onda que ha alcanzado el borde A del difractor. Se puede ver que el frente de onda es parcialmen-
te interceptado por el cuerpo opaco. Entre puntos vecinos la diferencia de distancia respecto al
punto P (punto en el que se evalúa la señal) es de media longitud de onda. Imaginamos que el fren-
te está dividido en un número infinito de pequeños arcos (Am0, m0m, mM, Mn, nn0, n0n00, etc.).
Cada uno de estos elementos del frente de onda primitivo emiten ondas secundarias, para deter-
minar el efecto combinado de todas ellas en el punto P es necesario determinar la diferencia de
caminos entre cada una de ellas. Esto puede parecer muy complicado pero se puede reducir en
gran medida si tenemos en cuenta que los efectos de estos rayos se anulan entre sı́ cuando sus
direcciones son muy oblicuas respecto a la normal. Tomando los arcos EF y FI, los rayos serı́an
casi paralelos, ya que son muy oblicuos, siendo la distancia entre EP-FP (punto medio arco
EF) y FP-IP(punto medio arco FI) más o menos media longitud de onda. De este modo ambas
contribuciones a la intensidad en el punto P se contrarrestarı́an. Fresnel finalmente propondrı́a
que la onda resultante diferı́a en una fase de un cuarto de onda respecto a la onda que partı́a
del punto M.
Hasta aquı́ todo lo referido a la teorı́a de difracción era cualitativo y carecı́a de precisión
matemática. Para dotar a su memoria de la suficiente consistencia matemática, Fresnel utilizó la
idea de los sistemas de ondas separados por un cuarto de longitud de onda que habı́a empleado
en la interferencia. De esta manera relacionarı́a la onda elemental con un sistema de ondas que
partirı́a de M y otra que partirı́a con un cuarto de longitud de onda de desfase respecto a la de
M. Cogiendo el arco de la onda elemental nn0 consideraremos el efecto que produce en el punto
P. Fresnel representó esta porción de la onda primitiva como dz, designando la distancia a M
con la letra z. El intervalo nS (Figura 6) que es la distancia entre la onda que partirı́a de M y
la que partirı́a de n es:
z2(a + b)
2ab
(15)
donde a y b serı́an las distancias CA y AB, respectivamente. Si denotamos la longitud de onda
23

por λ, la componente de la onda elemental relativa a la onda emitida desde M será:
dz cos

π
z2(a + b)
abλ

(16)
La otra componente relativa a la onda separada por un cuarto de longitud de onda de la primera
será:
dz sin

π
z2 (a + b)
abλ

(17)
Si ahora tomamos la suma de los componentes similares de todas las ondas elementales, tendre-
mos: Z
cos

π
z2(a + b)
abλ

dz;
Z
sin

π
z2(a + b)
abλ

dz (18)
Estás integrales son las conocidas como Integrales de Fresnel.
Figura 6: Frente de onda a lo largo del tiempo para una onda emitida desde el punto C y que
se analiza en P. Se traza una circunferencia desde P con radio PM para calcular la diferencia de
camino entre ondas. Figura tomada de la referencia [12].
La raı́z cuadrada de la suma de sus cuadrados da la amplitud de la vibración resultante en
el punto P:
A =
sZ
cos

π
z2(a + b)
abλ

dz
2
+
Z
sin

π
z2(a + b)
abλ

dz
2
(19)
Mientras que haciendo la suma de sus cuadrados medimos la intensidad de la luz visible en el
punto:
I =
Z
cos

π
z2(a + b)
abλ

dz
2
+
Z
sin

π
z2(a + b)
abλ

dz
2
(20)
Las integrales de Fresnel no eran fáciles de resolver, salvo en el caso de que los lı́mites fueran 0
24

e ∞. En sus cálculos utilizó los siguientes cambios:
π
2
−→ q ;
2z2(a + b)
abλ
−→ v2
(21)
Fresnel tuvo serios problemas para resolver estas integrales. Finalmente las resolvió utilizando
series de integrales parciales23 24. Los resultados obtenidos para estas integrales aparecen ta-
bulados en su memoria. Fresnel se centró en el análisis de casos de obstáculos y aberturas con
geometrı́a rectangular. Comparando los valores teóricos con los valores experimentales obtenidos
para la distancia de los primeros mı́nimos y máximos acabó su memoria.
Resultados experimentales de la memoria: obstáculos y aberturas rectangulares25
En el caso del obstáculo rectangular opaco, Fresnel realizó 25 medidas diferentes midiendo la
distancia a la que se encontraban los primeros cinco mı́nimos. En cada una de ellas fue cambiando
las distancias entre los diferentes elementos. Para hacer las tablas sólo se han tomado los valores
que obtuvo en las medidas 1, 5, 10, 15, 20 y 25; y la distancia a los tres primeros mı́nimos.
Distancia del
punto luminoso
al obstáculo
opaco(m) ⇒ a
Distancia del
obstáculo
opaco al punto
de
observación(m)
⇒ b
Distancia a mı́nimos desde la sombra geométrica (mm)
Primer mı́nimo Segundo mı́nimo Tercer mı́nimo
medido teórico medido teórico medido teórico
0.1000 0.7985 2.84 2.83 4.14 4.14 5.14 5.13
0.510 0.501 1.05 1.05 1.54 1.54 1.90 1.91
1.011 2.010 2.59 2.59 3.79 3.79 4.68 4.69
3.018 0.253 0.54 0.55 0.80 0.81 1.00 1.00
3.018 3.995 3.19 3.22 4.70 4.71 5.83 5.84
6.007 0.999 1.13 1.14 1.67 1.67 2.06 2.07
Cuadro 1: Datos teóricos y experimentales obtenidos por Fresnel para los mı́nimos externos (fuera
de la sombra geométrica). Utilizó luz roja para sus experimentos (con algo de luz naranja). Como
promedio obtuvó que la longitud de onda era de 638 nm.
En este experimento Fresnel únicamente midió los mı́nimos ya que entendió que no era ne-
cesario para la comprobación de su teorı́a analizar también los máximos. Eligió examinar los
mı́nimos y no los máximos ya que visualmente los localizada mejor, obteniendo ası́ una mayor
precisión en las medidas.
En el caso de la abertura rectangular estrecha, Fresnel midió tanto los máximos como los
mı́nimos. Utilizando los valores tabulados que habı́a obtenido para las integrales de Fresnel (in-
tegrales (18)) hizo una estimación de la intensidad (I). En el cuadro 2 se puede apreciar que
los valores en la posición de las franjas no difieren mucho en el caso teórico o experimental.
Este cuadro no contiene todos los resultados que obtuvo Fresnel, se han suprimido la segunda,
cuarta y sexta medición totalmente y la tercera parcialmente (Fresnel realizó seis mediciones
23
R i+t
i
dv cos(qv2
) = 1
2q(i+ t
2 )
[sinq(i + t
2
)(i + 3t
2
) − sinq(i + t
2
)(i − t
2
)].
24
R i+t
i
dv sin(qv2
) = 1
2q(i+ t
2 )
[−cosq(i + t
2
)(i + 3t
2
) + cosq(i + t
2
)(i − t
2
)].
25
Tras el planteamiento de Poisson del “white spot”, Fresnel añadirı́a una nota para el caso de obstáculos
circulares.
25

cambiando las distancias entre los elementos y el tamaño de la abertura).
Orden
máximos y
mı́nimos
v desde el
borde de la
abertura
Intensidad
(resolviendo
integral)
Valor v para
máximo o
mı́nimo
Distancia a
máximos y
mı́nimos
Diferencia
Teórico Observado
Primera medición
a=2.010 m, b=0.617 m, c=0.50 mm
Mı́nimo 1
+0.812 0.03495
+0.913 0.79 mm 0.77 mm +0.02 mm
+0.912 0.01645
+1.012 0.03406
Mı́nimo 2
+2.412 0.00238
+2.463 1.58 mm 1.58 mm 0.00 mm
+2.512 0.00235
+2.612 0.00541
Tercera medición
a=2.010 m, b=0.401 m, c=1.00 mm
Mı́nimo 1
-1.262 2.2575
-1.181 0.14 mm 0.16 mm -0.02 mm
-1.162 2.2153
-1.100 2.2577
Mı́nimo 2
-0.300 0.7135
-0.215 0.51 mm 0.48 mm +0.03 mm
-0.262 0.6925
-0.162 0.6950
Quinta medición
a=2.010 m, b=0.492 m, c=1.50 mm
Máximo 1
-1.300 2.7239
-1.168 0.42 mm 0.43 mm -0.01 mm
-1.200 3.0466
-1.100 2.9780
Cuadro 2: Comparación entre teorı́a y experimento. Posición de máximos y mı́nimos en las
franjas producidas por una abertura rectangular estrecha. En este caso, a es la distancia del
punto luminoso a la abertura, b la distancia de la abertura al punto de medición y c la anchura
de la abertura.
26

2.3 Teorı́a de difracción para los estudiantes de Óptica 2 DESARROLLO
2.3. Teorı́a de difracción para los estudiantes de Óptica
En la sección anterior hemos visto la teorı́a de difracción tal y como la fue desarrollando
Fresnel a principios del siglo XIX. En este apartado, presentaremos como se estudia esta teorı́a
en la actualidad. Para ello utilizaremos dos libros de referencia para alumnos de Óptica de Fı́sica.
El fenómeno de la difracción, en muchos casos ofrece grandes dificultades para su análisis. Estos
impedimentos son generalmente matemáticos, por lo que se usan métodos de aproximación para
analizar la difracción. En la mayorı́a de casos ésto es totalmente asumible y se puede utilizar el
principio de Huygens-Fresnel donde se introduce un planteamiento más conceptual del fenómeno
de difracción.
El principio de Huygens-Fresnel es el modelo más simple e intuitivo que se puede emplear y
que garantiza buenos resultados. Este principio une los principios de Huygens y Fresnel. Según
el principio de Huygens, cada punto en el frente de ondas principal, emitido por una fuente
luminosa, se comporta como una fuente de ondas esféricas secundarias con centro en ese mismo
punto. Este principio tiene un gran inconveniente: no tiene en cuenta la naturaleza de las ondas,
es decir, no tiene en consideración la longitud de onda, λ. Debido a ello, este modelo ignora
muchas de las ondas secundarias cuyas envolventes forman el frente de ondas en cualquier ins-
tante de tiempo. Esto hace que desde el punto de vista de este principio, una onda acústica u
óptica se comporten de la misma manera. Para resolver esta deficiencia, se añade el principio de
interferencia de Fresnel, con el cual dos o más ondas interferirán entre ellas. Al interferir en un
punto, la onda resultante será la suma vectorial de todas las ondas, reconstruyendo ası́, al cabo
de un tiempo t, el nuevo frente de ondas.
Para las ondas esféricas que se superponen en un punto del espacio y un tiempo determinado
tenemos la siguiente expresión:
U(~
r, t) =
a
r
e−i(ωt−kr)
(22)
Por otro lado, para evitar entrar en la naturaleza del fenómeno ondulatorio podemos concluir
que la intensidad luminosa es proporcional al valor cuadrático medio de la amplitud de la onda:
I ∝ U2
(23)
2.3.1. Difracción de Fresnel por aberturas y obstáculos circulares
En la actualidad cuando los estudiantes cursan la asignatura de Óptica la difracción se divide
en dos tipos: la difracción de Fresnel y la de Fraunhofer. Esta última no es más que un caso par-
ticular de la primera. Por lo que estudiaremos la primera. Si suponemos que tenemos una onda
esférica, siendo el frente de onda S (Figura 7), cada punto alcanzado por éste se convertirá en
una fuente de ondas secundarias como indica el principio de Huygens. Estas ondas secundarias
no pueden irradiar en todas direcciones de la misma manera, ya que se propagarı́a hacı́a el centro
de la onda principal y esto no se ha observado. Fresnel ya remarcó la necesidad de introducir
un factor que tuviera en cuenta este hecho pero no se formuları́a con éxito hasta Kirchoff con
el desarrollo del teorema que lleva su nombre. De esta manera para describir correctamente la
propagación de la ondas tenemos que inducir un factor que tenga en cuenta esa circunstancia,
al que llamamos factor de oblicuidad y asignamos la letra K, siendo función del ángulo entre la
normal del frente de onda primario y la recta que une ese mismo frente de onda con el punto de
27

análisis P (K(χ)).
Si tomamos una parte infinitesimal dS de la superficie esférica S la amplitud de la onda en
el punto Q, independiente del tiempo, es us = A
r0
eikr0 . En el punto Q, el frente de onda se puede
ver como fuente de una onda secundaria. Esta onda esférica secundaria como hemos visto antes,
reduce su amplitud en una relación inversamente proporcional a la distancia al punto P (∝ 1
s ).
Añadimos también el factor de inclinación, K(χ). Finalmente, tendrı́amos que la amplitud en el
punto P ocasionada por las “fuentes” situadas en la sección diferencial dS (del punto Q) viene
dada por:
dU(P) = K(χ)
Aeikr0
r0
eiks
s
dS (24)
Figura 7: Propagación libre de una onda esférica en el espacio. El frente de onda esta dividido en
diferentes zonas con un desfase de π
2 entre ellas. Analizamos la difracción en el punto P. Figura
tomada de la referencia [4].
Si sumamos la contribución de todas las ondas secundarias en el punto P, y desde él traza-
mos circunferencias de radios: s0, s0 + λ
2 , s0 + λ, s0 + 3λ
2 ... dividiremos la superficie S en dife-
rentes zonas26. Cada una de estas zonas Z1, Z2..., son las zonas semiperiódicas de Fresnel. En
cada una de estas zonas podemos asumir que r0 y s0 son grandes comparadas con la longi-
tud de onda, λ. De la figura anterior podemos obtener la siguiente relación geométrica, s2 =
r2
0+(r0+s0)2−2r0(r0+s0)cosθ, pasando a coordenadas esféricas, dσ = r2
0sinθdθdϕ = r0
r0+s0
sdsdϕ.
Por lo que obtenemos para U(P):
U(P) =
a
r0 + s0
eikr0
Z
s
Z
ϕ
K(χ)eiks
dsdϕ (25)
La contribución de la zona j viene dada por:
Uj(P) = 2iλ(−1)j+1
Kj
Aeik(r0+s0)
r0 + s0
(26)
Las zonas semiperiódicas se alternan dando una contribución positiva y otra negativa. Para
26
Este procedimiento es el que usarı́a Fresnel en un trabajo sobre obstáculos circulares que realizó después de
presentar su memoria a la Academia de Ciencias y de que Poisson planteara el incidente del “spot” de Arago.
28

obtener la contribución total en el punto P, tenemos que sumar la contribución de todas estas
zonas, U(P) =
P
j
Uj(P). La suma total la obtenemos con la siguiente expresión27:
U(P) = 2iλ
Aeik(r0+s0)
r0 + s0
n
X
j=1
(−1)j+1
Kj (27)
Dependiendo de si el número de zonas n es par o impar y suponiendo que K varı́a muy poco
entre zonas adyacentes, tenemos:
n
X
j=1
(−1)j+1
Kj =
(
K1+Kn
2 si n es impar
K1−Kn
2 si n es par
(28)
Fresnel propuso que el factor de oblicuidad era 0 cuando χ ≥ π
2 . Esto es, K(χ) = 0 para
π
2 ≤ |χ| ≤ π. La última zona a la que corresponde el factor Kn es igual a 0, con χ =90◦. Esto
no ocurre con el factor de oblicuidad introducido por Kirchoff que luego veremos. Logramos de
esta manera que la expresión anterior nos quede de la siguiente manera:
U(P) =
1
2
U1(P) = iλK1
Aeik(r0+s0)
r0 + s0
(29)
Si el planteamiento es correcto, la expresión (29) para la hipótesis de la ondas secundarias
deberı́a de ser igual que la de la onda primaria en el punto P. Esta última tendrı́a el valor
U(P) = Aeik(r0+s0)
r0+s0
, que es la contribución de una onda esférica en el punto P a una distancia
r0 + s0 de la fuente. Para obtener el mismo resultado en el caso de las ondas secundarias, de-
bemos tener que iλK1 = 1. Si hacemos K1 = 1, entonces, las ondas secundarias emiten con un
desfase de 90◦ respecto a la onda primaria, y la amplitud de las ondas de Huygens a la distancia
unidad de la fuente es igual a la amplitud de la onda primaria por el factor 1
λ.28
Esta construcción la podemos usar para analizar el caso de las aberturas y obstáculos cir-
culares. Como ya se ha comentado en este trabajo, el experimento del obstáculo circular lo
propondrı́a Poisson en la Academia de Ciencias para derribar la teorı́a de Fresnel. Para ana-
lizar este primer caso, tomamos la primera zona semiperiódica de Fresnel y la dividimos en N
trozos. Cada una de estas secciones estarán delimitadas por los cortes del frente de onda con los
siguientes radios (trazados desde el punto P):
s0 +
λ
2N
, s0 +
λ
N
, s0 +
3λ
2N
, ..., s0 +
λ
2
(30)
Para cada subzona tenemos una diferencia de fase de π
N (debida a la distancia de λ
2N entre
los radios), la suma de éstas equivale a media circunferencia en el esquema de fasores (Figura
8). Para todas las zonas semiperiódicas su suma equivale al fasor ~
CZ1.
Según aumentamos la zona, o la subzona dentro de una zona, el factor de oblicuidad va
disminuyendo (χ ↑−→ cosχ ↓, según el factor de oblicuidad introducido por Kirchoff). Por tan-
to, para las siguientes zonas semiperiódicas esta suma de fasores cada vez se va alejando más
27
K(χ) se toma como constante en cada ya que la diferencia del ángulo χ en cada zona es muy pequeño.
28
Estos valores no son del todo acertados. Fresnel obtuvo el valor correcto de la amplitud de la onda secundaria
pero errarı́a en el desfase y en el factor de oblicuidad de las ondas secundarias. Posteriormente, Kirchoff con su
teorema introducirı́a los coeficientes correctos. El factor de oblicuidad exacto es K(χ) = 1+cos(χ)
2
.
29

Figura 8: Esquema para número finito (Izda.) e infinito de subzonas (Dcha.). Q es cualquier
punto en la orilla de la abertura que se desplaza en sentido contrario a las agujas del reloj según
aumenta el radio de la abertura. Figura tomada de la referencia [13].
de la circunferencia. Si cogemos un número cada vez mayor de subzonas tendremos la llamada
curva de vibración 29. Cada media vuelta en la curva de vibración (Zs1, Zs2, Zs3..., Zsn) corres-
ponde a las zonas Z1, Z2, Z3..., Zn. Estas zonas contribuyen cada una de ellas con una amplitud
U1 = Z1C, U2 = Z2Z1.... Los radios de cada una de estas zonas cumplen la siguiente condición,
rn ∝
√
n. Cuanto más grande se va haciendo n, más lentamente aumenta el ángulo χ, esto hace
que cada media vuelta se vaya desviando cada vez menos del cı́rculo. La amplitud en el punto P,
será la suma de todas estas zonas hasta llegar al punto C0, que es ∼ U1
2 , donde U1 es la amplitud
correspondiente a la primera zona.
En el caso que tengamos una placa con una abertura circular, tendremos que no todas las
zonas tendrán influencia en la intensidad del punto P. Dependiendo del experimento tendremos
diferente número de zonas semiperiódicas de Fresnel, que pueden aparecer completamente o no.
Si n no es un número entero quiere decir que la última zona de Fresnel contribuirá parcialmente
a la intensidad. Ésta puede ser mayor en algún caso que la de la onda no obstruida. En el caso
de la onda no obstruida ya hemos visto como la amplitud será: U(P) = U1
2 . Por ejemplo, si en
un abertura sólo tuviéramos la presencia de la primera zona, esta amplitud serı́a U(P) = U1, en
el caso que n sea pequeño tenemos que si n es par U(P) ∼ 0 y si n es impar U(P) ∼ |U1|.
Se puede demostrar que para una fuente situada en el infinito (onda plana incidente), la expre-
sión del radio (Rn) para la zona n-ésima es la siguiente:
R2
n = ns0λ (31)
Un caso notable de obstáculo circular al que se puede aplicar esta formulación es la demostración
del “spot” de Arago (último obstáculo a la teorı́a ondulatoria de Fresnel). En este caso concre-
to podemos suponer que el obstáculo tapará las primeras m zonas semiperiódicas de Fresnel,
U = |Um+1|−|Um+2|+...+|Un|. Repitiendo el mismo proceso utilizado para la onda sin obstruir
obtenemos que la amplitud es:
U ≈
|Um+1|
2
(32)
Esta será menor que la de la correspondiente a la primera zona, ya que U1 Um+1. Obser-
varı́amos entonces un punto brillante en todas partes a lo largo del eje que corresponde al fasor
~
QC
0
o ~
ZmC
0
de la Figura 8.
29
También llamada espiral de Fresnel, es una espiral que converge en C0
.
30

El principio de Huygens-Fresnel y el premio de la Academia de Ciencias de París de 1819.

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