6. DEFINICION
Las funciones trigonométricas son
funciones matemáticas utilizadas para
describir las relaciones entre los
ángulos de un triángulo y las longitudes
de sus lados.
Hay seis funciones trigonométricas
principales:
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7. FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
Seno (sin):
El seno de un ángulo en
un triángulo rectángulo
es la razón entre la
longitud del cateto
opuesto al ángulo y la
longitud de la
hipotenusa. Se denota
como sin(x).
Coseno (cos):
El coseno de un ángulo
en un triángulo
rectángulo es la razón
entre la longitud del
cateto adyacente al
ángulo y la longitud de la
hipotenusa. Se denota
como cos(x).
Tangente
(tan)
La tangente de un ángulo
en un triángulo
rectángulo es la razón
entre el seno del ángulo
y el coseno del ángulo.
Se denota como tan(x) y
se calcula como
sin(x)/cos(x).
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8. Cotangente
(cot
La cotangente de un
ángulo en un triángulo
rectángulo es la razón
entre el coseno del
ángulo y el seno del
ángulo. Se denota como
cot(x) y se calcula como
cos(x)/sin(x).
Secante (sec
La secante de un ángulo
en un triángulo
rectángulo es la razón
entre la longitud de la
hipotenusa y el cateto
adyacente al ángulo. Se
denota como sec(x) y se
calcula como 1/cos(x).
Cosecante
(csc)
La cosecante de un ángulo
en un triángulo rectángulo
es la razón entre la
longitud de la hipotenusa y
el cateto opuesto al
ángulo. Se denota como
csc(x) y se calcula como
1/sin(x).
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10. Propiedades
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Periodicidad
Todas las funciones
trigonométricas son
periódicas, lo que significa
que se repiten a intervalos
regulares. El período de
una función trigonométrica
es la longitud de un ciclo
completo de la función. Por
ejemplo, el seno y el
coseno tienen un período
de 2π (o 360 grados),
mientras que la tangente
tiene un período de π (o
180 grados)..
Simetría:
Relaciones
trigonométricas:
Funciones
recíprocas
Identidades
trigonométricas
Las funciones
trigonométricas tienen
diferentes tipos de
simetría. El seno y la
tangente son funciones
impares, lo que significa
que satisfacen la
propiedad f(-x) = -f(x). El
coseno es una función
par, lo que significa que
satisface la propiedad f(-
x) = f(x). Esto implica que
el seno y la tangente son
simétricos con respecto
al origen, mientras que el
coseno es simétrico con
respecto al eje vertical.
Existen diversas relaciones
trigonométricas
importantes entre las
funciones trigonométricas.
Por ejemplo, la identidad
más conocida es el teorema
de Pitágoras, que establece
que en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de
los catetos. También hay
relaciones entre las
funciones trigonométricas
como el teorema de la
tangente, el teorema del
seno y el teorema del
coseno, que relacionan los
ángulos y los lados de un
triángulo.
Las funciones
trigonométricas
tienen funciones
recíprocas
correspondientes. Por
ejemplo, la función
recíproca del seno se
llama cosecante, la del
coseno se llama
secante y la de la
tangente se llama
cotangente. Estas
funciones recíprocas
están definidas como
el inverso de las
funciones
trigonométricas
correspondientes.
Las identidades
trigonométricas son
ecuaciones que relacionan
diferentes funciones
trigonométricas entre sí.
Estas identidades son
ampliamente utilizadas
para simplificar
expresiones
trigonométricas y resolver
ecuaciones. Algunas de las
identidades más comunes
incluyen las identidades
pitagóricas, las
identidades de ángulo
doble, las identidades de
ángulo medio y las
identidades de suma y
diferencia de ángulos.
11. Identidad funciones trigonométricas
Identidad fundamental
• La identidad fundamental de las funciones trigonométricas es la relación que establece la
relación entre el seno y el coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo. Esta identidad se
conoce como la identidad fundamental de la trigonometría o identidad pitagórica y se expresa
de la siguiente manera:
• sen²(x) + cos²(x) = 1
• Esta identidad establece que el cuadrado del seno de un ángulo más el cuadrado del coseno de
ese mismo ángulo es siempre igual a 1. Esta relación es válida para cualquier ángulo en un
triángulo rectángulo.
• La identidad fundamental de las funciones trigonométricas es la base para muchas otras
identidades y relaciones trigonométricas que se utilizan para simplificar expresiones, resolver
ecuaciones trigonométricas y demostrar otros teoremas y propiedades.
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12. Identidad funciones
trigonométricas
Existen varias identidades
trigonométricas que relacionan las
diferentes funciones
trigonométricas entre sí. Estas
identidades son fundamentales
para simplificar expresiones,
resolver ecuaciones y demostrar
propiedades trigonométricas. Aquí
se presentan algunas de las
identidades más comunes:
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14. TEOREMA DEL
SENO
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Por supuesto, el teorema del seno es un teorema
fundamental en la geometría que relaciona los lados y los
ángulos de un triángulo. El teorema establece lo siguiente:
En cualquier triángulo, la longitud de un lado dividida por
el seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para los tres
lados del triángulo.
Matemáticamente, el teorema del seno se puede expresar
de la siguiente manera:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo,
y A, B y C son los ángulos opuestos a los lados respectivos.
En otras palabras, la razón entre la longitud de un lado y
el seno del ángulo opuesto a ese lado es constante en
cualquier triángulo. Esta constante se llama la
circunferencia circunscrita del triángulo y es igual al
diámetro de la circunferencia circunscrita.
Es importante tener en cuenta que el teorema del seno
solo se aplica a triángulos no rectángulos, ya que en un
triángulo rectángulo se utiliza el teorema de Pitágoras
y las relaciones trigonométricas específicas para
ángulos agudos.
El teorema del seno es útil
en varios contextos, como
la resolución de triángulos
desconocidos, el cálculo de
longitudes de lados o
ángulos en triángulos y la
resolución de problemas de
navegación y trigonometría
esférica.
15. TEOREMA DEL
COSENO
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es otro teorema importante en geometría que relaciona los lados y ángulos
de un triángulo. Este teorema establece lo siguiente:
En cualquier triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto
de las longitudes de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto al
primer lado.
Matemáticamente, el teorema del coseno se puede expresar de la siguiente
manera:
c² = a² + b² - 2abcos(C)
a² = b² + c² - 2bccos(A)
b² = a² + c² - 2ac*cos(B)
Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo, y A, B y C son
los ángulos opuestos a los lados respectivos.
Estas ecuaciones muestran que el cuadrado de la longitud de un lado puede
ser determinado utilizando los cuadrados de los otros dos lados y el coseno
del ángulo opuesto a ese lado.
Además, el teorema del coseno puede ser utilizado para resolver
problemas de navegación y triangulación, así como en aplicaciones de física
y geometría en tres dimensiones.
Es importante tener en cuenta que cuando se aplica el teorema del
coseno, se debe tener cuidado con la elección adecuada de ángulos y
lados, y considerar las restricciones y limitaciones del teorema en
relación con los triángulos rectángulos.
El teorema del coseno es
especialmente útil para resolver
triángulos no rectángulos cuando
se conocen las longitudes de dos
lados y el ángulo entre ellos, o
cuando se conocen las longitudes
de los tres lados y se desea
encontrar los ángulos.
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EJERCICIOS APLICADOS A LA
INGENIERIA CIVIL
EJERCICIO:
Imagina que estás trabajando en un
proyecto de construcción y
necesitas determinar la altura de
una torre. Tienes un punto de
observación a una cierta distancia de
la base de la torre y puedes medir el
ángulo de elevación desde el punto
de observación hasta la parte
superior de la torre. Se te
proporciona la distancia horizontal
desde el punto de observación hasta
la base de la torre.
Utilizando trigonometría, determina
la altura de la torre.
Solución: Para resolver este problema, puedes utilizar la función
trigonométrica tangente (tan) y aplicar la relación trigonométrica del
triángulo rectángulo formado por el punto de observación, la base de la
torre y la parte superior de la torre.
1.Denotemos la distancia horizontal desde el punto de observación hasta
la base de la torre como "d" y la altura de la torre como "h".
2.Medimos el ángulo de elevación desde el punto de observación hasta la
parte superior de la torre. Denotemos este ángulo como "θ".
3.Según la definición de la función tangente (tan), podemos establecer la
siguiente relación: tan(θ) = h/d
4.Ahora, podemos despejar "h" en términos de "d" y "θ": h = d * tan(θ)
Utilizando esta fórmula, puedes calcular la altura de la torre sabiendo la
distancia horizontal y el ángulo de elevación desde el punto de
observación.
Este es solo un ejemplo de cómo se puede aplicar la trigonometría en
ingeniería civil. La trigonometría es ampliamente utilizada en el cálculo
de estructuras, la topografía, el diseño de carreteras y muchas otras
áreas de la ingeniería civil para resolver problemas relacionados con las
medidas y las formas geométricas.
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EJERCICIOS APLICADOS A LA
INGENIERIA CIVIL
EJERCICIO:
Imagina que estás trabajando en un
proyecto de diseño de carreteras y
necesitas determinar la pendiente
de una carretera en un tramo
específico. Tienes la longitud
horizontal del tramo de carretera y
la diferencia de alturas entre el
punto inicial y el punto final del
tramo. Se te pide encontrar la
pendiente de la carretera en
términos de porcentaje.
Utilizando trigonometría, determina
la pendiente de la carretera.
Solución:
Para resolver este problema, puedes utilizar la función trigonométrica
tangente (tan) y aplicar la relación trigonométrica del triángulo
rectángulo formado por el tramo de carretera, la diferencia de alturas y
la pendiente.
1.Denotemos la longitud horizontal del tramo de carretera como "d" y la
diferencia de alturas como "h".
2.Según la definición de la función tangente (tan), podemos establecer la
siguiente relación: tan(θ) = h/d
3.Ahora, podemos despejar la pendiente de la carretera en términos de
"h" y "d": Pendiente (%) = (h/d) * 100
Utilizando esta fórmula, puedes calcular la pendiente de la carretera en
porcentaje a partir de la diferencia de alturas y la longitud horizontal
del tramo de carretera.
Este es otro ejemplo de cómo se puede aplicar la trigonometría en
ingeniería civil. La trigonometría es utilizada en el diseño de carreteras,
la topografía, la planificación de drenaje, la estabilidad de taludes y
muchos otros aspectos de la ingeniería civil para resolver problemas
relacionados con las medidas, las inclinaciones y las alturas.
19. 19
EJERCICIOS APLICADOS A LA
INGENIERIA CIVIL
EJERCICIO:
Imagina que estás trabajando en un
proyecto de diseño de puentes y
necesitas determinar la longitud de
un cable de soporte que se extiende
desde un punto en la torre del
puente hasta el punto medio del
tramo principal del puente. Tienes la
altura de la torre, la longitud del
tramo principal del puente y la
distancia horizontal desde la base de
la torre hasta el punto medio del
tramo principal. Se te pide
encontrar la longitud del cable de
soporte.
Utilizando trigonometría, determina
la longitud del cable de soporte.
Solución:
Para resolver este problema, puedes utilizar el teorema de Pitágoras y aplicar las
funciones trigonométricas seno (sen) y coseno (cos) para encontrar la longitud del cable
de soporte.
1.Denotemos la altura de la torre como "h", la longitud del tramo principal del puente
como "d" y la distancia horizontal desde la base de la torre hasta el punto medio del
tramo principal como "x".
2.Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos establecer la siguiente relación: d² = x² +
h²
3.Para encontrar la longitud del cable de soporte, podemos utilizar el teorema del seno.
Denotemos el ángulo formado por el cable de soporte y la horizontal como "θ". La longitud
del cable de soporte se puede calcular utilizando la siguiente relación: Longitud del cable
= h / sen(θ)
4.Para encontrar el ángulo "θ", podemos utilizar la función trigonométrica coseno: cos(θ) =
x / d
5.Luego, podemos encontrar el seno de "θ" utilizando la identidad fundamental de las
funciones trigonométricas: sen(θ) = √(1 - cos²(θ))
Utilizando estas relaciones, puedes calcular la longitud del cable de soporte utilizando la
altura de la torre, la longitud del tramo principal del puente y la distancia horizontal
desde la base de la torre hasta el punto medio del tramo principal.
Este es otro ejemplo de cómo se puede aplicar la trigonometría en ingeniería civil. La
trigonometría es utilizada en el diseño de estructuras, la resolución de problemas de
geometría espacial y muchas otras áreas de la ingeniería civil para resolver problemas
relacionados con las medidas, las distancias y las alturas.
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Otras fuentes
Blog
https://fincionesdetrigonometria.blogspot.com/2023/05/funciones-cuadraticas.html
Link youtube
https://www.youtube.com/watch?v=vfuCkgfGnac
21. Gracias
21
FRANCY DANIELA GIL REINA
CODIGO:202312568
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA
DE COLOMBIA
FACULTAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS TECNOLÓGICAS
OBRAS CIVILES
CREAD TUNJA
2023
