Сложное сопротивление

1. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
В первой части сопротивления материалов рассмат-
ривались так называемые простые виды деформа-
ций: осевое растяжение- сжатие, кручение, прямой
плоский изгиб. На практике часто встречаются случаи,
когда в результате действия нагрузки в поперечных
сечениях бруса одновременно появляются несколько
компонентов внутренних усилий. Тогда говорят, что
брус находится в условиях сложного сопротивления.
Рассмотрим несколько частных случаев сложного
сопротивления, которые наиболее часто встречаются
в строительных конструкциях.

2. Расчеты на прочность и жесткость
при косом изгибе
Косым изгибом называется такой случай изгиба
бруса, при котором плоскость действия изгибающего
момента (силовая плоскость) не проходит ни через
одну из главных центральных осей инерции сечения.
На рис.1 показан случай прямого (вертикального)
изгиба – силовая плоскость проходит через ось Y, на
рис.2 изображен случай косого изгиба – силовая
плоскость не проходит ни через ось Y, ни через ось X.

3. Y
X
Z
Y
X
Z
Силовые плоскости
Прямой плоский изгиб Косой плоский изгиб
Рис.1 Рис.2

4. Стропила
Обрешетины
кровли
Кровельный
материал
Косой изгиб возникает, например, в обрешетинах кровли от веса
самой кровли, собственного веса обрешетин, снеговой нагрузки.
Снеговая
нагрузка

5. Y
X
Z
Косой пространственный изгиб
F1
F2
Косой изгиб бывает двух видов:
1) пространственный косой изгиб, когда
действующая на брус нагрузка частично
лежит в вертикальной, частично в
горизонтальной плоскостях;
Типы косого изгиба.

6. 2) плоский косой изгиб, который
возникает в случаях, когда вся
действующая на брус нагрузка
лежит в одной плоскости . Y
X
Z
Косой плоский изгиб
Fx
F
α
Fy
Из рисунка видно, что , раскла-
дывая нагрузку, лежащую в нак-
лонной силовой плоскости на сос-
тавляющие по координатным
осям, можно свести плоский изгиб
к пространственному.

7. Внутренние усилия при косом изгибе.
Рассмотрим брус, на свободный
конец которого действует сила F,
линия действия которой наклонена
к оси Y на угол α.
Разложим силу на проекции по
координатным осям.
Сделаем произвольное сечение
бруса, отбросим часть бруса с
жесткой заделкой , поместим туда
систему координат и выпишем
значения внутренних усилий
Fx
F
α
Fy
Y
X
Z
z
Таким образом, при косом изгибе в сечении бруса возникает
одновременно два изгибающих момента— Mx и My.
z.
Fx
My
z;
Fy
Mx
0;
Mz
Fy;
Qy
Fx;
Qx
0;
N












8. Y
X
Z
Mx
My
0;
Mx
0.
My
Fx
Fy
Y
X
Z
Момент Мх (Му) положителен, если он вызывает в точках первой
четверти системы координат ХУ растягивающие напряжения.
В данном примере момент Мх вызывает растяжение
продольного волокна, а момент Му – сжатие, поэтому

9. Fx
F
α
Fy
Y
Z
Силовая плоскость
α
Mu
В случае плоского косого
изгиба удобно пользовать-ся
понятием так называе-мого
полного изгибающего
момента Мu, который
вводится по формулам:
Sinα
Mu
My
Cosα
Mu
Mx




,
2
2
My
Mx
Mu 

где
(8.1)
Плоскость действия пол-
ного изгибающего момента
совпадает с силовой плос-
костью.

10. Fx
F
α
Fy
Y
X
Z
Mx
My
Y
X
Z
α
Mu
Силовая
линия
Силовая плоскость
α
α
Mu
Назовем силовой линией линию пе-
ресечения силовой плоскости и плос-
кости поперечного сечения.

11. Y
X
Z
Mx
My
α
Mu
α
Силовая
линия
tgα
Mx
My
 (8.2)
Угол ά наклона силовой ли-
нии к оси Y найдем из фор-
мул (8.1):
Sinα
Mu
My
Cosα
Mu
Mx




Положение опасного сечения бруса определяется по эпюре пол-
ного изгибающего момента Mu в случае плоского косого изгиба и по
двум эпюрам Mx u My в случае пространственного косого изгиба.

12. Напряжения при косом изгибе
Напряжения во всех случаях сложного сопротивления , в том чис-
ле и при косом изгибе, определяются с помощью принципа неза-
висимости действия сил, то есть находят напряжения от каждого
внутреннего усилия отдельно, а затем находят их сумму. При косом
изгибе возникают и нормальные, и касательные напряжения.
Y
X
Z
Mx
My
σz
My
σz
Mx
1. Нормальные напряжения.
При косом изгибе возникают два изгибающих момента, поэтому в
сечении возникают и две системы нормальных напряжений – от
каждого из изгибающих моментов.

13. σz
My
σz
Mx
В формуле (8.3) x u y– это координа-
ты точки, в которой определяется
напряжениe.
При определении нормальных напряжений достаточно найти их
алгебраическую сумму, так как эти напряжения действуют в одной
плоскости и параллельны одной линии.
σz
y
Jx
Mx
σMx
z 
x
Jy
My
σMy
z 
x
Jy
My
y
Jx
Mx
σz 
 (8.3)

14. Y
X
Qy
Qx
xz
yz
OY
OX yz
xz 
 ;
2. Касательные напряжения.
При определении касательных на-
пряжений необходимо определять их
геометрическую сумму, так как эти
напряжения лежат в разных плос-
костях:

15. Y X
Z
X
Z
Исследование напряженного состояния в точке
при косом изгибе.
Рассмотрим кон-
сольную балку пря-
моугольного попе-
речного сечения, на-
груженную, напри-
мер, сосредоточен-
ными силами.
Выберем в этом
сечении произволь-
ную точку.
Проведем в этой
балке произвольное
сечение и отбросим
часть балки, лежа-
щую, например,
справа от сечения.

16. Y
X
Z
Вырежем вокруг этой точки элементарный параллелепипед.
Изобразим этот параллелепипед в увеличенном виде, нагрузим его
грани напряжениями, которые могут возникать в самом общем слу-
чае и определим, какие из них будут отсутствовать в случае косого
изгиба. Для простоты изображения покажем напряжения только на
трех видимых гранях параллелепипеда.
xy

xz

yz

yx

zx

zy

z
σ
y
σ
x
σ

17. xy

xz

yz

yx

zx

zy

z
σ
y
σ
x
σ
1). Нормальные напряжения на верх-
ней и передней гранях параллелепи-
педа отсутствуют в силу гипотезы о
ненадавливании продольных воло-
кон друг на друга, то есть
Y
X
Z
в силу того, что на
0

 yx
xy 

.
0

y
σ

x
σ
2). Касательные напряжения
верхней (нижней) и боковых гранях балки отсутствуют внешние на-
грузки, которые могут эти напряжения вызвать.

18. Таким образом, у элементарного
параллелепипеда нет свободных от
напряжений площадок, то есть имеет
место пространственное напряжен-
ное состояние.
yz

zy

z
σ
z
σ xz

zx

Можно, однако, показать, что касательные напряжения при ко-
сом изгибе намного меньше нормальных и ими обычно пренебре-
гают.
Тогда в точке балки образуется линейное напряженное состоя-
ние,т.е.
R
σmax
z  (8.4)
,
0
σz  ;
max
z
1 σ
σ 
;
max
z
3 σ
σ 
,
0
σz 
если то
и условие прочности записывается в виде
если то

19. Опасные точки сечения. Нейтральная линия
сечения.
Из формул (8.3) и (8.4) следует, что прежде, чем вос-
пользоваться условием прочности , необходимо сна-
чала определить координаты x u y опасных точек сече-
ния, то есть точек, в которых возникают наибольшие
нормальные напряжения.
Для этого научимся определять положение нейтраль-
ной линии сечения, то есть линии, во всех точках кото-
рой нормальные напряжения равны нулю.

20. Предположим, что точка N ( xN ,yN)
лежит на нейтральной линии .
Тогда
0;
y
Jx
Mx
x
Jy
My
σ N
N
N
z 


;
Jy
Jx
Mx
My
x
y
N
N


 
tg
x
y
N
N

Н.л.
φ
N
yN
xN
Jy
Jx
Mx
My
tg 


 (8.5)

 0
σN
z
Из (8.3) x
Jy
My
y
Jx
Mx
σz 

По формуле (8.5) определяется угол наклона φ нейтральной линии
к оси X, то есть определяется положение нейтральной линии. При
этом положительный угол φ откладывается от оси X против хода
часовой стрелки.
Y
X

21. Выясним, какими свойствами обладает нейтральная линия при
косом изгибе.
1). Найдем напряжения в центре тяжести сечения т.С(0,0). Из
(8.3) получаем:
есть
то
0,
0
Jy
My
0
Jx
Mx
σc
z 




Нейтральная линия всегда про-
ходит через центр тяжести се-
чения.
c
2).Нейтральная линия делит
сечение на две зоны– зону рас-
тяжения и зону сжатия.
Н.л.
-
+
Y
X

22. 3).Сравним выражения (8.2) и (8.5).
Jy
Jx
Mx
My
tg 



Jy
Jx
tgα
Jy
Jx
Mx
My
tg 





 Jy,
Jx 
(8.5)
tgα
Mx
My
 (8.2)



α
(8.6)
С.л.
φ
ά
c
Нейтральная и силовая линии
в общем случае не перпенди-
кулярны друг другу и всегда
проходят через разные четвер-
ти системы координат .
Н.л.
-
+
, то есть, если
то
Y
X

23. 4) Получим зависимость величины нормальных напряжений в
точке сечения от положения этой точки относительно нейтраль-
ной линии. Для этого преобразуем сначала формулу (8.3):











 x
Jy
Jx
Mx
My
y
Jx
Mx
x
Jy
My
y
Jx
Mx
σz
)
tg
x
(y
Jx
Mx
σz 



 



xSin
yCos
Cos
1
Jx
Mx
σz 

 (8.7)

24.  



xSin
yCos
Cos
1
Jx
Mx
σz 


Н.л.
φ
M
x
y
c K
T
φ
L
B
Из чертежа следует
=MT+TB=MT+KL;
Из MKT: MT=yCosφ
Из KCL: KL=xSinφ
MB=p
yCosφ
p=MT+KL= +xSinφ
Подставим это выражение в
(8.7)

Cos
p
Jx
Mx
σz  (8.8)
.
. .
Рассмотрим произвольную точку М( x,y).
Опустим из этой точки два перпендикуляра – МК на ось Х и МВ на
нейтральную линию.
Обозначим длину перпендикуляра МВ через р.
Опустим из точки К перпендикуляры KT на отрезок МВ и К L на
нейтральную линию.



 KCL
BMK углы между взаимно перпендикулярными сторонами.
Y
X

25. Н.л.
φ
M
c
1
2
-
+
Из формулы (8.8) сле-дует,
что чем больше р, то есть
чем дальше точка
отстоит от нейтральной
линии, тем большее на-
пряжение в ней возника-
ет. Таким образом, наи-
более опасными точками
сечения являются точки,
наиболее удаленные от
нейтральной оси
Это точка 1 – в ней
возникает наибольшее
сжимающее напряжение и
точка 2, в которой возни-
кает наибольшее растяг-
ивающее напряжение.

Cos
p
Jx
Mx
σz  (8.8)
Y
X

26. Н.л.
φ
M
c
.
1
2
σр
max
σс
max
σz
-
+
-
+
Из формулы (8.8) также
следует, что напряжения
линейно зависят от р.
Построим эпюру
напряжений вдоль оси,
перпендикулярной нейт-
ральной линии.

Cos
p
Jx
Mx
σz  (8.8)
Y
X

27. В сечениях простой формы (прямоугольник, двутавр, швеллер и
т.п.) опасными точками сечения будут угловые точки.
Н.л.
Н.л.
-
+
-
+
1 1
2
2
Если брус выполнен из пластического материала, то в сечении
будут две равноопасных точки—т.1 и т.2.
Если брус выполнен из хрупкого материала, то более опасной
точкой будет т.1, в которой возникает наибольшее растягивающее
напряжение.

28. Jx
p
Mu
Cos
p
Jx
Cos
Mu 






Y
X
Wx
Mu
σmax
z 
α
С.л.
φ
Н.л.
Jy
Jx 
Расчет круглого сечения.
Jy
Jx
tgα
Jy
Jx
Mx
My
tg 









 
α
;
Cos
Mu
Cоsα
Mu
Mx 







Cos
p
Jx
Mx
σz
Из (8.8)
pmax
Из (8.1)
Выпишем формулу (8.6)
Для круглого сечения
и
В круглом сечении силовая и
нейтральная линия перпенди-
кулярны.

29. Так как косой изгиб представляет собой сочетание двух прямых
изгибов, то перемещения при косом изгибе определяются теми же
методами, что и при прямом изгибе, например, методом Мора.
Перемещения при косом изгибе.

30. Y
X
v
u
F1
F2
f
ϒ
2
2
v
u
f 

v
u
tg 
γ
Для этого сначала все
нагрузки раскладываются
на составляющие, дей-
и направление прогиба по
формуле
ствующие в плоскостях
XZ u ZY, затем находят от-
дельно перемещения u и
v в этих плоскостях.
После этого определяют
полный прогиб по теоре-
ме Пифагора

31. F1
F2
Силовая
плоскость
α
Плоскость изгиба
f
ϒ
Y

 
Можно показать,что
tgα
Jy
Jx
v
u


то есть
tgα
Jy
Jx
tg 


γ
Таким образом, при ко-
сом изгибе, в отличие
от прямого, силовая
плоскость и плоскость
изгиба не совпадают
друг с другом.
F