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DavidStinson17

Analisis de las principales matrices usadas en matematicas

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Álgebra Lineal - Licenciatura en Matemáticas José Alejandro Lara Rodrı́guez Edificio A, planta alta, cubı́culo AA-04 alex.lara@virtual.uady.mx Facultad de Matemáticas Universidad Autónoma de Yucatán 18 de enero de 2022 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 1 / 90
Contenido Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 2 / 90
Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 3 / 90
Forma escalonada por renglones Definición Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: 1 Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si los hay, están justo después de los renglones distintos de cero. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: 1 Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si los hay, están justo después de los renglones distintos de cero. 2 En cada renglón distinto de cero, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero del renglón anterior. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: 1 Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si los hay, están justo después de los renglones distintos de cero. 2 En cada renglón distinto de cero, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero del renglón anterior. 2 En los renglones no nulos de E, la primera entrada distinta de cero se llama elemento pivotal o pivote. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
Forma escalonada por renglones 1 La forma de una matriz en forma escalonada: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 5 / 90
Forma escalonada por renglones 1 La forma de una matriz en forma escalonada: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     2 Los pivotes están encerrados en un cı́rculo azul. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 5 / 90
Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: A =   1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0   , Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: A =   1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0   , B =   1 2 3 0 1 −1 0 2 1   , Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: A =   1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0   , B =   1 2 3 0 1 −1 0 2 1   , C =     5 0 1 4 0 0 2 4 0 1 1 1 0 0 0 0     . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 7 / 90
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 8 / 90
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 4 −1 −2 0 0 1 −3 0 0 0 0        
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 4 −1 −2 0 0 1 −3 0 0 0 0        
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 4 −1 −2 0 0 1 −3 0 0 0 0         Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 9 / 90
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3      
Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 10 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Op. el. 3 − − − − − → · · · Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Op. el. 3 − − − − − → · · · Op. el. s − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Op. el. 3 − − − − − → · · · Op. el. s − − − − − → As = E Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Hay 3 tipos de operaciones elementales de renglón que se pueden aplicar a los renglones una matriz A Operación Sı́mbolo Significado I Ri ↔ Rj Intercambio de los renglones i y j. II cRi → Ri Se reemplaza el renglón i por c 6= 0 el renglón i. III Ri + cRj → Ri Se reemplaza el renglón i por el renglón i más c 6= 0 veces el renglón j. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 12 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución:   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución:   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución:   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución:   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución:   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución:   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto, Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto,   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto,   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2+(−5)R1→R2 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto,   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2+(−5)R1→R2 − − − − − − − − − − →   −1 5 2 3 2 −16 −5 −11 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 a00 43 a00 44 a00 45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 a00 43 a00 44 a00 45     − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 a00 43 a00 44 a00 45     − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 0 a000 44 a000 45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. 2 Si el primer elemento de la columna ` es cero, intercambie el primer renglón por algún renglón debajo de él para tener un primer elemento en la columna ` que no sea cero. Se obtiene ası́ una matriz A1 Al primer elemento en la columna ` de A1 le llamaremos pivote. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. 2 Si el primer elemento de la columna ` es cero, intercambie el primer renglón por algún renglón debajo de él para tener un primer elemento en la columna ` que no sea cero. Se obtiene ası́ una matriz A1 Al primer elemento en la columna ` de A1 le llamaremos pivote. 3 Se usa el pivote para eliminar todas las entradas por debajo de esa posición pivotal. Se obtiene ası́ una matriz A2 tal que todas las entradas debajo de la posición pivotal son cero. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. 2 Si el primer elemento de la columna ` es cero, intercambie el primer renglón por algún renglón debajo de él para tener un primer elemento en la columna ` que no sea cero. Se obtiene ası́ una matriz A1 Al primer elemento en la columna ` de A1 le llamaremos pivote. 3 Se usa el pivote para eliminar todas las entradas por debajo de esa posición pivotal. Se obtiene ası́ una matriz A2 tal que todas las entradas debajo de la posición pivotal son cero. 4 Se repite el proceso con la submatriz de A2 que se obtiene al eliminar el primer renglón y las columnas de la 1 a la `. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+R1→R4 − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+R1→R4 − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Pivote 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Pivote 2 Posición pivotal (2, 3) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
    0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Pivote 2 Posición pivotal (2, 3) Pivote 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
Método de eliminación de Gauss 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 20 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 8 2 0 0 0 1 0 . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
Ejercicio 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz. 2 7 1 0 0 3 ,   0 1 0 0 0 1 0 0 0   ,   2 1 9 4 7 0 0 2 1 4 0 0 0 0 4   ,   0 0 0 0 2 3 1 2 0 0 3 4   ,   −4 −1 2 3 −1 −7 1 1 2   ,   −4 −4 −5 −1 3 3 2 −1 1 1 2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 22 / 90
Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 23 / 90
Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. 2 Determine todos los valores de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada de   1 −2 3 1 2 k 6 6 −1 3 k − 3 0   no tenga renglones de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 23 / 90
Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 24 / 90
Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: 1) E está en forma escalonada. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: 1) E está en forma escalonada. 2) La primera entrada distinta de cero en cada renglón es 1 (es decir, cada pivote es 1). Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: 1) E está en forma escalonada. 2) La primera entrada distinta de cero en cada renglón es 1 (es decir, cada pivote es 1). 3) Cada pivote es la única entrada distinta de cero en su columna. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
Forma escalonada reducida por renglones 1 La forma escalonada reducida de una matriz se ve como sigue: 1 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 26 / 90
Forma escalonada reducida por renglones 1 La forma escalonada reducida de una matriz se ve como sigue: 1 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     2 Los pivotes están encerrados en un cı́rculo azul. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 26 / 90
Ejemplos 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 27 / 90
Ejemplos 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida 1     1 5 0 0 2 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 27 / 90
Ejemplos 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida 1     1 5 0 0 2 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     2       1 0 0 0 1 −4 0 1 0 0 1 5 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 9 −2 0 0 0 0 0 0       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 27 / 90
Método de eliminación de Gauss - Jordan 1 Dos caracterśticas distinguen al método de Gauss - Jordan del método de Gauss: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 28 / 90
Método de eliminación de Gauss - Jordan 1 Dos caracterśticas distinguen al método de Gauss - Jordan del método de Gauss: 1 En cada paso, el pivote se convierte en 1. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 28 / 90
Método de eliminación de Gauss - Jordan 1 Dos caracterśticas distinguen al método de Gauss - Jordan del método de Gauss: 1 En cada paso, el pivote se convierte en 1. 2 En cada paso, se eliminan todas las entradas tanto arriba como abajo del pivote. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 28 / 90
Método de eliminación de Gauss - Jordan Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 29 / 90
Método de eliminación de Gauss - Jordan Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss - Jordan, encuentre la forma escalonada reducida por renglones de la matriz A =     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 29 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4+(−3)R2→R4 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
    0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4+(−3)R2→R4 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 8 2 0 0 0 1 0 . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   2   1 3 −4 24 2 −1 13 −1 −2 1 −13 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   2   1 3 −4 24 2 −1 13 −1 −2 1 −13 1   3   1 1 2 1 3 3 2 −1 −4 −4 −5 −1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   2   1 3 −4 24 2 −1 13 −1 −2 1 −13 1   3   1 1 2 1 3 3 2 −1 −4 −4 −5 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
Ejercicio 1 Determinar los valore de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada reducida de   1 −2 3 2 k 6 −1 3 k − 3   sea la matriz identidad. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 34 / 90
Ejercicio 1 Determinar los valore de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada reducida de   1 −2 3 2 k 6 −1 3 k − 3   sea la matriz identidad. 2 Determine los valores de a para los cuales la forma escalonada reducida de la matriz A no tiene renglones de ceros.   0 0 −1 0 −1 a + 2 1 a + 1 −a − 2   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 34 / 90
Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 35 / 90
Matrices elementales Definición Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental       1 0 · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 1       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental       1 0 · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 1       Una op. elemental − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental       1 0 · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 1       Una op. elemental − − − − − − − − − − → E |{z} Matriz elemental Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → E = 1 0 0 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → E = 1 0 0 3 1 0 0 1 R2−5R1→R2 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → E = 1 0 0 3 1 0 0 1 R2−5R1→R2 − − − − − − − − → E = 1 0 −5 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → E =   1 0 0 0 3 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → E =   1 0 0 0 3 0 0 0 1     1 0 0 0 1 0 0 0 1   R2−5R1→R2 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → E =   1 0 0 0 3 0 0 0 1     1 0 0 0 1 0 0 0 1   R2−5R1→R2 − − − − − − − − → E =   1 0 0 −5 1 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
Factorización de matrices Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Op. elemental de renglón − − − − − − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Op. elemental de renglón − − − − − − − − − − − − − − − → B Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Op. elemental de renglón − − − − − − − − − − − − − − − → B =⇒ B = EA Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces 4 7 6 3 5 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces 4 7 6 3 5 2 = 0 1 1 0 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces 4 7 6 3 5 2 = 0 1 1 0 3 5 2 4 7 6 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces 2 6 1 −4 8 −2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces 2 6 1 −4 8 −2 = 1 0 0 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces 2 6 1 −4 8 −2 = 1 0 0 2 2 6 1 −2 4 −1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   =   1 0 0 0 1 0 −3 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   =   1 0 0 0 1 0 −3 0 1     2 1 1 4 1 2 6 1 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4     −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4     −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2−5R1→R2 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4     −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2−5R1→R2 − − − − − − − − →   −1 5 2 3 2 −16 −5 −11 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución B = Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución B = E3E2E1A Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución B = E3E2E1A =   1 0 0 −2 1 0 5 −4 1     2 2 2 4 7 7 6 18 22   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si E se obtiene de I aplicando =⇒ E−1 se obtiene de I apli- cando Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si E se obtiene de I aplicando =⇒ E−1 se obtiene de I apli- cando Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj cRi → Ri c−1Ri → Ri Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si E se obtiene de I aplicando =⇒ E−1 se obtiene de I apli- cando Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj cRi → Ri c−1Ri → Ri Ri + cRj → Ri Ri + (−c)Rj → Ri Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: 1 E =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: 1 E =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   2 E =   1 0 0 0 −3 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: 1 E =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   2 E =   1 0 0 0 −3 0 0 0 1   3 E =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 −5 1 0 0 0 0 1     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
Factorización de matrices Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 47 / 90
Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales de renglón, es decir: A R1 − − − − → A1 R2 − − − − → A2 − − − − → · · · Rs − − − − → As = B, entonces B = PA, para alguna matriz invertible P. Más aún, si Ei es la matriz correspondiente a Ri, entonces P = EsEs−1 · · · E1. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 47 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada 3 P es tal que PA = E. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   PA = Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   PA =   1 0 0 −2 1 0 5 −4 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   PA =   1 0 0 −2 1 0 5 −4 1     2 2 2 4 7 7 6 18 22   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
Método de eliminación de Gauss Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
Método de eliminación de Gauss Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
Método de eliminación de Gauss Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . 2 Encuentre una matriz P tal que PA = E, E una forma escalonada Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
Método de eliminación de Gauss Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . 2 Encuentre una matriz P tal que PA = E, E una forma escalonada 3 Factorice A como P−1E. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada [A | I] Gauss − − − →   1 0 1 9 0 0 1 0 1 1 25 0 1 3 0 0 2 54 −1 1 6   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada [A | I] Gauss − − − →   1 0 1 9 0 0 1 0 1 1 25 0 1 3 0 0 2 54 −1 1 6   3 P es tal que PA = E. PA =   0 0 1 0 1 3 −1 1 6     3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
Ejercicio 1 Exprese cada una de las siguientes matrices en la forma A = PE, donde P es invertible y E es una forma escalonada. 2 1 6 3 , 2 1 5 3 ,   −4 −1 2 3 −1 −7 1 1 2   ,   −4 −4 −5 −1 3 3 2 −1 1 1 2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 52 / 90
Ejercicio 1 Exprese cada una de las siguientes matrices en la forma A = PE, donde P es invertible y E es una forma escalonada. 2 1 6 3 , 2 1 5 3 ,   −4 −1 2 3 −1 −7 1 1 2   ,   −4 −4 −5 −1 3 3 2 −1 1 1 2 1   2 Para obtener una forma escalonada E de A ∈ R3×6 se usaron las operaciones elementales (en el orden indicado) R1 ↔ R3, R1 − 3R2 → R1, R1 + 4R3 → R1, R2 + 3 4 R3 → R2 Encuentre una matriz invertible P tal que A = PE. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 52 / 90
Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 53 / 90
Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. 2 Determine todos los valores de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada de   1 −2 3 1 2 k 6 6 −1 3 k − 3 0   no tenga renglones de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 53 / 90
Operaciones elementales por columna Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 54 / 90
Operaciones elementales por columna Teorema 1) Si B se obtiene de A al aplicarle una operación elemental de columna, entonces B = AE, donde E es la matriz elemental correspondiente. A O. E. columna − − − − − − − − → B =⇒ B = AE Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 54 / 90
Operaciones elementales por columna Teorema 1) Si B se obtiene de A al aplicarle una operación elemental de columna, entonces B = AE, donde E es la matriz elemental correspondiente. A O. E. columna − − − − − − − − → B =⇒ B = AE 2) Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales de columna, es decir: A C1 − − − − → A1 C2 − − − − → A2 − − − − → · · · Cr − − − − → Ar = B, entonces B = AQ, para alguna matriz invertible Q. Si Ei es la matriz correspondiente a Ci, entonces Q = E1E2 · · · Er. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 54 / 90
Factorización B = PAQ Teorema Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales, entonces B = PAQ para algunas matrices invertibles P y Q. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 55 / 90
Ejemplo Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 56 / 90
Ejemplo Ejemplo 1 A =   1 −2 7 38 −1 2 −6 −33 −7 14 −45 −246  . Se aplican las operaciones elementales indicadas a continuación A R21(1) − − − − → A1 R31(7) − − − − → A2 R32(−4) − − − − − → A3 R12(−7) − − − − − → A4 C23 − − − − → A5 C31(2) − − − − → A6 C41(−3) − − − − − → A7 C42(−5) − − − − − → A8 = B donde A8 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 56 / 90
Ejemplo Ejemplo 1 A =   1 −2 7 38 −1 2 −6 −33 −7 14 −45 −246  . Se aplican las operaciones elementales indicadas a continuación A R21(1) − − − − → A1 R31(7) − − − − → A2 R32(−4) − − − − − → A3 R12(−7) − − − − − → A4 C23 − − − − → A5 C31(2) − − − − → A6 C41(−3) − − − − − → A7 C42(−5) − − − − − → A8 = B donde A8 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0   2 Encuentre las matrices P y Q tales que PAQ = B Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 56 / 90
Solución 1 Solución B = E12(−7)E32(−4)E31(7)E21(1) | {z } P A E23E13(2)E14(−3)E24(−5) | {z } Q = PAQ, donde P =   −6 −7 0 1 1 0 3 −4 1   y Q =     1 0 2 −3 0 0 1 0 0 1 0 −5 0 0 0 1     . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 57 / 90
Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 58 / 90
El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. 2 El rango de A es rango(A) = número de pivotes de E = número de renglones diferentes de cero de E Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. 2 El rango de A es rango(A) = número de pivotes de E = número de renglones diferentes de cero de E 3 Las columnas básicas de A son las columnas que contienen las posiciones pivotales. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. 2 El rango de A es rango(A) = número de pivotes de E = número de renglones diferentes de cero de E 3 Las columnas básicas de A son las columnas que contienen las posiciones pivotales. 4 Las otras columnas se llaman columnas no básicas Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
Columnas no básicas en términos de las básicas Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 60 / 90
Columnas no básicas en términos de las básicas Teorema 1 Las columnas no básicas de una matriz se escriben como combinación lineal de las columnas básicas. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 60 / 90
Columnas no básicas en términos de las básicas Teorema 1 Las columnas no básicas de una matriz se escriben como combinación lineal de las columnas básicas. 2 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales de renglón, A R1 − − − − → A1 R2 − − − − → A2 − − − − → · · · Rs − − − − → As = B, entonces, las relaciones entre las columnas A y la relaciones entre las columnas de B son exactamente las mismas. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 60 / 90
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  • 1. Álgebra Lineal - Licenciatura en Matemáticas José Alejandro Lara Rodrı́guez Edificio A, planta alta, cubı́culo AA-04 alex.lara@virtual.uady.mx Facultad de Matemáticas Universidad Autónoma de Yucatán 18 de enero de 2022 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 1 / 90
  • 2. Contenido Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 2 / 90
  • 3. Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 3 / 90
  • 4. Forma escalonada por renglones Definición Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
  • 5. Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
  • 6. Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: 1 Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si los hay, están justo después de los renglones distintos de cero. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
  • 7. Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: 1 Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si los hay, están justo después de los renglones distintos de cero. 2 En cada renglón distinto de cero, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero del renglón anterior. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
  • 8. Forma escalonada por renglones Definición 1 Se dice que una matriz E está en forma escalonada por renglones si se cumplen las dos condiciones: 1 Todos los renglones que consisten únicamente de ceros, si los hay, están justo después de los renglones distintos de cero. 2 En cada renglón distinto de cero, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero del renglón anterior. 2 En los renglones no nulos de E, la primera entrada distinta de cero se llama elemento pivotal o pivote. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 4 / 90
  • 9. Forma escalonada por renglones 1 La forma de una matriz en forma escalonada: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 5 / 90
  • 10. Forma escalonada por renglones 1 La forma de una matriz en forma escalonada: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     2 Los pivotes están encerrados en un cı́rculo azul. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 5 / 90
  • 11. Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
  • 12. Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: A =   1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0   , Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
  • 13. Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: A =   1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0   , B =   1 2 3 0 1 −1 0 2 1   , Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
  • 14. Ejemplos 1 Explique por qué las siguientes matrices no están en forma escalonada: A =   1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0   , B =   1 2 3 0 1 −1 0 2 1   , C =     5 0 1 4 0 0 2 4 0 1 1 1 0 0 0 0     . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 6 / 90
  • 15. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1      
  • 16. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1      
  • 17. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1      
  • 18. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 4 1 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 7 / 90
  • 19. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3      
  • 20. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3      
  • 21. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3      
  • 22. Ejemplos de matrices en forma escalonada 1 0 0 0 1 2 0 0 3       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 8 / 90
  • 23. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 4 −1 −2 0 0 1 −3 0 0 0 0        
  • 24. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 4 −1 −2 0 0 1 −3 0 0 0 0        
  • 25. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 4 −1 −2 0 0 1 −3 0 0 0 0         Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 9 / 90
  • 26. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3      
  • 27. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3      
  • 28. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3      
  • 29. Ejemplos de matrices en forma escalonada 2 0 0 0 1 0 0 0 3       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 10 / 90
  • 30. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 31. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 32. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 33. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 34. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 35. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 36. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Op. el. 3 − − − − − → · · · Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 37. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Op. el. 3 − − − − − → · · · Op. el. s − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 38. Cálculo de formas escalonadas Objetivo Llevar una matriz A a una forma escalonada E mediante la aplicación de operaciones elementales: A Op. elemental 1 − − − − − − − − − → A1 Op. el. 2 − − − − − → A2 Op. el. 3 − − − − − → · · · Op. el. s − − − − − → As = E Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 11 / 90
  • 39. Operaciones elementales en renglones 1 Hay 3 tipos de operaciones elementales de renglón que se pueden aplicar a los renglones una matriz A Operación Sı́mbolo Significado I Ri ↔ Rj Intercambio de los renglones i y j. II cRi → Ri Se reemplaza el renglón i por c 6= 0 el renglón i. III Ri + cRj → Ri Se reemplaza el renglón i por el renglón i más c 6= 0 veces el renglón j. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 12 / 90
  • 40. Operaciones elementales en renglones Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
  • 41. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
  • 42. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
  • 43. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución:   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
  • 44. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución:   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
  • 45. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación R1 ↔ R3 a la matriz A =   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   2 Solución:   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 13 / 90
  • 46. Operaciones elementales en renglones Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
  • 47. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
  • 48. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
  • 49. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución:   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
  • 50. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución:   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
  • 51. Operaciones elementales en renglones Ejemplo 1 Escriba la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental 3R2 → R2 a la matriz A =   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4  . 2 Solución:   −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 14 / 90
  • 52. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 53. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 54. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 55. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 56. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 57. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 58. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 59. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto, Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 60. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto,   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 61. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto,   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2+(−5)R1→R2 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 62. Operaciones elementales en renglones 1 Escriba la matriz que obtiene al aplicar la operación elemental R2 + (−5)R1 → R2 a la matriz A =   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10  . 2 Solución: R2 + (−5)R1 = (−3, 9, 5, 4) + (−5)(−1, 5, 2, 3) = (−3, 9, 5, 4) + (5, −25, −10, −15) = (2, −16, −5, −11). 3 Por lo tanto,   −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2+(−5)R1→R2 − − − − − − − − − − →   −1 5 2 3 2 −16 −5 −11 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 15 / 90
  • 63. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 64. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 65. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 66. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 67. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 a00 43 a00 44 a00 45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 68. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 a00 43 a00 44 a00 45     − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 69. Cálculo de una forma escalonada     a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 a0 32 a0 33 a0 34 a0 35 0 a0 42 a0 43 a0 44 a0 45     − → · · · − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 a00 43 a00 44 a00 45     − →     a11 a12 a13 a14 a15 0 a0 22 a0 23 a0 24 a0 25 0 0 a00 33 a00 34 a00 35 0 0 0 a000 44 a000 45     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 16 / 90
  • 70. Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
  • 71. Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. 2 Si el primer elemento de la columna ` es cero, intercambie el primer renglón por algún renglón debajo de él para tener un primer elemento en la columna ` que no sea cero. Se obtiene ası́ una matriz A1 Al primer elemento en la columna ` de A1 le llamaremos pivote. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
  • 72. Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. 2 Si el primer elemento de la columna ` es cero, intercambie el primer renglón por algún renglón debajo de él para tener un primer elemento en la columna ` que no sea cero. Se obtiene ası́ una matriz A1 Al primer elemento en la columna ` de A1 le llamaremos pivote. 3 Se usa el pivote para eliminar todas las entradas por debajo de esa posición pivotal. Se obtiene ası́ una matriz A2 tal que todas las entradas debajo de la posición pivotal son cero. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
  • 73. Método de eliminación de Gauss Los pasos del método de eliminación de Gauss para llevar una matriz A 6= 0 a una forma escalonada 1 Sea ` la primera columna (de izquierda a derecha) de A que no es cero. 2 Si el primer elemento de la columna ` es cero, intercambie el primer renglón por algún renglón debajo de él para tener un primer elemento en la columna ` que no sea cero. Se obtiene ası́ una matriz A1 Al primer elemento en la columna ` de A1 le llamaremos pivote. 3 Se usa el pivote para eliminar todas las entradas por debajo de esa posición pivotal. Se obtiene ası́ una matriz A2 tal que todas las entradas debajo de la posición pivotal son cero. 4 Se repite el proceso con la submatriz de A2 que se obtiene al eliminar el primer renglón y las columnas de la 1 a la `. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 17 / 90
  • 74. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 75. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 76. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 77. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 78. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 79. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+R1→R4 − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 80. Cálculo de una forma escalonada     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3− 3 2R1→R3 − − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+R1→R4 − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 18 / 90
  • 81.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 82.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 83.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 84.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 85.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 86.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 87.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 88.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 89.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Pivote 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 90.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Pivote 2 Posición pivotal (2, 3) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 91.     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4−3R2→R4 − − − − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     = E Total de pivotes: 2 Posición pivotal (1, 2) Pivote 2 Posición pivotal (2, 3) Pivote 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 19 / 90
  • 92. Método de eliminación de Gauss 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 20 / 90
  • 93. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 94. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 95. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 96. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 97. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 98. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 99. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 100. Ejercicios Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz 1 2 1 6 3 2 2 1 5 3 3   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 8 2 0 0 0 1 0 . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 21 / 90
  • 101. Ejercicio 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz. 2 7 1 0 0 3 ,   0 1 0 0 0 1 0 0 0   ,   2 1 9 4 7 0 0 2 1 4 0 0 0 0 4   ,   0 0 0 0 2 3 1 2 0 0 3 4   ,   −4 −1 2 3 −1 −7 1 1 2   ,   −4 −4 −5 −1 3 3 2 −1 1 1 2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 22 / 90
  • 102. Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 23 / 90
  • 103. Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. 2 Determine todos los valores de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada de   1 −2 3 1 2 k 6 6 −1 3 k − 3 0   no tenga renglones de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 23 / 90
  • 104. Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 24 / 90
  • 105. Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
  • 106. Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: 1) E está en forma escalonada. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
  • 107. Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: 1) E está en forma escalonada. 2) La primera entrada distinta de cero en cada renglón es 1 (es decir, cada pivote es 1). Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
  • 108. Forma escalonada reducida por renglones Definición Se dice que una matriz E ∈ Km×n está en la forma escalonada reducida por renglones si: 1) E está en forma escalonada. 2) La primera entrada distinta de cero en cada renglón es 1 (es decir, cada pivote es 1). 3) Cada pivote es la única entrada distinta de cero en su columna. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 25 / 90
  • 109. Forma escalonada reducida por renglones 1 La forma escalonada reducida de una matriz se ve como sigue: 1 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 26 / 90
  • 110. Forma escalonada reducida por renglones 1 La forma escalonada reducida de una matriz se ve como sigue: 1 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     2 Los pivotes están encerrados en un cı́rculo azul. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 26 / 90
  • 111. Ejemplos 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 27 / 90
  • 112. Ejemplos 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida 1     1 5 0 0 2 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 27 / 90
  • 113. Ejemplos 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida 1     1 5 0 0 2 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     2       1 0 0 0 1 −4 0 1 0 0 1 5 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 9 −2 0 0 0 0 0 0       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 27 / 90
  • 114. Método de eliminación de Gauss - Jordan 1 Dos caracterśticas distinguen al método de Gauss - Jordan del método de Gauss: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 28 / 90
  • 115. Método de eliminación de Gauss - Jordan 1 Dos caracterśticas distinguen al método de Gauss - Jordan del método de Gauss: 1 En cada paso, el pivote se convierte en 1. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 28 / 90
  • 116. Método de eliminación de Gauss - Jordan 1 Dos caracterśticas distinguen al método de Gauss - Jordan del método de Gauss: 1 En cada paso, el pivote se convierte en 1. 2 En cada paso, se eliminan todas las entradas tanto arriba como abajo del pivote. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 28 / 90
  • 117. Método de eliminación de Gauss - Jordan Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 29 / 90
  • 118. Método de eliminación de Gauss - Jordan Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss - Jordan, encuentre la forma escalonada reducida por renglones de la matriz A =     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 29 / 90
  • 119. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 120. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 121. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 122. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 123. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 124. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 125. Ejemplo     0 0 1 4 −5 0 2 2 4 −4 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R1↔R2 − − − − − →     0 2 2 4 −4 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     1 2 R1→R1 − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 3 −1 −10 14 0 −2 1 8 −11     R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 30 / 90
  • 126.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 127.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 128.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 129.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 130.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 131.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 132.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 133.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4+(−3)R2→R4 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 134.     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 −2 1 8 −11     R4+2R1→R1 − − − − − − − − →     0 1 1 2 −2 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R1+(−1)R2→R2 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 −4 −16 20 0 0 3 12 −15     R3+4R2→R3 − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 3 12 −15     R4+(−3)R2→R4 − − − − − − − − − − →     0 1 0 −2 3 0 0 1 4 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 31 / 90
  • 135. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 136. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 137. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 138. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 139. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 140. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 141. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 142. Ejercicios Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1 1 2 3 1 2 7 2 2 1 6 3 3 2 1 5 3 4   −2 8 −1 −2 2 1 1 −3 −1 1 8 −1   5   1 1 −4 −1 −2 2 −1 1 3 −9 −1 1   6     1 −1 2 2 −2 5 1 2 −1 0 2 2     7 2 3 1 8 2 0 0 0 1 0 . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 32 / 90
  • 143. Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
  • 144. Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   2   1 3 −4 24 2 −1 13 −1 −2 1 −13 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
  • 145. Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   2   1 3 −4 24 2 −1 13 −1 −2 1 −13 1   3   1 1 2 1 3 3 2 −1 −4 −4 −5 −1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
  • 146. Ejercicios Gauss - Jordan Usando el algoritmo de Gauss - Jordan, calcule la forma escalonada reducida para cada una de las siguientes matrices: 1   3 4 −3 4 −3 −2 9 −2 1 1 −2 1   2   1 3 −4 24 2 −1 13 −1 −2 1 −13 1   3   1 1 2 1 3 3 2 −1 −4 −4 −5 −1   4     4 2 0 9 2 1 1 6 −2 −1 −1 −6 2 1 −5 −3     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 33 / 90
  • 147. Ejercicio 1 Determinar los valore de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada reducida de   1 −2 3 2 k 6 −1 3 k − 3   sea la matriz identidad. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 34 / 90
  • 148. Ejercicio 1 Determinar los valore de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada reducida de   1 −2 3 2 k 6 −1 3 k − 3   sea la matriz identidad. 2 Determine los valores de a para los cuales la forma escalonada reducida de la matriz A no tiene renglones de ceros.   0 0 −1 0 −1 a + 2 1 a + 1 −a − 2   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 34 / 90
  • 149. Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 35 / 90
  • 150. Matrices elementales Definición Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
  • 151. Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
  • 152. Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental       1 0 · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 1       Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
  • 153. Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental       1 0 · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 1       Una op. elemental − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
  • 154. Matrices elementales Definición 1 Una matriz elemental es una matriz que se obtiene de la matriz identidad In al aplicar exactamente una operación elemental       1 0 · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... 0 0 · · · 0 1       Una op. elemental − − − − − − − − − − → E |{z} Matriz elemental Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 36 / 90
  • 155. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
  • 156. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
  • 157. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
  • 158. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → E = 1 0 0 3 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
  • 159. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → E = 1 0 0 3 1 0 0 1 R2−5R1→R2 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
  • 160. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales de orden dos que al aplicar la operación indicada 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución 1 0 0 1 3R2→R2 − − − − − → E = 1 0 0 3 1 0 0 1 R2−5R1→R2 − − − − − − − − → E = 1 0 −5 1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 37 / 90
  • 161. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 162. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 163. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 164. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 165. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 166. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → E =   1 0 0 0 3 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 167. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → E =   1 0 0 0 3 0 0 0 1     1 0 0 0 1 0 0 0 1   R2−5R1→R2 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 168. Ejemplos 1 Escriba las matrices elementales tamaño 3 que al aplicar la operación indicada R1 ↔ R3, 3R2 → R2, R2 + (−5)R1 → R2. 2 Solución   1 0 0 0 1 0 0 0 1   R1↔R3 − − − − − → E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 1   3R2→R2 − − − − − → E =   1 0 0 0 3 0 0 0 1     1 0 0 0 1 0 0 0 1   R2−5R1→R2 − − − − − − − − → E =   1 0 0 −5 1 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 38 / 90
  • 169. Factorización de matrices Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
  • 170. Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
  • 171. Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
  • 172. Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Op. elemental de renglón − − − − − − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
  • 173. Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Op. elemental de renglón − − − − − − − − − − − − − − − → B Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
  • 174. Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicarle una operación elemental de renglón, entonces B = EA, donde E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental de renglón aplicada a A. A Op. elemental de renglón − − − − − − − − − − − − − − − → B =⇒ B = EA Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 39 / 90
  • 175. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 176. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 177. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 178. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 179. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 180. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 181. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces 4 7 6 3 5 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 182. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces 4 7 6 3 5 2 = 0 1 1 0 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 183. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 3 5 2 4 7 6 R1↔R2 − − − − − → 4 7 6 3 5 2 entonces 4 7 6 3 5 2 = 0 1 1 0 3 5 2 4 7 6 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 40 / 90
  • 184. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 185. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 186. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 187. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 188. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 189. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 190. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces 2 6 1 −4 8 −2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 191. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces 2 6 1 −4 8 −2 = 1 0 0 2 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 192. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. 2 6 1 −2 4 −1 2R2→R2 − − − − − → 2 6 1 −4 8 −2 entonces 2 6 1 −4 8 −2 = 1 0 0 2 2 6 1 −2 4 −1 Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 41 / 90
  • 193. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 194. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 195. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 196. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 197. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 198. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 199. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 200. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   =   1 0 0 0 1 0 −3 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 201. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   2 1 1 4 1 2 6 1 4   R3+(−3)R1→R3 − − − − − − − − − − →   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   entonces   2 1 1 4 1 2 0 −2 1   =   1 0 0 0 1 0 −3 0 1     2 1 1 4 1 2 6 1 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 42 / 90
  • 202. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 203. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 204. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 205. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 206. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 207. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 208. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 209. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 210. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4     −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 211. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4     −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2−5R1→R2 − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 212. Operaciones elementales en renglones 1 Se aplica una operación elemental a la matriz A y se obtiene B. 2 Escriba B como EA, con E matriz elemental.   3 5 8 4 2 1 12 6 4 1 7 4   R1↔R3 − − − − − →   4 1 7 4 2 1 12 6 3 5 8 4     −3 4 −1 −5 7 −11 −1 13 −4   3R2→R2 − − − − − →   −3 4 −1 −15 21 −33 −1 13 −4     −1 5 2 3 −3 9 5 4 6 −7 8 10   R2−5R1→R2 − − − − − − − − →   −1 5 2 3 2 −16 −5 −11 6 −7 8 10   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 43 / 90
  • 213. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
  • 214. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
  • 215. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
  • 216. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución B = Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
  • 217. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución B = E3E2E1A Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
  • 218. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R1 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución B = E3E2E1A =   1 0 0 −2 1 0 5 −4 1     2 2 2 4 7 7 6 18 22   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 44 / 90
  • 219. Operaciones elementales en renglones Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 220. Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 221. Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 222. Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 223. Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si E se obtiene de I aplicando =⇒ E−1 se obtiene de I apli- cando Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 224. Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si E se obtiene de I aplicando =⇒ E−1 se obtiene de I apli- cando Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj cRi → Ri c−1Ri → Ri Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 225. Operaciones elementales en renglones Teorema 1 Las matrices elementales son invertibles 2 La inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 3 Más precisamente, si E se obtiene de I aplicando =⇒ E−1 se obtiene de I apli- cando Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj cRi → Ri c−1Ri → Ri Ri + cRj → Ri Ri + (−c)Rj → Ri Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 45 / 90
  • 226. Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
  • 227. Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: 1 E =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
  • 228. Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: 1 E =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   2 E =   1 0 0 0 −3 0 0 0 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
  • 229. Ejemplos 1 Calcule las inversas de las siguientes matrices elementales: 1 E =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   2 E =   1 0 0 0 −3 0 0 0 1   3 E =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 −5 1 0 0 0 0 1     Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 46 / 90
  • 230. Factorización de matrices Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 47 / 90
  • 231. Factorización de matrices Teorema 1 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales de renglón, es decir: A R1 − − − − → A1 R2 − − − − → A2 − − − − → · · · Rs − − − − → As = B, entonces B = PA, para alguna matriz invertible P. Más aún, si Ei es la matriz correspondiente a Ri, entonces P = EsEs−1 · · · E1. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 47 / 90
  • 232. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
  • 233. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
  • 234. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
  • 235. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada 3 P es tal que PA = E. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 48 / 90
  • 236. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 237. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 238. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 239. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 240. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − → Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 241. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 242. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   PA = Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 243. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   PA =   1 0 0 −2 1 0 5 −4 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 244. Ejemplo 1 A la matriz A =   2 2 2 4 7 7 6 18 22   ∈ R3×3 se le aplican las operaciones elementales indicadas y se obtiene la matriz B. A R2−2R1→R2 − − − − − − − − → A1 R3−3R1→R3 − − − − − − − − → A2 R3−4R2→R3 − − − − − − − − →   2 2 2 0 3 3 0 0 4   = B. 2 Escriba la matriz P tal que PA = B. 3 Solución: [A | I] Op. elementales − − − − − − − − − →   2 2 2 1 0 0 0 3 3 −2 1 0 0 0 4 5 −4 1   PA =   1 0 0 −2 1 0 5 −4 1     2 2 2 4 7 7 6 18 22   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 49 / 90
  • 245. Método de eliminación de Gauss Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
  • 246. Método de eliminación de Gauss Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
  • 247. Método de eliminación de Gauss Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . 2 Encuentre una matriz P tal que PA = E, E una forma escalonada Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
  • 248. Método de eliminación de Gauss Ejemplo 1 Usando el Método de eliminación de Gauss, encuentre una forma escalonada por renglones de la matriz A =   3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   . 2 Encuentre una matriz P tal que PA = E, E una forma escalonada 3 Factorice A como P−1E. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 50 / 90
  • 249. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
  • 250. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
  • 251. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada [A | I] Gauss − − − →   1 0 1 9 0 0 1 0 1 1 25 0 1 3 0 0 2 54 −1 1 6   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
  • 252. Ejemplo 1 Método abreviado para encontrar P 1 Formar la matriz aumentada [A | I] 2 Llevar [A | I] → [E | P] a una forma escalonada [A | I] Gauss − − − →   1 0 1 9 0 0 1 0 1 1 25 0 1 3 0 0 2 54 −1 1 6   3 P es tal que PA = E. PA =   0 0 1 0 1 3 −1 1 6     3 1 2 −2 −3 1 −2 −2 1 0 1 9   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 51 / 90
  • 253. Ejercicio 1 Exprese cada una de las siguientes matrices en la forma A = PE, donde P es invertible y E es una forma escalonada. 2 1 6 3 , 2 1 5 3 ,   −4 −1 2 3 −1 −7 1 1 2   ,   −4 −4 −5 −1 3 3 2 −1 1 1 2 1   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 52 / 90
  • 254. Ejercicio 1 Exprese cada una de las siguientes matrices en la forma A = PE, donde P es invertible y E es una forma escalonada. 2 1 6 3 , 2 1 5 3 ,   −4 −1 2 3 −1 −7 1 1 2   ,   −4 −4 −5 −1 3 3 2 −1 1 1 2 1   2 Para obtener una forma escalonada E de A ∈ R3×6 se usaron las operaciones elementales (en el orden indicado) R1 ↔ R3, R1 − 3R2 → R1, R1 + 4R3 → R1, R2 + 3 4 R3 → R2 Encuentre una matriz invertible P tal que A = PE. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 52 / 90
  • 255. Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 53 / 90
  • 256. Ejercicio 1 Determine todos los valores de a ∈ R de tal manera que la forma escalonada de A =   3 1 4 a −3 1 −2 2 1 0 1 0   tenga un renglón de ceros. 2 Determine todos los valores de k ∈ R de tal manera que la forma escalonada de   1 −2 3 1 2 k 6 6 −1 3 k − 3 0   no tenga renglones de ceros. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 53 / 90
  • 257. Operaciones elementales por columna Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 54 / 90
  • 258. Operaciones elementales por columna Teorema 1) Si B se obtiene de A al aplicarle una operación elemental de columna, entonces B = AE, donde E es la matriz elemental correspondiente. A O. E. columna − − − − − − − − → B =⇒ B = AE Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 54 / 90
  • 259. Operaciones elementales por columna Teorema 1) Si B se obtiene de A al aplicarle una operación elemental de columna, entonces B = AE, donde E es la matriz elemental correspondiente. A O. E. columna − − − − − − − − → B =⇒ B = AE 2) Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales de columna, es decir: A C1 − − − − → A1 C2 − − − − → A2 − − − − → · · · Cr − − − − → Ar = B, entonces B = AQ, para alguna matriz invertible Q. Si Ei es la matriz correspondiente a Ci, entonces Q = E1E2 · · · Er. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 54 / 90
  • 260. Factorización B = PAQ Teorema Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales, entonces B = PAQ para algunas matrices invertibles P y Q. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 55 / 90
  • 261. Ejemplo Ejemplo Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 56 / 90
  • 262. Ejemplo Ejemplo 1 A =   1 −2 7 38 −1 2 −6 −33 −7 14 −45 −246  . Se aplican las operaciones elementales indicadas a continuación A R21(1) − − − − → A1 R31(7) − − − − → A2 R32(−4) − − − − − → A3 R12(−7) − − − − − → A4 C23 − − − − → A5 C31(2) − − − − → A6 C41(−3) − − − − − → A7 C42(−5) − − − − − → A8 = B donde A8 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0   Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 56 / 90
  • 263. Ejemplo Ejemplo 1 A =   1 −2 7 38 −1 2 −6 −33 −7 14 −45 −246  . Se aplican las operaciones elementales indicadas a continuación A R21(1) − − − − → A1 R31(7) − − − − → A2 R32(−4) − − − − − → A3 R12(−7) − − − − − → A4 C23 − − − − → A5 C31(2) − − − − → A6 C41(−3) − − − − − → A7 C42(−5) − − − − − → A8 = B donde A8 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0   2 Encuentre las matrices P y Q tales que PAQ = B Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 56 / 90
  • 264. Solución 1 Solución B = E12(−7)E32(−4)E31(7)E21(1) | {z } P A E23E13(2)E14(−3)E24(−5) | {z } Q = PAQ, donde P =   −6 −7 0 1 1 0 3 −4 1   y Q =     1 0 2 −3 0 0 1 0 0 1 0 −5 0 0 0 1     . Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 57 / 90
  • 265. Contenido 1 Operaciones y matrices elementales. Formas escalonadas Formas escalonadas y el Método de Gauss Forma escalonadas reducidas y el método de Gauss-Jordan Matrices elementales Rango. Relaciones entre las columnas Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Matrices invertibles Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 58 / 90
  • 266. El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
  • 267. El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
  • 268. El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. 2 El rango de A es rango(A) = número de pivotes de E = número de renglones diferentes de cero de E Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
  • 269. El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. 2 El rango de A es rango(A) = número de pivotes de E = número de renglones diferentes de cero de E 3 Las columnas básicas de A son las columnas que contienen las posiciones pivotales. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
  • 270. El rango de una matriz Definición (Rango de una matriz) 1 Sea A una matriz m × n y sea E una forma escalonada de la matriz. 2 El rango de A es rango(A) = número de pivotes de E = número de renglones diferentes de cero de E 3 Las columnas básicas de A son las columnas que contienen las posiciones pivotales. 4 Las otras columnas se llaman columnas no básicas Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 59 / 90
  • 271. Columnas no básicas en términos de las básicas Teorema Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 60 / 90
  • 272. Columnas no básicas en términos de las básicas Teorema 1 Las columnas no básicas de una matriz se escriben como combinación lineal de las columnas básicas. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 60 / 90
  • 273. Columnas no básicas en términos de las básicas Teorema 1 Las columnas no básicas de una matriz se escriben como combinación lineal de las columnas básicas. 2 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales de renglón, A R1 − − − − → A1 R2 − − − − → A2 − − − − → · · · Rs − − − − → As = B, entonces, las relaciones entre las columnas A y la relaciones entre las columnas de B son exactamente las mismas. Alejandro Lara (Fmat- Uady) Álgebra Lineal - LM 18 de enero de 2022 60 / 90