TRIGONOMETRÍA - RUBIÑOS.pdf

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VEMStON COKBECIBA Y AUMENTABA 2 ^ EDICIONES DOMINOS
A /a facultad de ta UfJfVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
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A m is alumnos, colegas y familiares, quienes comparten el dia a día
de m i existencia.
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TOOOS LO S DERECHOS AUTO RA LES OE ESTA O SR A SON PR O PIED AD DEL EDITOR
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D fagram ación y d ísa flo : lin p ra a io n :
• Uta Cordova • R aquel Becerra
• Karin Cabrera
• Khaterln Cabrera
• Khatorin Cabrera
• Brandy Torras
• A lborto M oran
• Ekzabcth Ca|3 • YUrl M oran
C o rre cció n y re v is ió n . • R obarlo M om n
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LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 2 3 I TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRÍA LA ENCICLOPEDIA constituye un nuevo aporte
científico,de especialsignificado,en ei desarrollo de lapreparaciónpreuniversitaria. Resultadode diferentes
procesos de investigación, a través de nuestro colegas y de nuestra humilde experiencia, motivado por el
deseo de ofrecer una obra útil en la delicada labor de esta línea de acción educativa, tan interesante, y
dirigido a nuestroscolegasy estudiantes de todas lasregiones del Fterú.Estetextode Trigonometríadescribe
,engeneral,ios temas que constituyenun curso de Trigonometríapiañayesférica ( espacial) de nivelpre
universitario.Suponeelconocimiento,porpartedelestudiante,delosprincipiosbásicosdeGeometríaElemental
,ÁlgebrayAritmética.
Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que nos avocamos a la
enseñanza de las Matemáticas en las aulas . La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de las
matemáticas,requiere no solamente de conocimientos teóricos,sino fundamentalmente de ia capacidad
de resolversituaciones matemáticas,denominadas, ejercicios o problemas.
La practica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizary cimentar los
conceptos teóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo del libro ustedes, deberán tener en
cuenta las sugerencias planteadas y analizarlas.
Encuantoa suestructura, ellibrosedesdoblaencapítulosyentodosellos,primero seabordalaparteteórica
la cualse da en forma de tabla o cuadro sinóptico, un resumen de fórmulasy resultados estrechamente
relacionados. Unalarga experiencia ha convencido a los autoresde quepara los estudiantes esunagran
ayuda el uso detoles resúmenes ya que resulta, a inicios, untantodifícilel manejo sistemáticodetodas
ellas.
Cadacapitulo contiene problemasresueltosypropuestos.¡oscualesestándosificadosde menoramayor
gradodedificultad,lospri/nerossonejerciciosdeaplicacióndirecla,dadosconlaintenciónde afianzareiuso
deios conceptosteóricos,los siguientes probiemassonpreguntasdeexamenesde admisiónplanteadasen
lasdiversasuniversidadesdelmedio ( UNI, UN.MSM, UNAC,PUCP.........etc.) ylosúltimos restantesson de
mayorgradodedificultadquerequieren en algunoscasosdealgunosconceptosdeÁlgebrao Geometría. De
estamaneraellibro sehacedidácticoymotivaraalalumnolosdeseosdeaprenderyendodelo mássimple a
lo máscomplejo.
Estetextohasurgidoconelpropósitodeservirdeapoyoenlaformación integraldeleducando,queconducirá
a la adquisición de nuevos conocimientos y experiencias, para obtener unapreparación adecuada que
complementelo estudiado,ycontribuyaenforma idónealia resolverlasdificultadesquetendráelestudiante.
Deestamanera, teofrecemos untexto, cuyoobjetivoprincipalesenseñara!estudiantea resolverproblemas
ydarlelos conocimientosnecesariospara ello. Paraestructurarydosificar los contenidos deItexto, sehan
analizadopruebasdeingresodedistintasuniversidadese institutossuperioresdeIpaís.
Ademásestaobrapretendedesterrartodaposturautilitaristayempíricaacercadelcurso,proponeencambio
unconjuntodelincamientosteóricos ymetodológicosquesonútilesnosóloparalosestudiantes.Sinotambién
para los docentes. Así, hemos ahondado en los conceptos más importantes, con elpropósito de dolaral
profesordelosprincipiosnecesariosparaunacabalenseñanza. Losestudiantesdebenanalizarconlamayor
minuciosidaden¡ametodología a finde lograr precisiónyrapidezensusrespuestas. Despuésdetodo, las
ideassehanexpuestodeunmodo sencillo, yclaro quesugerimosunalectura integraldelmaterial.
Lavariedadde problemasy ejercidos de carácterlógico,recreativo, intuitivo,visual,etc., son desarrollados
de manera comprensible Uustradocon figuras que facilitancaptaren forma gratay adecuada las relaciones
y concteplos que se exponen en cada parte del contenido. Esto te permitirá desarrollar tu capacidad de
razonamiento, intuidón y raciocinio, que, lógicamente . hará muy ameno el desarrollo de esta línea de
accióneducativa.
Finalizo, agradeciendoatodaslaspersonasque dediferentemanera colaboraronconlamaterialización de
’ueespem,queseademucha utilidadparaquienesrecorransuspáginas.
ElEditor.

VERSION CORREGIDA Y AUMENTADA EDICIONES RUBINOS
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CAPÍTULO
O f
LA TRIGONOMETRIA
A diferencia de la Aritmética, ei álgebra y la Geometría,
que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la
época de los babilonios, ios egipciosy los griegos.
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos
siglosde nuestra era, y esto es muy explicable, pues para
desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya
razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para
darle toda la flexibilidady desarrollo.
En principio es la rama de la matemática que estudia las
relaciones entre ios ángulosy los lados de un triángulo y
la solución analítica de ellos .. Para esto se vale de las
razones trigonométricas, las cuales son utilizadas
frecuentemente en cálculos técnicos. En términos
generales, la trigonometría es e! estudio de las funciones
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Interviene directa o indirectamente en las demás ramas
de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos
dondeserequierenmedidasdeprecisión. La trigonometría
se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso
del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Trigonometría proviene de losvocablosgriegos TRJGON
,quesignifica triángulo yMETRON,cuyo significadoes
medida .
Gracias a la trigonometría se pueden hacer cálculos
de longitudes inaccecibles, tales como el ancho de un
río o la altura de una torre . Además de longitudes ,
permite calcular tiempos ,como la hora en que pasará
un satélite por determinado lugar.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se
hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y
la astronomía, en los que el principal problema era
determinar una distancia inaccesible, es decir, una
distancia que no podía ser medida de forma directa,
como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se
encuentran notables aplicaciones de las funciones
trigonométricas en la física y en casi todas las ramas
de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos
periódicos, como el flujo de corriente alterna.
La trigonometría se divide en plana y esférica ,según
los triángulos que se trate: planos o esféricos .
O K M G E X :
Desde el punto de vista etimológico la trigonometría
trató de la «Resolución de Triángulos», lo cual quiere
decir que dados ciertos elementos convenientes de
un triáng ulo se deben hallar sus elem entos
restantes.
En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que
de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir
del tiempo una ciencia de tanta importancia como
la trig o n o m etría (y que hoy en día es una
herramienta fundamental del análisis matemático)
que en un comienzo fue soto un simple capítulo de
la Astronomía.
Pero gracias a su aplicación a tas distintas ramas de
la matemática y de la física, y sobre todo al empleo
invalorable que de ella hacen la Astronomía y la
Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo
llegar tan lejos.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría
son la trigonometría planay la trigonometría esférica.
TR IG O N O M E TR ÍA PEANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de
triángulos planos. Para ello , se definen las razones
trigonométricas de los ángulos y se estudian las
relaciones entre ellas.
La base de la trigonometría esté en las razones

{^ in t r o d u c c ió n a D Z K EDITORIAL RUBIÑ4BS]
trigonométricas , valores numéricos asociados a cada
ángulo , que permiten relationar operativamente los
ángulosy lados de los triángulos. Las más importantes
son seno , coseno y tangente , que se definen más
adelante.
TR IG O N O M E TR IA E SFE R IC A
La trigonometría esférica , que se usa sobre todo en
navegacióny astronomía,estudia triángulos esféricos,
es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias
máximas contenidos en la superficie de una esfera. El
triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene
6eiselementos: los tres lados a tb,c,y los tres ángulos
A , B y C. Sin embargo , los lados de un triángulo
esférico son magnitudes angulares en vez de lineales,
y dado que son arcos de circunferencias máximas de
una esfera, su medida viene dada por el ángulo central
correspondiente. Un triángulo esférico queda definido
dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al
igual que en la geometría plana, hay fórmulas que
relacionan las distintas partes de un triángulo, que se
pueden utilizar para calcular los elementos
desconocidos.
Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente
forma para triángulos esféricos:
Sena _ Senb _ Sene
SenA SenB SenC
La trigonometría esférica es degran importancia para
la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia.
Es también el fundamento de los cálculos
astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado
triángulo astronómico se utiliza para encontrar la
latitud y longitud de un punto, la hora del día, la
posición de una estrella y otras magnitudes.
T R IA N G U L O E S F E R IC O s
Es un triángulo dibujado sobre una superficie esférica
con tres arcos de circunferencia máxima. Todo
triángulo esférico se obtiene mediante la intersección
de un triedro con la superficie de la esfera.
Los ladosa , 6, c del triángulo (arcos de circunferencia
máxima) se corresponden con las caras del triedro. Los
ángulos del triángulo son los correspondientes diedros
del triedro.
El estudio trigonométrico del triángulo esférico da
lugar a la trigonometría esférica.
t HJPARCO (190 - 120 a.C.) nació en
la colonia griega de Nicea en Bitínia (en
la actualidad te rrito rio turco) y se
considera el creador de ia
Trigonom etría. Fue el prim ero en
elaborar tablas que relacionaban las
longitudes de los lados en un triángulo,
las que usa para estimar la distancia
tierra - luna en 386 100 Km valor muy
cercano al real y para elaborar sus
mapas estelares en los que traslada sus
^o b s e rv a c io n e s a planos. Antes de
/£■»H iparco, las tablas astronóm icas
' ’ basadas sobre métodos geométricos no
existían.
Tambiénseleatribuyelainvencióndelastrolabio,instrumento
que permitía fijar la altura de los astros.
Ptolomeo (85 - 1651 reconoce en la obra de Hiparco la más
valiosafuente para el desarrollo de su teoría geocéntrica.
INTRODUCCION
A ZA TKIGOJVOJHETMA
La trigonom etría fue iniciada por Hiparco ,
aproximadamente el año 150 a.C. Tiempo después
Tolomeo siguió con estos estudios, basándose en sus
estudios y de otros personajes de la Astronomía, para
crear su sintaxis Matemática llamada Almagesto.
En el curso Comenzamos por tratar el uso de las
unidades angulares, y sus equivalencias, para poder
aplicarlas al cálculo de una longitud de arco de
circunferencia , como también el área de un sector
circulary algunos casos más,como es la determinación
de la cantidad de vueltas que gira una rueda o dos
poleas o más que están trabajando en un sistema
Después , nos introducimos a la columna vertebral de
la Trigonometría que es el estudio de las razones
trigonométricas,primero para un ángulo agudoyluego
para un ángulo que posea cualquier medida ,
determinaremos dentro de ellos los valores de cada
una de ellas por medio del estudio analítico y su
representación mediante segmentos de recta dirigidos
en la circunferencia trigonométrica .
Esta parte es fundamentalya que los temas siguientes
trataran sobre las diversas identidades que las
relacionan , las cuales por cierto son muy numerosas
que solo con la constancia en la practica se puede

[ a n w w a w i g m o 0 3 L A E X a C L O F E O I 9 0 Í A ]
dominar, porque un mal entendimiento de los primeros
temas conducirá , inevitablemente , a dificultades
continuas en las partes má6 avanzadas.
Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas
que son imprescindibles , a las cuales llamaremos,
identidades básicas, y otras que son menos
importantes; pero se dan con el fin que nos permita
resolver situaciones matemáticas de un modo mucho
más breve.
Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de las
identidades en el estudio de las funciones
trigonométricas ya sea en las funciones directas e
inversas, al hacer el calculo de sus dominios y rangos
, al resolver una ecuación e inecuación trigonométrica
o al resolver problemas de figuras geométricas, tan
solo con el uso de las razones trigonométricas que
relacionan sus elementos. Finalmente, culminaremos
con los temas de: lím ites , derivadas e integrales
trigonométricos , traslación y rotación , números
complejos y trigonometría esférica.
Tenga presente que el objetivo, en el estudio de las
Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar
correcta y lógicamente una determinada definición ,
propiedad o teorema a cada problema que se está
resolviendo. Solo a si, el estudiante encontrará en las
Matemáticas una recreación amena y á g il.
Hoy en d ía, los ingenieros y los físicos ocupan muchas
de estas herramientas trigonométricas en su diario
actuar , sin quizas conocer quien las crea y cual es su
historia , la cual vamos a presentar a continuación.
HISTORIA
La historia de la trigonom etría se remonta a las
prim eras m atem áticas conocidas, en Egipto y
Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los
ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo,
hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a
haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo
I I a.C. el astrónomo Hipareo de Nicea compiló una
tabla trigonom étrica para resolver triángulos.
Comenzando con un ángulo de 7,5° y yendo hasta 180P
con incrementos de 7,5o, la tabla daba la longitud de
la cuerda delimitada por los lados del ángulo central
dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta
tabla es sim ilar a la moderna tabla del seno. No se
sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco ,
pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo
Tolomeo utilizó r —
60 , pues los griegos adoptaron el
sistema num érico sexagesimal (6ase 60) de los
babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía
el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos
angulares de O¿i0, desde 0a hasta 180°, con un error
menor que
113600 de unidad . También explicó su método para
compilar esta tabla de cuerdas , y a lo largo del libro
dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para
calcular los elementos desconocidos de un triángulo a
partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que
hoy seconoce como teorema de Menelao para resolver
triángulos esféricos, y durante muchos siglos su
trigonom etría fue la introducción básica para los
astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los
astrónomos de la India habían desarrollado también
un sistema trigonométrico basado en la función seno
en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno,
al contrario que el eeno utilizado en la actualidad, no
era una proporción , sino la longitud del lado opuesto
a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa
dada . Los matemáticos indios utilizaron diversos
valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo V I I I los astrónomos árabes
habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia
y de la India , y prefirieron trabajar con la función
seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían
completado la función seno y las otras cinco funciones
y habían descubierto y demostrado varios teoremas
fundam entales de la trigon om etría tanto para
triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos
sugirieron el uso del valor r = I en vez de r - 60, lo
que dio lugar a los valores modernos de las funciones
trigonométricas. Los árabes también incorporaron el
triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos
descubrimientos se aplicaron a la astronom ía y
tam bién se u tiliza ro n para m edir el tiem po
astronómico y para encontrar la dirección de la M eca,
lo que era necesario para las cinco oraciones diarias
requeridas por la ley islámica . Los científicos árabes
también compilaron tablas de gran exactitud. Por
ejemplo , las tablas del seno y de la tangente,
construidas con intervalos de 1/60degrado (1 minuto)
tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones.
Además, el gran astrónomo N asir al-D ln al-Tusi
escribió el Libro de la figura transversal, el primer
estudio de las trigonometrías plana y esférica como
ciencias matemáticas independientes.
E l occidente la tin o se fa m ilia rizó con la
trigonometría árabe a través de traducciones de libros
de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer
en ei siglo X II. El prim er trabajo importante en esta
materia en Europa fue escrito por el matemático y
astrónom o alem án Johann M ü lle r, llam ado
Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también

m e EDiTORIAl, BTBEVO.S]
(A HTlOOPCCTOy ü
astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como
Rético, introdujo el concepto moderno de funciones
trigonométricas como proporciones en vez de
longitudes de ciertas líneas. El matemático francés
Francois Viéte incorporó el triángulo polar en la
trigonometría esférica y encontró fórmulas para
expresar las funciones de ángulos múltiples, senn 0y
cosn 6 , en función de potencias de sen 0 y eos&
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran
empuje gracias al matemático escocés John Napier,
quieninventólos logaritmosa principios del siglo XVU.
También encontró reglas mnemotécnicaspara resolver
triángulosesféricos,y algunas proporciones (llamadas
analogíasde Napier) para resolver triángulosesféricos
oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la
publicaciónde los logaritmos de Napier, Isaac Newton
inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los
fundamentos del trabajo de Newton fue la
representación de muchas funciones matemáticas
utilizando series infinitas de potencias de la variable
x. Newton encontró la serie para e! senx y series
similares para el cosx y la tgx. Con la invención del
cálculo las funciones trigonométricas fueron
incorporadas al análisis, donde todavía hoy
desempeñan un importante papel tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo
Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas
utilizando expresiones con exponenciales de números
complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo
una de las muchas aplicaciones de los números
complejos ; además , Euler demostró que las
propiedades básicas de la trigonometría eran
simplementeproducto de la aritmética de los números
complejos.
LA TR IG O N O M E TR ÍA E G IPC IA
El documento más antiguo con procedimientos
matemáticos de que se tenga noticia, es el papiro del
Rhind. En el se encuentran los rudimentos de la de la
rama de las matemáticas que más tarde se llamaría
trigonometría. En la construcción de las pirámides
un problema fundamental era mantener una
pendiente (inclinación) uniforme en cada cara y la
misma en las cuatro caras. Este problema llevó a los
egipcios a introducir un concepto equivalente al de
cotangente de un ángulo.
L A T R IG O N O M E T R ÍA B A B IL Ó N IC A
•V - Se ha creído que toda la matemática que
5
v
" sedesarrolló antesde la civilización griega
Jz. k tenía un carácter netamente utilitarista.
. Sin embargo, en tablillas de escritura
- cuneiforme de los babilonios se encontró
'*■ - ®
, una prototrigonometría donde se
^ • presentan listas con temas de números
V * ' pitagóricos.
L A T R IG O N O M E T R ÍA G R IE G A
La trigonometría al igual que cualquier otra rama de
las matemáticas no es el fruto de la inteligencia de un
sólo hombre, ni aún de una sola civilización. Con los
griegos , se presentan por primera vez el estudio
sistemáticode las ralaciones entre losánguloscentrales
de una circunferencia y la longitud de las cuerdas que
subtienden . En los «Elementos de Euclides» no
aparece la trigonometría , en el sentido estricto del
término.
Pero se presentan teoremas
relativos a la razón entre los lados de
un triángulo rectángulo y problemas
concretoscomo el teorema del coseno
para un triángulo obtusángulo.
La astronomía exigió a los científicos de la época la
medición de arcosy ánguloscadavez con mayorexactitud
. De esta forma todo el progreso de la trigonometría
durante la civilización griega se produjo al lado de!
desarrollo de la astronomía. Se puede afirmar que la
trigonometría fue nodriza de la astronomía.
Aristarco de Samos, según cuentan Arquímedes y
Plutarco , propuso un sistema astronómico heliocéntrico
anticipándoce a Copémico en más de mil quinientos
años. Aristarco medió al ángulo entre la visual dirigida al
centro del Sol y la visual dirigida al centro de la Luna
cuando se encuentra medio llena y descubrió que este
ángulo es menor en de ¡¿cuadrante. Esto significaque la
razón entre la distancia de la Tierra a la luna y de la
Tierra al Sol es aproximadamente igual a sen 8a
.
Otro astrónomo importanteque
contribuyó al desarrollo de la
trigonometría , fue Eratóstenee
de Cirene quien midió la

l a r a i w w i f f i m u T X T t i EXCMCLOPEDt MoT T ]
distancia reai de la Tierra al Sol y de la Tierra a la
Luna a partir del radio terrestre.
Hiparco de Nicea,Menelao deAlejandríay finalmente
Ptolomeo desarrollaron casi toda la trigonometría que
se conoce hasta la época.
e l a l m a g e s t o p t o l o m e o
Claudio Ptolomeo vivióy trabqjó en Alejandría alrededor
del ISOd.c. En su principal obra , llamada Almagesto
queenárabesignificael másgrande, Ptolomeo desarrolló
, no sólo los modelos astronómicos geocéntricos que
perduraron hasta Copérnico , sino también las
herramientas matemáticas que además de la geometría
elemental incluyen la trigonometría. El Almagesto es
unaobra maestra ,en ellajamás presentó Ptolomeo una
tabla trigonométrica sin explicar previamente ia forma
de obtenerlay como calcularla.
Ptolomeo fue el último gran representante de la cultura
helenística y con él , el desarrollo de la cultura y los
progresos de la cienciatermina para Occidente. E) eje de
desarrolloenel mundosetrasladaal Oriente,ala Indiay
Arabia.
LA TR IG O N O M E TR IA INO IA
Los indios adquidieron los conocimientos de los
alejandrinos , pero la transformaron a la forma como se
trabaja en la actualidad . Mientras que la trigonometría
de Ptolomeo sebaseen la ralción funcional, a los arcos o
ángulos centrales en una circunferencia y las cuerdas
que ellos subtienden , los matemáticos indios
transformaron esta relación y la convirtieron en el
estudio de la correspondecia entre la mitad de la cuerda
y la mitad del arco o ángulo central subtendido por la
cuerda total. Así fue como nació , aparentemente en la
India el antepasado de la función trigonométrica que
conocemos como seno.
LA TR IG O N O M E TR IA A R A B E
Asícomo losárabestuvieron quedefinirseentreelsistema
de numeración indioy el griego; también en los cálculos
astronómicos , hubo en Arabia al principio , dos
trigonometrías .Una la geometría griega de las cuerdas
tal como se encuentra en el Almagesto de Ptolomeo ; y
la otra , basada en la tabla india de los senos. Así como
en el sistema de numeración el triunfo correspondió a la
matemática india , la trigonometría árabe adopto una
forma más sistemática; en ella se demuestran algunos
teoremasy sepresentan lasidentidadesparalas funciones
trigonométricas del ángulo dobley el ángulo mitad. Las
funciones trigonométricascomocoseno,tangente, secante
cosecante y cotangente se estudiaron através de las
sombras que proyecta una varilla vertical sobre el pisoy
sobre una pared vertical.
La trigonometría se independiza de la astronomía por
primera vez en el tratado del árabe Nasir Eddin (1201
• 1274) . Desgraciadamente , la obra de este
matemático tuvo muy poca influencia en el desarrollo
de esta ciencia posteriormente.
Pero es aquídonde propiamente se puede hablar de la
trigonometría como una rama independiente de las
matemáticas.
L 1 TRÍG 0XO M E TRÍA fcV l,
EiTtO PA tíM H E Y A l,
Asícomo el álgebra llega a Europa,gracias a los árabes
, lo mismo sucede con la trigonometría.
Los romanos nunca se interesaron por la
trigonometría griega , a pesar de lo elemental y lo
relativamente útil que era. Solo hasta el siglo XH los
intelectuales latinos aprendieron la trigonometría
árabetal como aparecía en los tratados de astronomía.
Roberto de Chester, al traducir del árabe la palabra
iiba le asigno el término de sinus que es el nombre
latino de la palabra bahía o ensenada.
LA TR IG O N O M E TR IA
RENAC EN TISTA
El matemáticoque retomó la trigonometría en Europa
es Johann Múller (1436 - 1476) más conocido como
Regiomontano,quien fundamentalmente sepreocupó
por traducir al latín las grandes obras de los griegos
, Regiomontano escribió el libro «De triangulis» en
el cual siguió los pasos de Nasír Eddin y sistematizó
todos los conocimientos de la trigonometría como
ciencia independiente de la astronomía . Sus
manuscritos eran conocidos en el círculo donde 6e
desempeñaba como instructor en la ciudad de
Nuremberg , que se convertiría en un importante
centro del saber,de las artesy de la invención;además
deserelcentro de la impresiónde libros. En esta ciudad
se publicaron algunas de los más grandes clásicos
científicos que iniciaron el Renacimiento.
Durante la época que vivió Regiomontano , Polonia
atravesó una verdadera edad de oro cultural y la
universidad de Cracovia en la que se matriculó
Copérnico gozaba de gran prestigio en matemáticas

[¿AMNTMODUCCMOJVA j~ 1 0 ( ICIPITORLM, RtJBLXOS]
y astronomía. En el famoso libro que cambió toda la
concepción sobre el universo «De las revoluciones
y las órbitas celestes» , se encuentran importantes
secciones de trigonometría que Copernico desarrolló
con amplio dominio de la materia.
A finales del siglo XVI se desarrolló un entusiasmo
considerable por la trigonometría , el cual se
materializó básicamente en la publicación de síntesis
y libros de texto . Durante este período se le dio por
primera vez el nombre de trigonometría a esta rama
del saber.
LA TR IG O N O M E TR ÍA
E N L A R E V O L U C IÓ N C IE N T ÍF IC A
Los momentos estelares de la humanidad se presentan
durante las grandes crisis, cuando la aritmética, la
geometría y el álgebra no pueden responder a los
requirimientos del desarrollo de la ciencia ; una gran
cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen
para dar respuestas a los interrogantes que la época
requiere . La geometría analítica , el cálculo, los
logaritmos y el estudio en general del movimiento
producen lo que se llama la gran revolución científica.
En ella , la trigonometría es la principal aliada de los
científicos que con las largas y precisas observaciones
del movimiento de los planetas pueden fundamentar
, con Newton a la cabeza , una nueva concepción del
universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa
precisión.
¿Sabías que...
el matemático francés Jean Baptiste
Joseph Fourier (1768-1830) fue el
descubridor de las aplicaciones más
sorprendentes de las funciones
trigonométricas?.
Utilizó las sumas de estas funciones para describir
fenómenos físicoscomo la transmisióndel sonidoy el fiujo
del calor. Sus investigaciones sobre este último tema le
llevaronaintroducirunas seriestrigonométricasconocidas
hoy como Series de Fourier.
Unaaplicaciónmoderna de los descubrimientode Fourier
es lacodificacióndigital del sonidoen losdiscos compactos
(CD).
Fourierquedó huérfano a corta edad, por lo que recibió
su educación en una escuela militar, de donde se
convirtió en maestro de matemática cuando tenía 20
años. Más tarde rechazó ser designado profesor de la
Ecole Polytechnique para acompañar a Napoleón en
su expedición a Egipto de donde Fourier fue
gobernador.
Cuando regresó a Francia empezó a hacer
experimentos relacionados con el calor, pero la
Academia francesa no publicó sus primeros trabajos
por falta de rigor. Años más tarde, cuando Fourier fue
secretario de laAcademia logró publicarlos en la forma
original.
Quizá debido a sus años de estudio sobre el calor y a
los años que pasó en el desierto de Egipto, Fourier
estaba obsesionado por mantenerse caliente, usaba
varias ropas encimadas, incluso en el verano, y
mantenía sus habitaciones incómodamente calientes.
Evidentemente éstos hábitos, sobrecargaron su
corazón y contribuyeron a su muerte a la edad de 62
años.
La TRIGONOMETRÍA no se limita a la aplicación de
resolución de triángulos a la geometría, astronomía,
navegación y agrimensura sino que también se aplica
en física. Así la vemos en el estudio de movimientos
ondulatorios, vibraciones , sonido , corriente alterna,
termodinámica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar
el concepto de razones trigonométricas al de funciones
trigonométricas.
S IT U A C IÓ N P R O B L E M Á T IC A
Una fuerte ráfaga de aire impacta sobre un rascacielos,
lo que ocasiona que la construcción se mueva de un
lado a otro según un movimiento armónico
amortiguado . La frecuencia de la oscilación es 0,5
ciclos por segundo y la constante de amortiguamiento
es c= 0,9. Calcule una ecuación que describe el
movimiento del rascacielos. (Suponga k —1 y t - 0
instante cuando la ráfaga deaire golpea al rascacielos).
APLICAIOMES HISTORICAS
«El rasgo más importante de la matemática árabe fue
la formación de la trigonometría, teniendo lugar la
síntesis de diversos elementos trigonométricos: el
cálculo de cuerdas y las tablas de los antiguos, en
particular los resultados de Ptolomeo y Menelao, las
operaciones de los antiguos hindúes, la acumulación
de experiencias de mediciones astronómicas.
Sobre la base de este material heterogéneo los
matemáticos de los países del Medio Oriente y ei Asia

[ á , T iU G O X O M E T íU A A
D O LA EXCICLOPEDI A019 ]
Central introdujeron todas las Ifneas trigonométricas
fundamentales. En relación con los problemas de
astronomía, confeccionaron tablas de las funciones
trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de
exactitud. Lo6 datos acumulados fueron tantos que
resultó posible estudiar las propiedades de los
triángulos planos y esféricos, y los métodos de su
resolución. Se obtuvo un sistema de trigonometría
armonioso, rico en hechos, tanto plana como
esférica....»
oeste (las áreas entre las cadenas de dejaron para más
tarde) y se necesitaron décadas para completarla.
En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto
como Inspector General y puso especial atención a tas
montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a
las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente
desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron
varias mediciones. Después de haberse hecho, los
resultados necesitaron ser analizados laboriosamente
por "computadores" en las oficinas de inspección; no
eran máquinas sino personas que efectuaban los
cálculos trigonométricos.
«...En el año 1461, apareció la obra «Cinco libros sobre
triángulos de cualquier género», en la cual la trigonometría
fue separada de la astronomía y tratada como una parte
independiente de las matemáticas. La escribió el matemático
alemán Johannes Müller (1436-1476), más conocido por
Regiomontano...»
Pero tos hechos más famoso de la antigüedad fueron medir
la altura de la gran pirámide, para ello Thales sólo uso su
bastón y las sombras de la pirámide y el bastón y la medición
del radio de la Tierra por Eratostenes.
«La trigonometría ha sido una herramienta útil desde la
antigüedad, el famoso historiador gnego herodoto, describió
tres hazañas de la ingeniería griega en la isala de Samos.
Una de ellas era un túnel que trasladaba el agua a través del
monte Castro a Samos, ia capital. Este se descubrió en 1882,
2500 años después de su construcción y tenía l Km. de
longitud y más de dos metros tanto en altura como en
anchura...
Lo más notable del túnel es que los equipos de excavación,
que comenzaron a cada uno de los lados, se encontraron en
el centro con un e rro r de solam ente 10 m etros
horizontalmente y 3 metros verticalmente. Sabemos esto
porque en el centro del túnel hay un recodo de este tamaño
que hace que los dos túneles se unan....
Herón describió el posible método que utilizaron, desde su
punto de vista usaron la semejanza de triángulos.»
M T R M G O rS O M E T R iA y E L E V E R E S T
Una aplicación histórica de la trigonometría
•t •
Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la
"Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica.
Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos,
monstruos con escalascirculares de 363 de ancho, cuyas
lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5
microscopios. Cada uno con su caja pesaba media
tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo.
Usándolos el proyecto cubrió el país con múltiples
cadenas de triángulos en lasdirecciones norte-sur y este-
La historia dice que en 1852 el jefe de ios "computadores"
fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la
mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más
de 100 millas (160 km), se observó la montaña desde seis
estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador
sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el
punto más alto de la Tierra”. Al principio se la designó como
"Pico XV* por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó
en memona de Sir George Everest, su predecesor en la oficina
de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse
y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en
el "Museum of the Survey of India” en Dehra Dum.
Como dato adicional: para topogrefiar una
tie rra los topógrafos la dividen en
triángulos y marcan cada ángulo con un
"punto de referencia”, que hoy en día es,
a menudo, una placa de latón redonda
fijada en el suelo con un agujero en el
centro, sobre el que ponen sus varillas y
teodolitos (George Washington hizo este
trabajo cuando era un adolescente).
Después de medir ia base, como la AB
en el ejemplo del río, el topógrafo medirá
(de la forma descrita aquí) los ángulos
que se forman con el punto C y usar la
trigonometría para calcular las distancias
AC y BC. Estas pueden servir como base
de 2 nuevos triángulos, que a su vez
suministrarán bases para dos más ... y
de esta forma construirá más y más
triángulos hasta que se cubra la tierra al
completo con una red que tiene distandas
conocidas. Posteriormente se puede
añadir una red secundaria, subdividiendo
los triángulos grandes y marcando sus
puntos con estacas de hierro, que
proporcionarán distancias conocidas
adicionales en las que se pueden basar
los mapas o los planos.

[A B r w o o c c c r o j4
Hoy en día la posición sobre la Tierra
se puede localizar de Forma muy-pretisa
usando el sistema de posicionamiento
global (GPS) de 24 satélites en órbita
exacta, que están difundiendo
constantem ente su posición. Un
pequeño instrumento electrónico de
mano recibe sus señales y nos devuelve
nuestra posición con un error de 10-20
metros ( aún es más preciso para usos
m ilitares, los patrocinadores del
sistema). Se usa una gran cantidad de
trigonometría, pero lo hace todo la
computadora que está dentro de su
aparato, lo único que usted necesita es
pulsar los botones apropiados.
¡RESUM EN X
La época que al nacimiento de la
trigonom etría se quiera a trib u ir
depende en realidad de la aceptación
que a dicho término se le dé, vale decir,
de la amplitud que a su significado se
le quiere encontrar.
Así, tomada en su estricto significado
etim ológico de «m edida de los
triángulos», la encontramos ya en las
lejanas ¿pocas de tos babilonios, los
egipcios y los hindúes, allá por los tres
y dos mil años antes de nuestra era.
Si la consideramos a la trigonometría
como ese capítulo de la Astronomía,
donde ciertas funciones del ángulo eran
ya conocidas y em pleadas, la
encontramos a partir de los trabajos de
Hiparco allá por el año 140 a.C.
Pero la trigonometría como disciplina
autónoma y sistemática, como esa
ciencia analítica que es ahora, solo
surgió y se desarrolló en el siglo XVII,
después que el gran matemático Vieta
perfeccionara adm irablem ente el
simbolismo algebraico, sin el cual jamás
hubiera podido consolidar esta ciencia.
Históricamente fueron los geómetras y
astrónomos griegos quienes, entre los
años 180 y 125 aJ.C. encontraron los
principales fundam entos de la
trigonom etría plana y esférica,
deducidos de la geom etría y los
aplicaron a los problemas astronómicos.
Según Theon, de Alejandría, entre los
citados astrónom os griegos, es a
hiparco, especialmente, a quien se le
puede considerar como el verdadero
creador de la trigonometría (Padre de
la Trigonom etría), pues sobre los
fundamentos debidos a éste, Ptolomeo
publicó en el p rim er lib ro de su
atmagesto, una tabla de valores de las
razones trigonom étricas, para ser
usados en los cálculos astronómicos.
Para resolver ios triángulos rectángulos,
los gnegos procedían así: calculaban los
lados aplicando el Teorem a de
Pitágoras, y los ángulos mediante un
Teorema de Ptolomeo; la resolución de
r » ~ L __________
triángulos cualesquiera la hacían
descom poniendo en triá n gu lo s
rectángulos (trazando altura).
Es a Reglomontano (1436 - 1476), al
que se debe el renacimiento de la
trigonom etría, pues fue él quien,
valiéndose de traducciones del griego,
escribió un notable tratado de
trigonometría rectilínea y esférica, que
puede considerarse como el primer
tratado de trigonometría europea.
Copérnico (1473 - 1543), fue el
primero que demostró en forma sencilla
las fórmulas trigonom étricas de la
trigonometría esférica.
V iete (1 5 4 0 - 1 6 0 3 ), no era
m atem ático de profesión, sino
jurisconsulto que se ocupaba como
abogado de asuntos de estado, pero su
amor por la ciencia matemática fue tan
grande que dedicaba la mayor parte del
tiempo necesario para su descanso al
estudio y a la investigación matemática.
De posición económica desahogado, su
espíritu noble y generoso lo llevó a
proteger económicamente aun a sus
contrarios científicos.
•hils* »v. rr« r «
ÚI t M
UATHLS'AUCA.
a
Como contribución a la trigonometría,
en 1579 estableció las fórmulas que
determ inan las funciones
trigonométricas de múltiplos de un
ángulo, cuando se conocen las
funciones trigonométricas del mismo,
y por primera vez en occidente expone
los métodos que permiten resolver
triángulos planos o esféricas aplicando
las 6 funciones trigonométricas, pues
Reglomontano solo utilizaba el seno.
EomtRLxt R rm fo.vl
Neper (1550 - 1617), con la creación
de los logaritmos, abrevió notablemente
los cálculos trigonométricos, aunque en
realidad su nombre en la historia de la
trigonom etría se destaca por las
analogías que llevan su nombre, asi
como por la conocida regla del
pentágono de Neper, de tanta aplicación
en la Resolución de Triángulos Esféricos.
Essólo en el siglo XVII que
la trigonometría comienza
a form ar su carácter
analítico, y es Euler (1707
- 1763) el primero que en
realidad hace progresar
dicha ama de la
matemática en este nuevo
aspecto analítico, hasta
darle forma que conserva
actualmente.
HMCJllt! I
Completa los siguientes textos con
ios datos correctos que
correspondan a los espacios en
blanco.
M k La Trigonometría aparece en
Babilonia, ligada al estudio de la
Los astrónomos babilónicos
de los siglos V y IV a. de C.
acum ularon datos
............................ y
................................que permitieron
más tarde a los matemáticos
griegos construir gradualmente la
a ........................ ............que vivió
entre 310 y 230 a. de C., en una
pequeña obra titulada ASobre la
dimensión y las distancias del Sol
a la Luna , establece algunas
trigonométricas.
& Hiparco de Niceo vivió entre
...................................... a. de C., vivió
en .............................................. es
considerado e l .................................
de la Trigonometría.
JfiL Ptolomeo escribió una obra
m uy sig n ificativa para la
trigonometría, que ios árabes la
enominaron.......................................
y que significaba

[ LvtnoDrcciox jjfi&f
ELEMENTOS ARITM ETIC O S
ALGEBRAICOS T GEOMETRICOS
PROPORCION GEOMETRICA
Eslaigualdadentre dos razonesgeométricas; siendo una
razón geométrica la comparación mediante la división
de dos magnitudes.
Parejemplo:
—= razón geométrica * rt
b
4 = razón geométrica = r2
d
r, = r2 => —= — ésta es una proporcióngeométrica,
b d
Estaúltimarelación se entiende como: “a” es a “b”,como
“c" es a “d" se cumple:
i. = k l a = bk
b d lc*=dk
a + c _ a _ c
II. a ¿ c ^ b + d b d
b d a -c _ a _ c
b-d b d
«I. f - T => * ± k = s ± l
b d a-b c-d
TEO RIA DE EXPONENTES
a" * a.a.a.... a ("m" veces)
-* a6* ............................................
(a")"* a*"
-> < a T = ............................................
a*, a» * a"1
*"
-*■ a5. a* * ....................................................
am
mam.n
a5
............................................
a-" = —
a"
-» a’ *= ........................................................
Va" =am
í/a*"=......... ............................................
j a j s a . EDtaOSES RLltLXtíS
'YV? =m
Vá
-
&
b ?/b
tfáb=¡ifa,n
&
-* í/ab = .................................................
PRODUCTOS NOTABLES
(a + b)2* a 2+ 2ab + b2
-+ (3x + y)* * ......................................
(a - b)2■ a2- 2ab + b2
> (x -2 y )2- ..........
(a + b)s« a3+ b3+ 3ab(a ♦ b)
-> (3x + y)5» ....................
(a - b)’ * a3- b3- 3ab (a •b)
-> (3x -y)3=.........................
a2- b2* (a + b) (a - b)
-» x4- y4= ..........
a3+ b3* (a + b) (a2- ab b2
)
-> x3+ 8 = ........................
a3- b3* (a • b) (a2 ab + b2)
-> x3- 27 * ...................
ECUACIÓN DE S E G IN B O GRADO
Forma general:
ax2♦ bx + c ®0 ; a * 0
tiene dos raíces “x," a "x2" que se pueden obtener
p o r
Fórmula general:
De la ecuación: ax2+ bx + c = 0
h t r * ------
-b±V b2 -4ac
2a
* i =
x2 =
_ - b -
t-yb2- 4ac
2a
-b-V b2-4ac
2a
Las ecuaciones de segundo grado presentan dos raíces
"x," a % " que cumplen las siguientes propiedades:

1 4 IA EXCIfJDPEDLÍ 2012}
Dada: ax2+ bx + c - O
X = Xx
x =x*
xt + x2 = — (Suma de raíces)
' a
xtx 2= ™ (Producto de raíces)
a
Por ejemplo, si la ecuación es:
2x2-3x-6 = 0 (a = 2; b = -3; c = -6)
b -3 3
X i+ x 2= - - = - — -> x ,+ x 2= -
X1
*X2 = “ = ~ Y X1'X2 = “ 3
TRIÁNGULO RECTÁNGULO S
h
Elementos:
a; b : Catetos
c : Hipotenusa
h : Altura relativa a la hipotenusa,
m : Proyección ortogonal del cateto M
a" sobre "c".
n : Proyecciónortogonal del cateto "b"sobre "c".
Relaciones:
* Cadacateto es media proporcional entre la hipotenusa
y su proyección sobre ella.
(a2» m . c b* = ti. c ,
'fi,- •-»
* La alturaes media proporcional entre las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa.
Ji2= m ;n
* El producto de los catetos es igual al producto de la
hipotenusa por la altura relativa a ella.
a .b = c .h
Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2+ b2= c2
AREA DE REGIONES GEOJMETRICAS
* Para triángulos oblicuángulos:
A =
* Para un triángulo rectángulo:
Rectángulo:
a
TVapecio:
Baralelogramo:
ha.
A -
t.h
A -á .b
m

[.fw y o flp c o o v
Rombo:
A »
AC.BQ
Área de reglones circulares
Círculo:
A = x r2
Sector circular:
A = — — . xRz
s
*ct0f 360°
Corona circular:
A = k(R2- ñ
f J É W C Í Ó S R E S U E L T O S
o
M L c- m ^ . 2n + m
¿Wk Si: — * 77. calcular: A = --------
n 11 2n - m
a)
19
b)
25
25 19
d>
20
e)
26
19 19
« • §
Resolución:
_ . . . m 3 m 3
Del dato: - - j j =»
por proporciones:
2n + m 22 + 3
2n •m * 22-3
'~T'= s
A j 9
KDH10XKS nimios
SI: - - A + B - 10. Calculan "B - A".
a) 1
d) 4
Resolución:
b) 2
e) 5
c) 3
A B . ÍA * 2k
Del Dato: y = "3 => |8 . 3*
Luego reemplazamos en:
A + B - 1 0
4- 4
2k + 3 k « 1 0 => k ■ 2
=
s
> A = 4 y B = 6
.. B - A - 2
Reducir C = a2.b3.a2.b3.a2.b3..........a2i )3
30 térm inos
señale la suma de los exponentes finales de "a” y
"b"
a) 35 b) 55 c) 75
d) 85 e) 95
Resolución:
En la expresión:
C = a2.b3-a2-b3......a2b 3
.
30 términos
ordenando:
C = (a2.a2.a2...,a2) (b3-b3- b 3)
15 términos 15 términos
tenemos que:
(a23 2....a 2) = (a2)15= a30
15 términos
(b3Jl3....¿ 3) = (b3)15= b45
15 términos
Luego: C * a^.b4
5
30 ♦ 45 * 75
Factorizar P * x * - 9 x + 14
a) (x -7 ) b) ( x - 2) c) (x - 2) (x -7 )
d) (x -5 ) e) (x - 2) (x - 5)
Resolución:
Por aspa simple:
P = xa-9 x + 14
4 c
-7
2
-7x
-2x
•9x
P = < x -7 )(x -2 )
Resolver xa- 5x + 5 « 0
a)
5+ ^5
b)
5-2^5
c)
4 +s/5
Resolución:

iu ExacLOPmLX&oa
Por fórmula: „ 5±V25-4(5)
' 2
* 1 -
*2 =
5 + V5
2
5 - V5
Calcular V
x - 9
Resolución:
Porel teorema de Pitágoras:
(x - 2)2+ (x - 9)2= x2
x2- 22x + 85 = 0
x -17 x = 17
x - 5 x = 5 (No cumple)
Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que
superímetro mide 46m, siendo sudiagonal igual a 17m.
¿Cuál es el área del terreno?
Resolución:
2a + 2b = 46
a + b = 23
T. Pitágoras: a2+ b2= 172
(a + b)2 = 232
¿+_b^ + 2ab = 232
172+ 2ab = 232
2ab = 240
ab = 120
i
Área = 120
Calcular el área de un círculo inscrito en un
cuadrado de perímetro 16cm.
Resolución:
Del gráfico: R = 2 cm
Luego: Aq = it (2)2
Aq = 4t
tcm2
JE fiC /C /O S P R O P UESWS
a 3
b ~
g-; calcular: m «
5
b)
11
11 5
7
e)
11
11 7
A _ 14
Sabiendo que:
B “ 5
9 9
7 b) 5
5
e)
7
9 9
a+b
b-a
A -B
x + y 7 x
Si: w = 3 Hallan“ 7 ”
a) 1,5
d) 5,5
c) 3,5
Si la suma de dos números es a su diferencia
b) 2,5
e) 7,5
como 11 es a 5. ¿Cuál es la relación entre los
números? (mayor a menor)
8 5 -
8 3 C* 7
a
) I
d> 5 e> 9
^ Reducir: A = (a + b)2+ (a - b)2
a) 2ab b) 2(a2+ b2) c) a2+ b2
d) 4ab e) a2- b2
^ Simplificar: B = (a + b)2- (a - b)2
a) 4ab b) 2ab c)a2-b 2
d) 2(a2+ b2) e) 0
- (x + y)2 - x2 - y2
Reducir C ---------------— ------------
a) 2
d) 1
% Reducir.
a) 0,2
b) 4
e) 3
(x + a)2 - 2xa
C
> 7
5a2 + 5x2
b) 0,3 c) 0,5

[ ¡xrR Q D rcaox
d) 0,1 e) 0,4
Factorizar : I * x* + 2x* + 3x*
a) x» b) xs(x + 2)
c) x* (3xs+ x + 2) d) xz (x + 2)
e) x (x -2 )^
Factorizar : J * a3
b + ab5+ 2ab
a) ab(a2+ b2
) b) ab(a5+ 2)
c) ab(a2* b2+ 2) d) a(a ♦ b)
e) b(a-b)
Resolver; x2- 2x +1 * 0
a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3
d) x * -1 e) x ■ -2
Resolver, x2- 3x ♦ 1 = 0
a) 3 ± Js b)
3 ± V 5
Resolver: xJ-5 x -2 * 0
r u» 5-3^5
a) 5 + 3^5 b) — -—
c)
c)
3 ± i/ 5
a) 12
d) 15
b) 13
e) 16
Calcular "h".
a) 20
d) 19
b) 18
e) 13
c) 16
& Calcular
a) 20
d) 13
b) 10
e) 15
c) 12
MiMOYF.S RVBtXOS
iLos catetos de untriángulo rectángulo son entre sí
como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2
, ¿cuánto
mide su hipotenusa?
a) 5u b) 10 c)13
d) 15 e) 20
El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u.
Calcular el área de su regióa
a) 12^3 u3 b) 16^3 c) 18a
/3
d) 241
/
3" e) 36i/3
Calcularel perímetro de un cuadrado, si el área de
su región mide 256 u2
.
a) 56 u b) 60 c) 64
d) 72 e) 80
Hallar el área de un círculo, sabiendo que el
diámetro de dicho círculo mide 12 m.
a) 144xm z b) 72* c) 36*
d) 48* e) 24*
affiOaCalcularel radíode uncírculo, siel áreade suregión
mide 196*.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
Calcular el área de un sector circular de 60° de
ángulo centra] y 12u de radio,
a) 12* u2 b) 24*
d) 32* e) 18*
c) 16*
Un sectorcircular tiene un ángulo central de 45®y
su área es 2* u2
. Calcularel radio,
a) 2 u b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
En el cuadrante AOB, AO = OB = 4 u. Calcular el
área de la región sombreada.
a) (* - 2) u2
d) 2 (* -1 )
b) 2(w -2)
e) 4(* -1)
c) 4(* -2)
Calcularel área de la región sombreada, si "ABCD“
es un cuadrado de 2 u de lado.
a) (* - !)u 2
d) (x -4 )
b) (2 -*)
e) 2(4 - *)
c) (4 -*)

[ a i r o m o r o f i o i r o w g i w c o T u n EDITORIAL R ntEi'O S]
A
N
G
U
L
O
*
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
C
U
!
CAPÍTULO
02
ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
OBJETIVOS :
* Entender el porqué de la diferencia entre el ángulo
definido en geometría y trigonometría ( el ángulo
generado por la rotación de un rayo alrededor de un
punto fyo (vértice), todo ello en un mismo plano).
recreación , se tiene deportes como el windsurfing en
el que se hace uso del ángulo óptimo de estabilidad en
la tabla para resistir no solo a las olas sino inclusive a
la fuerza del viento que arrecia sobre la vela .
Asimismo, losaviones,cohetes,balas tienen unángulo
de salida para llegar al destino, los ingenieros hacen
los cálculos necesarios para encontrar el ángulo
adecuado.
• if/ ff:
* Reconocer la características fundamentales de los Los ángulos pueden ser medidos con una regla
ángulos trigonométricos en cuanto a su generación y graduada llamada transportador,
tipo de rotación : horario y antihorario .
INTRODUCCIÓN:
A travéz de la historia los avances que se producen en
todos los campos de la ciencia son el producto de
satisfacer las necesidades . La trigonometría no es
ajena a este proceso y establece una deñnición de
ángulo diferente a la definición clásica planteada en
geometría . «intersección de dos rayos con un vértice
común».
Con el objeto de introducir en nuestro campo de
estudio a los ángulos mayores a una vuelta, así como
también , luego de establecer alguna conversión
ángulos en el plano generadas en un sentido u otro
(diferencias en el signo).
DEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo (en
un mismo plano), alrededor de un punto f^o llamado
vértice, desde una posición inicial hasta una posición
final.Consideramos un ángulo positivo cuando la
rotación del rayo sea contraria al movimiento de las
manecillasde un reloj (antihorario); cuando la rotación
sea en el mismo sentido del movimiento (horario) el
ángulos se considera negativo.
nV.
Posición inicial
i _
“■ a
6: Angulo positivo
Posición inicial
/ ^
a: Angulo negativo
Origen del rayo
(Vértice)
Se tienen desniveles en el terreno, y con la ayuda de la
topografía se encuentran ángulos que luego se
consiguen, tenemos planos horizontales para la
construcción civil. Asimismo, en lo que respecta a la
(Lado final)
Sentidoantihorario^ (+)
Sentido horario ¡
(Lado final)
nt<aes (—
)

( a m w i t w g T m i í 1 i » [ M EiSdC LO PEO I W lT |
n o t a s :
* Los ángulos trigonométricos serán medidos en tres
sistemas que estudiaremos a continuación , pero es
buenomencionarunaconvención a cercade la rotación
Sentido %
Medida
antihorario
f
positiva
de vueltas o llamado también número de revoluciones
,asípodemos obtenerde manera natural los ángulosy
sus asignaciones numéricas , como se muestra en la
figura.
que genera un ángulo trigonométrico y su medida.
Sentido
------ ►
Medida
horario negativa
rV -9 0 *
fT
* “ e "es unángulo trigonométrico demedidas positiva.
* ux” es un ángulo trigonométrico de una medida
negativa.
=>se cumple: x ~ -9
fu á / o:
Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.
d e ueu* veteU a:
[—►0 A
0 1 ■■■■ ■ ■
» >
B
Segenera por la rotación completa de un rayo, es decir
su lado final coincide con su lado inicial por primera
vez.
I V - I V
— ► 0
M ED IC IÓ N D E UN ÁNGULO
Cuando medimos un ángulo , tratamos de asignarle
un número que indique la magnitud de este . Se debe
tener presente para un ángulo positivo , que cuando
sea mayor la rotación , mayor será el ángulo.
ÁNGULO D E UNA VUELTA
Es aquel que se genera , cuando el lado final e inicial
coinciden por primera vez luego de cierta rotación .
Podríamos asignarle a este ángulo el número 1y decir
que ángulo de una vuelta es: IV.
La forma más lógica para medir el ánguloes el número
Sin embargo,estos no son los números que la mayoría
de nosotros estamos acostumbrados a utilizar, cuando
medimos los ángulos.
CARACTERÍSTICAS
l) La medida delángulo trigonométrico noseencuentra
sujeto a restricciones pudiendo ser un ángulo de
cualquier magnitud.
-oo<m<t trigonométrico <+®
E J E M P L O :
En la figura (1), el ángulo trigonométrico mide “3
vueltas”,en la figura (2) el ángulo trigonométrico mide
“- 2 vueltas".
TI) Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo,
entonces su medida cambiará de signo.
O B S E R VA C I Ó N :
Para realizar operaciones conángulos trigonométricos
estos deberán estar en el mismo sentido.

{á ANGVLO TMtGOXOlHBTKICO I T * ° X E o rro H u u , r v b l y o s )
Be
- 0
/ r 7 »
* De la figura se tiene
a + (~ 0 ) = —Vuelta
2
=> a - 9 = j V
P R O B L E M A 1 :
Del gráfico siguiente:
Indicar cuál(es) de las proposiciones son verdaderas
(V) o falsa (F):
I)E s:a = 0
W a + p - 180°
ID ) 0 es un ángulo positivo y a es un ángulo negativo
A) W F B ) VFF C) VFV D )FFV
R E S O L U C IÓ N :
* Para relacionar ángulos trigonométricos estos deben
de tener el mismo sentido. Luego, en el gráfico:
P
presentes aparezcan en el mismo sentido, de
preferencia sentido antihorario.Por lo tanto el gráfico
queda así:
*Donde se aprecia que : Q
-x = -p + a=$ x —p - a
P R O B L E M A 3 :
C) p -0 ~ vuelta D) 9 - p - —vuelta
£ £
* Colocando todo en sentido antihorario :
(- 0 ) + P - ~ vuelta
=>p - 0 = —vuelta
2
I) FALSA , puesto que: -a = 9
U) FALSA , puesto que: a + p = 180°
III) VERDADERA , puesto que 0 tiene sentido
antihorario y a sentido horario .
R PT A : "D ”
P R O B L E M A 2 :
Interpretar “x ” en función de V y n
fT
B )p -a
O - p -a
D )2 a -P
E )a -2 p
* En primer lugar se debe tratar que los ángulos
RPTA: “C *
P R O B L E M A 4 :
Calcular “x* en función de V , n
p" y "0".
A)x = a + p + 0
B)x —a - p -0
C)x = a + p - 0
D)x - a - p + 0
E)x - ~ a - p + 9
* Según las recomendaciones anteriores, trataremos
de colocar los ángulos en sentido antihorario:
-0 = x - a + P
[=> x = a - p - 0
RPTA: “B*

[A TWGOMMETBJAÁ o o LA ElVCMCLOPEDI MOjM}
P R O B L E M A 5 :
Calcular
A)-9<r
B)-190°
C)-19tP
D)-80P
E ) - 180°
* Colocando en un mismo sentido:
0 A
A )j +P = 90°
B )f-fl = 90°
C)f+ fi = -90°
D )- +- f i = 90°
* Ordenando el gráfico :
RPTA: "B M
P R O B L E M A 7 :
Calcular
K) 30°
B) -30a
C) 3<r- 6x
D) 1(T
E )-l(T
* Colocando en un mismo sentido:
+ 30“
* Del gráfico:
230° +x + 320° =360° =>x = -190°
RPTA: “B ”
P R O B L E M A 6 :
Indicar la relación que se cumple
entre y y y
9or
6x - 30»/<^?3x+30o
* De la figura :
3x+3(r+9(r+6X- 30‘=18O>^ x = l(T
RPTA: “D ”
P R O B L E M A 8 :
El gráfico mostrado, indicar la
relación que existe entre
"a", y y y .
A )0 -a +e^l8O°
P j B)0 +a+ e*18(r
6, Ofl-a-fim iatr
X D)a- 0 -0 =1
8
C
P
*Replanteando el gráfico a nuestra
conveniencia:
P R O B L E M A 10 :
En el gráfico mostrado, ¿cuál es el
valor de "ar”?
AJx = 460° - 9
B)x = 270° + 9
C)x = 54<P'0
D )x = 460a+ $
E)x = 440*- 6
R E S O L U C I Ó N :
’ Graficando adecuadamente:
* Porto tanto: x —
90
f-&+x-9O>^360p
{=> x = 460" + 9
t,”
RPTA : “D '
Calcular “ar” del gráfico :
A)I vuelta - a - 0
^ B it vuelta* a -0
PJ "
•P o r lo tanto: p~a-9=18ff*
RPTA: “C ”
P R O B L E M A 9 :
Calcular en función de
C)1 vuelta - a +0
vuelta - a - 0
* Colocando todos los ángulos en
sentido antihorario; tenemos:
A v y y ,
A)a + p
B)a~ fi
C kt-2 0
D )p -a
E)~ a - p
* Como ux ” está en sentido
antihorarío; vamos a procurarque
todos los ángulos aparezcan en el
mismo sentido ; para ello sólo
cambiamos y ; quedando:
Se aprecia:
a + (- p )* x
= > x ~ a -p
RPTA: “B'
a + (-p ) + x ■ 1 vuelta
a - p + x * l vuelta
=> x = 1 vuelta-a + P
RPTA: “C ”
Calcular ux n, en función de
"a", y y y
A)a + p + 0
B)a - p + 0
C)a - p -9
D)p - a - 0
E )P -a + 0
* Note que el ángulo pedido está en

f&ATOtJLO TRMG0NOMETMUCO A E D lT iU U A I R r m x o s )
sentido horario,así que vamos a colocar todo en dicho
sentido; así:
x = ( - 0) + 0 + (-a )
Ordenando:
x = f i - a - 0
RPTA: “D 9
PR O B LE M A 13 ;
Del gráfico, se cumple :
A)a + 8 = —vuelta
2
B)a - f i - vuelta
£
C)fi - a = —vuelta^
£
P
a
D)a + fi = 0°
* Colocando todo en sentido antihorario :
PR O B LE M A 14 :
Del gráfico, se cumple: q
A)a + 0= 1 vuelta
B)a - 8 = 1 vuelta
C)a + 0= 0°
D)0 - a = 1 vuelta
* Del gráfico,colocamos todas las rotaciones en sentido
antihorario:
0
A ) W F
B) FFF
Q F F V
D ) VFV
E) W V
* Colocando en un solo sentido :
P
0
(-a ) + P + ( - 0) = ~ v => -a + p - 0 = —v
„ 1
=> B - a - 0 = —v
2
* Por lo tanto : I) F ; II) F y U I) V
RPTA: “C”
P R O B LE M A 16 :
En el gráfico mostrado ¿cuál es el valor de **xn ?
A) 3v + 0
B) 4 v-0
C) - v + 0
4
D) - v - 0
4
* De la figura:
x+{-e~ r )= lv => x - 0 - —v = lv
4
Del gráfico mostrado calcular el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
l)a + p + 0 = v II )a - p + 0 = ív III)fi-a -0 = ± -v
2 ¿ I
=>x - 0 = lv + —v
4
5 5
=> X - 0 = —v =>x = —v + 0
4 4
P R O B L E M A 1 7 :
En el gráfico mostrado, calcular “x ”.
A)lv-0
miv+0
Q0-2v
D )-lo -0
* De la figura:Iv + x = -0
= > X « - lV - 0
RPTA: “C9

[ A M K í t i w B n r m * í LA BWKXOFJEOI fOÍF|
PR O B IjEM A 18 :
En el gráfico mostrado. Calcular u
x ”.
A)5v-0
0 ^ + 0
4
D)3v - 0
< - •
R E S O L U C IO N :
* De la figura :
5 íjb Determinar “x*
x + la
S
* Despejando: x**—v+ 0
4
RPTA: “ C*
@>Indicar verdadero (V) o falso (F) :
^ ^ a — V ea negativo ( )
H )
a
a - ‘ V a p o s itiv o ( )
m j “a” eanegativo ( )
A )W V B)FFF C )W F D )F W E)VFV
1
Determinar “x *:
A)—vuelta —
0
B ) í vuelta -2 0
2
C)^ vuelta + 0
J
D)~2 vuelta - —
4 2
B)—vuelta + ^
4 2
A)9O°+a + 0
B)18O*+a~0
C)27(P + a -0
D)18GP+0-a
Determinar “x '
A)48*
<
C)90°
Dn<r
E)5(F
Determinar “x ”
A) 50°
B )S O *
C )3 0 0
D >-30°
í») Determinar “x ”
/ vuelta - a - p
B) 1 vuelta + a -p
C) ^ vuelta - a - p
D ) — oueZ/o + o - p
2
E) 1 vuelta ~a + p
@ ) Indicar la relación correcta , dado el siguiente
gráfico:
A) 360*+ a + p
B) 360°+a - p
O 3 6 0 *-a -p
D) 180°+a - P
E) 360°- a + p
@ Indicar el valor de si OM es bisectriz de
<AOB■ j , A
A) 8°
B )l(f ^ - x
C) 18
D ) 20a
E) 3d

[zSA&GULO TMMG0NQMETMíCO A T g * T E D m m iA M , KURVVOs)
Calcular ux n del gráfico :
A) 10°
B) 1S°
C) 20°
D) 25°
E) 30?
x-130°
3x-10°
© S i : LI ll'L*2 ’ calcular: "x n.
A) 10°
B) 20°
C)30°
D) 40?
E) 50?
(O) De la figura, hallar u
x ”.
A )— vuelta
3
B )^- vuelta
3
C)^- vuelta
4
D )— vuelta
o
^ H a lla r “x ” en función de “ a ” y “ 0 ”, además: of
es bisectriz del ángulo AOB: ¿
B)a - 0
D )
A )W V B)FFV C)FFF D)VFV E )F W
@ Indicar verdadero (V ) o falso (F ) según
corresponda:
I) Al sumar ángulos en diferentes sentidos ; resulta
una ángulo negativo ..............................( )
II) Al sumar dos ángulos negativos resulta un ángulo
negativo............................................... )
III) Los ángulos negativos tienen sentido antihorario
( )
A) V W B) F W C )FV F D)VFV E)FFF
A)a + p «1 vuelta
B)a + p = —vuelta
4
C)a - p -1 vuelta
D)a - p = — vuelta
4
g
E)p - a = — vuelta
4
3
a + $
E)^— ^
O
Del gráfico mostrado , ¿cuál es el valor de ux ”?
**
@ D e l gráfico mostrado, indicar verdadero (V) o falso
(F) según corresponda:
/) a + p = —vuelta
4
II)a - p = 4 vuelta
III)p - a = 4 vuelta
4
Indicar la relación correcta :
A)a = p
B)a + 0 = -p
c * ,- ,.§
D )a -P = 2Q
E)a - 3p = 29
@ H a lla r ax " t si: L ¡flL ¡-
A )-40? B) -50?
O 60? D) 70?
E) 75?
(^Determinar “x ” :
A)a + 0
B )a -0
C )0-a
D )- a -0
E)2a - 0
Determinar “x ” del gráfico :
A)30°~ —
2
0 + 50°
B)30° +
0
C)3€?~
4
D)60°+-
3

[ A m tiO S O M L , TKLXA 'irA iWCMCLOPEM ¿ O ÍF ]
@ )D e acuerdo al gráfico , señale lo correcto respecto (g)D e acuerdo al gráfico; señale lo correcto respecto a
^ ^ __ los ángulos trigonométricos mostrados.
a los ángulos trigonométricos mostrados.
A)a + 0 -S - 0 = 1 vuelta 0
B)a + 0 + 5 -0 = 1 vuelta
C)a + 0+ 5 + 0 = 1 vuelta
D)S + 0 - a - 0 = l vuelta
E)5 + 0 + a -0 = 1 vuelta
Del gráfico , señale lo correcto :
A)0 + a = — vuelta
2
B )0 -a = —vuelta
2
C)0 +a = ~ vuelta
4
D)0 - a ——vuelta
4
(0)Del gráfico , señale lo correcto :
A)0 - 0= — vuelta
4
B)0 - 0 = — vuelta
4
C)0 - 0 —— vuelta
2
D)0 - ^ = - vuelta
@)Hallar ux ” en función de los ángulos mostrados.
A )a -0 -9 O °
B)a + 0 = 90° / * a + fP
C)0 - a + 90°
D)0 + a + 9O°
E)90° - a - 0
@ ) Hallar ux ” en función de
tA
A)p + a -0
B)p - a + 0
C)0 - a - 0
D)0 + a + 0
E )a -0 + 0
ÍK m m E R lÁ X tilJlA » TtU G O N O M É TW €&
os ángulos mostrados.
i ñ I2 M w a m w M m - : . ■ m
i ; .íEEJO-V-üEEEH
A)a + 0 + 0 = 1 vuelta
B)a + 0 -0 = 1 vuelta
C)a - 0 + 0 = 1 vuelta
D)a - 0 - 0 = 1 vuelta
E)a + 0 -Q = ~ vuelta
@|En este caso , Calcular “x ” en función de los
ángulos mostrados.
A) 0+ a AV s B
B) 0 -a
C) a -0 ___________
D ) - 0 - a O C
@1Con ayuda de la figura mostrada, luego el valor de
u I) >
x sera:
A) 5°
C) 18
E) 30'
B)10°
D) 20'
De la figura ; calcular “x
A) a + 0 = 9O°
B) 0 - a = 90°
C) 0 - a = -18O
D) a - 0 = 90°
E) a + 0 = 18O°
De la figura; calcular “x 9
A) a + 0 Af B
B) a -0
C) 0 -a
D )- a - 0
De la figura ; calcular “x f
A )9 0 ° ~
£
B )9 0 °+ -
2
C )J8 0 °-~
2
D)180° + —
2

[A A r o r o o TMIO0NOMETMMCO~A E O tT O R IA I BíJIitXOS)
@ S i en el gráfico OX y OY son bisectrices
del^cO B y ZAOB respectivamente ; señale lo
correcto.
A)a - 20 —90° y
B ja -0 = 270°
C)a - 20 = 180°
D)a - 20 = 360°
Del gráfico , se cumple :
a
A)0 + a = —vuelta
2
B )0 -a = —vuelta
2
C)20 +a = ^
~vuelta
£
@ De la figura :
A)a + c —b
B)a - c = 6
C)a + b = e
D)a -b = c
la figura mostrada, calcular el valor de “x ”.
A) 18
B) 18,5
C) 19,0
D) 19,5
E) 20
(Qj Calcular el valor de *anyn0 *' S i: a + 0 = 900
A)a = 0°; 0 = 360°
B)a = 225° ; 0 = -135°
Cja = 240°; 0 = -15O°
D)a = 135° ; 0 = -225°
Eja = 150°; 0 = -24O°
(Q) Indicar la verdad de las proposiciones:
1)a = 430°y 0 = 30°,entonces ay 0 soncoterminales.
U ja = 5 vueltas y 0 = 4vueltas , entonces ay /fson
coterminales.
III) a= 120° y 0 = 840°,entoncesay 0 soncoterminales
A jFW BjVFV C jV W DjFFF EjVFF
(f^Dos ángulos coterminales ay 0 cumplen que :
0 < 0*600° < a + 0 <1900°, luego un valor de
¿ u
na" sera:
A) 600 ° Bj 700 0 Cj 720 ° D)1440 E)980
(Q)De la figura mostrada , el valor de “ será:
y
A)
Cj
100
180
E jZ
5
(í^)DeI gráfico, señale la relación correcta entre "a" y
A)a + 0 = 180°
B)0 - a = 180°
Cja + 0 = 90°
D)a + 0 = -9O°
E)0 - a = 90°
@ D e acuerdo al gráfico ; señale lo correcto respecto
a los ángulos trigonométricos mostrados.
Aja + 0 + 0 = 1 vuelta
Bja - 0 - 0 = —vuelta
2
Cja + 0 - 0 = —vuelta
2
Dja - 0 - 0 = 1 vuelta
Eja + 0 -0 = —vuelta
2
(Q )De la figura ; calcular **x
A ja -0
B )0 -a
C)0 + a
D j- a -0
E)N.A
@Calcular “x ”.
A}9
B j-0
C j-2 0
D jl8O °-0
E)90° - 0
AXGVLO TRU.Om

I TBIGOXOMETRIAA o o LA o c / o o m i W l t ]
CAPÍTULO
03
SISTE9IAS DE MEDIDA ANGULAR
"T
de una vuelta en 360 partes iguales.
Se divide en 360
partes iguales
l vuelta
* Unidad : 1 (grado sexagesimal)
ta l que:
o <1 vuelta
<1 vuelta = 360c
M - > v
4 ' .
Los instrumentos de medición que fue creando el
científico para ayudarse en la investigación
permitieron recoger los datos sobrelosque sebasarían
losposteriores cálculos que procesarían la información
tomada de los hechos.
Expresar la medida de los ángulos en términos del
ángulode una vuelta no es muy comúny poco práctica
, para ello utilizamos los sistemas de medidas
angulares.
Loe sistemas de medición angular fueron inventados
con la finalidad de medir con exactitud y precisión al
ángulo , siendo tres los sistemas más conocidos , los
cuales son : sexagesimal, centesimaly radial, siendo
elprimero muyutilizadoenaplicacionesdeingeniería
, topografíay navegación .
S IS TE M A SEXAG ESIM AL
O IN G LÉ S (S )
Es el sistema más utilizado en las aplicaciones de
ingeniería, navegación ,etc
Es aquel sistema cuya unidad de medida es el grado
sexagesimal ( I o
) , el cual resulta de dividir el ángulo
360
* Sub unidades:
I o=60’ ( V : minuto sexagesimal)
1 '=60”.......... (1 ” : segundo sexagesimal)
* En consecuencia : 1°=3600”
* Además debemos tomar en cuenta que:
a°b' c " = a° + b’+ c '+ í a + + - ¿ - 1
l 60 3600)
E J E M P L O :
28a24' 3T= 28°+ 24'+ 3"
N O T A :
Ei sistema sexagesimal es un sistema de numeración
posidonal que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la
antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más
moderna, por los árabes durante ei califato orneya. El sistema
sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y
segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho
sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de
orden superior.
El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1,
2;3;4;5;6;10;12;15;20;30 y 60), con lo que se facilita el
cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más
pequeño que es divisible por 1; 2;3; 4;5 y 6.
Al contrario que la mayoría de los demás sistemas de
numeración, el sexagesimal no se usa mucho en la
computación general ni en la lógica, pero sf en la medición
de ángulos y coordenadas geométricas. La unidad estándar
en sexagesimal es el grado. Una circunferencia se divide en
360 grados. Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a
los minutos de arco (1/60 de grado) y segundos de arco
(1/60 de minuto).
El uso del número sesenta como base para la medición de
ángulos, coordenadas y medidas de tiempo se vincula a ia
vieja astronomía y a la trigonometría. Era común medir el
ángulo de elevación de un astro y la trigonometría utiliza
triángulos rectángulos.

[a s is t e m a s DE M EDtDAS AXCVUUUS» O ] M [ E D n O R L ÍI, RiJBtÁOS]
El primer sistema sexagesimal conocido en lahistoria fue el
creadoen laantiguaMesopotamiaentrelosaños2000y 3000
a.C.Estesistemausabalacuña y pararepresentarunidades
del 1al 10y lacuñahorizontal< pararepresentarla3decenas.
A partirdel número59, usabauncriterio posicional.
T <" « V
ixstf i?*«o 23x«r - 4343
La supervivencia actual del sistema sexagesimal en la
medida de losángulosy el tiempo sedebe a suadopción
por los griegos para los desarrollos aritméticos.
O B S E R VA C I Ó N :
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos
sexagesimales. El grado sexagesimal es el ángulo que
se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes
iguales.
* Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° —60'
■ Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60"
/ S k /S k
grados minutos segundos
N3 >'
E J E R C IC IO S !
L
ü
1 ¡ Pasa a minutoa loasiguientes medidos da ánguloa.
7*= 7x60 = 420
15*=
28* =
34*
34* 12 * 34 x 60 + 12
25*7 =
4(7 51 =
52° 2 6 =
2 . Poaa a aegundos las siguientes medidoade ánguloa.
12" = ¡2X60 =
2 6 •
5* = 5x60x60 =
19* =
32‘ 16 = 32X60 + 19 =
176- =
21° 46 =
i r ser =
3 Poaaa segundos loaaiguientea medidos de ángulos.
Í' S S IT = 4x 60x60 + S5x 60 + 17=
6° 56=
1620 41"=
22*3616 =
4 Pasa a m in u tos las aiguientea m edidas de ángulos.
ISO" = 180 *60 =
SOO~ ss
730” =
660"
5 Pasa a gra d os las siguientes m edidas de ángulos.
14400" = 14000+ 60+ 60 =
420
660 32400"
6 E xpresa en gra d o*, m in u tos y aegundos.
•2 4 983"
24 983[ 60__
0 98 416 | 60
24 983" = 6 66 23"
4
>
383 66 6*
aar
■
L.
JJ
36 470"
• S I 092‘
S IS TE M A CENTESIM AL
O FRANCÉS (C )
Sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal
( l 1
) ,el cual resulta de dividir el ángulo de una vuelta
en 400 partes iguales .Este sistema es de poco o nula
aplicación práctica.
* Unidad : 1* (grado centesimal)
. .t <1 vuelta
Tal que: 1 = -------------
H 400
<1 vuelta = 400
* Sub unidades:
l g=100m . M m: minuto centesimal)

[ATRMGDMMBTMIAa r
?
o LA ENCICLOEEDI f¿ ]T |
J" =100*.-.— .(V : segundo centesimal)
* En consecuencia : 1*=10000'
N O TA :
El grado centesimal admite como submúltiplos el minuto y
el segundo centesimales. El minuto centesimal es la
centésima parte del grado centesimal y el segundo centesimal
es la centésima parte del minuto centesimal.
Este sistema, que tiene la ventaja de que los múltiplos y
submúltiplos están vinculados por potencias de 10, pretendió
reemplazar al sexagesimal, pero no consiguió imponerse
dado que la casi totalidad de los aparatos para medición de
ángulos: sextantes, teodolitos, brújulas, etc., están
graduados según el sistema sexagesimal
GRADO CENTESIM AL: Cada una de las porciones
queseconsiguen aldividirel ángulo rectoen 100partes
iguales.
En el sistema centesimal, la circunferencia se divide
en 400g, cada grado se divide en 100 minutos y cada
minuto en 100 segundos . Los segundos se dividen a
su vez en décimas, centésimas, milésimas ...
Los grados centesimales se designan añadiendo el
superíndice « g >
»a los grados,« m » a los minutosy „
« g » a los segundos .
12* 36m 47,08'= 12 grados , 36 minutos , 47,08
segundos
* Además debemos considerar que :
a8bmc‘ = a e + b m+ c a
E J E M P L O :
* De la definición :0 = —= ~ ^ = 2
r 2cm
* El número 2 no tiene
unidades , así un ángulo
de 2 (radianes) significa
un ángulo que subtiende
de un arco cuya longitud
es dos veces la longitud del
radio (£ = 2r).
O B S E R V A C IÓ N :
1 rad = 67°17'4S 1 rad > Io > l g
* El ángulo de media vuelta mide :
180° = 200* = n ra d
í vuelta
O -
* Aproximaciones de "¡r ”
ira 8,14161 x a ■
22
ws-JS +s¡2 ira i m
SISTEMA RADIAL
O CIRCULAR (R )
Llamado también internacional, el cual es un sistema
cuya unidad de medida es el radián (lra d ) el cual
representa la amplitud de un arco , en donde su
longitud mide igual al radio de la circunferencia que
lo contiene.
La medida de un ángulo en radianes (número de
radianes) viene expresado por :0 a —
Lados del
Angulo
* El ángulo de una vuelta mide:
EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES
36Q
P= 400e = 2nrad 0 ?
1 vuelta
m<lvta = 360° = 400g = 2xrad
90° = lOO* *=—rad
2 vuelta
tAola:
Usualmente en el lenguaje matemático no se escribe
“radianes” pues ya se sobre entiende, por ejemplo ,

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES a ] a o [ E o m m iA i, R n tL x iis )
se escribe sen^ j en lugar de a e n ^ ra d j.
^Magnitud equivalente Factor de Conversión:
M iU iq u .
B
«
É
É
e
»
»
ie
m
|*lB
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6
»
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e
l.*gN
e(e
m
^
e
to
e
l)yg
ie
d
#(e
w
É
e
w
fí.
0 radián mkto «t ángulo qiw ha girado una rueda cuando la
lenta ha rodado una dUtanda igual ai radio da la misma.
Es una prédica usual danotar un inguk) y su macüda oon la
misma istra. Así aa «acribe a « 45* para indicar ai ángulo
a que ndde 46° (en el sistema sexagesimal) o bien? (en a)
sistema radián).
¡j'Magnitud equivalente Factor de Conversión
nrad = 180°
xrad
180°
lfto xrad x ,
=>a=1¡rxl 8 r = l s rad
E J E M P L O 8 :
Convertir a radianes la siguiente magnitud angular
0=15 9
Magnitud equivalente Factor de CofifóHSfój^
xrad = 200e
xrad
200g
/
» xrad 3x ,
=> 0=15g x - = — rad
200g 40
E J E M P L O 3 :
Convertir a sexagesimales la siguiente magnitud
angular Q= 24g
Magnitud equivalente Factor de Conversión
*8
O
*■
1
II
&
10g
9o
FACTORES D E COINVERSION
Son fracciones equivalente a la unidad y se obtienen
dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en
el numerador una medida en la unidad deseada y en el
denominador se coloca su equivalente en la unidad a
eliminar.
MAGNITUDES ANGULARES
EQUIVALENTES
*<1 vuelta : Iv => 36 0°= 400g- 2nrad
* < L la n o: l/2v => 280°= 2008—
nrad
* Grados: 9°=10g
*<Recto : 114=> 90°= 100g= nl2rad
*fióla:
“Para convertir un ángulo de un sistema otro ,
multiplicaremos por el factor de conversión”.
E J E M P L O 1 :
convertir a radianes la siguiente magnitud angular
a —12°
10g
E J E M P L O 4 :
Convertir 36° a radianes.
* Como :
0= 24* X = 21,6°
xrad = 180°
xrad
180°
- 1
* Ahora :
o/?o 0*0 xrad 36 _ x
36 = 36 x = ---- x x rad = —rad
180° 180 5
E J E M P L O S :
Convertir 90ga radianes.
* Como: xrad #
xrad = 200g =>----- = 1
200g
* Ahora : 90s = gog x ^ ^ = — rad
200g 20
E J E M P L O 5 :
Convertir a radianesy sexagesimales la magnitud 80s.
RESOLUCIÓN:
i— 80*XJ!L =72°
80* J 101
L*. ftQK^jirad - 2xrad
E J E M P L O 6:
I o 1
g 0°
Calcular : E = — + ------ + —
V l m 5g
* Recordemos : I o = 60* l g = 100m 9o = 108
* Reemplazando e n :

[A IW W W W K T M A * T J l X LA JBXCMCLBPED1 *9l*~}
E = ~ + + ^ = s E = 60 + 100+2 = 162
r i * 6*
E JE M PLO 7 :
Calcular «o + ¿«sabiendo que: ^ r0£* = a° &
* equivalencia : xrad = ISO®
IdCf 48 48+1*
xrad 8
x , 180P
—rad x
8
factord t
eotna
nU
m
l) 16 * r>sexagesimales (*)
Factor de conversión =
* Luego:
a=16‘
9
®
10»
9® 144* 72*
14,4°
o
10' 10
TI) 16 ' =>radianes
Factor de conversión
* Luego:
«ra d
200'
a = 16*X
!@ tecuebda !
xrad 16 x rad 2x .
—----------- s — rad
200* 200 25
En un sistema de medición dado , para pasar de una
unidad superior a una inferior se multiplica por la
equivalencia respectiva. Para pasar de una inferior a
unasuperiorse divide entre la equivalencia respectiva.
Por ejemplo , para el sistema sexagesimal se tiene el
cuadro siguiente:
= 22+—=22°+30
2
* Luego: ^rad=22?30
8
* Comprobando : a = 22 ; b = 30
•Entonces :a + b = 52
lAo/aó:
*Cuando se escribe grados , se refiere a los
grados sexagesimales.
“Para convertir de un ángulo de un sistema a
otro ; multiplicaremos por el factor de
conversión” .
E JE M PLO 8 :
Convertir a sexagesimal y radianes la siguiente
magnitud angular a = 16*
E JE M P L O 1 :
Convierte 15°26’35" a segundos sexagesimales.
18“15x3600*“54000"
28 = 26x60" = 1560"
•Luego:
1826*35" = 54 000" + 1 660" + 3S" =55 595"
E JE M P L O 3 :
Convierte 24,3075° a grados , minutos y segundos
sexagesimales.
* 24,3078° (se queda con la parte entera) ...........24°
* 0,3078=0,3075x60? =18,48...{parte entera)...!?
* 0,48 = 0,45x60'= 27'
•Luego : 24,3075° ~ 2818 2 T
E JE M P L O 3 :
Convierte 39 864* a grados y minutos sexagesimales.
39864 60
39 840 664 I 60
1 1 *
28 660
4
=>39864* * 11°4'24*
E JE M P L O 4 :
Hallar el número de minutos sexagesimales de un
ángulo positivo , si se sabe que el producto de su
número de gradosy segundos sexagesimaleses 32400.
• Sea: m (minutos sexagesimales)
S : número de grados sexagesimales
p : número de segundos sexagesimales.
• Luego : S xp = 32400...».............(I)
• Reemplazando equivalencias: S = 3 600p

[¿^SiSTEHAS DE MEDIDAS ANGCUÍHE& A ] 88 [
* Reemplazando en (I): (3 600p)p = 32 400
* resolviendo : p=3
* entonces : m =60’(3)=180'
t:nm >RLL m u r ta s ]
(tenemos que expresar en una misma unidad •
minutos)
•Recordar: 1° =60'=>2° =120'
lOloJ
0
i
PR O B LE M A 1 :
I) Convertir 36° a grados centesimales.
ZZ) Convertir 15°a (rad).
III) Convertir 80* a (rad).
I) Utilizamos : 9° = 10*, entonces:
t i
40*
U ) Utilizamos : 180* = *•rad, entonces:
x rad
12
i»
III) Utilizamos: 200' ■ n rad, entonces;
xrad 2x ,
7 = — roa
200* 6
PR O B LE M A 2 :
Señale el valor d e:p = £
—rad
180c
® í
D )3
0
E)0,1
—rad x
f 180°
^xrorf J
90•
• Reemplazando : p =
PR O B LE M A 3 :
2 o2 '
2 '
90°
180°
RPTA: “C*
Simplificar : P —•
A) 61 B) 72
• De la expresión : P —
C)52
2 o + 2 '
2 '
D) 41 E) 60
•Luego : P = 120^ 2 ' = I 221= 61
2 ‘ 2 ‘
RPTA : “A ’
PR O B LE M A 4 :
Del gráfico mostrado, calcular “x ”.
A) 26 °
R) 26
C)-24
D) -27
E) -17
* Del gráfico : (5x - 9)Q
= -160*
• Transformando el miembro
sexagesimal: (5x - 9)° = -160* x
• Transformando el miembro derecho al sistema
9o
10*
A) 1 B) 2
• Hay que convertir en un mismo sistema para poder
operar:
=> —rad =>sexagesimal
2
=> ( 6x - 9)°= - 144° x > 6 x -9 = - 144
=> 6x = - 135 => x = -2 7
RPTA: “D ”
P R O B LE M A 5 :
¿Cuántos segundo hay en :p = 2°4'6'r
>
-
A) 7 444 B)7446 C) 7 446 D)7404 E) 7448
* Pasaremos a la misma unidad : 0 = 2° + 4 '+B'
* Recordar que:
> 2* = 7200'
1° = 3 600'
1 = 6 0 ' 4 = 240'
• Luego: 0 = 7200"+240'+5’ =>0 = 7445'
RPTA: “»■'
P R O B LE M A 6 :
¿A cuánto equivale —del ángulo de 1 vuelta en cada
sistema?
A )3 0 ° ; 6 0 * ; — ra d
6
2 x
B)60° ¡ 70* ; ~ -r a d
6
0 7 2 ° ; 80* ; — rad D )64° ; 70* ; ~ ra d
6 6
• Sistema sexagesimal: ~z(l vuelta) = ^-(360*) = 72°
o 5
* Sistema centesimal: ^(1 vuelta) = ^(400*) = 80*

LA ENCMCLOFEDI M01M]
* Sistema radial: ^ (1 vuelta) = ^ (2 x r a d ) = ~ r a d
o o o
* Se pide : 72?; 80* ,*~ r a d
5
RPTA: "C "
PR O B LE M A 7 :
Del gráfico, calcular u
x " , si OC es bisectriz.
c ,
B
18
C)S D } 4 E ) 6
A) 1 B)2
* Como los ángulos están en unidades diferentes; los
vamos a expresar en las mismas unidades para poder
operarlos. Todo loconvertimos al sistema sexagesimal;
sea:
9o
30*
10*
27o
p = ^ - m d x ^ - = 10°
18 f
P R O B L E M A 9 :
2 7 °+ 2 3 ° SOP ,
C = ------------« —
100 10°
RPTA ¡ “C ’
En un triángulo, dos de sus ángulos miden —rad y
X »
^ ra a . ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer
ángulo?
A)S0P B) 340° 0840“ D)60° E)50°
*Graficando , se nota que sólo debemos sumar los
ángulos e igualar dicha suma a 180°. Pero primero
convertiremos todo al sistema sexagesimal:
A = ~ r a d x - ^ - = 90°
2 x ra d
C = ~ r a d x I^ ~ = G0°
3 x ra d
=>90> + 6O* + x = 18O‘
=>* = ao®
R P T A : “A
* Colocando los ángulos en sentido antihorario; como
OC es bisectriz, entonces:
Ck r ^ °
(5 x + 8 )°= (6 x -9 )°
5x+8=*6x - 9 A '
=> 8+9=6x ~ 5x => x=17
0
R P T A :
P R O B L E M A 8 :
Señale el valor de : C = * -?°-
-rr rad
Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo
“B ” en radianes. D
A )lr a d
3
B )~
4
® §
D)x
E )Z
* Transformando todos los ángulos al sistema
sexagesimal:
_1 0 x* _ M íx * 9? _ 0„ 0
A = ~ x ^ - = 3 x
3 3 jtfK
B = 9x°
xx , xx , 180° _ 0
C = — rad = — rad x--------—6x
30 30 xra d
=*A +B +C = 180Q=>3x°+9x0+6xo = 180o z>x = 10
* Como:
B = 9x° => B~90° x Z ^ = -r a d
180° 2
R P T A : “ C M
P R O B L E M A 11:
Del gráfico , hallar “x ” si q c es bisectriz
B
A) 2 B) 4 C )6 D ) 12 E) 18
* Colocando los ángulos en sentido antihorario; como
OC es bisectriz , entonces :

[■¿•SISTEMAS BE HEDIDAS ANGULARES A ] 84 EOm iRIAI, REBIS’ÓS]
(5x~3)*=(6x~9)*
=>5x-3=6x -9
=> -3+9=6x-5x
=>x =6
RPTA ¡ U
C ’
PR O B LE M A 12 :
Señale el valor de : C¡
A) 1 B) 2
R E S O L UC IÓ N :
9o
30* + jar
* Luego , sabemos que: A + C = 90a
* Esto es:
(24n)°+ (36n)° = 9<7=>60n = 90=> n = -
2
9
C}3
rad RPTA : “E*
D) 4 B )6
PR O B LE M A 1 5 :
Calcular "x”, en la igualdad :
a= 30, x — -=27*=>
g JO*
„ x 180a n
y
ia
0 = —ra d x -=20*
9 irroa
c = 27°+13r_40a
2(7 2(7
=>C = 2
rad + (40x)*=38r
D)i E
)í
RPTA : “B ”
PR O B LE M A 13:
En un triángulo, dosde susángulos miden ~ rad y %
O O
rad.¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?
A) 84* B) 74* C) 94* D) 64* E) 54*
R E SO L UC IÓ N :
* Grafioando; se nota que sólo debemos sumar los
ángulos e igualar dicha suma a 18(7, pero el primero
convertiremos todo al sistema sexagesimal:
A = ^ r a d x - ^ - = 6(7
3 xrad
C = -r a d x ^ -= 3 6 *
5 xrad
* Luego
A + B + C - 18(7
^ 6(7 +*+ 36*=18T => x= 84°
PR O B LE M A 14:
Enun triángulo rectángulo, ios ángulos miden (40n)g
y (24n)*. ¿Cuál es el valor de “n"l.
A)1 B)2 C)3 E) |
R E S O LU C IÓ N :
A) 1 B) 2 0 3
* Para poder operar , convertimos todos al sistema
sexagesimal; sea:
xrad 180*
a = -
0 = (40x)*x
xrad
97
10*
= > a =2 0 *
0 = (36x)*
Reemplazando:
2<7+(36x)*=38* =>(36x)*=187 =>x-
RPTA: ”En
PR O B LE M A 16 :
Simplificar: C = ^ -
A) 36 B) 46 C) 66 D) 66 E) 76
* En la expresión : r + ^
* 4'
* Tenemos queexpresaren minutos, para poderoperar
RPTA ; “A" i como: P=60 ^>3r = 180
* L u e g o : C = M ^ = ^ C = *>
4' 4'
RPTA: “B ‘
PR O B LE M A 1 7 :
¿Cuántos segundos hay en : o = 2° 3'4” ?
* Graficando la situación; note para poder operar los ^ 4 ® 7384 D) 7944 E) 9426
ángulos deben estar en las mismas unidades ; R E S O LU C IO N :
Convirtiendo:
C =(40n)* x-^~zz(36n)*
10*
* Pasaremos las unidades a segundos ; así:
0= 2* 34" = 2* + 3 + 4”

[A M fiW J O llE T m A á I A RXCMCLOPEDI l Ó i l )
* Como:
l a
=360<r =>2e=72001
'
V=60T^ 3=180
* Luego : 0 = 7200"+180" + 4"^>0 = 7554"
APTA .*U
C ”
PR O B LE M A 18 :
¿Cuántos minutos centesimales hay en : 0 = 3*45m?.
A) 46 C)145 B) 246 D) 345 E) 445
* Convertimos todos a minutos:
0 *3 * 45m= 3* + 45*
* Como:i * . Qom=$ 3* = 300m
* Luego : 0 = 300m+ 45m=> 0= 345m
RPTA: “D n
PR O B LE M A 19:
En el gráfico ; hallar “x ”
* Ahora si; igualamos: ,.. (36n)e
(7 7 1 +1 ) — ----- —
* Operando: 35n + 5 - 36nz$n = 6
* Luego : a = (7n + 1)° = 36°
*Lo convertimos a radianes:
a =36°x — rad => a = —rad
180 5
RPTA i U
C "
En un triángulo isósceles, los ángulos miden (7rt •2)‘
>
y (7n + 4)*.¿Cuántos mide el ángulo desigual en el
sistema sexagesimal?.
A) 60a B) 44* C) 36° D) 72° E) 54a
* Graficando; tenemos:
A =(7n-2)° y C =(7n+4)*, para poder igualar
C) 27 D) 23 E) 43
A) 17 B) 13
'Colocando todos los ángulos en sentido antihorarioy
convirtiendo al sistema sexagesimal:
0=70* x-^-=63a
10*
70g + x°=90>
=> 33°+ * o=90° =o x°=2T => x=27
RPTA: U
C ”
PR O B LE M A 20:
Sabiendo que un ángulo se expresa como (7n+l)° y
también como (8n )f. ¿Cuál es su medida radial?.
A jo ra d B )^ Cj|- D )^ E )Z-
3 4 O o y
•Sea “ a ” el ángulo ; luego a -(7 n + iy y a=(8n)*
* Pero para poder igualar y operar, lo expresamos en
la misma unidades:
9“ (36n)B
a = (8n)* x — -=><z = -------
10* 5
=>C= (7n + 4 )*x-^~ = — (7n + 4)*
10* 10
* Ahora si; igualando : A = C
•Operando: =>(7n-2)* = — (7n+4)°
10
70n - 20 = 63n + 36
=>70n • 63n = 36 + 20 => 7n = 56=> n = 3
* Luego:
A = (7n - 2)° = 54a ; C = A = 54°
•Com o:
A + B + C = 18<P =>54° + x + 54° = 180°
=> x + 103° = 18(P=> x = 72°
RPTA : “D ”
P R O B LE M A 23 :
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos miden
(2071)* y (12n) ¿Cuál es el valor de “n"?
« i •
I
A) 1 B ) 2 C )3
• Graficando la situación, note que para poder operar
los ángulos deben estar en las mismas unidades.

[ASMSTBMAS DE MEDIDAS AJVGUIARE& ^ ] BB ED ITO RIAL REBIÁOS)
Convirtiendo: P R O B L E M A 25 :
Al simplificar la siguiente expresión:
x° + 4x° + 9x°+„„ + n2x°
K -
* Luego, sabemos que : A + C = 90°, esto es:
(I2n)° + ( I 8n)° = 90° 30n = 90 =>n = 3
RPTA: “C ”
^ T
? 1° + 2o + 3o + 4o + ....+ 200°
Simplificar: r = — ------ —
l 8 + 28 + 3 8 +4g + «.. + 100^
A)3¿4 B)4,12 C)4,42 D) 4,98 E)5,02
* Para este caso debemos recordar :
l + 2 + 3+....+n = n(n + 1)
2
* Que al aplicarla, se obtendrá :
^ 2 0 0 x 2 0 7 ^
JlOOxlOlJ 1018 101g 9o
P R O B L E M A 2 4 :
xg + 4x e + 9xg +....+ n2xgJ
Se obtiene en grados sexagesimales:
* (t T ®(¿r c” ‘ ® (f j
* Factorizando " x ” , se obtendrá :
K =
* Transformando :K =
x° io * r 9° „
—: * ------ x — - = 2^
9° J 20*
2 ) _ 402°_402°x 10g = 4020^i 42
^ 909 9
RPTA: “C ”
Si: 0 = a5° b6 ' c7' es el complemento del ángulo de E)181a - 9p
medida 14,3925°, calcular: H - a + ^
RPTA: “C”
Dado al ángulo trigonométrico de la figura , luego
ocA0 cumplen la relación.
A)112a = 3fi
B)115a —4p
Ol45a = 6fi
D)162a = 5p
C
D)3
B)1 02
•Debemos plantear:
a5° b6 ' c7" = 90P-14,3925°
=> a5° b6 ' c7 "=75,6075° = 75°+ 0,6075°
60'
E)5
• Del gráfico : am= p ”
18 i *
=>amx — — = /Tx —
100m 60”
l g 9° a V 1°
=>a x ----- x— —= Bx — x---
100 10g 60 60'
a5° b6 ' c7 "=75° + 0,6075° x
9x° _ 0°
1000 3600
162x = 5fi
I o R P T A :“D ”
^>a5°b6' c7 "=75°+ 36,450'= 75°+ 36 + 0,45'
=>a5° b6 ' c7 n=75° + 36 + 0 ,4 5 'x ^
=>a50 b6' c7"=75° + 36'+ 27"
=>o5° b6 ' c7n
=75°36'27”
* Entonces :a = 7 ;b = 3 y c = 2
* Se pide : H = —= 5
P R O B L E M A 2 7 :
De la figura mostrada, calcular: 75o
4b
R P T A :U
E ” A)
6
B) E )- l

[d H J 6 W O T C T «U 4 M ENCiCLOPEDl X O lT ]
* De lo obtenido en el problema anterior, se obtendré:
162a=5b=>?- = 5
b 162
* Se pide:
V 4b Y 4 *1 6 2 **4 x5 4 Y
125 5
Si
A) 21*90- B)61* C)21*96- D ) 21*36- E)23*36m
* Del enunciado : m° = n* =* — = .............( I)
n 10
«Ahoraen:
( 62n» "l 10*
n ) * 9 .............
* Reemplazando (I) en (II) :
- ( • - ■ y - T - * '
. ( I I )
RPTA: “B ”
PR O B LE M A 29 :
Para un ángulo central en el primer cuadrantesean a
y 0 sus medidas en los sistemas sexagesimales y
27 9
centesimal respectivamente. Si a » — + —, entonces
10 0
la medida de dicho ángulo en radianes es:
A;_í_ B )— C )— D )— E) —
27 9 37 40 47
* Del enunciado:
a = 9k y 0 = lOk
* Queal reemplazarlo en la relación dada se obtendrá:
27 Q
9k « — + => 90k2= 27h + 9
10 lOk
>10k*-Sk-l-0 Descartado
. por negativo
2k-i-o->k-
2
* Se pide:
216 6
RPTA: “A ”
PR O B LE M A 28 :
Un ángulo $, mide en los sistemas sexagesimales y
centesimalmyn respectivamente, calcular la medida
de a en grados centesimales y minutos centesimales.
( m*
xrad x .
x - - - —rad
200* 40
RPTA: “D”
PR O B LE M A 3 0 :
Determineel valor de la sumatoria infinita siguiente:
F=xrad+90’+50*+Zmd+4ff+2& +-^wd+2¡F30+12?50"
2 4
A) 600° B) 615a C) 630° D) 645° E)660P
* Agrupando adecuadamente:
F - xrad + 90a+ 50* + —rad + 45*+ 25* +...
2
...+^-rad +22°30‘+12*50"' + ...(infinitos términos)
4
* Ordenamos:
i i . i wi „ i „ i
*J *| *1 * í " I *1
* Recordemos el uso de una progresión geométrica
decreciente (suma límite):
a + o r + a r*+ ....= ------; 0 < r < l
1- r
* Que al aplicarla en “F ”, se obtendrá:
F =
1 -
2 )
rad +
90°
‘ - i
50*
- h
F —2xrad + 180° + 100* =630*
360" 90°
RPTA: “C”
P R O B LE M A 31 :
Del gráfico siguiente, indicar cuál(es) de las
proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):
I) Es: a - 9
W a + 0=180°
O I) o es un ángulo positivoy a es un ángulo negativo.
A) W F V . $
B) VFV
C)FFV - 1
0
D) VFF
E) FFF

[^SISTEM AS DE M EDIDAS ANGULARES £
> ] 38 (
EDMTORIAI, RUDUVOS]
•Para relacionar ángulos trigonométricos éstos deben
de tener el mismo sentido. Luego, en el gráfico :
I)FALSO, puesto que:- a = 8
U)FALSO, puesto que: 0 - a = 180°
* Reemplazando en (I):
135 + C = 180a=>C = 45°
=> B + C = 135a
* Reemplazando en (I) :
135*+ A = 180° x> A = 45°; B = 90°
=
*►
Se trata de un triángulo isósceles rectángulo
P R O B LE M A 3 4 :
Las medidas de los tres ángulos de un triángulo son:
fo x }
tll)V E R D A D E R O , puesto que 9 tiene sentido ifc+^^d ian esy (x+2)*’
antihorario y a sentido horario.
R PTA : “C”
El mayor de ellos expresado en radianes es:
PR O B LE M A 32 :
A partir del gráfico, calcular :<x- 6
A) 400*
B) 360*
cuso?
D)470?
E) 450°
* Del gráfico:
Ai
100
B)
100x
100+x ' 100+x
C)
100+x
D)
9x
10+x
E)
90+x
0 + V+ 9O*= 360°
=>0 + y=27O°
♦Además: a _ g p + p
- 8 - 9 0 °+ y
Convertimos cada uno de los ángulos a radianes
t _ 9x° _ xrad xrad
10 10
*(x+2)g=(x+2)g x
180? 200
xrad _(x + 2)xrad
200* 200
*(x+ l)ra d
Como son los ángulos internos de un triángulo.
jr* (x+2)x L, ,
+ — —+ (x+ l)= x :
sumando
a-e«1 8 Q o+ p + y
170»
=>a-0 = 46O°
PR O B LE M A 33 :
En un triángulo ABC se cumple que:
A + B = 3^ rad; B + C = 135°.Dicho triángulo es:
A)Equilátero B)Escaleno - rectángulo
Cfltósceles - rectángulo D) Obtusángulo
200 200
(2x+200)x+200+2x
200
99x-100
x(2x+2) + 200(x+l)
200 200
2(x+100)x+2(100+x)=200x
x+100
RPTA : "E” Luego el mayor ángulo será:
(x+l)ra d ={™ * + j)iw f =>(x+l)rud={- ^ - ]r a d .
K x+100 ) x+100)
♦Dado:
• A + B + C = 180°.
x+100
RPTA: “B "
EJERCIC IO S D E A PLIC A C IÓ N
(@7) Expresar en grados :
a) 53? 16'50* =
. ( I )
4
6) 170*36'50* =
c)28*10' =
R p ta : 53,28055556*
Rpta : 170,6138889*
R p ta : 28,1666666T

99 C LA ENCÍCLOPEDI
a>
b)
c)
d)
fíp ta : 46.01°
R p ta : 276,1519444°
R p ta : 989,6'
R p ta : 8899,6'
R p ta : 2710'
R p ta : 4920¿3'
R p ta : 127183”
R p ta : 261600"
Rpta : 496819”
Rpta : 1232336"
c# 45*36” =
e)276?09'0T =
Expresar en minutos:
16° 29'32" =
148° 19'37’ =
46° 10' =
82° 18” =
Expresar en segundos:
a) 3 5 1 9 4 3 " =
b) 72°40' =
c) 180° 19” =
d) 342° 18' 66" =
Expresar en grados, minutos y segundos :
a) 38,466° = R p ta : 38?27 ' 57,6"
b) 126,03334° = Rpta : 126° 02'
c )136,44' = Rpta :2° 16' 26,4”
d) 362,62'= Rpta :6 °0 2 ' 3 7 X
e)40436" = R p ta : 11° 13'56?
f) 6836T = Rpta :18° 59' 27“
Reducir a] sistema circular Para x = 3,14.
a) 42?29' 36' = R p ta : 0,74 rad
R p ta : 2,61 rad = (516)x rad
R p ta : 0,63 rad
R p ta : 2,54 rad
R p ta : 0,06 rad
Rpta :0¿28 rad
R p ta : 4,71 rad = (3/2)n rad
b) 160? =
c)36?18' =
d) 146?36” =
e)184,68' =
f) 58348” =
8) 270? = „
@Reducir al sistema sexagesimal.
a) 1,36 rad =
b) 0 ¿ 8 rad =
e)(3/2)w rad =
d) (314)x rad =
e)(2/5)x rad =
f) (3/7)x rad =
g) (5/9)x rad -
h) (ll/ 12)x rad =
Rpta : 77° 57' 42,42?
R p ta : 16° 03'03,44”
R p ta : 270?
R p ta : 42? 59' 37,OT
R p ta : 72°
R p ta : 7 T 08' 34¿29"
Rpta :100?
Rpta : 165°
Se considera para x = 3,14.
^E xpresar en el sistema circular un ángulo de:
a) 18°= Rpta : (1110) x rad
b) 30? =
c)36? =
d) 43? =
e)45° =
f) 60? =
g) 72° =
h) 75° =
i) 80? =
í) 120? =
k) 161° =
I)540? =
II) 36?40' =
m) 42° 27' 32" =
n) 42?59' 37“ =
ñ) 46?20 '30" =
0) 55° 84 ' =
p) 97° 25' =
q) 160? 03'24" =
Expresar en
ángulo de:
a) ( 1/
12) x rad =
b ) (l!8)x r a d =
c)(l/5)x rad =
d) 1 rad =
e)(3/5)x rad =
f) (2/3)x rad =
g) (3/4)x rad -
h) 2,5 rad =
1) (415)x rad =
j) 2,7 rad =
k) 3,6 rad =
l) (4/3)x rad =
U) 4,18888 rad =
m) (7/5)x rad =
n) (513)x rad =
ñ) (7/4)x rad =
o) 555555 rad =
p) 6 rad =
q) 6,17222 rad =
r) (7/3)xrad =
Rpta : (1/6)x rad
Rpta : (1/6)x rad
Rpta : 0,75 rad
R p ta : (l/4)x rad
Rpta :(l/3)x rad
R p ta : (2/5)x rad
Rpta : (5/12)x rad
Rpta : (4/9)x rad
Rpta : (213)x rad
R p ta : 2,81 rad
Rpta : 3x rad
R p ta : 0,62 rad
R p ta : 0,74 rad
Rpta : 0,75 rad
R p ta : 0,81 rad
R p ta : 0,98 rad
Rpta : 1,70 rad
R p ta : 2,61 rad
el sistema sexagesimal un
R p ta : 15°
R p ta : 22° 30'
R p ta : 36°
Rpta :5 T 19' 29,43"
R p ta : 108°
R p ta : 120?
R p ta : 135°
Rpta :143? 18' 43J5?
Rpta : 144°
R p ta : 154° 46'37,4"
R p ta :206?22' 09,94"
Rpta : 240?
R pta: 240?07’ 36,76?
R p ta : 252?
R p ta : 300?
R p ta : 315?
R p ta : 318° 28' 15,6?
R p ta : 343? 56'665"
Rpta : 353? 49' 17^"
Rpta : 420?

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