Introducción a las Señales y Sistemas.docx

Señales y Sistemas (66.74 y 86.05) Introducción a las Señales y Sistemas 1/39
Introducción a las Señales y Sistemas
Dr. Bioing. Humberto Torres
htorres@fi.uba.ar
Agosto 2022

Resumen
Introducción a la materia
Señales en tiempo continuo y discreto
Sistemas en tiempo continuo y discreto
1
2
3

Objetivos
En la materia presentaremos conceptos básicos y cuando sea posible
presentaremos ejemplos simples de aplicacion de los mismos en algunas de
las aplicaciones mencionadas arriba!
El análisis y sı́ntesis de señales y sistemas tiene importancia fundamental en
la ciencia y la tecnolog´ıa:
Comunicaciones
Control
Teor´ıa de circuitos
Generación y distribución de energı́a eléctrica
Ingenierı́a biomédica
Aplicaciones de punta: sistemas aeroespaciales, radares, etc.
Introducir conceptos y técnicas de analisis y diseño para señales y sistemas
en tiempo continuo y discreto, con especial enfásis en sistemas lineales!

Temas a desarrollar
Bibliograf´ıa, gu´ıas de ejercicios, videos de las clases teoricas, cronograma y
reglamento de la materia pueden encontrarse en el campus virtual:
https://campus.fi.uba.ar/course/view.php?id=252
Conceptos básicos de señales y sistemas.
Convolución y propiedades de sistemas lineales.
Series y transformadas de Fourier.
Muestreo e interpolacion.
Transformada Discreta de Fourier
Transformada de Laplace y transformada Z y analisis de sistemas
mediante dichas herramientas.
Diseño de filtros digitales.
Aplicaciones: sistemas de comunicaciones analogicas, sistemas
realimentados, etc.

Bibliograf´ıa
Básica:
Oppenheim, A.
Willsky , S
Nawab, Señales
y Sistemas,
Prentice-Hall,
2da. edición,
1998.
A. Oppenheim,
R. Schafer,
Tratamiento de
Señales en
Tiempo
Discreto,
Person, 3da.
edición, 2011.
Suplementaria:
B. Porat, A Course in Digital Signal Processing, John Wiley & Sons,
1ra. edición, 1997.
T. Kailath, Linear Systems, Prentice-Hall, 1ra. edición, 1980.
J. Proakis and D. Manolakis, Digital Signal Processing, Prentice-Hall,
3ra. edición, 1996.

Cronograma
Semana Teórica: Lunes 16:00 a 19:00
hs.
Práctica: Martes 16:00 a 19:00
hs.
Prácticas Miércoles: 16:00 a
19:00, 19:00 a 22:00 hs.
1 22-08: Introducción gene-
ral.TP1: Señales y Sistemas
23-08: Introducción gene-
ral.TP1: Señales
24-08: Introducción gene-
ral.TP1: Señales
2 29-08: Sistemas LTI 30-08: TP2: Sistemas, Siste-
mas LTI
31-08: TP2: Sistemas, Siste-
mas LTI
3 05-09: Serie de Fourier 06-09: TP3: Serie de Fourier 07-09: TP3: Serie de Fourier
4 12-09: Transformada de Fou-
rier (TF)
13-09: TP4: Transformada de
Fourier
Fourier
5 19-09: Transformada de Fou-
rier (TF), aplicaciones
Fourier. TF de corto tiempo.
Fourier. TF de corto tiempo.
6 26-09: Muestreo e interpola-
ción
27-09: TP5: Teorema del
Muestreo
Muestreo
7 03-10: Muestreo e interpola-
ción
Muestreo.
Muestreo
8 10-10: Feriado Nacional 11-10: TP6: DFT y sus aplica-
ciones
12-10: TP6: DFT y sus aplica-
ciones
9 17-10 DFT 18-10: TP6: DFT y sus aplica-
ciones
19-10: TP6: DFT y sus aplica-
ciones
10 24-10: Transformada de La-
place y transformada Z
25-10: Repaso 26-10: Repaso
11 31-10: Parcial 01-11: TP7: Transformada de
Laplace y Z
Laplace y Z
12 07-11: Análisis de sistemas de
tiempo discreto
Laplace y Z
09-11:TP7: Transformada de
Laplace y Z
13 14-11: Primer recuperatorio
del parcial
15-11: Trabajo Práctico Espe-
cial
cial
14 21-11: Feriado Nacional 22-11: Trabajo Práctico Espe-
cial
cial
15 28-11: Filtro digitales y apli-
caciones
cial
cial
16 05-12: Consultas y repaso ge-
neral
cial
cial
Segundo recuperatorio parcial se realizará en la primera fecha de exámenes finales, el dı́a 12/12.

Aprobación
Parcial (+2 recuperatorios).
Presentación y defensa del trabajo práctico especial.
Nota de cursada NCur = 0.7 ∗ Npar + 0.3 ∗ Ntp.
Coloquio integrador. Nota final: Nf = 0.4 ∗ NCur + 0.6 ∗ NCol.
Importante!! La materia introduce muchos conceptos abstractos que requieren
tiempo de estudio y dedicación para ser debidamente asimilados. Para el éxito en
la cursada y aprobación de la materia se recomienda:
1 Venir a las teóricas con el material a ser presentado leı́do para una mejor
aprovechamiento de las clases.
2 Durante la semana siguiente a cada clase teórica estudiar detalladamente la
bibliografı́a para cada uno de los temas presentados. El material en estas
guı́as no reemplaza en absoluto a la bibliografı́a sugerida!
3 Aprovechar las clases prácticas para resolver ejercicios y consultar a los
docentes. Sin una rutina constante de resolución de problemas desde el dı́a 1
esta materia será muy difı́cil de aprobar!!!
4 Ejercitarse en casa durante la semana utilizando las guı́as de ejercicios y los
ejercicios sugeridos en la teórica y en las prácticas.

Señales: ¿Que es una señal?
Ruido: cualquier fenómeno que perturba la percepción o interpretación de una
señal. La diferencia entre señal y ruido es artificial, y depende solamente del
criterio del observador
El término señal señal se aplica generalmente a algo que lleva información. Las señales llevan
generalmente información sobre el estado o el comportamiento de un sistema fı́sico y a menudo se
sintetizan señales con el propósito de comunicar informacion entre seres humanos o entre seres
humanos y máquinas. Aunque las señales se pueden representar de muchas formas, en todos los
casos la información está contenida en algún patrón de variaciones. Las señales se representan
matemáticamente como funciones de una o más variables independientes.
A. Oppenheim, R. Schafer, Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto, Person, 3da. edición, 2011.
RAE −→ 15. f. Fı́s. Variacion de una corriente eléctrica u otra magnitud que
se utiliza para transmitir información.
Latı́n −→ Signalis: Signo, seña, marca o medio que informa, avisa o advierte de
algo.

Clasificación de las señales
Dimensional: basado en el número de variables independientes del modelo de
la señal.
Energético: de acuerdo a si poseen o no energı́a finita.
Espectral: basado en la forma de la distribución de frecuencias del espectro
de la señal.
Fenomenológico: basado en el tipo de evolución de la señal, predefinido o
aleatorio.
Morfológico: basado en el carácter continuo o discreto de la amplitud de la
señal o de la variable independiente.
Periódicas
Sinusoidales
Armónicas
Señales Determinı́sticas
Pseudoaleatorias
Aleatorias
Aperiódicas
Cuasiperiódicas
Transitorias

Señales: modelo matemático
x(t) : RN
→ R
.
Ejemplos:
El voltaje v(t) como función del tiempo en un capacitor.
La señal del corazón humano en función del tiempo obtenida a través de un
electrocardiograma.
La temperatura en una varilla de metal en función de la posición sobre la
misma.
Una imagen fotográfica, donde f(x, y) es la intensidad del brillo y x y y son
las coordenadas espaciales.

Señales: tiempo discreto
Ejemplos:
x[n] : Z → R
Muestras de una señal de tiempo continuo.
Datos sobre el nivel de precipitaciones en Buenos Aires para cada mes del
año.
Datos para cada dı́a del nivel de operaciones en la Bolsa de Buenos Aires.
Una imagen fotográfica digital.
Señal analógica Señal muestreada Señal cuantizada Señal digital

Señales periódicas
Se dice que una señal discreta x[n] es periódica, con periodo N ∈ Z, si:
x[n + N] = x[n], ∀n
Si x(t) es periódica con periodo T también es periódica con periodo qT, q ∈ N. El
periodo fundamental t0 es el número positivo más pequeño de T.
1
0.5
0
-0.5
-1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
Se dice que una señal continua x(t) es periódica, con periodo T ∈ R, si:
x(t + T ) = x(t), ∀t
Ciclo

Señales complejas
2
∠
z(t) ∈ C
z(t) = Re{z(t)} + jIm{z(t)}
j =
√
−1
z∗ = Re{z(t)} − jIm{z(t)}
z∗ = ∥z(t)∥e−j∠z(t)
Re{z(t)}−jIm{z(t)}
1
2 2
Re{z(t)} = z(t)+z∗
(t)
2
z Re {z(t)}+Im {z(t)}
1
= 1
e−j∠z
Im{z(t)} = z(t)−z∗(t)
z(t) = ∥z(t)∥ej∠z(t)
z(t) = ∥z(t)∥ cos (∠z(t)) +
+j∥z(t)∥ sin (∠z(t))
z ∥z∥
s = ∥s∥ej∠s
Im
Im{z}
∥z∥
∠z
z = ∥z∥ej∠z
∥z(t)∥ =
√
z(t)z∗(t)
s∗ = ∥s∥e−j∠s
Re{z}
Re
1 = 1 e−j∠z
=
√
Re2{z(t)} + Im2{z(t)}]
z ∥z∥
z(t) = arctan Im{z(t)}
Re{z(t)}
=

Señales: simetrı́a
1
0
-1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
0
-1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.5
0
1
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Señales: simetrı́a
Propiedad: La multiplicación de dos funciones par es una función par.
Propiedad: La multiplicación de dos funciones impar es una función par
Demostración:
z(t) = xpar(t)yimpar(t)
z(−t) = xpar(−t)yimpar(−t) = xpar(t){−yimpar(t)} = −z(t)
Demostración:
z(t) = xpar(t)ypar(t)
z(−t) = xpar(−t)ypar(−t) = xpar(t)ypar(t) = z(t)
Demostración:
z(t) = ximpar(t)yimpar(t)
z(−t) = ximpar(−t)yimpar(−t) = {−ximpar(t)}{−yimpar(t)} = z(t)
Propiedad: La multiplicación de una función par con una función impar es una
función impar.

Medidas de señales
Valor medio de un
señal no periódica
x̄ = lı́m
n
1 , T x(t) dt
o
T →∞ 2T −T
x̄ = lı́m
,
1 Σ
N
x[n]
,
N→∞ 2N+1
n=−N
Valor medio de un
señal periódica
x̄ = 1 ,
T x(t) dt
T0 0
N
x̄ = 1 Σ
x[n]
N0 n=∈{N0}
Valor pico xp = máx |x(t)|
t
xp = máx |x[n]|
n
Energı́a Ex =
,
−
∞
∞ |x(t)|2 dt
Ex =
∞
Σ
|x[n]|2
−∞
Potencia de un señal
no periódica
Px = lı́m
n
1 , T |x(t)|2 dt
o
T →∞ 2T −T
P = lı́m
,
1 Σ
N
x
N→∞ 2N+1
n=−N
|x[n]|2
,
Potencia de un señal
periódica
Px = 1 ,
T |x(t)|2 dt
T0 0
N
Px = 1 Σ
|x[n]|2
N0 n=∈{N0}

Espacios de señales
Desde el formalismo matemático nos servirá estructurar las señales en espacios
vectoriales adecuados (para nosotros estructurados sobre R o C). En forma precisa
Sea H un conjunto de funciones f : R → R que además satisfacen lo siguiente:
Si f(t) ∈ H entonces αf(t) ∈ H, ∀α ∈ R.
Si f(t) y g(t) pertenecen a H entonces f(t) + g(t) pertenecen a H.
Se dice que H es un espacio vectorial estructurado sobre R.
Observaciones:
Notar que necesariamente la función nula (es decir la que vale 0 para todo t)
debe pertenecer a H.
La extensión para el caso de señales de tiempo discreto es inmediata.
Los espacios vectoriales con los que trabajaremos no serán en general de
dimensión finita!.
La noción de independencia lineal entre N elementos del espacio es siempre
la misma independientemente de que el espacio tenga dimensión finita o
infinita.
Es inmediato ver que podemos estructurar un espacio en lugar de sobre R
sobre C (de hecho lo haremos más adelante!!)

Sea A =
,
et
, e2t
, e3t
, . . .
,
. Es A un espacio vectorial???
2
2
Ejemplos:
Sea L2(R) el espacio de las señales f : R → R tales que :
∞ |f(t)|2
dt < ∞,
−∞
es decir las señales con energı́a finita en toda la recta. Es claro que L2(R) es
un espacio vectorial. Probarlo!!!
El resultado es el mismo para L2(B) con B ⊆ R el espacio de las señales
f : B → R tales que :
B
|f(t)| dt < ∞
Sea l2(Z) el espacio de las señales de tiempo discreto tales que:
∞
n=
Σ
−∞
|x[n]| < ∞
Es claro que l2
(Z) es un espacio vectorial.Probarlo!!!
Sea P(n) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n. Probar
que P(n) es un espacio vectorial. Probarlo!!! Es de dimensión finita o
infinita??.
∫
∫

Decimos que ⟨·, ·⟩ : H × H → R es un producto interno sobre el espacio vectorial H
compuesto por funciones f : R → R si satisface:
⟨f(t), g(t)⟩ = ⟨g(t), f(t)⟩ para f(t), g(t) pertenecientes a H.
⟨αf(t), g(t)⟩ = α⟨f(t), g(t)⟩ para f(t), g(t) pertenecientes a H y α ∈ R.
⟨f(t), f(t)⟩ ≡ ||f(t)||2
, es decir la norma al cuadrado de la señal f(t).
⟨f(t), f(t)⟩ ≥ 0 con la igualdad sı́ y sólo sı́ f(t) ≡ 0. Notar que
En algunos espacios vectoriales podremos contar con algunas estructuras más
completas. Por ejemplo, con un producto interno.
Ejemplo: Sea L2([0, T)) el espacio vectorial de las funciones de energı́a finita
f : [0, T ) → R. Se define:
⟨f(t), g(t)⟩ ≡
T
f(t)g(t)dt
0
Probar que esto constituye un producto interno en el mencionado espacio!!!
∫

∈
, . . . , √
T
e , √
T
e , √
T
, √
T
e , √
T
e ,. . . , , ω0 =
Se dice que f(t) y g(t) pertenecientes a H con producto interno ⟨·, ·⟩ son
ortogonales si:
⟨f(t), g(t)⟩ = 0
La presencia de producto interno permite definir la noción de ortogonalidad entre
elementos de un espacio vectorial.
Ejemplo: Sea f(t), g(t) L2([0, T )) con el producto interno usual. Entonces, si
f(t) y g(t) son ortogonales:
T
f(t)g(t)dt = 0
0
En espacio vectoriales con producto interno cobra importancia el concepto de base
ortonormal. Una base ortonormal conocida por todos (y que después utilizaremos)
para el espacio de funciones complejas f : [0, T ) → C en L2([0, T )) es1:
1 −2jω0t 1 −jω0t 1 1 jω0t 1 2jω0t 2π
1
L2([0, T )) es un espacio de dimensión infinita y existen algunas cuestiones técnicas para
estar seguros que el conjunto de las exponenciales complejas permite “generar” cualquier
elemento del espacio. No nos detendremos en dichos detalles en el curso.
T
∫

Algunas funciones útiles
21
0 t < 0
La definición rigurosa de este objeto es matemáticamente compleja. Incluso desde
el punto de vista formal, lo que llamamos como delta de Dirac no es una función.
Nosotros, como usaremos este objeto de forma puramente operativa no nos
preocuparemos por estos detalles.
u(t) = δ(τ)dτ
Una función muy útil para nosotros será
1 t > 0
la función escalón unitario u(t):
Otra función de mucho interés para nosotros será la delta de Dirac δ(t) o función
impulso unitario2
:
Una posible definición es la siguiente
∫ t
−∞
2
La definición precisa requiere teorı́a de distribuciones y teorı́a de la medida, temas que
están fuera del alcance de este curso. Para los interesados (y valientes!!) consultar W.
Rudin,Functional Analysis, Mc-Graw-Hill, 1991.
Esta función es muy útil en teorı́a de control y procesamiento de señales. Una de
sus atractivos es que permite restringir señales para los valores de t positivos por
medio de una simple multiplicación con esta función.
El valor en t = 0 no es importante y se puede
definir con total libertad. Una elección
popular es u(0) = 0.5.
Integrando la función delta de Dirac
obtenemos la función escalón definida arriba!!
u(t) =

22
,
Sin ser rigurosos podemos definir también:
δ(t) = u′(t)
En forma equivalente la delta de Dirac es un objeto que cumple con las siguientes
propiedades
δ(t) = 0 ∀t ̸= 0.
∞ δ(t)dt = 1.
−∞
La falta de rigurosidad nos lleva a un
problema en t = 0 donde la función escalón
unitario es discontinua y su derivada en el
sentido clásico no existe!! Sin embargo con el
formalismo de la teorı́a de las distribuciones
dicha derivada se puede justificar y por ello la
seguiremos utilizando!

23
Notamos como δ∆(t) tiene siempre área unitaria y para t < 0 y t > ∆ vale 0. Sin
preocuparnos por la rigurosidad matemática podemos decir que :
lı́m δ∆(t) = δ(t)
∆→0
Funciones como δ∆(t) arriba, que convergen a δ(t) cuando ∆ → 0 se denominan
nascent delta functions.
Podemos intepretar la expresión δ(t) = u′(t) como un lı́mite (aunque no
rigurosamente):
δ∆(t) = u′
∆(t), ∆ → 0

Algunas funciones útiles 24
−∞
Cuando veamos el concepto de convolución para sistemas lineales veremos otra
interpretación interesante de la delta de Dirac!!
Notar que para una señal x(t) continua podemos escribir (con el lı́mite
interpretado en el mismo sentido que las expresiones de arriba):
lı́m x(t)δ∆(t) = x(0)δ(t)
∆→0
Esto nos lleva a una de las principales propiedades de la delta de Dirac:
∫ ∞
δ(t − t0)x(t)dt = x(t0)
arbitrario, la delta de Dirac nos
permite de alguna forma obtener o
”evaluar” el valor de dichas funciones
en dicho punto!! Esto será muy útil
cuando veamos el tema de muestreo!!
Para funciones continuas en un t0 ∈ R

25
k=−∞
Para el caso de tiempo discreto podemos también definir las funciones escalón
unitario u[n] y la función impulso unitario δ[n]:
2 2
1.8 1.8
1.6 1.6
1.4 1.4
1.2 1.2
1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
En este caso no hay problemas matemáticos y los resultados e intuición son más
naturales. Notar que en este caso el valor en n = 0 de la función escalón se fija en
1. Es fácil verificar:
u[n] =
Σn
δ[n].
δ[n] = u[n] − u[n − 1].
∞
k=−∞ x[k]δ[n − k] = x[n] para cualquier señal de tiempo discreto x[n].
Σ

¿Que es un sistema?
RAE. m. Conjunto de cosas que relacionadas entre sı́ ordenadamente contribuyen
a determinado objeto.
Un sistema es una interconexión de componentes, dispositivos o subsistemas.
A. V. Oppenheim; A. S. Willsky, Señales y sistemas. Pearson Educación. 2da
edicion. 1998.
Un sistema se define formalmente como una entidad que manipula una o más
señales para llevar a cabo una función, produciendo de ese modo nuevas señales.
Simon Haykin and Barry Van Veen, Señales y sistemas. Limusa Wiley. 2001.
Objeto que acepta señales, las transforma de acuerdo a una determinada ley y
proporciona a su salida dichas señales

Ejemplos de sistemas
Sin embargo, en general pueden los sistemas pueden ser modelizados de una forma
universal y ser analizados con herramientas matemáticas independientes su
naturaleza fı́sica!!!
Un capacitor que dado una tensión entre sus bornes v(t) genera una
corriente i(t).
Una cámara fotografica digital que dada una escena del mundo real
(modelizada con una señal bidimensional de intensidades lumı́nicas
analógica), proporciona una señal bidimensional de intensidades lumı́nicas
digitales.
Un instrumento musical de viento, que dada la señal de entrada dada por el
soplido del músico, proporciona una señal acústica.
Existe una diversidad enorme de sistemas de naturaleza diversa!!

Modelización de los sistemas
un operador T : H1 → H2. En forma compacta la acción del sistema representado
señales en el espacio vectorial H2 se puede representar en forma matemática por
Un sistema cuyas entradas son señales en el espacio vectorial H1 y sus salidas son
por T se puede escribir como:
y(t) = T [x(t)]
donde x(t) ∈ H1 es la señal de entrada y y(t) ∈ H2 es la señal de salida.
Por supuesto que las mismas definiciones valen para sistemas que toman señales
en tiempo discreto y entregan señales en tiempo discreto o incluso para sistemas
mixtos!!
Desde el punto vista matemático formal podemos definir a un sistema como a un
operador que opera entre dos espacios de señales. En particular nos interesaran
aquellos operadores que operen entre dos espacios vectoriales de señales:

Aplicaciones
Análisis Estudiar la respuesta de un sistema especı́fico
a diversas entradas
Análisis
circuitos
de
x(t) ) T ) ?
Diseño o
identifica-
ción
Diseñar sistemas para procesar señales de de-
terminada forma
Restauración
de audio
x(t) ) ? ) y(t)
Invertir Obtener entrada para un sistema dado a partir
de su salida
Eliminar
distorciones
? ) T ) y(t)
Filtrado Obtener el sistema y la señal de salida que per-
mite modificar una señal de entrada de deter-
minada forma
Filtro notch
x(t) ) ? ) ?
Modelado Diseñar un sistema y la señal de entrada que
nos permite obtener una salida determinada
Sı́ntesis
habla
de
? ) ? ) y(t)
Control: Diseñar un sistema que controle a otro a partir
de su salida
Piloto
tomatico
au-
x(t) ) T ) y(t)
ˆ
? (

Propiedades de los sistemas
Propiedades/Herramientas
Continuo/Discreto
Entrada/Todas las entradas posibles.

Propiedades de los sistemas: Memoria
Se dice que un sistema es con memoria cuando su salida en el tiempo t depende
de su entrada en otros tiempos distintos de t.

Propiedades de los sistemas: Invertibilidad
k=−∞
,
≤ ≤
Ejemplos:
y(t) = αx(t) es invertible si α ̸= 0.
y[n] =
Σn
x[k] es invertible.
y(t) = t
−∞
x(τ)dτ es invertible.
y(t) = sin (x(t)) no es invertible.
y[n] =
x[n] 0 n N
0 en otro caso
no es invertible.
En forma coloquial un sistema es invertible cuando observando la salida del mismo
podemos recuperar la entrada. En términos matemáticos concretos, un sistema es
invertible cuando el operador T que lo define es biyectivo o lo que es lo mismo
existe T −1
.

Propiedades de los sistemas: Causalidad
Se dice que un sistema es causal cuando su salida depende únicamente del
presente y del pasado de la entrada (no del futuro). Un sistema se dice que es no
causal cuando su salida puede depender de valores del pasado, del presente y
también futuro. Un sistemas se dice que es anti-causal cuando su salida depende
únicamente del presente y del futuro.

Propiedades de los sistemas: Estabilidad
,
N k=n−N+1
ˆ
x(t)
ˆ
y(t)
ˆ
x(t)
ˆ
y(t)
) )
t t
) )
t t
Ejemplos:
El sistema y(t) = t
−∞ x(τ)dτ es inestable.
El sistema y[n] = 1
Σn
x[k] es estable.
Existen varios criterios de estabilidad. Nosotros vamos a trabajar con un criterio
conocido como BIBO (Bounded Input-Bounded Output), el que dice que un
sistema es estable si para entradas acotadas la salida permanece acotada:
∃B1 ∈ R+ : |x(t)| ≤ B1, ∀t ∈ R =⇒ ∃B2 ∈ R+ : |y(t)| ≤ B2, ∀t ∈ R

Propiedades de los sistemas: Invariancia en el tiempo
ˆ
x(t − t0)
)
ˆ
y(t − t0)
)
,
ˆ
x(t)
ˆ
y(t)
) )
t t t0 t t0 t
Ejemplos:
El sistema y(t) = t
−∞
x(τ)dτ es invariante en el tiempo.
El sistema y[n] = α−nx[n] con α ∈ C es variante en el tiempo.
x(t
)
) Retardo x(t − t0
)
)
t0
y(t)
T )
x(t
)
)
T
y(t)
) Retardo y(t − t
)
0)
t0
Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento temporal
en la entrada provoca un desplazamiento temporal en la salida:
T [x(t − t0)] = y(t − t0)
donde x(t) ∈ H1 es la señal de entrada y y(t) ∈ H2 es la señal de salida.

Propiedades de los sistemas: Linealidad
"
Σ N
Σ
Se dice que un sistema es lineal, si el mismo satisface las siguientes propiedades:
1 Aditividad: para dos señales de entrada x1(t) y x2(t) cuyas salidas por el
sistema T valen y1(t) e y2(t) respectivamente tenemos que:
T [x1(t) + x2(t)] = T [x1(t)] + T [x2(t)] = y1(t) + y2(t)
2 Homogeneidad: para una señal de entrada x(t) cuya salida al sistema T es
y(t) y cualquier escalar α ∈ C:
T [αx(t)] = αT [x(t)] = αy(t)
En forma general podemos escribir para señales de entrada xk(t) con
k = 1, 2, . . . , N cuyas salidas por el sistema T son yk(t) con k = 1, 2, . . . , N y
escalares complejos αk con k = 1, 2, . . . , N:
n
T
k=1
αkxk(t)
#
=
k=1
T [αkxk(t)] =
k
Σ
=1
αkyk(t) Principio de superposición!
N

Ejemplos de sistemas lineales
El sistema dado por y[n] =
Σ
k=−∞
n
k=0 α−nx[n]. con α ∈ C es lineal.
Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI , linear time invariant) serán
los que estudiaremos con más detalle en este curso. Dichas propiedades permiten
estudiarlos y conocerlos con mucha precisión. Notar que hay sistemas que pueden
ser lineales y no invariantes en el tiempo (ver el último ejempo) y viceversa.
→
≈
| |
El sistema dado por y(t) = αx(t) con α ∈ R es lineal.
El sistema dado por y(t) = αx(t) + β con α, β ∈ R no es lineal.
El sistema dado por y(t) = f(x(t)) será lineal sı́ y sólo sı́ f : R R es lineal.
Por ejemplo y(t) = ex(t)
no es lineal!!.
El sistema y(t) = sin [αx(t)] no es lineal. Sin embargo si αx(t) << 1
entonces podemos linealizar el sistema ya que y(t) αx(t). Esto es muy
común en la ingenierı́a electrónica!!
El sistema dado por y[n] =
Σn
x[n] es lineal.

Para leer
Lectura obligatoria
Secciones 2.0, 2.1 y 2.2 del libro de A. Oppenheim, R. Schafer,
Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto, Person, 3era. edición,
2011.
Capı́tulo 1 del libro de Oppenheim, A. Willsky , S. Nawab, Señales y
Sistemas, Prentice-Hall, 2da. edición, 1998.
Lectura recomendada
Ashok Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales,
Thomson Editores S.A., 2da. edición, 2002.
Edward W. Kamen, Bonnie S. Heck, Fundamentos de señales y
sistemas usando la Web y MATLAB, Prentice-Hall, 3era. edición,
2008.
B.P.Lathi & R. Green, Essentials of Digital Signal Processing,
Cambrige University Press, 2014.

Tiempo de consultas
¿Preguntas?

Introducción a las Señales y Sistemas.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Introducción a las Señales y Sistemas.docx

Similar to Introducción a las Señales y Sistemas.docx (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Introducción a las Señales y Sistemas.docx