Este documento trata sobre productos y cocientes notables de polinomios. Explica que los productos notables son regularidades que se pueden calcular sin aplicar el algoritmo de multiplicación, siguiendo reglas fijas. Presenta reglas para calcular el cuadrado de un binomio, el producto de dos binomios conjugados, y más. También cubre cocientes notables relacionados y la descomposición factorial de polinomios.
2. Recordemos…
• Un Polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica
entre varios monomios no semejantes
• Los monomios que conforman un polinomio se denominan términos.
4. PRODUCTOS NOTABLES
• Son regularidades que se pueden calcular sin necesidad de aplicar el
algoritmo de multiplicación.
• Cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección.
5. a. 𝒙 𝒚 + 𝒛 = 𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 Propiedad Distributiva
REGLA. - El producto de un monomio por una suma algebraica es igual
a la suma algebraica de los productos del monomio por cada término
de la suma.
• 𝒙2
2𝒂 + 3𝒃 − 𝒄 = 2𝑎𝑥2
+ 3𝑏𝑥2
− 𝑐𝑥2
6. Propiedad Distributiva
b. 𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅
REGLA. - El producto de dos binomios cualesquiera es un polinomio
cuyos términos son los productos de cada término del primer binomio
por cada término del segundo binomio.
• 𝟐𝒂 + 𝒃)(𝟑𝒄 + 𝒅
2𝑎 3𝑐 + 2𝑎 𝑑 + 𝑏 3𝑐 + 𝑏 𝑑 = 6𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 3𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
7. Cuadrado de un binomio
(𝒙 + 𝒂)𝟐= 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐
REGLA. - El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el
duplo del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(𝒙 − 𝒂)𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐
REGLA. - El cuadrado de la resta de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el
duplo del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo.
9. Cuadrado de un Trinomio
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄
REGLA. - El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de sus términos más la suma
de los duplos de los productos de cada término por cada uno de los términos que siguen de él.
• 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟒𝒄 𝟐
2𝑎 2
+ 3𝑏 2
+ 4𝑐 2
+2 2𝑎 3𝑏 + 2 2𝑎 4𝑐 + 2 3𝑏 4𝑐
4𝑎2
+ 9𝑏2
+ 16𝑐2
+ 12𝑎𝑏 + 16𝑎𝑐 + 24𝑏𝑐
10. Producto de dos Binomios Conjugados
𝒙 + 𝒂 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
REGLA. - El producto de la suma de dos expresiones algebraicas por su diferencia es
igual a la diferencia de sus cuadrados.
• 𝒙2 + 𝒚2 𝒙2 − 𝒚2
𝑥4
− 𝑦4
11. Producto de dos Binomios Conjugados
𝒙 + 𝒂 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
REGLA. - El producto de la suma de dos expresiones algebraicas por su diferencia es
igual a la diferencia de sus cuadrados.
• 𝒙2 + 𝒚2 𝒙2 − 𝒚2
𝑥4
− 𝑦4
12. Producto de dos binomios que tienen un
término en común
𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃
REGLA. - El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual al cuadrado del
término en común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común
más el producto de los términos no comunes.
• 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟑
𝑥2
+ 2 + 3 𝑥 + 2 3 = 𝑥2
+ 5𝑥 + 6
13. Cubo de un Binomio
(𝒙 + 𝒂)𝟑
= 𝒙𝟑
+ 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒙 + 𝒂𝟑
(𝒙 − 𝒂)𝟑
= 𝒙𝟑
− 𝟑𝒂𝒙𝟐
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒙 − 𝒂𝟑
REGLA. - El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triplo del
cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primer por el cuadrado del segundo, más el cubo
del segundo.
REGLA. - El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triplo del cuadrado
del primero por el segundo, más el triplo del primer por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
27. Factor común
Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común x, el polinomio es
igual al producto de este factor por el polinomio cuyos términos se obtienen
dividiendo por x los términos del polinomio dado
• En el polinomio 𝟐𝒂 + 𝒂𝒃 −
𝟑
𝟓
𝒂𝒄 el factor común es a, por lo que obtenemos:
2𝑎 + 𝑎𝑏 −
3
5
𝑎𝑐 = a 2 + 𝑏 −
3
5
𝑐
• En el polinomio 𝟒𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟐𝒚 +
𝟖
𝟗
𝒙𝟔𝒚𝟓𝑧 el factor común es 2𝑥2𝑦, por lo que
obtenemos:
4𝑥3𝑦2 − 2𝑥2𝑦 +
8
9
𝑥6𝑦5𝑧 = 2𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 − 1 +
4
9
𝑥4𝑦4𝑧
28. Factor común por agrupación
Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual números de términos con
un factor en común en cada grupo, se obtiene en cada uno de ellos el factor común, Si queda la
misma expresión en cada uno de los paréntesis, se obtiene a su vez, como factor común.
• Factorar 2𝑚𝑥 + 𝑛3
𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3
𝑦
Observamos como es posible agrupar los términos en este caso, se agrupan el primero y el
tercer término factor común 2m , y el segundo y el cuarto término factor común 𝑛3
.
2𝑚𝑥 + 𝑛3
𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3
𝑦 = 2𝑚 𝑥 − 𝑦 + 𝑛3
(𝑥 − 𝑦)
Como observamos podemos nuevamente aplicar factor común en este caso sería todo lo
que esta dentro de paréntesis.
El mismo ejercicio se puede agrupar de manera diferente.
(𝒙 − 𝒚)(𝟐𝒎 + 𝒏𝟑)
29. Factor común por agrupación
• Factorar 𝟐𝒎𝒙 + 𝒏𝟑
𝒙 − 𝟐𝒎𝒚 − 𝒏𝟑
𝒚
Agrupamos el primer y segundo término factor común x, y el tercer y cuarto término el
factor común es y, obtenemos:
2𝑚𝑥 + 𝑛3𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3𝑦 = 𝑥 2𝑚 + 𝑛3 + 𝑦 (−2𝑚 − 𝑛3)
Como el segundo paréntesis difiere del primero únicamente en el signo de sus términos,
para transformarlo en un paréntesis igual a primero se le precede por el signo menos y se
cambia de signo a todos los términos que encierra:
2𝑚𝑥 + 𝑛3𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3𝑦 = 𝑥 2𝑚 + 𝑛3 − 𝑦 2𝑚 + 𝑛3
= (𝒙 − 𝒚)(𝟐𝒎 + 𝒏𝟑)
35. Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio es un cuadrado perfecto (igual al cuadrado de un binomio), cuando dos de sus términos
son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las raíces cuadradas de dichos términos.
𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)𝟐
𝒙𝟐
− 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐
= (𝒙 − 𝒂)𝟐
• Factorar 𝟐𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝟎𝒙𝒛 + 𝟒𝒛𝟐
Es un cuadrado perfecto, pues contiene dos términos cuadrados perfectos 25𝑥2
𝑦 4𝑧2
. Las raíces
cuadradas, (positivas), de estos términos son 5𝑥 𝑦 2𝑧, y su doble es 2 5𝑥 2𝑧 = 20𝑥𝑧.
𝟐𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝟎𝒙𝒛 + 𝟒𝒛𝟐
= (5𝑥 − 2𝑧) 2
36. Diferencia de Cuadrados
REGLA. - La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la diferencia
de las bases de estos cuadrados.
𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
= (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂)
• Factorar 𝟏𝟎𝟎𝒂𝟐
𝒃𝟐
− 𝟒𝟗𝒄𝟐
Las raíces cuadradas, (positivas), de estos términos son 10𝑎𝑏 𝑦 7𝑐 respectivamente.
𝟏𝟎𝟎𝒂𝟐
𝒃𝟐
− 𝟒𝟗𝒄𝟐
= (10𝑎𝑏 + 7𝑐)(10𝑎𝑏 − 7𝑐)
37. Suma o Diferencia de Cubos
𝒙𝟑
+ 𝒂𝟑
= (𝒙 + 𝒂)(𝒙𝟐
− 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐
)
REGLA. - La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1° la suma de sus raíces cubicas, 2°
el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
𝒙𝟑
− 𝒂𝟑
= (𝒙 − 𝒂)(𝒙𝟐
+ 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐
)
REGLA. - La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1° la diferencia de sus raíces
cubicas, 2° el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la
segunda raíz.
43. Trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞
𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
= (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂)
El trinomio deberá cumplir las condiciones siguientes:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. El primer término es una letra que estará elevado al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una
cantidad, positiva o negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° término y es una
cantidad, positiva y negativa.
44. Trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞
𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
= (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂)
Para factorizar un trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 se debe:
a. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es 𝑥, o sea la raíz cuadrada del
primer término del trinomio.
b. En el primer factor, después de 𝑥 se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo
factor, después de 𝑥 se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por
el signo del tercer término.
c. Se busca dos números cuya suma algebraica sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor del tercer término del trinomio.
46. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞
𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
= (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂)
Son trinomios de la forma:
2𝑥2
+ 11𝑥 + 5
3𝑎2
+ 7𝑎 − 6
10𝑛2 − 𝑛 − 2
Se diferencia de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término
tiene un coeficiente distinto uno
47. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞
𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
= (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂)
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒓 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑
• Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de 𝑥2 que es 6 y dejando indicado el producto de
6 por 7𝑥, se tiene: 36𝑥2
− 6 7𝑥 − 18
• Pero 36𝑥2 = (6𝑥)2 𝑦 6 7𝑥 = 7(6𝑥) luego podemos escribir (6𝑥)2 − 7 6𝑥 − 18
• Se factoriza el trinomio (6𝑥)2
− 7 6𝑥 − 18 , como al principio multiplicamos el trinomio dado
por 6, ahora tenemos que dividir para 6 para no alterar el trinomio, se obtiene:
(6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
6
= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1)
56. Es un método que permite:
• Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
• Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a
• Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras
Método o Regla de Ruffini
57. 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒓 𝒙𝟑
− 𝟖𝒙𝟐
+ 𝟏𝟔𝒙 − 𝟓 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑹𝒖𝒇𝒇𝒊𝒏𝒊
1.- Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de
la incógnita.
𝟏𝒙𝟑
− 𝟖𝒙𝟐
+ 𝟏𝟔𝒙 − 𝟓
2.- Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor
𝟑 𝟐 𝟏 𝟎
𝟏 − 𝟖 + 𝟏𝟔 − 𝟓
En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar.
3. Identificamos los factores del término independiente en este caso −5 son: +1, −1 + 5, −5.
Por lo tanto los posibles divisores de primer grado del polinomio dado son los siguientes
59. 4.- Recuerda el número (a) del binomio x – a corresponde a +5, que al ser reemplazado
en este caso se obtiene 𝑥 − +5 , Por consiguiente, el polinomio resultante divisible
sería 𝑥 − 5 y el cociente exacto es 𝑥2
− 3𝑥 + 1; es decir
𝟐 𝟏 𝟎
൯
𝒙3
− 8𝒙2
+ 16𝒙 − 5 = 𝑥 − 5 (𝑥
2
− 3𝑥 + 1
De ser el caso se podrá seguir con la factorización en el 2°
término o seguir aplicando Ruffini.
68. La fracción algebraica racional es
una expresión que se puede escribir
como cociente de dos polinomios Τ
𝑃
𝑄.
El polinomio 𝑃 es el numerador y 𝑄 el
denominador de la fracción.
82. Definición
Algunas veces el denominador de una fracción tiene dos términos los cuales incluyen
raíces cuadradas. Entonces el denominador puede racionalizarse al multiplicar por una
expresión, la cual permitirá quitar las raíces del denominador.
83. Caso 1
REGLA. - Se multiplican los términos de la fracción por el radical, del mismo índice que el
denominador, que multiplicado por este de como producto una cantidad racional.
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es
monomio o del tipo
a
b
n
cm
87. Expresiones Conjugadas
Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como 𝑎 + 𝑏 𝑦
𝑎 − 𝑏 𝑜 𝑎 + 𝑏 𝑦 𝑎 − 𝑏 , que difieren solamente en el signo que une sus
términos, se dice que son conjugados.
Por los cual, el producto de dos expresiones conjugadas es racional.
4𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟í𝑎 4𝑥 − 𝑏
88. Caso 2
REGLA. - Se multiplica ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se
simplifica el resultado.
Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un
binomio que contiene radicales de tipo
a
𝑏+ 𝑐
