JIM2019 - 2-Somme de dés pipés

Journée Internationale des Mathématiques 2019
Somme de dés pipés
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2019
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Dés pipés 14 mars 2019 1 / 61

Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
3 Généralisation : somme de N dés, N > 2
Résultats possibles
Représentations possibles des résultats
Nombre de possibilités
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Introduction
Nous allons nous intéresser à la probabilité d'obtenir une somme de dés.

Des dés pipés !
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
3 Généralisation : somme de N dés, N > 2

Des dés pipés !
Dés équilibrés
Dans cet exposé, on s'intéresse aux lancers de dés à 6 faces, dits
cubiques.

Des dés pipés !
Dés équilibrés
cubiques.
Dé équilibré
On dit que le dé est équilibré si la probabilité d'obtenir une des 6 faces est
égale à
1
6
.

Des dés pipés !
Dés équilibrés
cubiques.
Dé équilibré
On dit que le dé est équilibré si la probabilité d'obtenir une des 6 faces est
égale à
1
6
.
Si on traduit cette situation par une variable aléatoire X prenant ses
valeurs dans Ω = {1,2,3,4,5,6}, l'ensemble des nombres inscrits sur les
6 faces du dé, on a alors :
∀k ∈ Ω, P(X = k) =
1
6
.

Des dés pipés !
Dé de type (a; b; c)
À partir de maintenant, on dira qu'un dé est de type (1; 1; 1) s'il est
équilibré.

Des dés pipés !
Dé de type (a; b; c)
À partir de maintenant, on dira qu'un dé est de type (1; 1; 1) s'il est
équilibré.
Plus généralement, soit a, b et c trois nombres entiers strictement
positifs. On dénit les probabilités d'apparition de chaque face du dé
par : 














P(X = 1) = P(X = 6)
P(X = 2) = P(X = 5)
P(X = 3) = P(X = 4)
aP(X = 2) = bP(X = 1)
aP(X = 3) = cP(X = 1)
et on dira que l'on a construit une probabilité de dé de type (a; b; c)
ou que les dés sont pipés de type (a; b; c).

Des dés pipés !
Dénition sur les faces d'un dé
Faces
Pour un dé à 6 faces, on appellera :

Des dés pipés !
Faces
faces extrêmes (FE), les faces 1 et 6;

Des dés pipés !
Faces
faces intermédiaires (FI), les faces 2 et 5;

Des dés pipés !
Faces
faces médianes (FM), les faces 3 et 4

Des dés pipés !
Faces
et on notera les événements suivants :
FE : X = 1 ou X = 6

Des dés pipés !
Faces
FE : X = 1 ou X = 6
FI : X = 2 ou X = 5

Des dés pipés !
Faces
FE : X = 1 ou X = 6
FI : X = 2 ou X = 5
FM : X = 3 ou X = 4

Des dés pipés !
Exemple de calcul de probabilités
On prend comme valeur a = 1, b = 2 et c = 4 et on s'intéresse aux
probabilités d'apparition de faces d'un dé de type (1; 2; 4).

Des dés pipés !
On cherche à déterminer P(FE), P(FI) et P(FM) telles que :
(
P(FI) = 2P(FE)
P(FM) = 4P(FE).

Des dés pipés !
On cherche à déterminer P(FE), P(FI) et P(FM) telles que :
(
P(FI) = 2P(FE)
P(FM) = 4P(FE).
Soit P(FE) = x. Ainsi, P(FI) = 2x et P(FM) = 4x. On peut trouver
x en utilisant la propriété de sommation de probabilités :
6
X
k=1
P(X = k) = 1 ⇔ 2(P(FI) + P(FM) + P(FE)) = 1
⇔ 2(x + 2x + 4x) = 1 ⇔ 2 × 7x = 1 ⇔ 14x = 1 ⇔ x =
1
14
.

Des dés pipés !
On obtient alors la loi de probabilité de X dans le cas (1; 2; 4) :
Faces FE FI FM
Probabilités
1
14
2
14
4
14

Des dés pipés !
Faces FE FI FM
Probabilités
1
14
2
14
4
14
et on vérie que :
Σ =
1
14
+
2
14
+
4
14
+
4
14
+
2
14
+
1
14
=
1 + 2 + 4 + 4 + 2 + 1
14
=
14
14
= 1.

Des dés pipés !
Faces FE FI FM
Probabilités
1
14
2
14
4
14
et on vérie que :
Σ =
1
14
+
2
14
+
4
14
+
4
14
+
2
14
+
1
14
=
1 + 2 + 4 + 4 + 2 + 1
14
=
14
14
= 1.
Remarque
Plus généralement, si on considère des dés pipés de type (a; b; c), le
dénominateur de la probabilité P(X = k) pour tout 1 6 k 6 6 est donné
par la formule suivante :
d = 2(a + b + c).

Somme de 2 dés
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
3 Généralisation : somme de N dés, N 2

Somme de 2 dés
Introduction
On lance deux dés pipés de type (a; b; c). On note S2 la variable
aléatoire qui prend comme valeur la somme des deux numéros de faces
du dessus.

Somme de 2 dés
Introduction
du dessus.
On s'intéresse à la loi de probabilité de S2. Les issues possibles pour
cette expérience aléatoire sont les suivantes :
Dé 1 / Dé 2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Somme de 2 dés
Introduction
du dessus.
On s'intéresse à la loi de probabilité de S2. Les issues possibles pour
cette expérience aléatoire sont les suivantes :
Dé 1 / Dé 2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
On va étudier plusieurs cas.

Somme de 2 dés Cas (1; 1; 1)
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Cas (1; 1; 1)
Quand les dés sont équilibrés, la situation est très classique : les
probabilités sont faciles à calculer. On compte juste le nombre de fois
que chaque numéro apparaisse sur le tableau de résultats et on divise
le tout par le nombre de résultats possibles :
[2 × (1 + 1 + 1)]2
= (2 × 3)2
= 62
= 36.

Cas (1; 1; 1)
[2 × (1 + 1 + 1)]2
= (2 × 3)2
= 62
= 36.
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(S2 = k)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36

Cas (1; 1; 1)
[2 × (1 + 1 + 1)]2
= (2 × 3)2
= 62
= 36.
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(S2 = k)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
On peut alors tracer la fonction de répartition associée.

Cas (1; 1; 1)
On peut alors tracer la fonction de répartition associée.
Remarque
La loi de probabilité de sommes de deux dés à 6 faces est symétrique par
rapport à X = 7. Cela découle de la symétrie du tableau du tableau des
résultats par la diagonale sud-ouest / nord-est.
Cette symétrie dans la loi de probabilité, elle se retrouve dans tous les cas
où les dés sont pipés de type (a; b; c) avec a, b et c trois nombres entiers
strictement positifs.

Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Cas (1; 2; 4)
On a vu que, si on prend des dés pipés du type (1; 2; 4), on obtient la
loi de probabilité d'apparition de faces suivante :
k FE FI FM
P(X = k)
1
14
2
14
4
14

Cas (1; 2; 4)
On a vu que, si on prend des dés pipés du type (1; 2; 4), on obtient la
loi de probabilité d'apparition de faces suivante :
k FE FI FM
P(X = k)
1
14
2
14
4
14
On peut alors le tableau des résultats pour la somme de deux dés.
Dé 1 / Dé 2 1 ( 1
14) 2 ( 2
14) 3 ( 4
14) 4 ( 4
14) 5 ( 2
14) 6 ( 1
14)
1 ( 1
14) 2 3 4 5 6 7
2 ( 2
14) 3 4 5 6 7 8
3 ( 4
14) 4 5 6 7 8 9
4 ( 4
14) 5 6 7 8 9 10
5 ( 2
14) 6 7 8 9 10 11
6 ( 1
14) 7 8 9 10 11 12

Cas (1; 2; 4)
Pour obtenir la probabilité que la somme S2 soit égale à k (pour
2 6 k 6 12), on repère la (ou les) case(s) où le nombre k apparaît sur le
tableau des résultats, on multiplie case par case les coecients (ligne et
colonne) entre parenthèses et on additionne le tout. Ainsi, on a :
P(S2 = 2) =
1
14
×
1
14
=
1
142
=
1
196
;
P(S2 = 3) =
2
14
×
1
14
+
1
14
×
2
14
= 2 ×
2
14
×
1
14
=
4
196
;
P(S2 = 4) =
4
14
×
1
14
+
2
14
×
2
14
+
1
14
×
4
14
= 2 ×
4
14
+
1
14
+
22
142
=
8
169
+
4
169
=
12
169
.

Cas (1; 2; 4)
On a alors la loi de probabilité de somme des deux faces pour deux dés
pipés de type (1; 2; 4).
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(S2 = k)
1
196
4
196
12
36
24
196
36
196
42
196
36
196
24
196
12
196
4
196
1
196
On peut alors tracer la fonction de répartition (en bleu) associée et la
comparer avec le cas équilibré (en rouge).

Cas (1; 2; 4)
Remarque
On peut remarquer que les deux fonctions de répartition forme un semblant
de cloche de Gauss, symbolique de la fonction de répartition d'une loi
normale. La courbe de Gauss symbolise du cas (1; 2; 4) est plus pointue
que celle du cas équilibré.

Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Cas (4; 2; 1)
Précédemment, nous avons traité le cas où les dés étaient pipés de
type (1; 4; 2). Que se passe-t-il pour le cas symétrique, c'est-à-dire le
cas où les dés sont pipés de type (4; 2; 1) ?

Cas (4; 2; 1)
Précédemment, nous avons traité le cas où les dés étaient pipés de
type (1; 4; 2). Que se passe-t-il pour le cas symétrique, c'est-à-dire le
cas où les dés sont pipés de type (4; 2; 1) ?
On peut tout d'abord calculer les probabilités d'apparition des faces
extrêmes, intermédiaires et médianes. On résout donc le système
d'équations suivant :





4P(FI) = 2P(FE)
4P(FM) = P(FE)
2[P(FE) + P(FI) + P(FM)] = 1.

Cas (4; 2; 1)
Soit x = P(FE), on a alors :





4P(FI) = 2x
4P(FM) = x
2[P(FE) + P(FI) + P(FM) = 1] = 1
⇔





P(FI) = 1
2x
P(FM) = 1
4x
2(x + 1
2x + 1
4 = 1.

Cas (4; 2; 1)





4P(FI) = 2x
4P(FM) = x
2[P(FE) + P(FI) + P(FM) = 1] = 1
⇔





P(FI) = 1
2x
P(FM) = 1
4x
2(x + 1
2x + 1
4 = 1.
On peut résoudre la troisième ligne pour avoir une valeur de x :
2

x +
1
2
x +
1
4
x

= 1 ⇔
2(4x + 2x + x)
4
= 1
⇔ 7x = 2 ⇔ x =
2
7
=
4
14
.

Cas (4; 2; 1)





4P(FI) = 2x
4P(FM) = x
2[P(FE) + P(FI) + P(FM) = 1] = 1
⇔





P(FI) = 1
2x
P(FM) = 1
4x
2(x + 1
2x + 1
4 = 1.
On peut résoudre la troisième ligne pour avoir une valeur de x :
2

x +
1
2
x +
1
4
x

= 1 ⇔
2(4x + 2x + x)
4
= 1
⇔ 7x = 2 ⇔ x =
2
7
=
4
14
.
Conclusion : 




P(FE) = 2
7 = 4
14
P(FI) = 2
14
P(FM) = 1
14.

Cas (4; 2; 1)
Conclusion : 




P(FE) = 2
7 = 4
14
P(FI) = 2
14
P(FM) = 1
14.

Cas (4; 2; 1)
Conclusion : 




P(FE) = 2
7 = 4
14
P(FI) = 2
14
P(FM) = 1
14.
Faces FE FI FM
Probabilités
4
14
2
14
1
14

Cas (4; 2; 1)
Conclusion : 




P(FE) = 2
7 = 4
14
P(FI) = 2
14
P(FM) = 1
14.
Faces FE FI FM
Probabilités
4
14
2
14
1
14
Remarque
Les probabilités d'obtention des faces extrêmes et faces médianes ont été
échangés par rapport au cas précédent.

Cas (4; 2; 1)
Pour modéliser la somme de deux dés, on peut reproduire le tableau des
résultats en modiant les probabilités d'apparition.
Dé 1 / Dé 2 1 ( 4
14) 2 ( 2
14) 3 ( 1
14) 4 ( 1
14) 5 ( 2
14) 6 ( 4
14)
1 ( 4
14) 2 3 4 5 6 7
2 ( 2
14) 3 4 5 6 7 8
3 ( 1
14) 4 5 6 7 8 9
4 ( 1
14) 5 6 7 8 9 10
5 ( 2
14) 6 7 8 9 10 11
6 ( 4
14) 7 8 9 10 11 12

Cas (4; 2; 1)
On peut alors établir la loi de probabilité de la variable aléatoire S2 comme
précédemment (tout en remarquant la symétrie de la loi de probabilité par
rapport à S2 = 7 ).
P(S2 = 2) =
4
14
×
4
14
=
42
142
=
16
196
;
P(S2 = 3) =
2
14
×
4
14
+
4
14
×
2
14
= 2 ×
2
14
×
4
14
=
16
196
;
P(S2 = 4) =
4
14
×
1
14
+
2
14
×
2
14
+
1
14
×
4
14
= 2 ×
4
14
+
1
14
+
22
142
=
8
169
+
4
169
=
12
169
.

Cas (4; 2; 1)
En continuant les calculs, on peut obtenir la loi de probabilité de la
variable aléatoire S2 :
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(S2 = k)
16
196
16
196
12
196
12
196
21
196
42
196
21
196
12
196
12
196
16
196
16
196

Cas (4; 2; 1)
En continuant les calculs, on peut obtenir la loi de probabilité de la
variable aléatoire S2 :
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(S2 = k)
16
196
16
196
12
196
12
196
21
196
42
196
21
196
12
196
12
196
16
196
16
196
Puis, on peut tracer la fonction de répartition de S2 :

Cas (4; 2; 1)

Cas (4; 2; 1)
Remarque
La diérence entre les cas (1; 2; 4) (en bleu) et (4; 2.1) (en vert) est que les
probabilités pour les valeurs extrêmes de S2 sont plus fortes a contrario des
valeurs intermédiaires. Comme la somme des probabilité doit être égal à 1,
les diérences de valeurs sont minimes.
On remarque aussi que les valeurs de P(S2) = 7 sont identiques.

Somme de 2 dés Cas (a; b; c)
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Introduction, problématique
Les valeurs de P(S2 = 7) sont identiques pour les cas (1; 2; 4) et
(4; 2; 1). En est-il de même pour les cas (2; 4; 1) ou (1; 4; 2) ?

On passe au cas général et on répondra à la question plus tard. Soient
a, b et c trois entiers strictement positifs. On peut calculer la loi de
probabilité de la variable aléatoire X d'apparition des faces en fonction
de a, b et c.

On passe au cas général et on répondra à la question plus tard. Soient
a, b et c trois entiers strictement positifs. On peut calculer la loi de
probabilité de la variable aléatoire X d'apparition des faces en fonction
de a, b et c.
On doit résoudre le système d'équations suivant (en fonction de a, b
et c) : 




aP(FI) = bP(FE)
aP(FM) = cP(FE)
2[P(FE) + P(FI) + P(FM)] = 1.

Calcul de probabilités de X
On note x := P(FE).





aP(FI) = bx
aP(FM) = cx
2[P(FE) + P(FI) + P(FM)] = 1
⇔





P(FI) = b
a × x
P(FM) = c
a × x
2[x + bx
a + cx
a ] = 1
.

On note x := P(FE).





aP(FI) = bx
aP(FM) = cx
2[P(FE) + P(FI) + P(FM)] = 1
⇔





P(FI) = b
a × x
P(FM) = c
a × x
2[x + bx
a + cx
a ] = 1
.
On s'intéresse à la troisième ligne :
ax + bx + cx
a
=
1
2
⇔
a + b + c
a
× x =
1
2
⇔ x =
a
2(a + b + c)
.

On note x := P(FE).





aP(FI) = bx
aP(FM) = cx
2[P(FE) + P(FI) + P(FM)] = 1
⇔





P(FI) = b
a × x
P(FM) = c
a × x
2[x + bx
a + cx
a ] = 1
.
On s'intéresse à la troisième ligne :
ax + bx + cx
a
=
1
2
⇔
a + b + c
a
× x =
1
2
⇔ x =
a
2(a + b + c)
.
Conclusion : 






P(FE) = a
2(a+b+c)
P(FI) = b
2(a+b+c)
P(FM) = c
2(a+b+c) .

Calcul de probabilités de S2
On peut résumer la loi de probabilité de X par ce tableau :
Faces FE FI FM
Probabilités
1
14
2
14
4
14

On peut résumer la loi de probabilité de X par ce tableau :
Faces FE FI FM
Probabilités
1
14
2
14
4
14
Avec la loi de probabilité de X, on peut calculer la loi de probabilité de
S2 (probabilité de somme de deux dés) en s'appuyant sur le tableau de
résultats suivant :
Dé 1 / Dé 2 1 ( a
2(a+b+c) ) 2 ( b
2(a+b+c) ) 3 ( c
2(a+b+c) ) 4 ( c
2(a+b+c) ) 5 ( b
2(a+b+c) ) 6 ( a
2(a+b+c) )
1 ( a
2(a+b+c) ) 2 3 4 5 6 7
2 ( b
2(a+b+c) ) 3 4 5 6 7 8
3 ( c
2(a+b+c) ) 4 5 6 7 8 9
4 ( c
2(a+b+c) ) 5 6 7 8 9 10
5 ( b
2(a+b+c) ) 6 7 8 9 10 11
6 ( a
2(a+b+c) ) 7 8 9 10 11 12

On détaille le calcul des probabilités (la procédure de calcul est la même
que pour les cas précédents) :
P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2

P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2
P(S2 = 3) = P(S2 = 11) =
2(ab)
(2(a + b + c))2 =
ab
2(a + b + c)2

P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2
P(S2 = 3) = P(S2 = 11) =
2(ab)
(2(a + b + c))2 =
ab
2(a + b + c)2
P(S2 = 4) = P(S2 = 10) =
2ca + b2
(2(a + b + c))2 =
ac + 1
2b
2(a + b + c)2

P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2
P(S2 = 3) = P(S2 = 11) =
2(ab)
(2(a + b + c))2 =
ab
2(a + b + c)2
P(S2 = 4) = P(S2 = 10) =
2ca + b2
(2(a + b + c))2 =
ac + 1
2b
2(a + b + c)2
P(S2 = 5) = P(S2 = 9) =
2(ac + cb)
(2(a + b + c))2 =
2c(a + b)
(2(a + b + c))2 =
c(a + b)
2(a + b + c)2

P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2
P(S2 = 3) = P(S2 = 11) =
2(ab)
(2(a + b + c))2 =
ab
2(a + b + c)2
P(S2 = 4) = P(S2 = 10) =
2ca + b2
(2(a + b + c))2 =
ac + 1
2b
2(a + b + c)2
P(S2 = 5) = P(S2 = 9) =
2(ac + cb)
(2(a + b + c))2 =
2c(a + b)
(2(a + b + c))2 =
c(a + b)
2(a + b + c)2
P(S2 = 6) = P(S2 = 8) =
2(ab + cb) + c2
(2(a + b + c))2 =
2b(a + c) + c2
(2(a + b + c))2 =
b(a + c) + 1
2c2
2(a + b + c)2

P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2
P(S2 = 3) = P(S2 = 11) =
2(ab)
(2(a + b + c))2 =
ab
2(a + b + c)2
P(S2 = 4) = P(S2 = 10) =
2ca + b2
(2(a + b + c))2 =
ac + 1
2b
2(a + b + c)2
P(S2 = 5) = P(S2 = 9) =
2(ac + cb)
(2(a + b + c))2 =
2c(a + b)
(2(a + b + c))2 =
c(a + b)
2(a + b + c)2
P(S2 = 6) = P(S2 = 8) =
2(ab + cb) + c2
(2(a + b + c))2 =
2b(a + c) + c2
(2(a + b + c))2 =
b(a + c) + 1
2c2
2(a + b + c)2
P(S2 = 7) =
2(a2 + b2 + c2)
(2(a + b + c))2 =
a2 + b2 + c2
2(a + b + c)2

P(S2 = 2) = P(S2 = 12) =
a2
(2(a + b + c))2 =

a
2(a + b + c)
2
P(S2 = 3) = P(S2 = 11) =
2(ab)
(2(a + b + c))2 =
ab
2(a + b + c)2
P(S2 = 4) = P(S2 = 10) =
2ca + b2
(2(a + b + c))2 =
ac + 1
2b
2(a + b + c)2
P(S2 = 5) = P(S2 = 9) =
2(ac + cb)
(2(a + b + c))2 =
2c(a + b)
(2(a + b + c))2 =
c(a + b)
2(a + b + c)2
P(S2 = 6) = P(S2 = 8) =
2(ab + cb) + c2
(2(a + b + c))2 =
2b(a + c) + c2
(2(a + b + c))2 =
b(a + c) + 1
2c2
2(a + b + c)2
P(S2 = 7) =
2(a2 + b2 + c2)
(2(a + b + c))2 =
a2 + b2 + c2
2(a + b + c)2
En exercice, on peut vérier que :
12
X
k=2
P(S2 = k) = 1.

Fonction de répartition sur GeoGebra
On peut tracer la fonction de répartition de S2 grâce aux commandes que
l'on inscrit une à une dans la barre de Saisie sur GeoGebra :
a=Curseur (1,30,1)
b=Curseur (1,30,1)
c=Curseur (1,30,1)
Segment ((2,0),(2,a^2/(2(a+b+c))^2))
Segment ((12,0),(12 ,a^2/(2(a+b+c))^2))
Segment ((3,0),(3,(a*b)/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((11 ,0) ,(11 ,(a*b)/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((4,0),(4,(a*c+b/2)/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((10 ,0) ,(10 ,(a*c+b/2)/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((5,0),(5,(c(a+b))/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((9,0),(9,(c(a+b))/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((6,0),(6,(b(a+c)+c^2/2)/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((8,0),(8,(b(a+c)+c^2/2)/(2(a+b+c)^2)))
Segment ((7,0),(7,(a^2+b^2+c^2)/(2(a+b+c)^2)))

Observations
1 Soit k ∈ N∗. Le cas (ka; kb; kc) est identique à (a; b; c).

Observations
1 Soit k ∈ N∗. Le cas (ka; kb; kc) est identique à (a; b; c).
2 Si on prend une très grande valeur de a et que b = 1 et c = 1, les
probabilités P(S2 = 2), P(S2 = 7) et P(S2 = 12) écrasent les autres
probabilités. La fonction de répartition forme deux valons.

Observations
3 Si on prend une très grande valeur de b et que a = 1 et c = 1, les
probabilités P(S2 = 6), P(S2 = 7) et (S2 = 8) écrasent les autres
probabilités. On observe sur la fonction de répartition deux creux.

Observations
4 Si on prend une très grande valeur de c et que a = 1 et b = 1, les
probabilités P(S2 = 7) écrasent les autres probabilités. La fonction de
répartition est une cloche de Gauss.

Observations
4 Si on prend une très grande valeur de c et que a = 1 et b = 1, les
probabilités P(S2 = 7) écrasent les autres probabilités. La fonction de
répartition est une cloche de Gauss.
5 Peu importe les valeurs de a, b, et c, la probabilité P(S2 = 7)
semblent être la plus grande de toutes.

Retour sur la problématique

On a calculé :
P(S2 = 7) =
a2 + b2 + c2
2(a + b + c)2
.
Les valeurs de P(S2 = 7) pour le cas (1; 2; 4), (4; 2; 1), (2; 4; 1) et
(1; 4; 2) sont identiques du fait de la commutativité de l'addition.

On a calculé :
P(S2 = 7) =
a2 + b2 + c2
2(a + b + c)2
.
Les valeurs de P(S2 = 7) pour le cas (1; 2; 4), (4; 2; 1), (2; 4; 1) et
(1; 4; 2) sont identiques du fait de la commutativité de l'addition.
Ainsi, pour toute permutation σ ∈ S({a; b; c}), les valeurs de
P(S2 = 7) sont identiques dans le cas (σ(a),σ(b),σ(c)).

Généralisation : somme de N dés, N 2
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés

Généralisation : somme de N dés, N 2
Introduction
Sans entrer dans les détails, on donne ici quelques caractérisation pour le
cas général, c'est-à-dire les caractéristiques de la variable aléatoire SN
(N 2) qui prend comme valeur la somme des faces de N dés pipés de
type (a; b; c) (a, b et c étant des entiers naturels non nuls) lancés.

Généralisation : somme de N dés, N 2 Résultats possibles
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Généralisation : somme de N dés, N 2 Résultats possibles
Propriété
Soit N 2. Les résultats possibles pour la variable aléatoire SN sont les
nombres compris entre N et 6N. On a donc 5N + 1 résultats possibles.
Démonstration. On dispose de N dés. La somme des faces minimale que
l'on peut obtenir avec N dés est :
1 + 1 + · · · + 1
| {z }
N fois
= N.
La somme maximale de faces que l'on peut obtenir avec N dés est :
6 + 6 + · · · + 6
| {z }
N fois
= 6N.
Ainsi les valeurs possibles de SN sont comprises entre N et 6N, soit donc
5N + 1 résultats possibles.

Généralisation : somme de N dés, N 2 Représentations possibles des résultats
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Problématique
Pour N = 2, on a pu représenter les résultats de la variable aléatoire
S2 dans un tableau à 2 dimensions.

Problématique
Pour N 2, il sera plus dicile de représenter les résultats de SN
dans un tableau car il serait à N dimensions.

Problématique
On peut le faire pour N = 3, ce serait un cube de 6 × 6 × 6 cases .

Problématique
On peut aussi représenter les résultats de SN par un arbre de
probabilité donc les chemins sont de longueur N et où chaque n÷ud
fait naître 6 branches (une branche par face de dé).

Problématique
On peut aussi représenter les résultats de SN par un arbre de
probabilité donc les chemins sont de longueur N et où chaque n÷ud
fait naître 6 branches (une branche par face de dé).
On donne un exemple d'arbre de possibilités pour N = 2.

Arbre des possibilités pour N = 2
1
1 2 3 4 5 6
2
1 2 3 4 5 6
3
1 2 3 4 5 6
4
1 2 3 4 5 6
5
1 2 3 4 5 6
6
1 2 3 4 5 6

Lourdeur de l'arbre
Remarque
L'arbre précédent est assez encombrant et ceci juste pour le cas N = 2.
Pour des valeurs N plus grandes, il faudrait plusieurs diaporamas pour
représenter tous les résultats.

Lourdeur de l'arbre
Remarque
L'arbre précédent est assez encombrant et ceci juste pour le cas N = 2.
Pour des valeurs N plus grandes, il faudrait plusieurs diaporamas pour
représenter tous les résultats.
Il nous faut trouver autre chose pour représenter les résultats de la variable
aléatoire SN pour N 2.

Autre représentation
On peut utiliser un tableau regroupant les résultats possibles. Prenons
le cas N = 3.

le cas N = 3.
Les résultats possibles pour N = 3 sont :
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

le cas N = 3.
Les résultats possibles pour N = 3 sont :
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
Voici un tel tableau pour N = 3.

3 (1,1,1) 1
4 (2,1,1) ; (1,2,1) ; (1,1,2) 3
5 (2,2,1) ; (1,2,2) ; (2,1,2) ; (3,1,1) ; (1,3,1) ; (1,1,3) 6
6 (2,2,2) ; (1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,1,3) ; (2,3,1) ; (3,1,2) ; (3,2,1) ; (4,1,1) ; (1,4,1) ; (1,1,4) ; 10
7 (1,3,3) ; (3,1,3) ; (3,3,1) ; (1,2,4) ; (1,4,2) ; (2,1,4) ; (2,4,1) ; (4,1,2) ;
(4,2,1) ; (2,2,3) ; (2,3,2) ; (3,2,2) ; (5,1,1) ; (1,5,1) ; (1,1,5) 15
8 (6,1,1) ; (1,6,1) ; (1,1,6) ; (5,1,2) ; (5,2,1) ; (2,1,5) ; (2,5,1) ; (1,5,2) ; (1,2,4) ; (4,2,2) ; (2,4,2) ;
(2,2,4) ; (4,3,1) ; (4,1,3) ; (3,1,4) ; (3,4,1) ; (1,3,4) ; (1,4,3) ; (3,3,2) ; (3,2,3) ; (2,2,3) 21
9 (6,2,1) ; (6,1,2) ; (2,1,6) ; (2,6,1) ; (1,6,2) ; (1,2,6) ; (5,3,1) ; (5,1,3) ; (3,1,5) ;
(3,5,1) ; (1,5,3) ; (1,3,5) ; (5,2,2) ; (2,5,2) ; (2,2,5) ; (4,3,2) ; (4,2,3) ;
(3,4,2) ; (3,2,4) ; (2,3,4) ; (2,4,3) ; (4,4,1) ; (4,1,4) ; (1,4,4) ; (3,3,3) 25
10 (6,2,2) ; (2,6,2) ; (2,2,6) ; (6,3,1) ; (6,1,3) ; (3,1,6) ; (3,6,1) ; (1,6,3) ; (1,3,6) ;
(5,3,2) ; (5,2,3) ; (3,2,5) ; (3,5,2) ; (2,3,5) ; (2,5,3) ; (5,4,1) ; (5,1,4) ; (4,5,1) ;
(4,1,5) ; (1,4,5) ; (1,5,4) ; (4,4,2) ; (2,4,2) ; (2,2,4) ; (4,3,3) ; (3,4,3) ; (3,3,4) 27
11 (6,3,2) ; (6,2,3) ; (3,2,6) ; (3,6,2) ; (2,6,3) ; (2,3,6) ; (6,4,1) ; (6,1,4) ; (4,1,6) ;
(4,6,1) ; (1,4,6) ; (1,6,4) ; (5,5,1) ; (5,1,5) ; (1,5,5) ; (5,4,2) ; (5,2,4) ; (4,2,5) ;
(4,5,2) ; (2,4,5) ; (2,5,4) ; (5,3,3) ; (3,5,3) ; (3,3,5) ; (4,4,3) ; (4,3,4) ; (3,4,4) 27
12 (6,3,3) ; (3,6,3) ; (3,3,6) ; (6,4,2) ; (6,2,4) ; (4,2,6) ; (4,6,2) ; (2,4,6) ; (2,6,4) ;
(6,5,1) ; (6,1,5) ; (5,1,6) ; (5,6,1) ; (1,5,6) ; (1,6,5) ; (5,5,2) ; (5,2,5) ;
(2,5,5) ; (5,4,3) ; (5,3,4) ; (4,3,5) ; (4,5,3) ; (3; 4; 5) ; (3; 5; 4) ; (4,4,4) 25
13 (6,6,1) ; (6,1,6) ; (1,6,6) ; (6,5,2) ; (6,2,5) ; (5,2,6) ; (5,6,2) ; (2,5,6) ; (2,6,5) ; (6,4,3) ; (6,3,4) ;
(4,6,3) ; (4,3,6) ; (3,4,6) ; (3,6,4) ; (5,5,3) ; (5,3,5) ; (3,5,5) ; (5,4,4) ; (4,5,4) ; (4,4,5) ; 21
14 (6,4,4) ; (4,6,4) ; (4,4,6) ; (6,5,3) ; (6,3,5) ; (5,3,6) ; (5,6,3) ; (3,6,5) ;
(3,5,6) ; (6,6,2) ; (6,2,6) ; (2,6,6) ; (5,5,4) ; (5,4,5) ; (4,5,5) 15
15 (6,3,3) ; (3,6,3) ; (3,3,6) ; (6,5,4) ; (6,4,5) ; (5,4,6) ; (5,6,4) ; (4,5,6) ; (4,6,5) ; (5,5,5) 10
16 (6,5,5) ; (5,6,5) ; (5,5,6) ; (6,6,4) ; (6,4,6) ; (4,6,6) 6
17 (6,6,5) ; (6,5,6) ; (5,6,6) 3
18 (6,6,6) 1

Un autre tableau
Un article de G. Villemin1 m'a donnée une autre façon de représenter
le tableau des résultats de SN.
1. Source : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Probabil/DesTrois.htm

Un autre tableau
On peut en fait transformer le tableau à n dimensions en un tableau
de 2 dimensions par projection. Pour cela, sur la première colonne, on
donne le somme des N − 1 premiers dés et dans la première ligne, les
résultats du dernier dé.

Un autre tableau
On peut en fait transformer le tableau à n dimensions en un tableau
de 2 dimensions par projection. Pour cela, sur la première colonne, on
donne le somme des N − 1 premiers dés et dans la première ligne, les
résultats du dernier dé.
Pour N = 3, le tableau de Villemin (diapo suivante) est un tableau a 2
dimensions et (5(N − 1) + 1) × 6 = (5N − 4) × 6 = 30N − 24 cases et
donc beaucoup plus compact que le tableau précédent.

Un autre tableau
On note T2 la somme des faces apparues sur deux des trois dés.
T2 / 3e
dé 1 2 3 4 5 6
2 (1 fois) 3 4 5 6 7 8
3 (1 fois) 4 5 6 7 8 9
4 (1 fois) 5 6 7 8 9 10
5 (1 fois) 6 7 8 9 10 11
6 (1 fois) 7 8 9 10 11 12
7 (1 fois) 8 9 10 11 12 13
8 (1 fois) 9 10 11 12 13 14
9 (1 fois) 10 11 12 13 14 15
10 (1 fois) 11 12 13 14 15 16
11 (1 fois) 12 13 14 15 16 17
12 (1 fois) 13 14 15 16 17 18

Généralisation : somme de N dés, N 2 Nombre de possibilités
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Généralisation : somme de N dés, N 2 Nombre de possibilités
Soit N 2 un entier, k un autre entier tel que N 6 k 6 6N et a, b, c trois
entiers naturels strictement positifs. La probabilité P(SN = k) d'obtenir
une somme k sur un lancer de N dés pipés de type (a; b; c) a pour
dénominateur :
DN = [2(a + b + c)]N

Généralisation : somme de N dés, N 2 N = 3, cas (1; 1; 1)
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Loi de probabilité de S3
On peut facilement calculer la loi de probabilité de S3 dans le cas équilibré
en lisant le grand tableau résumant toutes les possibilités.
k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
P(S3 = k)
1
216
3
216
6
216
10
216
15
216
21
216
25
216
27
216
27
216
25
216
21
216
15
216
10
216
6
216
3
216
1
216
et tracer la fonction de répartition sur GeoGebra.

k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
P(S3 = k)
1
216
3
216
6
216
10
216
15
216
21
216
25
216
27
216
27
216
25
216
21
216
15
216
10
216
6
216
3
216
1
216
Segment ((3 ,0) ,(3 ,1/216))
Segment ((4 ,0) ,(4 ,3/216))
Segment ((5 ,0) ,(5 ,6/216))
Segment ((6 ,0) ,(6 ,10/216))
Segment ((7 ,0) ,(7 ,15/216))
Segment ((8 ,0) ,(8 ,21/216))
Segment ((9 ,0) ,(9 ,25/216))

k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
P(S3 = k)
1
216
3
216
6
216
10
216
15
216
21
216
25
216
27
216
27
216
25
216
21
216
15
216
10
216
6
216
3
216
1
216
Segment ((3 ,0) ,(3 ,1/216))
Segment ((4 ,0) ,(4 ,3/216))
Segment ((5 ,0) ,(5 ,6/216))
Segment ((6 ,0) ,(6 ,10/216))
Segment ((7 ,0) ,(7 ,15/216))
Segment ((8 ,0) ,(8 ,21/216))
Segment ((9 ,0) ,(9 ,25/216))
Segment ((10 ,0) ,(10 ,27/216))
Segment ((11 ,0) ,(11 ,27/216))
Segment ((12 ,0) ,(12 ,25/216))
Segment ((13 ,0) ,(13 ,21/216))
Segment ((14 ,0) ,(14 ,15/216))
Segment ((15 ,0) ,(15 ,10/216))
Segment ((16 ,0) ,(16 ,6/216))
Segment ((17 ,0) ,(17 ,3/216))
Segment ((18 ,0) ,(18 ,1/216))

Fonction de répartition de S3 dans le cas équilibré
Remarque
La fonction de répartition de S3 dans le cas équilibré forme une cloche de
Gauss plus allongée que pour la fonction de répartition de S2.

Généralisation : somme de N dés, N 2 N = 3, cas (a; b; c)
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

N = 3, cas (a; b; c)
On se place dans le cas où les dés sont pipés de type (a; b; c) (a, b et
c sont trois entiers naturels strictement positifs).

N = 3, cas (a; b; c)
On peut reprendre le tableau de résultats de G. Villemin. Nous avons
déjà calculé précédemment la loi de probabilité de S2 dans le cas
(a; b; c).

N = 3, cas (a; b; c)
(a; b; c).
On peut donc ajouter dans la première colonne les probabilités
correspondantes et sur la première ligne les probabilités d'obtenir la
face 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

N = 3, cas (a; b; c)
(a; b; c).
face 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Pour rappel :
k FE FI FM
P(X = k)
a
2(a + b + c)
b
2(a + b + c)
c
2(a + b + c)

N = 3, cas (a; b; c)
(a; b; c).
face 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Pour rappel :
k FE FI FM
P(X = k)
a
2(a + b + c)
b
2(a + b + c)
c
2(a + b + c)
Pour obtenir P(S3 = k) (avec 3 6 k 6 18), on additionne le produit
des probabilités ligne/colonne des cases correspondants à k comme
dans le cas N = 2.

Généralisation : somme de N dés, N 2 Pour terminer
Sommaire
1 Des dés pipés!
2 Somme de 2 dés
Cas (1; 1; 1)
Cas (1; 2; 4)
Cas (4; 2; 1)
Cas (a; b; c)
N = 3, cas (1; 1; 1)
N = 3, cas (a; b; c)
Pour terminer

Un petit problème
Voici un problème que j'ai inventé lors de la modélisation du problème
dans le cas général.

Un petit problème
Voici un problème que j'ai inventé lors de la modélisation du problème
dans le cas général.
On se place dans un cube inni et on dispose d'une innité de cubes
de côté 1. On place un petit cube sur un coin du fond du cube inni
(première itération).

Un petit problème
On place ensuite des petits cubes sur chaque face visible du premier
petit cube posé (deuxième itération).

Un petit problème
Et ainsi de suite. . .

Un petit problème
Décrire par une suite dénie par récurrence, le nombre de petits cubes
posés à la nième itération.

Un petit problème
Puis donner le nombre total de petits cubes posés après n itérations.

Un petit problème
Puis donner le nombre total de petits cubes posés après n itérations.
Envie de résoudre ce problème? Si vous avez des pistes de recherche
ou la solution du problème, n'hésitez pas à m'envoyer un mail.

JIM2019 - 2-Somme de dés pipés

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