Geometria dei Modelli Sigma Non Lineari - Geometry of Nonlinear Sigma Models

Universit` degli Studi di Milano – Bicocca
a
Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
a
Corso di Laurea Magistrale in Fisica
P

Geometria
dei modelli σ non lineari

Candidato Relatore
Matteo CASATI Prof. Franco MAGRI
Matr. 074789 Correlatore
Prof. Gregorio FALQUI

Seduta di laurea del
31 marzo 2011
a.a 2009–2010

Introduzione PSM Batalin-Vilkovisky e AKSZ

Geometria dei Modelli σ Non Lineari
Motivazioni della Tesi

L’argomento della tesi ` lo studio della formulazione di Batalin e
e
Vilkovisky (BV) del Modello σ Nonlineare di Poisson (PSM)

I NLSMs sono teorie di campo di natura geometrica in cui i campi
sono mappe tra variet` e l’azione ` costruita con la struttura
a e
geometrica di queste.
I NSLMs sono teorie di gauge e dunque devono soddisfare vincoli
che ne ostacolano la quantizzazione. La formulazione BV ` uno
e
strumento matematico per superare questa diﬃcolt`. a

M. Casati Universit` degli Studi di Milano – Bicocca
a


Modelli σ Non Lineari
Storia dei Modelli σ Non Lineari

Gell-Mann e L´vy 1960 Interazione di pioni e nucleoni a bassa
e
energia
Coleman 1969 Geometria delle lagrangiane fenomenologiche
Gates 1983 NLSM supersimmetrico
Witten 1988 Topological Sigma Model
Schaller and Strobl 1994 Poisson Sigma Model

1 Introdotto nel 1994 come generalizzazione sistemi
di Yang-Mills gravitazionali
2 Generalizzazione di diversi modelli σ: Background
Field, Witten A e B, Yang-Mills 2D, gravit`a

a


Poisson Sigma Model
Campi

TM → T ∗ N
M world sheet bidimensionale
N variet` bersaglio, n-dimensionale, di Poisson
a

Y:M→N n mappe Y i (x) di due variabili
∗ n 1-forme Aµi (x)dx µ di due
A : Tx M → TY (x) N variabili
x µ coordinate su M, µ = 1, 2
X i coordinate su N, i = 1, . . . , n
Sulla N ` deﬁnito il bivettore di Poisson P. In coordinate, ` una
e e
matrice antisimmetrica P lm (X ) tale che
∂P bc ∂P ca ∂P ab
P al + P bl + P cl =0
∂X l ∂X l ∂X l
a


Poisson Sigma Model
Azione ed equazioni di campo

Azione PSM

∂Y i ∂Y i
S0 [Y , A] = Aµi (x) ν
− Aνi (x) µ
M ∂x ∂x

+ P lm (Y (x))Aµl (x)Aνm (x) dx µ dx ν

Le equazioni di campo ottengono dall’azione con il metodo
variazionale
δS0 ∂P lm
= 0 ⇒ ∂µ Aνi − ∂ν Aµi + Aµl Aνm = 0 ≡ Ei
δY i ∂X i
δS0
= 0 ⇒ ∂µ Y i + P im Aµm = 0 ≡ F i
δAiµ

a


Poisson Sigma Model
Simmetrie di gauge

L’azione ` invariante rispetto al sistema di simmetrie locali
e

(δ Y )i = −P ij (Y (x)) j (x)
∂ i ∂P lm
(δ A)µi = + (Y (x))Aµl (x) m (x)
∂x µ ∂X i

i (x) sono n funzioni arbitrarie di x, dette parametri di gauge

In presenza di simmetria di gauge, le equazioni di campo devono
soddisfare un sistema diﬀerenziale di identit`, le identit` di Noether
a a

∂P lj
P lj El + Al ∧ F i − dF j = 0
∂X i

a


Poisson Sigma Model
Problema dei vincoli

Problema
La presenza dei vincoli dati dalle identit` di Noether ostacola la
a
formulazione hamiltoniana della teoria
L’azione ` degenere per la presenza della simmetria di gauge
e
Questi problemi vengono aﬀrontati con una tecnica che si rif` alla
a
formulazione di Dirac per i sistemi dinamici degeneri
Batalin-Vilkovisky e AKSZ
L’obiettivo ` riscrivere in forma hamiltoniana il PSM, con una
e
hamiltoniana che soddisﬁ la cosiddetta equazione master

a


Batalin-Vilkovisky in briciole
Formulazione hamiltoniana per il PSM

1 I campi ghost
2 Gli anticampi
1 Da variet` a variet` gradate
a a
2 Dai campi a funzioni polinomiali sulle variet` gradate
a
3 Lo spazio delle funzioni e la parentesi di Poisson
4 Gli anticampi
3 L’hamiltoniana e l’equazione master

a


I campi ghost
I generatori delle simmetrie come grandezze dinamiche

I parametri di gauge i sono delle funzioni su M
I parametri vengono sostituiti con campi anticommutanti γi , detti
campi ghost

∂P lm
(δY )i = −P ij γj (δA)i = dγi + Al γm
∂X i

Campi ghost
Sono detti campi ghost perch´ non hanno signiﬁcato ﬁsico (violano
e
il teorema spin–statistica)

a


Gli anticampi
Dai campi alle osservabili

TM ΠTM T ∗N ΠT ∗ N
(x µ , ξ µ ) (x µ , θµ ) (X i , pi ) (X i , ui )

θ e u sono numeri di Grassmann (anticommutano)

Multivettori, k-forme e funzioni “ordinarie” sono interpretate in
modo uniﬁcato come funzioni polinomiali nelle variabili di
Grassmann

I campi della teoria sono riguardati come funzioni polinomiali sulla
variet` gradata
a

a


Gli anticampi
L’antibracket

Lo spazio delle funzioni su ΠT ∗ N eredita una versione gradata
della parentesi di Poisson, l’antibracket
Propriet` dell’antibracket
a
1 {f , g } = −(−1)(|f |−1)(|g |−1) {g , f } Antisimmetria in senso
gradato
2 {f , {g , h}} = {{f , g }, h} + (−1)(|f |−1)(|g |−1) {g , {f , h}}
Identit` di Jacobi gradata
a
3 Prova {f , gh} = {f , g }h + (−1)(|f |−1)|g | g {f , h} Versione
gradata della regola di Leibniz

←
− →
−
∂f a b ∂g
{f , g } = a {z , z } b
∂z ∂z

a


Gli anticampi
Gli anticampi

Ad ogni campo viene associato un anticampo con regole di
commutazione opposte

Yi Yi+ Aµi A+i
µ γa γ +a

Antibracket fondamentali
Yj Aj γj Yj+ A+j γ +j
Yi δji 0 0
Ai 0 0 δij 0
γi 0 0 δij
Yi+ − δij 0 0
A+i 0 − δji 0 0
γ +i 0 0 − δji
a


Formulazione hamiltoniana
Equazioni di campo

L’idea ` utilizzare l’antibracket per scrivere le equazioni in forma
e
hamiltoniana
δS0 δS0
= Ei = Fi
δY i δAi

Usando l’antibracket canonica
δS0 δS0
= {S0 , Yi+ } = Ei = −{S0 , A+i } = F i
δY i δAi
Poich´ S0 non contiene ghost n´ anticampi, si ha poi
e e

{S0 , γ +a } = 0 {S0 , Y i } = 0
{S0 , Ai } = 0 {S0 , γa } = 0

a


Trasformazioni di gauge

L’idea ` introdurre un funzionale S1 che generi le trasformazioni di
e
gauge e l’azione aggiunta dell’algebra dei generatori

∂P lm
(δY )i = −P ij γj (δA)i = dγi + Al γm
∂X i
∂P ab
[γ1 , γ2 ]c = − γa γb
∂X c

{S1 , Y i } = (δY )i {S1 , Ai } = (δA)i {S1 , γa } = [γ1 , γ2 ]a

∂P lm 1 ∂P lm
S1 = − Yi+ P ij γj +A+i ∧ dγi + Al γm + γ +i γl γm
M ∂X i 2 ∂X i
a


Equazione master

Equazione master
L’azione deve soddisfare la
{S, S} = 0 master equation

{S0 + S1 , S0 + S1 } = 0

Introducendo termini quadratici negli anticampi S0 + S1 + S2
soddisfa l’equazione master

1 +i ∂ 2 P ab
S2 = − A ∧ A+j γa γb
M 4 ∂X i ∂X j

a


Equazione master
Algebra di gauge ed interpretazione di S2

La forma di S2 ` data dalla struttura dell’algebra di gauge del PSM
e

∂P ab 1 2
[RY γ 1 , RY γ 2 ]i = − P ij − γ γ
∂X j a b
∂ ∂P ab 1 2 ∂P lm ∂P ab 1 2
[RA γ 1 , RA γ 2 ]µi = − γ γ +
i a b
Aµl − γ γ
∂x µ ∂X ∂X i ∂X m a b
∂ 2 P ab ∂Y s
+ + P st Aµt γa γb
1 2
∂X i ∂X s ∂x µ

Nel PSM le identit` di Jacobi
a
1 2 3 i
[Rφ γ , [Rφ γ , Rφ γ ]] +p.c. = 0 sono automaticamente
soddisfatte
[Rφ γ 1 , [Rφ γ 2 , Rφ γ 3 ]]µi +p.c. = 0
a


Equazione master
Azione di Batalin–Vilkovisky

SBV = Ai ∧ dY i + P lm (Y )Al ∧ Am
M
− Yi+ P ij γj S0 ⇒ Equazioni di campo
∂P lm S1 ⇒ Trasformazioni di
+ A+i ∧ dγi + Al γm gauge e azione aggiunta dei
∂X i
generatori
1 ∂P lm
+ γ +i γl γm S2 ⇒ Struttura dell’algebra
2 ∂X i
1 ∂ 2 P ab
− A+i ∧ A+j γa γb
4 ∂X i ∂X j
{SBV , SBV } = 0

a


Teoria AKSZ
Poisson Sigma Model nella formulazione AKSZ

I campi originari Y e A sono sostituiti con supercampi polinomiali
in θ
Y : ΠTM → N A : ΠTM → ΠT ∗ N
L’azione del modello formalmente ` uguale a S0
e

S= Ai ∧ DYi + P lm (Y)Al ∧ Am
ΠTM

ma tutti i termini del formalismo BV si ritrovano sviluppando i
supercampi rispetto al grado [(x, θ) coord. su ΠTM]
1
Yi (x, θ) = Y i (x) + θµ A+i (x) + θµ θν γµν (x)
µ
+i
2
1 +
Ai (x, θ) = γi (x) + θµ Aµi (x) + θµ θν Yµνi (x)
2

a


Bibliografia minima

P. Schaller e T. Strobl
Poisson structure induced (topological) field theories
Mod.Phys.Lett. A, 9 (1994)
J. Stasheff et a.
Noether’s variational theorem II and the BV formalism
Rend.Circ.Mat.Pal., Suppl. 71 (2003)
A. Cattaneo e G. Felder
On the AKSZ formulation of Poisson Sigma Model
Math.Phys.Lett 56(2001)

a

Geometria dei Modelli Sigma Non Lineari - Geometry of Nonlinear Sigma Models

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Featured

Featured (20)

Geometria dei Modelli Sigma Non Lineari - Geometry of Nonlinear Sigma Models