Slideshow for my B.Sc. degree in Theoretical Physicis, held on October, 28th

1. Universit` degli Studi di Milano – Bicocca
a
Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
a
Corso di Laurea in Fisica
P
Geometrie generalizzate
e modelli σ non lineari
Candidato Relatore
Matteo CASATI Prof. Franco MAGRI
Matr. 074789
Seduta di laurea del
28 ottobre 2008
a.a 2007–2008

2. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Modelli σ Non Lineari
Motivazioni della Tesi
Lo scopo della tesi ` lo studio critico delle strutture geometriche
e
soggiacenti ai modelli σ non lineari
E
F
1
S =− gij (ϕ)∂ a ϕi ∂a ϕj dD x
2 M
φ
M
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a

3. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Modelli σ Non Lineari
Storia dei Modelli σ Non Lineari
Adroni / Gell-Mann 1960
N=2/
Supersimmetria Zumino 1979 o K¨hler
a
?? OOO
?? OOO N=4
?? OOOO
?? '
??
?? Gates et al. o
? Algebroidi
N≥4 ? ?? 1980s
??
??
??
GCG
Lindstr¨m 2005 o
o
(Hitchin 2003)
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a

4. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Geometrie generalizzate
Dalle variet` complesse alla geometria complessa generalizzata – via algebrica
a
V. Complesse
TTTT
jjjj TTTT
tjjjj T*
K¨hler TT
a jj PN
TTTT jjj
TT* tjjjj
Algebroide di Lie
jjj TTTT
tjjjj TT*
Lie bialg. Alg. Courant
TTTT j
TTTT jjjj
T* tjjjj
GCG
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a

5. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Algebroide di Lie
Definizione
E
M ` una variet` differenziabile
e a
E ` un fibrato vettoriale su M
e
s ` una sezione di E : s ∈ Γ(E )
e
[·, ·] : Γ(E ) × Γ(E ) → Γ(E )
s
M
ρ : E → TM
[s1 , fs2 ] = f [s1 , s2 ] + (ρ(s1 ))(f ) · s2
D
[eA , eB ] = cAB (x)eD
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a

6. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Algebroide di Lie
Un esempio: variet` complessa
a
Variet` complessa
a
J : TM → TM
J 2 = −1
TJ = [JX , JY ] − J[JX , Y ] − J[X , JY ] − [X , Y ] = 0
[X , Y ]J = [JX , Y ] + [X , JY ] − J[X , Y ]
Questo commutatore soddisfa una regola di Leibniz modificata
[X , fY ]J = f [X , Y ]J + JX (f ) · Y
Per [·, ·]J vale l’identit` di Jacobi (grazie a TJ = 0)
a
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a

7. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Algebroide di Lie
Un esempio: variet` complessa
a
Variet` complessa come algebroide di Lie
a
E = TM
s : M → E sono i campi vettoriali X
La parentesi ` [·, ·]J
e
ρ=J
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a

8. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Bialgebroide di Lie
Definizione
[·, ·]S
Λ(E ) Ω(E ) d
d∗
[·, ·] E E∗ [·, ·]∗ 1 Algebroide di Lie
2 Algebra di Schouten e
di Grassman
3 Algebroide di Lie sul
duale
M M
4 Bialgebroide di Lie
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a

9. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Bialgebroide di Lie
Definizione
Definizione
Una struttura (M, E , E ∗ ), algebroide di Lie sul fibrato E e sul
duale E ∗ , ` un bialgebroide di Lie se il codifferenziale d∗ ` una
e e
derivazione rispetto alla parentesi di Schouten
d∗ [X , Y ]S = [d∗ X , Y ]S + [X , d∗ Y ]S
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a

10. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Bialgebroide di Lie
Un esempio: bialgebroide PN
[·, ·]S
Λ(TM) Ω(TM)
d∗
[X , Y ]N =
[NX , Y ]+[X , NY ]−N[X , Y ]
[·, ·]N TM T ∗ M [·, ·]∗ [α, β]∗ = Lpα β − Lpβ α −
1
2 d β, pα − d α, pβ
N p
TM TM
LN LY (p) − LN LX (p) − L[X ,Y ] (p) = 0
X Y
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a

11. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Bialgebroide di Lie
Un esempio: bialgebroide PN
Bialgebroide di una variet` PN
a
La condizione di compatibilit` pu` essere riscritta come
a o
LX (R(Y )) − LY (R(X )) − R([X , Y ]) = 0
che ` sempre soddisfatta grazie alla
e 4 .
Condizioni di compatibilit` per una variet` PN:
a a
1 Np − pN∗ = 0
2 R(X ) = NLX (p) − LNX (p) − pLX (N∗ ) = 0
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a

12. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Algebroide di Courant
Estensione della nozione di bialgebroide
Idea
DT
Un bialgebroide su TM ` un
e
TM J ? ∗
T M algebroide di Lie su TM ⊕ T ∗ M?
JJ t
J$ zttt
M
s : TM ⊕ T ∗ M → M s = (X , ξ)
Parentesi di Courant:
(X , ξ), (Y , η) = [X , Y ], LX η − LY ξ − 1 d η, X − ξ, Y
2
Conclusione?
Un bialgebroide di Lie non ` un algebroide di Lie sullo spazio
e
doppio
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a

13. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Algebroide di Courant
Definizione
Definizione
Una struttura (E , ρ, ·, · , g ) che gode delle propriet`
a
1 ρ( r , s ) = [ρ(r ), ρ(s)]
2 r , s , t + p.c. = 1 D(T(r , s, t) + T(s, t, r ) + T(t, r , s))
3
3 r , fs = f r , s + (ρ(r )(f ))s − g (r , s)Df
4 g (Df , Dh) = 0
5 ρ(r )g (s, t) = g ( r , s + Dg (r , s), t) + g (s, r , t + Dg (r , t))
` un algebroide di Courant
e
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14. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Dall’algebroide di Courant alla Geometria Complessa
Generalizzata
Struttura complessa generalizzata
Definizione
Una struttura quasi complessa generalizzata ` un endomorfismo di
e
DT a quadrato −1 che preserva la metrica. Una struttura quasi
complessa ` integrabile (complessa) quando la torsione
e
TC (X , Y ) = J X , J Y − J J X , Y − J X , J Y − X , Y
` nulla
e
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15. Introduzione Algebroidi Conclusioni
Conclusioni
Dalla Geometria Complessa Generalizzata ai moderni NLSMs
Geometria bihermitiana del NLSM di Gates, Hull, Roˇek
c
(1985) ` un caso di K¨hler generalizzata (2003)
e a
Dalla geometria complessa generalizzata ` stato sviluppato un
e
PSM supersimmetrico (Lindstr¨m 2004)
o
Dalla GCG sono stati sviluppati diversi NLSMs (Zucchini 2004
e 2007)
Attualmente, pare che la GCG sia la giusta cornice a cui ricondurre
le versioni supersimmetriche con N ≥ 4 dei NLSMs
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16. Universit` degli Studi di Milano – Bicocca
a
Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
a
Corso di Laurea in Fisica
P
Geometrie generalizzate
e modelli σ non lineari
Candidato Relatore
Matteo CASATI Prof. Franco MAGRI
Matr. 074789
Seduta di laurea del
28 ottobre 2008
a.a 2007–2008