Integrales para ingenieria

1. Cambio de Variable
REVISADOPOR:Dr.FRANKLINCORONELM

2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
OBJETIVO:
Calcular integrales indefinidas aplicando el método de
integración por sustitución o cambio de variable.
Integración por Sustitución.
En este tema estudiaremos una técnica que nos permitirá realizar la
integración de funciones compuesta mediante un cambio de variable.
El papel de la sustitución en la integración es comparable al de la
regla de la cadena en la derivación.
El objetivo de este método es transformar una integral con un
integrando complicado, en una integral más sencilla (directa).

3. Integración de una Función Compuesta.
Sea F una antiderivada de f, tal que F’= f, y además g es otra
función derivable tal que g(x) está en el dominio de F para todo x
en algún intervalo I. Ahora considerando la función compuesta
F(g(x)) para todo x en el intervalo I, aplicando la regla de la cadena
obtenemos:
  )
(
'
)).
(
(
)
(
'
)).
(
(
'
))
(
( x
g
x
g
f
x
g
x
g
F
x
g
F
dx
d


De nuestra definición de primitiva, tenemos que:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
C
x
g
F
dx
x
g
x
g
f 

 ))
(
(
)
(
'
.
))
(
( Donde F’ = f
Si hacemos u=g(x), du=g’(x)dx (Notación de Leibniz)
C
u
F
du
u
f 

 )
(
)
(

4. Llamamos cambio de variable o método de sustitución el proceso de
hallar integrales mediante el uso de la fórmula anterior.
Lo que se busca es hacer un adecuado cambio de variable para obtener
una integral directa la cual podemos resolver con ayuda de una tabla de
integrales. Posteriormente debemos devolvernos la variable inicial.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Pasos a seguir en el Método de Sustitución.
1.- Elegir una sustitución u=g(x). Por lo general, elegimos la parte
interior de una función compuesta.
2.- Evaluar el diferencial du=g’(x)dx. Anotamos cualquier factor k de
g’(x) que no sea un factor del integrado dado.
3.- Re-expresar el integrado en la forma
k
du
u
f ).
(

5. 4.- Evaluar la integral en términos de u, reduciéndola a una integral
básica que se encuentra en las tablas.
5.- Devolvernos a la variable inicial para obtener la solución de la
integral en la variable original.
Ejemplo 1:
Calcular   dx
x 3
)
1
2
(
Solución:
La función interna es
Por tanto
Despejamos dx
2
du
dx 
1
2 
 x
u
dx
du 2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

6. Sustituimos en la integral:
Vamos a la tabla de integrales y observamos la fórmula:
Por lo tanto,
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

  

 du
u
du
u
dx
x .
2
1
2
.
)
1
2
( 3
3
3
 



,
1
1
C
n
u
du
u
n
n
(n  -1)
 


 C
u
C
u
du
u
8
4
.
2
1
2
1 4
4
3
Finalmente regresamos a la variable x:
 




 C
x
C
u
dx
x 4
4
3
)
1
2
(
8
1
.
8
1
)
1
2
(

7. Solución:
Hacemos el cambio u=7 – 6x2, du= -12xdx.
El término -12 lo podemos introducir en la integral y luego
dividimos por ese mismo término para compensar.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Ejemplo 2:
Encuentre   dx
x
x 2
6
7
.
 

 







 du
u
du
u
xdx
x
dx
x
x .
2
1
.
2
1
)
12
(
.
6
7
2
1
6
7
. 2
1
2
2
Nuevamente usamos la fórmula
 du
un

8. Finalmente, regresamos a la variable x:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
 
C
u
u
C
u
du
u
dx
x
x 








 
 .
36
2
12
1
12
1
6
7
2
3
2
2
3
2
1
C
x
x
dx
x
x 






2
2
2
6
7
)
6
7
(
18
1
6
7

9. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Ejemplo 3:
Evaluar   dx
x
x 1
2
.
2
1
1
2





u
x
x
u
Al sustituir en la integral nos queda:
Solución:
Hacemos y obtenemos
Puesto que el integrado contiene un factor de x, también debemos
despejar x en términos de u en la siguiente forma:
2
du
dx 
1
2 
 x
u
  










 


2
2
1
1
2
du
u
u
dx
x
x

10.   C
u
u
du
u
u
du
u
u 












 
 2
3
2
5
2
3
2
5
2
1
2
3
2
1
4
1
4
1
)
1
(
4
1
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Devolviéndonos a la variable x y simplificando tenemos:
C
x
x
dx
x
x 





 2
3
2
5
)
1
2
(
6
1
)
1
2
(
10
1
1
2
Más Ejemplos:
4.- Integrar
 dx
x
x
sen
Solución: Sea entonces
x
u  du
x
dx
x
dx
du 2
2




11. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
De la tabla de integrales tenemos que:


 
 du
senu
du
senu
x
dx
x
sen .
2
2
.
.

 





 C
x
C
u
du
senu
dx
x
x
sen
cos
2
cos
2
.
2
5.- Integrar
 x
x
dx
ln
4
Solución: Hacemos ,
x
u ln

x
dx
du 

12. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
 
 

u
du
x
x
dx
x
x
dx
4
1
ln
4
1
ln
4
De la tabla de integrales
C
u
u
du


 |
|
ln

 



 C
x
C
u
u
du
x
x
dx
|
ln
|
ln
4
1
|
|
ln
4
1
4
1
ln
4

13. 6.- Integrar
 dx
x
e x
2
tan
cos
x
dx
xdx
du 2
2
cos
sec 

Solución: Hacemos ,
   




 C
e
C
e
du
e
xdx
e
dx
x
e x
u
u
x
x
tan
2
tan
2
tan
.
sec
.
cos
Por tanto
x
u tan

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

14. Problemas propuestos:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
C
x
x
x
dx
C
x
x
xdx
C
x
x
dx
C
x
x
dx
C
x
dx
x
x






















1
tan
2
:
Resp.
1
tan
cos
.
5
3
2
2
1
:
Resp.
3
2
.
4
2
5
ln
2
1
:
Resp.
2
5
.
3
7
7
tan
:
Resp.
7
cos
.
2
ln
2
1
:
Resp.
.
ln
.
1
2
2
2
2
2