Estrutura cristalina dos sólidos

CIÊNCIAS DOS
MATERIAIS
ESTRUTURA CRISTALINA DOS
SÓLIDOS
Bruno Guedes.

BIBLIOGRAFIA
Bruno Guedes
Livro - Fundamentos
de Engenharia e
Ciência dos Materiais -
William F. Smith e
Javad Hashemi
Ciencia.dos.materi
ais.6ªedição james
f.shackelford
Livro - Ciência e
Engenharia de
Materiais uma
Introdução - William
D. Callister e David G.
Rethwisch

INTRODUÇÃO A CIÊNCIAS DOS
MATERIAIS
Os materiais sempre tiveram um papel fundamental
na vida da humanidade. As civilizações antigas foram
designadas de acordo com o domínio dos materiais, idade
da pedra, idade do ferro, etc.

MATERIAIS NA PRÉ-
HISTÓRIA
Surge o Princípio da Fabricação
No Período Paleolítico, as facas,
pontas de lanças e machados eram
fabricados com lascas de grandes
pedras.
No Período Neolítico, os artefatos
eram obtidos com o desgaste e
polimento da pedra (Princípio da
Retificação).
5

MATERIAIS NA PRÉ-
HISTÓRIA
Surge o Conhecimento de novos materiais
O Homem passa a usar metais na
fabricação de ferramentas e armas no fim
da pré-história.
Os primeiros metais a serem conhecidos
foram o cobre e o ouro, e , em escala
menor, o estanho. O ferro foi o último metal
que o homem passou a utilizar na
fabricação de seus instrumentos.
6

EVOLUÇÃO DA HISTÓRIA DE MÃOS
DADAS COM EVOLUÇÃO DOS
MATERIAIS

Bruno Guedes
Evolução da história de mãos
dadas com evolução dos materiais

Bruno Guedes
Náilon – leva e resistente, pode ser
tratado com produtos químicos;
Dacron - fibra de poliéster
sintética, mais leve que o Nailon;
Nomex - fibra sintética utilizada
para fazer paraquedas, trajes de
voo e de corrida, e pode reter até
50% de sua resistência
em temperaturas de até 250 graus
Celsius;
Kevlar - tecido de alta resistência
encontrado em pneus, coletes
à prova de balas e paraquedas;
Spectra - tecido sintético mais leve
que o naylon e pode ser mais forte
que o aço.

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• resistência à corrosão e ao
calor,
• baixo peso;
• manutenção de suas
propriedades à baixas
temperaturas;
• elevado módulo de
elasticidade;
• grande resistência ao impacto
e
• elevada resistência mecânica.

Permite prever o comportamento do material sob diversos tipos
de solicitações as quais, por ventura, lhes sejam impostas.
ESTRUTURA DOS MATERIAIS:
POR QUE ESTUDAR?

Bruno Guedes
DEFINIÇÕES
• Ciência e Engenharia dos Materiais são campos intimamente
interligados e interdisciplinares.
Ciência e Engenharia dos Materiais é a área da atividade humana
associada com a geração e a aplicação de conhecimentos que
relacionem composição, estrutura e processamento de materiais às
suas propriedades e usos.” Morris Cohen, MIT (in Padilha, A.F. –
Materiais de Engenharia, Hemus, 1997, cap. 1).s
A Ciência dos materiais concentra-se nos fundamentos cientificos
da correlação entre síntese e processamento, microestrutura e
propriedades dos materiais.
A Engenharia dos materiais, por sua vez, desenvolve modos de
converter ou transformar materiais em dispositivos úteis.

Bruno Guedes
O PAPEL DO ENGENHEIRO E
CIENTISTA DE MATERIAIS NA
SOCIEDADE
– Desenvolvimento de materiais já conhecidos
visando novas aplicações ou visando
melhorias no desempenho.
– Desenvolvimento de novos materiais para
aplicações conhecidas.
– Desenvolvimento de novos materiais para
novas aplicações.

Bruno Guedes
O PAPEL DO ENGENHEIRO E
CIENTISTA DE MATERIAIS NA
SOCIEDADE
A Engenharia de Materiais, utiliza as correlações entre estrutura e
propriedades dos materiais para projetar estruturas com propriedades
desejadas.
Aplicação
Propriedades
Processamento
Microestrutura

Bruno Guedes
TETRAEDRO DA CIÊNCIA E
ENGENHARIA DE MATERIAIS
.

Bruno Guedes
CONCEITOS FUNDAMENTAIS NA
.
1. Composição e Estrutura
• Composição: Natureza Química dos Materiais.

Bruno Guedes
.
1. Composição e Estrutura
• Estrutura - Associada ao arranjo dos componentes do
material em
Estudo. (Micro – 10 -6 mm; Macro – maior ou igual a mm.

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.
2. Propriedade de um Material.
– Tipo e intensidade da resposta a um estímulo que é imposto
ao material
• As principais propriedades dos materiais podem ser
agrupadas em:
– Mecânicas
– Elétricas
– Térmicas
– Magnéticas
– Ópticas
– Químicas
– de degradação (corrosão, oxidação, desgaste)

Bruno Guedes
.
3. Processamento.
Conjunto de técnicas para obtenção de materiais com formas
propriedades específicas.

Bruno Guedes
.
3. Processamento.
Influência do processamento nas propriedades dos materiais.

Bruno Guedes
.
4. Desempenho.
.
• Resposta do material a um estímulo externo, presente nas
condições reais de utilização.
• O desempenho de um material é função de suas propriedades
e estas, por sua vez, dependem de como o material foi
processado.

Bruno Guedes
.
Propriedades dependem da estrutura
Ex: estrutura vs taxa de resfriamento do aço.
Processamento pode alterar a estrutura
Cooling Rate (C/s)
100
200
300
400
500
600
0.01 0.1 1 10 100 1000
(a)
30 m
(b)
30 m
(d)
30 m
(c)
4m
Hardness
(BHN)

Bruno Guedes
.

Bruno Guedes
CLASSE DE MATERIAIS
• Os materias sólidos são agrupados, convenientemente em
três classificações básicas
1. Metais;
2. Cerâmicas, vidros ou vidro-cerâmicos;
3. Polímeros.
Este esquema está baseado, principalmente, na composição
química e na estrutura atômica.
Adicionalmente existem os compósitos, combinação de 2 ou
mais materiais.
.

Bruno Guedes
CLASSE DE MATERIAIS
• Outra classificação é a dos materiais avançados que são
usados em aplicações de alta tecnologia:
1. Semicondutores;
2. Biomateriais;
3. Materiais avançados;
4. Materiais de nano-engenharia
.
Um material é reconhecido e identificado por suas
propriedades e pelo seu comportamento frente a
agentes exteriores.

Bruno Guedes
MATERIAIS METÁLICOS
.
• São geralmente uma combinação de elementos metálicos;
• Possuem elétrons delocalizados que são responsáveis por várias das
suas propriedades;
• São bons condutores de calor e eletricidade;
• Não são transparentes à luz visível;
• Têm aparência lustrosa quando polidos;
• Geralmente são resistentes e deformáveis;
• São muito utilizados para aplicações estruturais.

Bruno Guedes
MATERIAIS METÁLICOS
.

Bruno Guedes
MATERIAIS CERÂMICOS
.
 São geralmente uma combinação de elementos metálicos
e não-metálicos.
 Geralmente são óxidos, nitretos ou carbetos.
 São geralmente isolantes de calor e eletricidade.
 São mais resistentes que metais e polímeros a altas
temperaturas e a ambientes agressivos.
 Quanto às propriedades mecânicas, são duros, resistentes
à compressão, frágeis e pouco resistentes em tração.

Bruno Guedes
MATERIAIS CERÂMICOS
.

Bruno Guedes
MATERIAIS POLIMÉRICOS
.

Bruno Guedes
MATERIAIS POLIMÉRICOS
.
 Polímeros incluem os materiais plásticos e as borrachas.
 São geralmente sintétidos;
• A grande maioria é de natureza orgânica – baseado em
carbono, hidrogênio e oxigênio – e outros elementos não
metálicos (P, N).
• Possuem estruturas moleculares “gigantes”.
• Normalmente apresentam densidades muitos baixas e
podem ser muito flexíveis.

Bruno Guedes
MATERIAIS COMPÓSITOS
.
• Combinação de metais, cerâmicas e polímeros
•Preservam as propriedades “boas” dos componentes e
possuem propriedades superiores as de cada componente
independente.
Aglomeraçãode finíssimos fios de vidro, não
rígidos, adicionados à re-
sina ¨poliester¨.
Arranjo complexo de celulose reforçadas por uma substância polimérica
denominada lenhina e por outros compostos orgânicos
•cimento (mole e dúctil)
brita e areia (dureza)

MATERIAIS AVANÇADOS
• Os materiais utilizados em aplicações de alta
tecnologia.
Semicondutores
Biomateriais
Materiais Avançados
Materiais Nanoengenheirados

SEMICONDUTORES
• Todos os componentes eletrônicos do computador;
• Condutividade finamente controlada pela presença de impurezas – dopantes;
• Podem ser combinados entre si para gerar propriedades eletrônicas e óticas “sob
medida”
• São a base da tecnologia opto-eletrônica – lasers, detetores, circuitos integrados e
células solares.

SEMICONDUTORES
• Os semicondutores possuem propriedades elétricas que são
intermediárias entre aquelas apresentadas pelos isolantes.

BIOMATERIAIS
• São empregados em componentes implantados no corpo humano
para substituir partes doentes ou danificadas. Estes materiais não
podem ser tóxicos nem liberar substâncias tóxicas quando em
contato com fluidos corporais e precisam ser compatíveis com os
tecidos do corpo (não podem ser trombogênicos). Polímeros,
cerâmicas metais, compósitos e semicondutores podem ser
utilizados como biomateriais utilizados, por exemplo, como
substitutos desde tecidos ósseos (cabeça de fêmur, queixo) a
tecidos moles (implantes de seios e escroto), etc...

MATERIAIS DO FUTURO
São materiais capazes de perceber mudanças (sensores)
no seu ambiente e responder (atuadores)a estas mudanças
(temperatura, campos elétricos e/ou magnéticos) de maneira
pré-determinada, tal como observado em organismos vivos.

NECESSIDADES DOS MATERIAIS
MODERNOS
• Desenvolver novos materiais
• Impactos Ambientais
• Reduzir Peso
• Aumentar as temperaturas de Operação
• Maior Resistência
• Vida Útil
• Recursos não Renováveis

ESTRUTURA DOS MATERIAIS:
IMPORTÂNCIA
As propriedades dos materiais
estão diretamente relacionadas
às suas estruturas cristalinas.
Explica a diferença significativa
nas propriedades de materiais
cristalinos e não cristalinos de
mesma composição (Exs:
Al2O3, Silício, algumas ligas
metálicas).

 Metais  estruturas relativamente simples.
 Cerâmicos  estruturas complexas.
Tipos de materiais x estruturas
 Polímeros  estruturas muito complexas.

LIGAÇÕES ATÔMICAS
1 – Há quatro mecanismos pelos quais os átomos
dos materiais em engenharia são unidos:
a) Ligações metálicas;
b) Ligações covalentes;
c) Ligações iônicas;
d) Ligações secundárias (ligações de Van der
Waals) – relativamente mais fracas.
Ligações primárias – átomo
preenchem subníveis s e p

Ligações Atômicas nos
sólidos
•Várias das propriedades físicas dos materiais está
baseada nas forças e energias interatômicas que
unem os átomos entre si;
•À Medida que os átomos se aproxima –
interação entre si – atrativas e repulsivas

Ligações Químicas
FORÇAS INTRAMOLECULARES
São ligações primárias fortes (dizem
respeito a ligações dentro de uma mesma
molécula).
Força entre os elementos

FORÇAS INTERMOLECULARES
São ligações secundárias fracas entre os
segmentos de cadeias poliméricas
Força entre as moléculas/macromoléculas

FORÇAS INTRAMOLECULARES
1. Iônicas
2. Covalentes
3. Metálicas  Ligações
fortes

LIGAÇÃO IÔNICA
Os elétrons de valência são transferidos entre átomos
produzindo íons.
• O Na doa o seu elétron de valência,
tornando-se eletropositivo  Na+
• O Cl recebe elétrons, tornando-se
eletronegativo  Cl-
• Formação de íons (cátions e
ânions);
•Ligação não direcional.
•Duros e quebradiços,
isolantes elétricos e térmicos.
Ligação iônica no Cloreto de Sódio (NaCl)
É a ligação predominante nos
materiais cerâmicos.

Ligação Covalente
Entre Ametal e Ametal; Ametal e Hidrogênio
Consiste no compartilhamento de elétrons de valência
C H
H
H
H
Elétron
compartilhado
do C
Elétron
compartilhado
do H
• Ocorre entre átomos
com pequenas
diferenças de
eletronegatividade e
que estão próximos
uns dos outros na
tabela periódica.
• Característico dos
materiais polímeros.
• Direcional.

Ligação Metálica
Os elétrons de valência são divididos com todos os átomos
(não estão ligados a nenhum átomo em particular) e
assim eles estão livres para conduzir .
Metal e Metal
Ligação não
direcional

Ligação Metálica
- Materiais com dois, no máximo 3
elétrons de valência
- Pertencem a todo o metal (nuvem
eletrônica)
- Elétrons protegem os núcleos de
forças repulsivas

Ligações secundárias:
1. Forças de Van der
Waals:
Dipolo-dipolo
Dipolo-dipolo
induzido
Forças de
dispersão
2. Pontes de hidrogênio
 Ligações fracas em
relação as primárias

Ligações Secundárias
Associadas a Dipolos – Permanentes ou Não
Momento de dipolo  = q d

Ligações Van der Walls
- Existem , virtualmente, entre todos os átomos e
moléculas
- Evidente em gases nobres e moléculas ligadas
covalentemente
- Surgem de dipolos elétricos
- Ligações da ordem de apenas 10 kj/mol.

Cristalinos Não-cristalinos
ou amorfos
Tipos de sólidos de acordo com o
ordenamento atômico

Estrutura não-cristalina ou
amorfa
 Não existe ordem de longo alcance na
disposição dos átomos, apenas ordem a curta
distâncias.
As propriedades dos materiais sólidos cristalinos
depende da estrutura cristalina, ou seja, da
maneira na qual os átomos, moléculas ou íons
estão espacialmente dispostos.
Importante!!!!!

Conhecidos há anos através dos
cristais
Materiais Cristalinos

 Átomos situados em um arranjo que se repete
ou que é periódico ao longo de grandes e
curtas distâncias atômicas.
Estrutura cristalina
A maioria dos metais,
muitos materiais
cerâmicos e certos
polímeros formam
estruturas cristalinas
sob condições normais
de solidificação.

Como descrever as estruturas
cristalinas?
• Através das células unitárias (Unidades que se
repetem ).
•pequenos grupos de átomos formam um padrão repetitivo
• Para a maioria das estruturas cristalinas, as células unitárias são
paralelepípedos, prismas, com três conjuntos de faces paralelos.
•Todas as posições dos átomos podem ser
gerados por movimentos de translação ao
longo das arestas – INDICANDO
SIMETRIA DA ESTRUTURA.
• Célula unitár’ia – unidade básica
estrutural das estruturas cristalinas.

Como descrever as estruturas
cristalinas?
• Utilizando a célula unitária.
 É escolhida para representar a
simetria da estrutura cristalina.
Modelo atômico da esfera rígida Modelo de esferas reduzidas
Agregado de muitos átomos.

Unidade estrutural básica que define a
estrutura cristalina (através de sua
repetição no espaço)
Célula unitária e Rede/reticulado
cristalino

Parâmetros de rede
 O tamanho e a forma da célula unitária
podem ser descritos pelos 3 vetores de rede,
a, b e c, com origem em um dos vértices da
célula unitária.
 Os comprimentos
a, b e c e os ângulos
,  e  são os
parâmetros de rede.

 Relação
entre os
parâmetros
de rede e a
geometria
das células
unitárias
Sistema Cristalográficos

Tipos de
células
unitárias
Rede de Bravais
 São empilhadas pra formar
os sistemas cristalinos no
espaço tridimensional.
 Possuem características que
diferenciam uma das outras e
auxiliam na definição das
propriedades de um material
particular.
São sete os sistemas cristalinos

Estudaremos apenas 2 tipos de estruturas
cristalinas – maioria dos metais
1 – Sistema
Cúbico
2 – Sistema
Hexagonal
Cúbica de corpo centrado - CCC
Cúbica de face centrada -
CFC
Cúbica simples - CS
Hexagonal compacta - HC
Hexagonal simples - HS

Sistema Cúbico
Cúbico
Simples
Cúbico de Corpo
Centrado
Cúbico de Face
Centrada

Conceitos importante - Número de
coordenação - NC
 É o número de átomos vizinhos mais
próximos.

Sistema Cúbico Simples - CS
Há quantos átomos vizinhos ao
central?
Número de Coordenação 6

Sistema cúbico simples - CS
Parâmetro de rede
• Apenas 1/8 de cada átomo cai dentro da célula unitária, ou seja,
a célula unitária contém apenas 1 átomo.

Conceito importante - Relação entre o raio atômico e o
parâmetro de rede
• a = 2r

Conceito importante – Fator de
empacotamento atômico – FEA.
 É a relação entre o volume ocupado pelos átomos
e o volume da célula unitária.

Sistema Cúbico Simples
 Para estrutura Cúbica Simples
 FEA = volume de 1 átomo (esfera) x 1 átomo /
volume do cubo .
%
52
52
,
0
8
3
4
)
2
(
3
4
3
4
3
3
3
3
3
3





R
R
R
R
a
R
FEA



• Os metais não cristalizam na estrutura cúbica simples, devido
ao baixo empacotamento atômico.

Daremos ênfase apenas as
seguintes estruturas cristalinas:
1 – Cúbico de corpo centrado – CCC
2 – Cúbico de face centrada – CFC
São essas as estruturas cristalinas
mais comuns dos metais.

CÚBICA DE CORPO CENTRADO -
CCC
• Esta célula contém 1 átomo em cada vértice do
cubo e 1 átomo em seu interior.
•Quantos átomos por célula unitária?
• Exemplos: cromo, ferro e tungstênio.

Sistema CCC -Relação R e a
a = 4R /(3)1/2
• Os átomos se tocam
ao longo da diagonal
do cubo.

Sistema CCC- FEA
Qual o empacotamento do sistema?
Baixo Fator de Empacotamento de 0,68

Sistema CCC- FEA
 FEA = volume de 1 átomo (esfera) x 2
átomos / volume do cubo .
%
68
68
,
0
3
4
3
4
2
3
3















R
R
FEA

Estrutura
CCC

Cúbica de face centrada - CFC
• Esta célula contém 1 átomo em cada vértice do
cubo, além de 1 átomo em cada face.
• É o sistema mais comum encontrado nos metais.
Exemplos: cobre, alumínio, prata e ouro.

Número de coordenação - NC
Há quantos átomos vizinhos ao central?
Quantos átomos por célula unitária?

Número de coordenação - NC
• NC = 12
• Há 4 átomos por
célula unitária.
1/8 de átomo
1/2 de átomo

Relação entre o raio atômico e o
parâmetro de rede
• Os átomos se tocam
através de uma
diagonal da face.
2
2R
a 

Sistema CFC- FEA
 FEA = volume de 1 átomo (esfera) x 4
átomos / volume do cubo .
Estrutura
CFC
%
74
74
,
0
2
4
4
3
4
3
3















R
x
R
FEA


Resumo: sistema cúbico
Sistema
Átomos
por
célula
NC
Relação
com a
Fator de
empacota-
mento
CS 1 6 2R 0,52
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68
CFC 4 12 0,74
2
2R

Sistema HC
 Os metais em geral não
cristalizam no sistema hexagonal
simples pq o fator de
empacotamento é muito baixo,
exceto cristais com mais de um
tipo de átomo
 O sistema Hexagonal Compacto é
mais comum nos metais (ex: Mg,
Zn)
 Na HC, cada átomo de uma dada
camada está diretamente abaixo
ou acima dos interstícios
formados entre as camadas
adjacentes

 Cada átomo tangencia 3 átomos da
camada de cima, 6 átomos no seu
próprio plano e 3 na camada de baixo
do seu plano
 O número de coordenação para a
estrutura HC é 12 e, portanto, o fator
de empacotamento é o mesmo da
CFC, ou seja, 0,74.
Relação entre R e a:
a= 2R
Sistema HC

Cálculo da Massa específica
Pode-se calcular a massa específica teórica de um
material utilizando as propriedades das estrutura
cristalina.
A
c
N
V
nA
ρ
Onde:
: densidade do material [g/cm3]
n: número de átomos em cada célula unitária
A: peso atômico [g/mol]
Vc: volume da célula unitária [cm3]
NA: número de Avogadro (6,023×1023 átomos/mol)

Exemplo: O cobre possui um raio atômico de 0,128 nm, estrutura
cristalina CFC e um peso atômico de 63,5 g/mol. Calcule sua
densidade.

SOLUÇÃO
Para uma célula CFC, tem-se:
• n = 4 átomos/célula
• a = 2R(2)1/2
Portanto, para R = 0,128 nm = 0,128 × 10-9 m = 0,128 × 10-7 cm:
a p n µ m k M
G
10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 103 106
109
    A
3
A
3
A
3
A
c N
2
16R
nA
N
2
2R
nA
N
nA
N
V
nA
ρ 



a
 
 
  
átomos/mol
10
6,023
/célula
cm
10
0,128
2
16
g/mol)
(63,5
ula
átomos/cél
4
ρ
23
3
7




3
8,89g/cm
ρ
18

Exercício de fixação:
Determine a massa específica do Fe CCC , que possui um parâmetro
de rede de 0,286nm.

Deformação em metais envolve
deslizamento de planos atômicos. O
deslizamento ocorre mais facilmente nos
planos e direções de maior densidade
atômica.
Por que estudar
direções e planos?
. Módulo de elasticidade  Fe ccc possui um maior módulo de
elasticidade na direção da diagonal do cubo do que na direção da
aresta.
. Permeabilidade magnética.
. Índice de refração.

A estrutura é formada por pontos
(posições atômicas)
Posições Atômicas

Posições atômicas
z
y
x
0,1,1
0,1,0
1,1,0
1,0,0
1,0,1
0,0,1
1/2,1/2,1/2
1,1,1
• As posições
são representadas
por números
inteiros ou não
separados por
virgulas.

Posições Atômicas
Quais as coordenadas dos pontos da
célula CCC abaixo.
Posições
expressas:
(1,1,1)
(¼, ½, 1)
Parênteses e
Vígurlas

Direções cristalográficas
Uma direção cristalográfica e definida como uma linha entre dais pontos, ou
um vetor. As seguintes etapas são utilizadas na determinação dos três
índices direcionais:

Direções Cristalográficas
Direções cristalográficas são definidas
pela linha entre dois pontos, ou um vetor
– Vetor Direção
O vetor é posicionado de modo a passar
pela origem do sistema de coordenadas
O tamanho do vetor depende das
dimensões da célula unitária

Para indicarmos uma direção cristalográfica...
• Desenhamos um vetor-direção ou uma linha unindo 2
pontos a partir de uma origem.
y
x
1,1,0
0,0,0
z
O
R
• Observamos as coordenadas
do ponto. Essas são os índices
da direção.
• Os índices são representados
entre colchetes [ ], sem
vírgulas.
• Os índices da direção OR
são [110].

Outro exemplo:
Direção [100]
y
x
1,0,0
0,0,0
z
O
S

y
x
z
O
T
Quando as coordenadas são
frações:
• Devemos reduzi-las
a um número
inteiro.
b
c
a
Projeção sobre
o eixo y (b)
Projeção sobre
o eixo x (a/2)
(1/2 , 1, 0)
• OT  (1/2, 1, 0).
Multiplicando por
2  [120]

Também podem existir índices
negativos
b
c
a
y
x
z
-a
-y
P
Direção [110]
• É representado pela colocação de uma barra
sobre o índice.
• Exemplo: [1 1 0], componente na direção -y.
O

Determine a direção ilustrada abaixo
Subtrai o FINAL - INICIAL
Vetor é determinado por dois pontos

Final – Inicial
1 – 0 = 1
½ - 1 = -½
0 – 1 = -1
Direção
 
2
1
2
Executando o deslocamento da origem da o
mesmo resultado

Determine a direção ilustrada abaixo
Final – Inicial
0 – 1 = -1
0 – 0 = 0
0 – 1 = -1

Família de direções - <hkl>
• Quando ao longo das direções o espaçamento entre
os átomo e o número de átomos forem os mesmos,
tem-se direções cristalograficamente equivalentes.
Estas são designadas por FAMÍLIA.
<100> = [100], [010], [001], [010], [001], [100]
z
y
x
• Direções
correspondentes
ao eixos
cristalográficos x, -
x, y,-y, z e -z.

Direções para o sistema CCC
• No sistema CCC os
átomos se tocam ao
longo da diagonal do
cubo, que
corresponde a família
de direções <111>.
• Então, a direção
<111> é a de maior
empacotamento
atômico.

Direções para o sistema CFC
• No sistema CFC os
átomos se tocam ao
longo da diagonal da
face, que
corresponde a família
de direções <110>.
• Então, a direção
<110> é a de maior
empacotamento
atômico.

PLANOS CRISTALINOS
POR QUÊ SÃO IMPORTANTES?
112
· Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de difração medem diretamente a
distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para
determinar os parâmetros do reticulado de um cristal.
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados
para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.
· Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando
uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de
planos direções específicos do cristal.
· Para as propriedades de transporte
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de elétrons
e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes
destes.
Exemplo 1: Grafita
A condução de calor é mais rápida nos planos unidos covalentemente sp2 do que nas direções perpendiculares a
esses planos.

Planos Cristalográficos
Os planos são representados por índices
de Miller (xyz), semelhantemente as
direções cristalinas

Procedimento para determinação dos índices:
 Um plano é representado por 3 NÚMEROS INTEIROS, chamados
ÍNDICES DE MILLER. Exceção: cristais hexagonais utilizam 4
índices.
 Os índices de um plano são obtidos a partir do mesmo
sistema de referência empregado para as direções, seguindo-
se os passos abaixo:
 Determinam-se as interseções do plano com os eixos x, y e
z.

Procedimento para determinação dos índices:
 Calcula-se o inverso de cada número obtido acima.
 Se necessário, multiplicam-se os três números obtidos por um
mesmo fator, a fim de se obterem VALORES INTEIROS, os quais
NÃO DEVEM SER REDUZIDOS.
 A direção é indicada colocando-se os três índices entre
parênteses, sem vírgulas: (hkl).

Intercepto
X  
Y  1
Z  
Inverso
X  1/ = 0
Y  1/1 = 1
Z  1/ = 0
Urn plano que e paralelo a urn eixo pode ser considerado como tendo
uma interse(OaO no infinito e, portanto, urn indice igual a zero.

Qual é esse plano?

Qual é esse plano?
Interceptos
a = ½
b = 
c = 
z
x
y
a b
c
(200)
Sempre os menores Inteiros
(100)

Qual é esse plano?
Interceptos
a = ½
b = 1
c = 3/4
(634)
Sempre os menores Inteiros
(634)
z
x
y
a b
c




O plano NÃO PODE PASSAR pela origem. Se isso
acontecer, ENTÃO:
 Se o plano passar pela origem, outro plano deve
ser construído pela adequada translação, ou ser
estabelecida nova origem
 Utiliza-se o inverso (recíproco) do intercepto do
plano com os eixos cristalinos
Os índices são sempre os menores inteiros possí
Materiais para Construção Mecânica
A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
29

O plano NÃO PODE PASSAR pela origem. Se isso
acontecer, ENTÃO:
negativos são representados com uma BARRA
sobre o índice apropriado.
Planos cujos índices são IGUAIS ou MÚLTIPLOS uns
dos outros são paralelos. Planos com os mesmos
índices de Miller são ainda EQUIVALENTES (MESMO
ARRANJO ATÔMICO). Dois planos cujos índices
sejam simétricos também são paralelos e
eqüidistantes em relação à origem. Exemplo: (123)
e (123).
veis
 Índices entre parêntese sem separação por vírgula
Materiais para Construção Mecânica
A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
29

29
Etapas x y z
1. Interseções
2. Interseções
(em termos de a, b e c)
3. Inversos
4. Redução (se necessária)
5. Plano
z
o
x
y
a b c
1 1 1
1 1 1
1 1 1
(1 1 1)
a b ∞
1 1 ∞
1 1 0
1 1 0
(1 1 0)
a ∞ ∞
1 ∞ ∞
1 0 0
1 0 0
(1 0 0)
a ∞ 2c/3
1 ∞ 2/3
1 0 3/2
2 0 3
(2 0 3)
+ Exemplos: MACMARON
z
y
o
-a ∞ ∞
-1 ∞ ∞
-1 0 0
-1 0 0
(1 0 0)

, 1,  ? * , ½,  * 1, 1, 1
0, 1, 0 ? * 0, 2, 0 * 1, 1, 1
(010) ? * (020) * (111)
1, -1,  * 1, -1, 1
1, -1,  * 1, -1, 1
1, -1, 0 * 1, -1, 1
(1 1 0) * (1 1 1)

Famílias de Planos Cristalográficos
Os planos que são cristalograficamente
equivalentes formam famílias de planos
Da mesma forma que ocorre com as
direções
São planos que têm o mesmo empacotamento atômico e
distribuição atômica
Representadas por { } sem vírgulas
APENAS NOS CRISTAIS CÚBICOS, planos que possuem OS
MESMOS ÍNDICES, independente da ordem e do sinal, SÃO
EQUIVALENTES. Exemplo: (123) e (321) fazem parte da família (123).

Famílias de Planos
Cristalográficos

Famílias de Planos Cristalográficos
Família de Planos {110}

132
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
INTERCEPTA OS 3 EIXOS

PLANOS NO SISTEMA CÚBICO
• A simetria do sistema cúbico faz com que a família
de planos tenham o mesmo arranjamento e
densidade
• Deformação em metais envolve deslizamento de
planos atômicos. O deslizamento ocorre mais
facilmente nos planos e direções de maior
densidade atômica
133

Famílias Particulares
Família {110} no sistema CCC
Planos com maior empacotamento

Famílias Particulares
Família {111} no sistema CCC
Planos com maior empacotamento

DENSIDADE ATÔMICA LINEAR
• DENSIDADE ATÔMICA LINEAR: fração do comprimento do vetor
direção que é interceptada pelos átomos cujos centros estão
sobre o vetor:
onde:
• DL: densidade linear.
• Lc: comprimento total interceptado pelos círculos (átomos).
• LI: comprimento do vetor compreendido pela célula.
• Duas direções cristalográficas são EQUIVALENTES (pertencem à
mesma FAMÍLIA) se possuem a mesma DENSIDADE ATÔMICA
LINEAR.
33
I
C
L
L
DL 

DENSIDADE LINEAR: EXEMPLO
• Calcule a densidade linear para a direção [100] em uma
estrutura cristalina CCC.
34
SOLUÇÃO: a densidade linear (DL) é dada por,
A partir da figura ao lado, tem-se:
Lc = 2R
3
4R
L CCC

a
I
866
,
0
4
I



3
R
2R
L
L
DL c
I
L
L
DL C

R + R

DENSIDADE ATÔMICA PLANAR
• DENSIDADE ATÔMICA PLANAR: fração da área do plano
cristalográfico que é interceptada pelos átomos cujos centros
estão sobre o plano.
onde:
• DP: densidade linear.
• Ac: área total dos círculos (átomos)
• Ap: área do plano compreendida pela célula.
• Dois planos cristalográficos são EQUIVALENTES (pertencem à mesma FAMÍLIA) se possuem a mesma
DENSIDADE ATÔMICA PLANAR.
• As densidades atômicas linear e planar são o análogo 1-D e 2-D do fator de empacotamento atômico
(FEA).
35
P
C
A
A
DP 

DENSIDADE PLANAR: EXEMPLO
• Calcule a densidade planar para o
plano (110) em uma estrutura
cristalina CFC.
36
SOLUÇÃO: a densidade planar (DP) é dada por,
A partir da figura ao lado, tem-se:
Ac = ÁREA DE 2 CÍRCULOS = 2R2
A B C
D E F
      2
8R
A
2
2R
4R
AD
AC
A 2
P
P




555
,
0



2
8R
R
2
A
A
DP 2
2
P
c
π
P
C
A
A
DP 

http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/e
structuras_cristalinas.html

Comparação Sistema CFC e HC
O empilhamento dos planos atômicos
são semelhantes, por isso ambas
apresentam elevado empacotamento
São estruturas compactas – 0,74
Os átomos são “empilhados” o mais
próximo uns dos outros

Comparação Sistema CFC e HC
Planos atômicos (111) da CFC e (0001) da HC têm uma
arranjo atômico idêntico

Empilhamento ABC e AB
Próximo plano de átomos pode ficar sobre C ou B
Tem-se
Seqüência AB
X X
X
Sítios

Empilhamento AB
Átomos (próxima camada) sobre as posições X (em cima dos
átomos A da primeira camada) formam um empilhamento AB
Estrutura HC

Empilhamento ABC
Átomos (próxima camada) sobre as posições C formam um
empilhamento ABC
Estrutura CFC

Policristalinos: Há vários pequenos
“monocristais”, cristais (GRÃOS)
Monocristalinos: Há um arranjo periódico e repetidos dos
átomos ao longo de TODO o material
Cada grão tem uma orientação cristalográfica própria
Os grão se encontram (suas orientações cristalográficas) nos contornos de
grãos
No contorno há uma certa falta de orientação (encontro das orientações)

Materiais Monocristalinos
Materiais Monocristalinos

Materiais Policristalinos
Cristalização

Anisotropia e Isotropia
Materiais Policristalinos
Mesmo com anisotropia, sendo a orientação dos grãos
aleatória, o material se comporta isotropicamente
Maior simetria  Menor anisometria

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