Contiene conceptos de conjuntos,tipos, elementos, operaciones básicas con conjuntos,los números reales, propiedades, las desigualdades o inecuaciones, definición de valor absoluto y las desigualdades y el Valor Absoluto. Ejercicios Resueltos

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL “ANDRÉS ELOY BLANCO”
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ENTRENAMIENTO DEPORTIVO
BARQUISIMETO-ESTADO LARA
CONJUNTOS
NÚMEROS REALES
DESIGUALDADES
VALOR ABSOLUTO
PARTICIPANTE: ALEXIS J.GÓMEZ A.
CÉDULA DE IDENTIDAD: V-12.245.569

2. CONJUNTOS
Llamamos conjuntos a la colección o agrupación de elementos siempre y cuando exista una
condición para que tales elementos pertenezcan a los conjuntos, los elementos del conjunto
también se les denomina objetos del conjunto. Los conjuntos también son otro tipo de objeto pero
de otra categoría, esto lo veremos en un capitulo mas avanzado de conjuntos.
Por lo general los conjuntos son representados o
se simbolizan por letras mayúsculas como:
A,B,C,X,Y,z
y sus elementos se representan con letras minúsculas para
generalizar una variable que representen a los elementos de
manera individual con la propiedad que lo caracteriza así:
a,b,c,x,y,z

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Para representar la relación de un elemento a perteneciente a un conjunto A, se encuentra
denotado con el símbolo de pertenencia ∈ de la siguiente manera: Elemento ∈ conjunto
donde el elemento es el objeto a y el conjunto
del objeto es A, quedando: a∈A
y se lee «a pertenece A» o «a esta contenido A», si el
elemento a no se encuentra en A, se representa así:
a∉A
Ejemplo: Si el conjunto AA representa al
conjunto de algunos colores como el amarillo,
azul, rojo y verde. Al conjunto A se puede
escribir encerrando sus elementos entre
llaves así:
A={ amarillo, azul, rojo, verde }
amarillo∈A
Anaranjado ∉ A

4. REPRESENTACION DE CONJUNTOS
Ejemplos: a) El conjunto de números primos no mayores
de 10:A={2,3,5,7,9}
CONJUNTO POR EXTENSIÓN: Es una lista de los
elementos del conjunto dado por comas
Ejemplo:
A={x|x es un numero primo menor que 10}
Se lee: «A es el conjunto de los elementos representados
por x tal que la variable x es un número primo menor que
10».
.
b)El conjunto de números múltiplos de 3 menores de 20:
A={3,6,9,12,15,18}
CONJUNTO POR COMPRENSIÓN : se definen literalmente
con un argumento, es decir, se usa una variable que represente
a los elementos especificando una propiedad que cumpla dicha
variable que caracteriza a los elementos sobreentendidos del
conjunto.

5. IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se llama subconjunto al conjunto que tiene
algunos elementos de otro conjunto
para pare representar que los elementos de un
conjunto AA están contenidos en BB, se representa así:
A⊂B
Se dice que dos conjuntos son iguales si sus elementos
también lo son, esto obliga a que los conjuntos tengan
el mismo numero de elementos.
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen
ningún elemento en común, una manera de
definir es algo así:
x∈A→x∉B
.
1.-A={1,2,3} es SUBCONJUNTO de B={1,2,3,4,5,6}
A={x∈
2.- A={x∈Z|x2<5} es SUBCONJUNTO de B={x∈R|x2<5}
SUB-CONJUNTOS
CONJUNTOS DISJUNTOS
•A={a,b,c} y B=1,2,3,4,5B=1,2,3,4,5 son dos
conjuntos disjuntos. No tiene ningún elemento en
común.

6. CONJUNTO FINITO
Son aquellos conjuntos que no tiene límite de
elementos y pueden extenderse sin fin
Es aquel conjunto que tiene un número limitado de
elementos y que a su vez se puede contar, es decir, es
contable
Es aquel conjunto que simplemente no
tiene elementos, pero tiene una
representación simbólica matemática:
ϕ={ }
Ejemplos: números naturales, números enteros,
números racionales, números irracionales, números
reales y números complejos.
CONJUNTOS INFINITOS
CONJUNTO VACIO
CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que simple y
sencillamente tiene un único elemento,
no hay nada nuevo con este conjunto
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto referencial para «medir» otros conjuntos que
se encuentran en el conjunto universal, se nota con la letra
mayúscula U y sirve que tipo de conjunto recibirá las
restricciones de una propiedad especifica P. Los conjuntos
universales más usados son los conjuntos numéricos

7. LOS NÚMEROS REALES
DEFINICIÓN: Los números Reales, se denotan con la letra (R) y se definen como el conjunto de números que
agrupa o incluye los números Naturales (N), Enteros(Z), Racionales(Q) e Irracionales (I)
El conjunto de los números reales tiene varias características, se dice con infinitos R ∈ (-∞,+∞). Siguen un
orden y se pueden representar en la recta real. Por último, pueden ser expresados como un Número Decimal
PROPIEDADES
1.- Propiedad de cierre o cerradura: dice que la Suma o multiplicación de dos números reales, siempre da como resultado
un número real. Entonces para la suma, si a + b = c, c ∈ R. Ejemplo: 12 + 7 = 19, donde 19 pertenece a los números reales.
Para la multiplicación, si a * b = c, c ∈ R. Ejemplo: 3 * 8 = 24, entonces 24 es también un número real.
2.- Propiedad Conmutativa: el resultado de una suma o multiplicación es siempre igual, sin importar el orden en que se
encuentren los números. Para la suma a + b = b + a, por tanto en la multiplicación a * b = b * a.
3.-Propiedad Asociativa: la manera como se agrupen los números en una suma o multiplicación, no altera el resultado
obtenido. Por tanto, en la suma (a + b) + c = a + (b + c) y para la multiplicación: (a * b) * c = a * (b * c).
4.- Propiedad Distributiva: refiere que la multiplicación de un número por una suma o resta, es igual a la suma o
diferencia de sus productos. Donde a(b ± c) = (a * b) ± (a * c).
5.- Propiedad modulativa o elemento neutro: en el caso de la suma, a cualquier número que se le sume 0, el resultado es
igual al mismo número (a + 0 = a). En cambio, para la multiplicación cualquier número que se multiplique por 1, da como
resultado el mismo número (a * 1 = a)

8. CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE NÚMEROS REALES
Son los números no
decimales mayores
de 0.
Está formado por los números
naturales y sus opuestos, es decir;
por sus números negativos e
incluye al 0. Donde Z = (-9, -8, -7,
…, 0, 1, 2, 3, …).
Son todos aquellos números que
pueden ser escritos como una
fracción de números enteros,
donde el denominador debe ser
diferente de 0
Su propio nombre lo indica,
que no son racionales, por
tanto, se definen como
aquellos números que no
pueden ser expresados como
una fracción de números
enteros

9. DESIGUALDADES
Una expresión de la forma: a > b, a ≥ b, a < b ó a ≤ b ; donde a, b ∈ R, se llama DESIGUALDAD O
INECUACIÓN.
EJEMPLO: -5x + y ≥ 0
12x – 9y ≤ 0
3x + 15 > 0
25x -9y 0
PROPIEDADES
Una solución de una ecuación es todo aquel valor que al sustituirlo por la incógnita o variable, hace
que la igualdad se satisfaga. El conjunto solución está constituido por todas esas soluciones.
1.- La propiedad transitiva de las Desigualdades: a, b, c ∈ R, a > b y b > c ⇒ a > c.
2.- a, b, c ∈ R, a > b ⇒ a + c > b + c
3.- a, b, c ∈ R, a > b y c > 0 ⇒ ac > bc
4.- a, b, c ∈ R, a > b y c > 0 ⇒ ac < bc
5.- a, b, c, d ∈ R, a > b > 0 y c > d > 0 ⇒ ac > bc
6.- a > b > 0 y p ∈ N 𝒂𝒑
>𝒃𝒑
, donde a,b,c ∈ R
7.- a > b > 0 y p ∈ Q 𝒂𝒑
>𝒃𝒑
, donde a,b,c ∈ R
<

10. DESIGUALDADES
CONJUNTO DE SOLUCIONES
Es el conjunto de valores, pertenecientes al dominio de las variables, para los cuales es cierta la desigualdad
dada.
Axiomas de Desigualdad :
Ley de tricotomía: Dados a ∧ b, sólo se podrá establecer entre una de las siguientes relaciones:
Ley transitiva: Dados a, b ∧ c tal que:
Ley multiplicativa: se pueden distinguir dos cosas:

11. DESIGUALDADES
.
RECTA NUMÉRICA
1. Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b”, si la diferencia (a − b) es una cantidad
positiva, es decir: a > b si a – b > 0
2. Se dice que una cantidad “a” es menor que una cantidad “b”, si la diferencia entre (a − b) es una cantidad
negativa, es decir: a < b si a – b < 0
3. Dos desigualdades de tipo a > b, c > d ó a < d, c < d, se denominan desigualdades del mismo sentido.
4. Dos desigualdades de tipo a > b, c < d se denominan desigualdades de sentido contrario

12. SOLUCION DE DESIGUALDADES E INECUACIONES
.
INTERVALOS: Es aquel subconjunto de los números reales definiéndoseles
como aquel conjunto de valores comprendido entre dos límites, llamado
límite superior o supremo y límite inferior o ínfimo.
1. Intervalo abierto
Se caracteriza porque es un intervalo en el cual no se considera a los extremos, se denota así: 〈 〉 ó ] [
2. Intervalo cerrado
Es aquel intervalo en el cual se considera a los extremos, se denota así: [ ]

13. SOLUCION DE DESIGUALDADES E INECUACIONES
.
Determinar el conjunto solución de:
1.- Factorizamos la expresión: ( x ) ( x )
Buscamos dos números que multiplicados den 6 y restados de 1
( X - 3 ) ( X + 2 ) < 0 , entonces: X = 3 y X= -2
X – 3 < 0 X < 3
X +2 < 0 X < -2 X > -2
Representación en Intervalos: ( -∞, 3) U ( -2, +∞ )
2.- 2( x + 1) – 3(x – 2 ) < x+6
2x + 2 – 3x + 6 < x+6
-x + 8 < x+6 -2x < 6 – 8 -2x < -2 x > 1 Solución es: ( 1, +∞ )
∞

14. SOLUCION DE DESIGUALDADES E INECUACIONES
.
Determinar el conjunto solución de:
Solución:
Para que la fracción sea igual a cero se tiene que cumplir que el numerador
sea igual a cero, esto es x + 1 = 0, por lo tanto x = -1.

15. SOLUCION DE DESIGUALDADES E INECUACIONES
.
para que se cumpla que ,se tiene que debe pertenecer a la unión de los dos intervalos que obtuvimos y el punto ,
por lo tanto, el conjunto

16. VALOR ABSOLUTO
.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo
positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se representa como |−4||−4| y equivale
a 44, y el valor absoluto de 44 se representa como |4||4|, lo cual también equivale a 44.
el valor absoluto de todo número real está definido por:
|a|= a, si a ≥ 0
-a si a < 0

17. VALOR ABSOLUTO
.
DESIGUALDADES y VALOR ABSOLUTO
1.- Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
- 3 < x – 7 < 3 ; - 3+7 < x < 3+ 7
4 < x < 10 Gráfica:
( 4, 10 )
-4 ≤ X+ 2 ≥ 4 -4-2 ≤ X ≤ 4-2 -6 ≤ X ≤ 2
( -∞ , -6 ] U [ 2, +∞)
Resuelva y grafique.
La gráfica se vería así: