Definiciòn de funciòn. Funciones Reales : dominio, rango y gràfica de funciones reales. Dominio, rango y gràfica de Funciones constantes, lineales, cuadràticas, Valor Absoluto, racionales, raiz cuadrada.
2. MODULO No 2
FUNCIONES
Definición de función.
Dominio de una función.
Representación gráfica de una función.
FUNCIONES REALES
Lineales
Valor absoluto
Cuadráticas
Racionales
Logarítmicas
Exponenciales
4. FUNCION
Es una RELACION definida entre dos
conjuntos no vacíos A y B tal que :
A Cada x A
Corresponde un ÚNICO
y B
5. EJEMPLO
La RELACIÓN « ES EL CUADRADO
DE » define una FUNCION entre los
conjuntos:
A 2, 3, -4, -5 y B 2, 9, 25, -1, 16
6. Obsérvese que a cada elemento de A
le corresponde su cuadrado en B
A B
2 . . 4
3 . . 9
-4 . . 16
-5 . . 25
7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
« ES EL CUADRADO DE »
2 .
3 .
- 4 .
5 .
. 25
. 4
.16
. 9
. 1.
A B
8. Una FUNCIÓN suele escribirse como un
CONJUNTO DE PARES ORDENADOS ( x ; y )
x y
Representa cada
elemento del conjunto
de PARTIDA
Representa la IMAGEN de
x en el conjunto de
LLEGADA.
10. Donde la imagen de la
FUNCION se simboliza así:
y = ( x )
( x ) : se lee « efe de X »
11. Las funciones también pueden notarse así:
: A B tal que:
x A y = ( x )
Se lee:
«Sea una FUNCIÓN definida del conjunto
A al conjunto B, tal que a cada x
perteneciente a A le corresponde una imagen
y = ( x ) »
12. La funcion « ES EL CUADRADO DE » se
denota asì :
: A B tal que:
x A y = ( x ) = 𝒙 𝟐
Se lee:
«Sea una FUNCIÓN definida del conjunto
A al conjunto B, tal que a cada x
perteneciente a A le corresponde una imagen
13. Tabla de la función y = ( x ) = 𝒙 𝟐
x y = 𝒙 𝟐 ( x ; y )
X = -3 y = 9 (-3 ; 9 )
X = -2 y = 4 ( -2 ; 4 )
X = -1 y = 1 ( -1 ; 1 )
X = 0 y = 0 ( 0 ; 0 )
X = 1 y = 1 ( 1 ; 1 )
X = 2 y = 4 ( 2 ; 4 )
X = 3 y = 9 ( 3 ; 9 )
. . .
. . .
14. DOMINIO DE UNA FUNCION
Dom
Dada una FUNCIÓN definida entre los
conjuntos no vacíos A y B.
Se denomina DOMINIO de la FUNCIÓN
a los elementos del conjunto A que
tienen su IMAGEN en el conjunto B.
15. En La FUNCION llamada
« ES EL CUADRADO DE »
definida entre los conjuntos los
conjuntos:
A 2, 3, -4, -5 y B 2, 9, 25, -1, 16
el dominio de la función es el conjunto :
Dom 2, 3, -4, -5
16. RANGO DE UNA FUNCIÒN
Rang
Es el CONJUNTO formado por
los elementos del CONJUNTO
DE LLEGADA de una FUNCIÓN,
que son IMÁGENES de elementos
del CONJUNTO de PARTIDA.
17. EJEMPLO
En La FUNCION llamada
« ES EL CUADRADO DE »
definida entre los conjuntos :
A 2, 3, -4, -5 y B 2, 9, 25, -1, 16 ,
el RANGO de la función es el conjunto :
Rg 4 , 9 , 16 , 25
18. FUNCIONES REALES
Se dice que Una función es REAL si su
DOMINIO es una parte del conjunto de los
NUMEROS REALES.
Es decir, La función es de VARIABLE
REAL solo si
Dom R
19. Una función se dice con VALORES
REALES si su RANGO es una parte del
conjunto de los NUMEROS REALES .
Decir, la función es de VALORES
REALES solo si
Rg R
20. FUNCION CONSTANTE
Esta es una función POLINÓMICA g de tal
manera que su imagen es y = g ( x ) = k ;
donde k es un número real.
Es una función real cuya gráfica es una recta
paralela al eje de las ordenadas y
El Dom g = R = ( - , + )
El Rg de g = k
21.
22.
23. FUNCIONES POLINÒMICAS
Son funciones reales cuya imagen es una expresión de la forma
y = g ( X ) = an .Xn + an-1. Xn-1 + an-2. Xn-2 + …+ a2 .
X2 + a1 . X +K
donde an, an-1, an-2, …, a2, a1 , k R ; n N
Si y = g ( X ) = K, entonces g es una FUNCION
CONSTANTE.
Si y = g ( X ) = a .X + K con a 0, entonces g es una
FUNCION LINEAL
Si y=g(X)=a.𝒙𝟐+K con a 0, entonces g es una FUNCION
CUADRATICA
24. FUNCIÒN IDENTIDAD
Es una función polinòmica g de variable Real tal
que: y = g ( x ) = x
Es una RECTA que pasa por el origen
El valor de cualquier elemento de x es igual a
su imagen
Dom = R = ( - , + )
Rg de = R = ( - , + )
Pendiente = 1
26. FUNCIONES LINEALES
Son funciones polinómicas cuyas imágenes
tienen la forma: y = ( x ) = m . x + b siendo
m y b números reales.
m: Pendiente de la recta
b : Segunda componente del punto ( 0, b ) donde
la recta corta al eje de las ordenadas ( y).
Dom = R Rg = R
28. Sea
Sea una función definida por:
: R R tal que:
x R y = f(x) = x + 1
El DOMINIO y RANGO son el conjunto de los
Nùmeros Reales
Dom = R
Rg = R
32. FUNCION VALOR ABSOLUTO CON IMAGEN
y = 2 X + 3
Esta es una función de variable Real donde:
Cada x R posee una imagen y = ( X ) = 2X + 3 tal que
1. y = 2X + 3 si 2X+3 0 ó
2. y = - (2X + 3) si 2X+3 0
Una vez resueltas las inecuaciones 2X+3 0 y 2X+3 0 se tiene:
2X + 3 si X -
𝟑
𝟐
y = (X ) = | 2X + 3 | =
- (2X + 3 ) si X -
𝟑
𝟐
33. Gráfica de una función con imagen
y = ( X ) = 2 X + 3
(-
𝟑
𝟐
, 𝟎 )
Dom = R
Rg = 𝟎 +
34. FU NCION CUADRATICA
Es una función de variable Real tal que :
La imagen es un polinomio de segundo grado de la forma
y = ( X ) = a.X𝟐+ b. X + c a, b, c R ; a 0
La representación gráfica es una parábola que abre hacia
arriba si a 0. Abre hacia abajo si a 0.
El Dominio de la función es Dom = R = ( - , + )
Si a 0, entonces el Rg = a , + )
Si a 0,entonces el Rg = (- , a.
Siendo a la segunda componente del vértice de la
parábola.
35. Representación gráfica de la función CUADRÁTICA con
imagen y = ( x ) = 2.X² - 4.X + 2 es
( 1 ; 0 ) X
y
( x ) = 2X² - 4X + 2
Dom = R
Rg = 0; +)
( 0 ; 2 ) ( 2 ; 2 )
Y = 0
36. FUNCION RACIONAL
Es una FUNCION POLINOMICA de variable Real con las
siguientes características:
La imagen puede expresarse como el cociente de dos funciones
polinómicas
Dominio de la función son todos los números reales excepto
aquellos que anulan el polinomio del denominador.
El Rango de la función son los números reales, excepto aquellos
valores que son « imagen» de los valores que anulan el
polinomio denominador.
37. Dada la función cuya imagen viene dada por
y = ( x ) =(𝑥+1)(𝑥2+3𝑥−𝟏𝟎)
𝑥2 +6𝑥+5
Dom = R - -5, -1
Rg = R - -7, -3
Para hallar el dominio y el rango es conveniente resolver
(𝑥+1)(𝑥2+3𝑥−𝟏𝟎)
𝑥2 +6𝑥+5
=
𝑿+𝟏 .(𝑿 +𝟓)(𝑿−𝟐 )
(𝑿 +𝟓)(𝑿 +𝟏)
= X - 2
Como x = -5 y x = -1 no pertenecen al Dominio de entonces
y = -7 y y = -3 no pertenecen al Rango. En consecuencia los
puntos ( -5 ; -7 ) y ( -1 ; -3 ) no pertenecen a la gráfica de la
función.
38. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUYA IMAGEN ES
y = ( x ) = (𝑥+1)(𝑥2+3𝑥−𝟏𝟎)
𝑥2 +6𝑥+5
( -1; -3 ) no pertenece
a la recta
( -5; -7 ) no pertenece a la recta
39. FUNCION RAIZ CUADRADA
Es una función de variable Real con las siguientes
características:
La imagen es de la forma: y = ( X ) = + 𝒙
Como la raíz cuadrada de x existe en R solo si x 0,
entonces el Dom = +
El Rg = +